相似三角形培优训练含
答案
HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
相似三角形分类提高训练
一、相似三角形中的动点问题
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动
点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作
DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连
接DG.设点D运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;
(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值.
2.如图,在△ABC中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的
速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度
从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都
停止移动.设移动的时间为t秒.
(1)①当t=时,求△CPQ的面积;
②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析
式;
(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t
的值.
3.如图1,在Rt△ABC中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在
边AB上运动,DE平分CDB交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为M,
EN⊥CD,垂足为N.
(1)当AD=CD时,求证:DE∥AC;
(2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?
4.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A 点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x.
(1)当x为何值时,PQ∥BC?
(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能说明理由.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s 的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t<6)。
(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
(2)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与
△ABC相似?
二、构造相似辅助线——双垂直模型
6.在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(2,1),
正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°,求
这个正比例函数的表达式.
7.在△ABC中,AB=,AC=4,BC=2,以AB为边在C点的异侧作△A BD,使△ABD 为等腰直角三角形,求线段CD的长.
8.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点M是AC上的一点,点N是BC上的一点,沿
着直线MN折叠,使得点C恰好落在边AB上的P点.求证:MC:
NC=AP:PB.
9.如图,在直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在x轴上,边OC
在y轴上,点B的坐标为(1,3),将矩形沿对角线AC翻折B
点落在D点的位置,且AD交y轴于点E.那么D点的坐标为
()
A. B. C. D.
10..已知,如图,直线y=﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点.以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD,使得矩形的两边之比为1﹕2。求C、D两点的坐标。
三、构造相似辅助线——A、X字型
11.如图:△ABC中,D是AB上一点,AD=AC,BC边上的中线AE交CD于F。
求证:
12.四边形ABCD中,AC为AB、AD的比例中项,且AC平分
∠DAB。
求证:
13.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=b,CD=a,E为AD边上的任
意一点,EF∥AB,且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题
时,发现如下事实:
(1)当时,EF=;(2)当时,EF=;
(3)当时,EF=.当时,参照上述研究结论,请你猜想用a、b和k 表示EF的一般结论,并给出证明.
14.已知:如图,在△ABC中,M是AC的中点,E、F是BC上的两
点,且BE=EF=FC。
求BN:NQ:QM.
15.证明:(1)重心定理:三角形顶点到重心的距离等于该顶点
对边上中线长的.(注:重心是三角形三条中线的交点)
(2)角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线
段与这个角的两邻边对应成比例.
四、相似类定值问题
16.如图,在等边△ABC中,M、N分别是边AB,AC的中点,D为
MN上任意一点,BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F.求
证:.
17.已知:如图,梯形ABCD中,AB图,在△ABC中,已
知CD为边AB上的高,正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。
求证:.
19.已知,在△ABC中作内接菱形CDEF,设菱形的边长为a.求证:
.
五、相似之共线线段的比例问题
20.(1)如图1,点在平行四边形ABCD的对角线BD上,一直线
过点P分别交BA,BC的延长线于点Q,S,交于点.求
证:
(2)如图2,图3,当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时,是否仍然成立?若成立,试给出证明;若不成立,试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明);
21.已知:如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作
CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F.求证:BP2=PE·PF.
22.如图,已知△ABC中,AD,BF分别为BC,AC边上的高,过D作
AB的垂线交AB于E,交BF于G,交AC延长线于H。求证:
DE2=EG?EH
23.已知如图,P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点,过P
的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点
E、F、G、H.
求证:
24.已知,如图,锐角△ABC中,AD⊥BC于D,H为垂心(三角形三条高线的交点);在AD上有一点P,且∠BPC为直角.求证:PD2=AD·DH。
六、相似之等积式类型综合
25.已知如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,E为BC的中点,ED的延长线交CA于F。
求证:
26如
图,
在
Rt△ABC中,
CD是斜边AB上的高,点M在CD上,DH⊥BM且与AC的延长线交于
点E. 求证:(1)△AED∽△CBM;(2)
27.如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F.
(1)求证:.
(2)若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗?并说明理由.
28.如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG 与AD相交于点N.求证:.
29.如图,BD、CE分别是△ABC的两边上的高,过D作DG⊥BC于G,分别交CE及BA的延长线于
F、H。求证:(1)DG2=BG·CG;(2)BG·CG=GF·GH
七、相似基本模型应用
30.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,
∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的
中点上.
(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC
交于点N,求证:△BEM∽△CNE;
(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE
与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点
N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,
能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.
31.如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分别交AC、CD于点P、Q.
(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外);
(2)求BP:PQ:QR.
32.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。求证:
答案:1.答案:解:(1)∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4
∴AB=5
又∵AD=AB,AD=5t
∴t=1,此时CE=3,
∴DE=3+3-5=1
(2)
如图当点D在点E左侧,即:0≦t≦时,DE=3t+3-5t=3-2t.
