事件的关系与概率运算
一、基础知识
1、事件的分类与概率：
（1）必然事件：一定会发生的事件，用Ω表示，必然事件发生的概率为100%
（2）不可能事件：一定不会发生的事件，用?表示，不可能事件发生的概率为0%
（3）随机事件：可能发生也可能不发生的事件，用字母,,A B C 进行表示，随机事件的概率[]0,1P ∈
2、事件的交并运算：
（1）交事件：若事件C 发生当且仅当事件A 与事件B 同时发生，则称事件C 为事件A 与事件B 的交事件，记为A B ，简记为AB 多个事件的交事件：12n A A A ：事件12,,,n A A A 同时发生
（2）并事件：若事件C 发生当且仅当事件A 与事件B 中至少一个发生（即A 发生或B 发生），则称事件C 为事件A 与事件B 的并事件，记为A B
多个事件的并事件：12n A A A ：事件12,,,n A A A 中至少一个发生
3、互斥事件与概率的加法公式：
（1）互斥事件：若事件A 与事件B 的交事件A B 为不可能事件，则称,A B 互斥，即事件A 与事件B 不可能同时发生。例如：投掷一枚均匀的骰子，设事件“出现1点”为事件A ，“出现3点”为事件B ，则两者不可能同时发生，所以A 与B 互斥
（2）若一项试验有n 个基本事件：12,,,n A A A ，则每做一次实验只能产
生其中一个基本事件，所以12,,,n A A A 之间均不可能同时发生，从而
12,,,n A A A 两两互斥
（3）概率的加法公式（用于计算并事件）：若,A B 互斥，则有
()()()P A B P A P B =+
例如在上面的例子中，事件A B 为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得()()16
P A P B ==，所以根据加法公式可得：
()()()13P A B P A P B =+= （4）对立事件：若事件A 与事件B 的交事件A B 为不可能事件，并事件A B 为必然事件，则称事件B 为事件A 的对立事件，记为B A =，也是我们常说的事件的“对立面”，对立事件概率公式：()()1P A P A =-，关于对立事件有几点说明：
① 公式的证明：因为,A A 对立，所以A A =?，即,A A 互斥，而A A =Ω，所以()()()()P P A A P A P A Ω==+，因为()1P Ω=，从而()()1P A P A =- ② 此公式也提供了求概率的一种思路：即如果直接求事件A 的概率所讨论的情况较多时，可以考虑先求其对立事件的概率，再利用公式求解
③ 对立事件的相互性：事件B 为事件A 的对立事件，同时事件A 也为事件B 的对立事件
④ 对立与互斥的关系：对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层。由对立事件的定义可知：,A B 对立，则,A B 一定互斥；反过来，如果,A B 互斥，则不一定,A B 对立（因为可能A B 不是必然事件）
4、独立事件与概率的乘法公式：
（1）独立事件：如果事件A （或B ）发生与否不影响事件B （或A ）发生的概率，则称事件A 与事件B 相互独立。例如投掷两枚骰子，设“第一个骰子的点数是1”为事件A ，“第二个骰子的点数是2”为事件B ，因为两个骰子的点数不会相互影响，所以,A B 独立
（2）若,A B 独立，则A 与B ，B 与A ，A 与B 也相互独立
（3）概率的乘法公式：若事件,A B 独立，则,A B 同时发生的概率
()()()P AB P A P B =? ，比如在上面那个例子中，()()11,66
P A P B ==，设“第一个骰子点数为1，且第二个骰子点数为2”为事件C ，则()()()()136
P C P AB P A P B ==?=。 （4）独立重复试验：一项试验，只有两个结果。设其中一个结果为事件A （则另一个结果为A ），已知事件A 发生的概率为p ，将该试验重复进行n 次（每次试验结果互不影响），则在n 次中事件A 恰好发生k 次的概率为()1n k k k n P C p p -=-
① 公式的说明：以“连续投掷3次硬币，每次正面向上的概率为1
3”为例，
设i A 为“第i 次正面向上”，由均匀的硬币可知()12i P A =，设B 为“恰好2次正面向上”，则有：()()()()123123123P B P A A A P A A A P A A A =++ 而()()()2
1231231231122P A A A P A A A P A A A ????=== ? ????? ()223223111132222P B C -????????∴=?= ? ? ? ?????????
② k n C 的意义：是指在n 次试验中事件A 在哪k 次发生的情况总数，例如在上面的例子中“3次投掷硬币，两次正面向上”，其中23C 代表了符合
条件的不同情况总数共3种
5、条件概率及其乘法公式：
（1）条件概率：
（2）乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率
()()()|P AB P A P B A =?
（3）计算条件概率的两种方法：（以计算()|P B A 为例） ① 计算出事件A 发生的概率()P A 和,A B 同时发生的概率()P AB ，再利用()()
()|P AB P B A P A =即可计算
② 按照条件概率的意义：即B 在A 条件下的概率为事件A 发生后，事件B 发生的概率。所以以事件A 发生后的事实为基础，直接计算事件B 发生的概率
例：已知6张彩票中只有一张有奖，甲，乙先后抽取彩票且不放回，求在已知甲未中奖的情况下，乙中奖的概率。
解：方法一：按照公式计算。设事件A 为“甲未中奖”，事件B 为“乙中奖”，所以可得：()56
P A =，事件AB 为“甲未中奖且乙中奖”，则
()11512616C C P AB A ?==。所以()()()1|5P AB P B A P A == 方法二：按照条件概率实际意义：考虑甲在抽取彩票后没有中奖，则留给乙的情况是剩下的五张彩票中有一张是有奖的，所以乙中奖的概率为15
P =
6、两种乘法公式的联系：
独立事件的交事件概率：()()()P AB P A P B =?
含条件概率的交事件概率：()()()
=?
P AB P A P B A
|
通过公式不难看出，交事件的概率计算与乘法相关，且事件,A B通常存在顺承的关系，即一个事件发生在另一事件之后。所以通过公式可得出这样的结论：交事件概率可通过乘法进行计算，如果两个事件相互独立，则直接作概率的乘法，如果两个事件相互影响，则根据题意分出事件发生的先后，用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率（即条件概率）
二、典型例题：
例1：从1,2,3,4,5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是（）
A. ①
B. ②④
C. ③
D. ①③
思路：任取两数的所有可能为{两个奇数；一个奇数一个偶数；两个偶数}，若是对立事件，则首先应该是互斥事件，分别判断每种情况：①两个事件不是互斥事件，②“至少有一个奇数”包含“两个都是奇数”的情况，所以不互斥，③“至少一个奇数”包含“两个奇数”和“一奇一偶”所以与“两个偶数”恰好对立，④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”均包含“一奇一偶”的情况，所以不互斥。综上所述，只有③正确
答案：C
例2：5个射击选手击中目标的概率都是23，若这5个选手同时射同一个目标，射击三次则至少有一次五人全部集中目标的概率是（ ） A. 35113????-?? ???????
B. 53113????-?? ???????
C. 352113????--?? ???????
D. 532113????--?? ???????
思路：所求中有“至少一次”，且若正面考虑问题所涉及的情况较多。所以考虑从问题的对立面入手，设所求事件为事件A ，则A 为“射击三次没有一次五人均命中目标”，考虑射击一次五人没有全命中目标的概率为5213??- ???，所以()35213P A ????=-?? ??????? ，从而可得()()
3521113P A P A ????=-=--?? ??????? 答案：C
例3：甲，乙，丙三人独立的去译一个密码，分别译出的概率为111,,534
，则此密码能译出概率是（ ）
A.