若△DEG与△ACB相似,有两种情况:
①△DEG∽△ACB,此时,
即:,求得:t=;
②△DEG∽△BCA,此时,
即:,求得:t=;
如图,当点D在点E右侧,即:t>时,DE=5t-(3t+3)=2t-3.若△DEG与△ACB相似,有两种情况:
③△DEG∽△ACB,此时,
即:,求得:t=;
④△DEG∽△BCA,此时,
即:,求得:t=.
综上,t的值为或或或.
3.答案:解:(1)证明:∵AD=CD
∴∠A=∠ACD
∵DE平分CDB交边BC于点E
∴∠CDE=∠BDE
∵∠CDB为△CDB的一个外角
∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD
∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE
∴∠ACD=∠CDE
∴DE∥AC
(2)①∠NCE=∠MBE
∵EM⊥BD,EN⊥CD,
∴△BME∽△CNE,如图
∵∠NCE=∠MBE
∴BD=CD
又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°
∴∠ACD=∠A
∴AD=CD
∴AD=BD=AB
∵在Rt△ABC中,ACB=90°,AC=6,BC=8
∴AB=10
∴AD=5
②∠NCE=∠MEB
∵EM⊥BD,EN⊥CD,
∴△BME∽△ENC,如图
∵∠NCE=∠MEB
∴EM∥CD
∴CD⊥AB
∵在Rt△ABC中,ACB=90°,AC=6,BC=8
∴AB=10
∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB
∴△ACD∽△ABC
∴
∴
综上:AD=5或时,△BME与△CNE相似.
4.答案:解(1)由题意:AP=4x,CQ=3x,AQ=30-3x,
当PQ∥BC时,,即:
解得:
(2)能,AP=cm或AP=20cm
①△APQ∽△CBQ,则,即
解得:或(舍)
此时:AP=cm
②△APQ∽△CQB,则,即
解得:(符合题意)
此时:AP=cm
故AP=cm或20cm时,△APQ与△CQB能相似.
5.答案:解:设运动时间为t,则DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t.
(1)若△QAP为等腰直角三角形,则AQ=AP,即:6-t=2t,t=2(符合题意)
∴t=2时,△QAP为等腰直角三角形.
(2)∠B=∠QAP=90°
①当△QAP∽△ABC时,,即:,
解得:(符合题意);
②当△PAQ∽△ABC时,,即:,
解得:(符合题意).
∴ 当或时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.
6.答案:解:分两种情况
第一种情况,图象经过第一、三象限
过点A作AB⊥OA,交待求直线于点B,过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C,过点B作BD⊥AC
则由上可知:=90°
由双垂直模型知:△OCA∽△ADB
∴
∵A(2,1),=45°
∴OC=2,AC=1,AO=AB
∴AD=OC=2,BD=AC=1
∴D点坐标为(2,3)
∴B点坐标为(1,3)
∴此时正比例函数表达式为:y=3x
第二种情况,图象经过第二、四象限
过点A作AB⊥OA,交待求直线于点B,过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C,过点B作BD⊥AC
则由上可知:=90°
由双垂直模型知:△OCA∽△ADB
∴
∵A(2,1),=45°
∴OC=1,AC=2,AO=AB
∴AD=OC=1,BD=AC=2
∴D点坐标为(3,1)
∴B点坐标为(3,﹣1)
∴此时正比例函数表达式为:y=x 7.答案:解:情形一:
情形二:
情形三:
8.答案:证明:方法一:
连接PC,过点P作PD⊥AC于D,则
PD案:A
解题思路:如图
过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M,交x轴于点N,则∠M=∠DNA=90°,由于折叠,可以得到△ABC≌△ADC,
又由B(1,3)
∴BC=DC=1,AB=AD=MN=3,∠CDA=∠B=90°
∴ ∠1+∠2=90°
∵ ∠DNA=90°
∴ ∠3+∠2=90°
∴ ∠1=∠3
∴ △DMC∽△AND,
∴
设CM=x,则DN=3x,AN=1+x,DM=
∴3x+=3
∴x=
∴,则。答案为A
10.答案:解:
过点C作x轴的平行线交y轴于G,过点D作y轴的平行线交x轴于F,交GC的延长线于E。
∵直线y=﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点
∴A(1,0),B(0,2)
∴OA=1,OB=2,AB=
∵AB:BC=1:2
∴BC=AD=
∵∠ABO+∠CBG=90°,∠ABO+∠BAO=90°
∴∠CBG=∠BAO
又∵∠CGB=∠BOA=90°
∴△OAB∽△GBC
∴
∴GB=2,GC=4
∴GO=4
∴C(4,4)