160 B. 15 C. 35 D. 5960 思路：若要译出密码，则至少一个人译出即可。设事件A 为“密码译出”，正面分析问题情况较多，所以考虑利用对立面，A 为“没有人译出密码”，则
()11121115435P A ??????=-?-?-= ? ? ???????，从而()()
315P A P A =-= 答案：C
例4：某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮，假设某选手正
确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率是_________
思路：因为选手回答4个问题就晋级下一轮，所以说明后两个回答结果正确，且第二次回答错误（否则第二次与第三次连续正确，就直接
晋级了），第一次回答正确错误均可。所以2
141655125P ??=?= ??? 答案：16125
例5：掷3颗骰子，已知所得三个数都不一样，求含有1点的概率 思路：首先判断出所求的为条件概率，即在3个数都不一样的前提下，含有1点的概率，设事件A 表示“含有1点的概率”，事件B 为“掷出三个点数都不一样”，事件AB 为“三个点数都不一样且有一个点数为1”，则有
()123535618C A P AB ==，()363569
A P
B ==，所以由条件概率公式可得：()()()1|2P AB P A B P B =
= 答案：1
2
例6：甲乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出。已知每一局甲，乙两人获胜的概率分别为23,55，则甲胜出的概率为（ ）
A.
1625 B. 1825 C. 1925
D. 2125 思路：考虑甲胜出的情况包含两种情况，一种是甲第一局获胜，一种是甲第一局输了，第二局获胜，设事件i A 为“甲在第i 局获胜”，事件B 为
“甲胜出”，则()()()112P B P A P A A =+，依题意可得：()125
P A =，两场比赛相互独立，所以()()()12123265525P A A P A P A =?=?=
从而()1625P B =
答案：A
例7：如图，元件()1,2,3,4i A i =通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在,M N 之间通过的概率是（ ）
A. 0.729
B. 0.8829
C. 0.864
D. 0.9891
思路：先分析各元件的作用，若要在,M N 之间通过电流，则4A 必须通过，且12,A A 这一组与3A 两条路至少通过一条。设A 为“12,A A 通过”，则
()20.90.81P A ==，设B 为“3A 通过”，()0.9P B =，那么“至少通过一条”的概率()()()110.019P P AB P A P B =-=-=，从而,M N 之间通过电流的概率为0.0190.90.8829?= 答案：B
例8：假设每一架飞机的引擎在飞行中出现的故障率为1p -，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行；要使得4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p 的取值范围是
（ ） A. 2,13?? ??? B. 1,13?? ??? C. 20,3?? ???
D. 10,3?? ???
思路：所谓“更安全”是指成功飞行的概率更高，所以只需计算两种引擎成功的概率即可，引擎正常运行的概率为p ，设事件A 为“4引擎飞机成功飞行”，事件i A 为“i 个引擎正常运行”，可知引擎运行符合独立重复试验
模型，所以()()441i
i i i P A C p p -=-，所以()()()()()33443434441P A P A A P A P A C p p C p ==+=-+。
设事件B 为“2引擎飞机成功飞行”，则()2P B p =，依题意：()()P A P B >，即()33442441C p p C p p -+>，进而解出113
p <<
答案：B
例9：从1,2,3,,15中，甲，乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是_______
思路一:本题涉及条件概率的问题，设事件A 为“甲取到的数比乙大”，事件B 为“甲取到的数是5的倍数”，则所求概率为()|P A B 。若用公式求解，则需求出()(),P AB P B ，事件AB 即为“甲取到了5的倍数且甲数大于乙数”，由古典概型可计算出概率。甲能够取得数为5,10,15，当甲取5时，
乙有14C 种取法，当甲取10时，乙有19C 种取法，当甲取15时，乙有114C 种取法，所以()1114914215970C C C P AB A ++==，因为()1311515
C P B C ==，所以()()()9|14
P AB P A B P B =
=
思路二：本题处理条件概率时也可从实际意义出发，甲取5,10,15对乙的影响不同，所以分情况讨论。当甲取的是5时，甲能从5的倍数中取出5的概率是13，此时乙从剩下14个数中可取的只有1,2,3,4，所以
甲取出5且大于乙数的概率114314
P =?
，同理，甲取的是10时，乙可取的由9个数，所以甲取出10且大于乙数概率为219314
P =?，甲取的是15时，乙可取14个数，所以甲取出15且大于乙数的概率为313
P =，所以甲取到的数是5的倍数后，甲数大于乙数的概率为123914
P P P P =++= 答案：914 小炼有话说：本题两种处理条件概率的思路均可解决问题，但第二种方法要注意，所发生过的只是甲取到5的倍数，但不知是哪个数，所以在分类讨论时还要乘上某个5的倍数能抽中的概率。即所求问题转变为“已知抽到5的倍数后，抽到哪个5的倍数（具体分类讨论）且甲数大于乙数的概率”。
例10：甲袋中有5只白球，7只红球；乙袋中由4只白球，2只红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到的袋子中任取一球，则取到白球的概率是_______
思路：本题取到白球需要两步：第一步先确定是甲袋还是乙袋，第二步再取球。所以本问题实质上为“取到某袋且取出白球的概率”，因为取袋在前，取球在后，所以取球阶段白球的概率受取袋的影响，为条件概率。设事件A 为“取出甲袋”，事件B 为“取出白球”，分两种情况进行讨论。若取出的是甲袋，则()()1|P P A P B A =?，依题意可得：
()()15,|212P A P B A ==，所以1155=21224
P =?；若取出的是乙袋，则()()2|P P A P B A =?，依题意可得：()()
142,|263
P A P B A ===，所以2121233P =?=，综上所述，取到白球的概率121324
P P P =+= 答案：1324
课时练习（十五） 事件之间的关系与运算 A 级——学考水平达标练 1．打靶三次，事件A i 表示“击中i 发”，其中i ＝0,1,2,3.那么A ＝A 1＋A 2＋A 3表示( ) A ．全部击中 B ．至少击中1发 C ．至少击中2发 D ．以上均不正确 解析：选B 由题意可得事件A 1、A 2、A 3是彼此互斥的事件，且A 0＋A 1＋A 2＋A 3为必然事件， A ＝A 1＋A 2＋A 3表示的是打靶三次至少击中一发． 2．(多选题)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有( ) A ．恰有一名男生和全是男生 B ．至少有一名男生和至少有一名女生 C ．至少有一名男生和全是男生 D ．至少有一名男生和全是女生 解析：选AD A 是互斥事件．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B 不是互斥事件；C 不是互斥事件；D 是互斥事件．至少有一名男生与全是女生不可能同时发生． 3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)内的概率是( ) A ．0.62 B ．0.38 C ．0.70 D ．0.68 解析：选B 利用对立事件的概率公式可得P ＝1－(0.3＋0.32)＝0.38. 4．如果事件A ，B 互斥，记A ，B 分别为事件A ，B 的对立事件，那么( ) A ．A ＋B 是必然事件 B.A ∪B 是必然事件 C.A 与B 一定互斥 D ．A 与A 不可能互斥 解析：选B 用图示法解决此类问题较为直观，如图所示，A ∪B 是必然事件，故选B. 5．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，若所选3人中至少有1名女生的概率为4 5 ，那么所选3人中都是男生的概率为________． 解析：设A ＝{3人中至少有1名女生}，B ＝{3人都为男生}，则A ，B 为对立事件，所以
新教材高中数学课时跟踪检测（十五）事件之间的关系与运算新 人教B版必修第二册 课时跟踪检测（十五）事件之间的关系与运算 A级——学考水平达标练 1．打靶三次，事件A i表示“击中i发”，其中i＝0,1,2,3.那么A＝A1＋A2＋A3表示( ) A．全部击中B．至少击中1发 C．至少击中2发D．以上均不正确 解析：选B 由题意可得事件A1、A2、A3是彼此互斥的事件，且A0＋A1＋A2＋A3为必然事件，A＝A1＋A2＋A3表示的是打靶三次至少击中一发． 2．(多选题)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有( ) A．恰有一名男生和全是男生 B．至少有一名男生和至少有一名女生 C．至少有一名男生和全是男生 D．至少有一名男生和全是女生 解析：选AD A是互斥事件．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B不是互斥事件；C不是互斥事件；D是互斥事件．至少有一名男生与全是女生不可能同时发生． 3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)内的概率是( ) A．0.62 B．0.38 C．0.70 D．0.68 解析：选B 利用对立事件的概率公式可得P＝1－(0.3＋0.32)＝0.38. 4．如果事件A，B互斥，记A，B分别为事件A，B的对立事件，那么( ) A．A＋B是必然事件 B.A∪B是必然事件 C.A与B一定互斥D．A与A不可能互斥 解析：选B 用图示法解决此类问题较为直观，如图所示，A∪B是必然事件，故选B. 5．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，若所选3人中至少有1名女生的