同理可得△ADF∽△BAO,得
∴DF=2,AF=4 ∴OF=5 ∴D(5,2)11.答案:证明:(方法一)如图
延长AE到M使得EM=AE,连接CM
∵BE=CE,∠AEB=∠MEC
∴ △BEA≌△CEM
∴CM=AB,∠1=∠B
∴AB∥CM
∴∠M=∠MAD,∠MCF=∠ADF
∴△MCF∽△ADF
∴
∵CM=AB,AD=AC
∴
(方法二)
过D作DG∥BC交AE于G
则△ABE∽△ADG,△CEF∽△DGF
∴,
∵AD=AC,BE=CE
∴
12.答案:证明:
过点D作DF∥AB交AC的延长线于点F,则∠2=∠3
∵AC平分∠DAB
∴∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴AD=DF
∵∠DEF=∠BEA,∠2=∠3
∴△BEA∽△DEF
∴
∵AD=DF
∴
∵AC为AB、AD的比例中项
∴
即
又∵∠1=∠2
∴△ACD∽△ABC
∴
∴
∴
13.答案:解:
证明:
过点E作PQ∥BC分别交BA延长线和DC于点P和点Q ∵AB∥CD,PQ∥BC
∴四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形
∴PB=EF=CQ,
又∵AB=b,CD=a
∴AP=PB-AB=EF-b,DQ=DC-QC=a-EF
∴
∴
14.答案:解:
连接MF
∵M是AC的中点,EF=FC
∴MF∥AE且MF=AE ∴△BEN∽△BFM ∴BN:BM=BE:BF=NE:MF ∵BE=EF
∴BN:BM=NE:MF=1:2 ∴BN:NM=1:1 设NE=x,则MF=2x,AE=4x ∴AN=3x ∵MF∥AE ∴△NAQ∽△MFQ ∴NQ:QM=AN:MF=3:2 ∵BN:NM=1:1,NQ:QM=3:2 ∴BN:NQ:QM=5:3:2
15.答案:证明:(1)
如图1,AD、BE为△ABC的中线,且AD、BE交于点O
过点C作CF∥BE,交AD的延长线于点F
∵CF∥BE且E为AC中点
∴∠AEO=∠ACF,∠OBD=∠FCD,AC=2AE
∵∠EAO=∠CAF
∴△AEO∽△ACF
∴
∵D为BC的中点,∠ODB=∠FDC
∴△BOD≌△CFD
∴BO=CF
∴
∴
同理,可证另外两条中线
∴三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的
(2)
如图2,AD为△ABC的角平分线
过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E
则∠BAD=∠E
∵AD为△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD
∴∠E=∠CAD
∴AC=CE
∵CE∥AB
∴△BAD∽△CED
∴
∴
16.答案:证明:
如图,作DP∥AB,DQ∥AC
则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且△DPQ是等边三角形∴BP+CQ=MN,DP=DQ=PQ
∵M、N分别是边AB,AC的中点
∴MN=BC=PQ
∵DP∥AB,DQ∥AC
∴△CDP∽△CFB,△BDQ∽△BEC
∴,
∴
∵DP=DQ=PQ=BC=AB
∴AB()=
∴
17.答案:证明:∵EF
案:证明:∵EF∥CD,EH∥AB
∴,
∵,
∴△AFE∽△ADC,△CEH∽△CAB
∴,
∵EF=EH
∴
∴
19.答案:证明:∵EF∥AC,DE∥BC
∴,
∵,
∴△BFE∽△BCA,△AED∽△ABC
∴,
∴
∵EF=DE=a
∴
20.答案:(1)证明:在平行四边形ABCD中,AD∥BC,∴∠DRP=∠S,∠RDB=∠DBS
∴△DRP∽△BSP
∴
同理由AB∥CD可证△PTD∽△PQB
∴
∴
∴
(2)证明:成立,理由如下:
在平行四边形ABCD中,AD∥BC,
∴∠PRD=∠S,∠RDP=∠DBS
∴△DRP∽△BSP
∴
同理由AB∥CD可证△PTD∽△PQB
∴
∴
∴
21.答案:证明:
∵AB=AC,AD是中线,
∴AD⊥BC,BP=CP
∴∠1=∠2
又∵∠ABC=∠ACB
∴∠3=∠4
∵CF∥AB
∴∠3=∠F,∠4=∠F
又∵∠EPC=∠CPF
∴△EPC∽△CPF
∴∴BP2=PE·PF即证所求22.答案:证明:∵DE⊥AB
∴=90°
∵=90°
∴
∵
∴△ADE∽△DBE
∴
∴DE2=
∵BF⊥AC
∴=90°
∵=90°且
∴
∵
∴△BEG∽△HEA
∴
∴=∴DE2=EG•EH
23.答案:证明:
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD,AD∥BC
∴∠1=∠2,∠G=∠H,∠5=∠6
∴△PAH∽△PCG
∴
又∵∠3=∠4
∴△APE∽△CPF
∴
∴
24.答案:证明:如图,连接BH交AC于点E,
∵H为垂心
∴BE⊥AC
∴∠EBC+∠BCA=90°
∵AD⊥BC于D
∴∠DAC+∠BCA=90°
∴∠EBC=∠DAC
又∠BDH=∠ADC=90°
∴△BDH∽△ADC
∴,即∵∠BPC为直角,AD⊥BC ∴PD2=