§1.3事件的关系及运算 ⑴如果事件A 的发生必然导致事件B 的发生，则称事件B 包含事件A ，或称事件A 包含于事件B ，记作 B A A B ??或. ⑵如果事件B 包含事件A ，且事件A 包含事件B ，即 B A A B ??且； 也就是说，二事件A 与B 中任一事件发生必然导致另一事件的发生，则称事件A 与B 相等，记作 B A =. ⑶“二事件A 与B 中至少有一事件发生”这一事件叫做事件A 与B 的并，记作 B A . “n 个事件n A A A ,,,21 中至少有一事件发生”这一事件叫做事件n A A A ,,,21 的并，记作 )(121i n i n A A A A = 简记为. ⑷“二事件A 与B 都发生”这一事件叫做事件A 与事件B 的交，记作 。或AB B A “n 个事件n A A A ,,,21 都发生”这一事件叫做n A A A ,,,21 的交，记作 ).(12121i n i n n A A A A A A A = 简记为或
⑸如果二事件A 与B 不可能同时发生，即 ,φ=AB 则称二事件A 与B 是互不相容的(或互斥的). 通常把两个互不相容事件A 与B 的并记作 B A +. 如果n 个事件n A A A ,,,21 中任意两个事件不可能同时发生，即 ),1(n j i A A j i ≤≤≤=φ 则称这n 个事件是互不相容的(或互斥的). 通常把n 个互不相容事件n A A A ,,,21 的并记作 ).(121∑=+++n i i n A A A A 简记为 ⑹如果二事件A 与B 是互不相容的，并且它们中必有一事件发生，即二事件A 与B 中有且仅有一事件发生，即 ,Ω=+=B A AB 且φ 则称事件A 与事件B 是对立的(或互逆的)，称事件B 是事件A 的对立事件(或逆事件)，同样事件A 也是事件B 的对立事件(或逆事件)，记作 - -==B A A B 或. 对于任意的事件A ，我们有
事件的关系和运算 1.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则() A．A?B B．A?B C．A与B互斥 D．A与B互为对立事件 解析：选C由互斥事件的定义可知，C正确．故选C. 2．[多选]从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A ＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是() A．A与C互斥B．B与C互斥 C．任何两个都互斥D．A与B对立 解析：选ABC由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥，因A＝{三件产品不全是正品}，故样本点有三种情况：①{两件正品一件次品}，②{一件正品两件次品}，③{三件全是次品}＝B，所以A与B不对立，D错误，故选A、B、C. 3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为() A．至多有2件次品B．至多有1件次品 C．至多有2件正品D．至少有2件正品 解析：选B至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．故选B. 4．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列
说法中正确的是() A．全是白球与全是红球是对立事件 B．没有白球与至少有一个白球是对立事件 C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系 D．全是红球与有一个红球是包含关系 解析：选B从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个．故选B. 5．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则() A．A?B B．A＝B C．A∪B表示向上的点数是1或2或3 D．AB表示向上的点数是1或2或3 解析：选C设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.故选C. 6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝{______}． 解析：E＝{向上的点数为偶数}＝{2,4,6}． F＝{向上的点数为质数}＝{2,3,5} ∴E∩F＝{向上的点数为2}． 答案：向上的点数为2 7．打靶三次，事件A i表示“击中i次”，i＝0,1,2,3，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________．解析：因A0，A1，A2，A3彼此互斥，“至少有一次击中”包含击
新教材高中数学第5章统计与概率5.3.2事件之间的关系与运算课时20事件之间的关系与运算练习（含解析）新人教B版必修第 二册 知识点一事件的运算 1.掷一个质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为1}，事件F＝{向上的点数为5}，事件G＝{向上的点数为1或5}，则有( ) A．E?F B．G?F C．E＋F＝G D．EF＝G 答案 C 解析根据事件之间的关系，知E?G，F?G，事件E，F之间不具有包含关系，故排除A，B；因为事件E与事件F不会同时发生，所以EF＝?，故排除D；事件G发生当且仅当事件E 发生或事件F发生，所以E＋F＝G.故选C. 2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}． (1)事件D与A，B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的积事件是什么？ 解(1)对于事件D，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球”，故D＝A＋B. (2)对于事件C，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球，或3个均为红球”，故CA＝A. 知识点二事件关系的判断 3.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件： ①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数； ②至少有一个是奇数和两个数都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个数都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
其中，为互斥事件的是( ) A．①B．②④ C．③D．①③ 答案 C 解析①“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是相等事件，故①不是互斥事件； ②“至少有一个是奇数”包含“两个数都是奇数”的情况，故②不是互斥事件； ③“至少有一个是奇数”和“两个数都是偶数”不能同时发生，故③是互斥事件； ④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”可以同时发生，故④不是互斥事件．故选C. 4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)恰有1名男生与2名全是男生； (2)至少有1名男生与全是男生； (3)至少有1名男生与全是女生； (4)至少有1名男生与至少有1名女生． 解(1)因为“恰有1名男生”与“2名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当2名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件． (2)因为“2名全是男生”发生时“至少有1名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件． (3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立． (4)由于选出的是“1名男生1名女生”时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件． 知识点三互斥事件的概率 5.盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红 球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝3 10，P(B)＝ 1 2 ， 则这3个球中既有红球又有白球的概率是________． 答案4 5 解析记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的， 所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝3 10＋ 1 2 ＝ 4 5 .
高中数学必修二考点知识专题讲解 （四十一）事件的关系和运算 1.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则() A．A?B B．A?B C．A与B互斥 D．A与B互为对立事件 解析：选C由互斥事件的定义可知，C正确．故选C. 2．[多选]从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是() A．A与C互斥 B．B与C互斥 C．任何两个都互斥D．A与B对立 解析：选ABC由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥，因A＝{三件产品不全是正品}，故样本点有三种情况：①{两件正品一件次品}，②{一件正品两件次品}，③{三件全是次品}＝B，所以A与B不对立，D错误，故选A、B、C. 3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为() A．至多有2件次品B．至多有1件次品 C．至多有2件正品D．至少有2件正品 解析：选B至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的
对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．故选B. 4．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是() A．全是白球与全是红球是对立事件 B．没有白球与至少有一个白球是对立事件 C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系 D．全是红球与有一个红球是包含关系 解析：选B从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个．故选B. 5．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则() A．A?B B．A＝B C．A∪B表示向上的点数是1或2或3 D．AB表示向上的点数是1或2或3 解析：选C设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.故选C. 6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝{______}． 解析：E＝{向上的点数为偶数}＝{2,4,6}． F＝{向上的点数为质数}＝{2,3,5} ∴E∩F＝{向上的点数为2}． 答案：向上的点数为2