-202X九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填在答题卡内相应的位置上．
1．关于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（）
A．a＞0 B．a≥0 C．a≠0 D．a=1
2．用配方法解下列方程，配方正确的是（）
A．2y2﹣4y﹣4=0可化为（y﹣1）2=4 B．x2﹣2x﹣9=0可化为（x﹣1）2=8
C．x2+8x﹣9=0可化为（x+4）2=16 D．x2﹣4x=0可化为（x﹣2）2=4
3．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣2m=0的常数项为0，则m的值为（）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
4．把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y=2（x+3）2+4 B．y=2（x+3）2﹣4 C．y=2（x﹣3）2﹣4 D．y=2（x﹣3）2+4
5．某种商品经过连续两次涨价后的价格比原来上涨了44%，则这种商品的价格的平均增长率是（）A．44% B．22% C．20% D．18%
6．已知抛物线y=ax2+bx，当a＞0，b＜0时，它的图象经过（）
A．一，二，三象限B．一，二，四象限
C．一，三，四象限D．一，二，三，四象限
7．已知二次函数y=2x2﹣2（a+b）x+a2+b2，a，b为常数，当y达到最小值时，x的值为（）
A．a+b B． C．﹣2ab D．
8．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）
A．B．C．D．
9．若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），则S=a+b+c的变化范围是（）
A．0＜s＜2 B．S＞1 C．1＜S＜2 D．﹣1＜S＜1
10．如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（）
A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣14
11．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（）
A．y=﹣2x2+8x+3 B．y=﹣2x?2﹣8x+3 C．y=﹣2x2+8x﹣5 D．y=﹣2x?2﹣8x+2
12．关于二次函数y=ax2+bx+c图象有下列命题：
（1）当c=0时，函数的图象经过原点；
（2）当c＞0时，函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根；
（3）当b=0时，函数图象关于原点对称．
其中正确的个数有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填写在答题卡上的横线上．
13．若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集是__________．
14．请你写一个一元二次方程，使该方程有一根为0，则这个方程可以是__________．
15．方程x2+6x+3=0的两个实数根为x1，x2，则+=__________．
16．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为__________．17．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点．
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3；
请写出满足上述全部特点的二次函数解析式：__________．
18．如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则化简代数式+=__________．
三、解答题：本大题共6小题，满分66分．解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．
19．（12分）（202X秋?宝坻区校级期末）解方程
（1）2（x﹣3）2=8（直接开平方法）（2）4x2﹣6x﹣3=0（运用公式法）
（3）（2x﹣3）2=5（2x﹣3）（运用分解因式法）（4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）20．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
21．2009年4月7日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009～2011）》，某市政府决定2009年投入6000万元用于改善医疗卫生服务，比2008年增加了1250万元．投入资金的服务对象包括“需方”（患者等）和“供方”（医疗卫生机构等），预计2009年投入“需方”的资金将比2008年提高30%，投入“供方”的资金将比2008年提高20%．
（1）该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元？
（2）该市政府2009年投入“需方”和“供方”的资金是多少万元？
（3）该市政府预计2011年将有7260万元投入改善医疗卫生服务，若从2009～2011年每年的资金投入按相同的增长率递增，求2009～2011年的年增长率．
22．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，一元二次方程x2+b2x+20=0的两实根为x3、x4，且x2﹣x3=x1﹣x4=3，求二次函数的解析式，并写出顶点坐标．
23．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），其表达式是y=ax2+c的形式．请根据所给的数据求出a，c的值．
（2）求支柱MN的长度．
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽
2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
24．如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB 于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．
-202X九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填在答题卡内相应的位置上．
1．关于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（）
A．a＞0 B．a≥0 C．a≠0 D．a=1
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：由x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，得a≠0．
故选；C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．用配方法解下列方程，配方正确的是（）
A．2y2﹣4y﹣4=0可化为（y﹣1）2=4 B．x2﹣2x﹣9=0可化为（x﹣1）2=8
C．x2+8x﹣9=0可化为（x+4）2=16 D．x2﹣4x=0可化为（x﹣2）2=4
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】利用完全平方公式的结构特点判断即可得到结果．
【解答】解：A、2y2﹣4y﹣4=0可化为（y﹣1）2=5，故选项错误；
B、x2﹣2x﹣9=0可化为（x﹣1）2=10，故选项错误；
C、x2+8x﹣9=0可化为（x+4）2=25，故选项错误；
D、x2﹣4x=0可化为（x﹣2）2=4，故选项正确．
故选D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣2m=0的常数项为0，则m的值为（）
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】根据一元二次方程的定义可知m﹣2≠0，再根据常数项为0，即可得到m2﹣2m=0，列出方程组求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣2m=0的常数项为0，
∴，
解m﹣2≠0得m≠2；
解m2﹣2m=0得m=0或2．
∴m=0．
故选D．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程必须具备以下3个条件：（1）是整式方程，
（2）只含有一个未知数，
（3）方程中未知数的最高次数是2．
这三个条件缺一不可，尤其要注意二次项系数a≠0这个最容易被忽略的条件．
4．把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y=2（x+3）2+4 B．y=2（x+3）2﹣4 C．y=2（x﹣3）2﹣4 D．y=2（x﹣3）2+4
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】计算题．
【分析】抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），则把它向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，4），然后根据顶点式写出解析式．
【解答】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5．某种商品经过连续两次涨价后的价格比原来上涨了44%，则这种商品的价格的平均增长率是（）
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】设这种商品的价格的平均增长率为x，根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设这种商品的价格的平均增长率为x，
根据题意得：（1+x）2=1+44%，
开方得：1+x=±1.2，
解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去），
则这种商品的价格的平均增长率为20%．
故选C
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
6．已知抛物线y=ax2+bx，当a＞0，b＜0时，它的图象经过（）
A．一，二，三象限B．一，二，四象限
C．一，三，四象限D．一，二，三，四象限
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由a＞0可以得到开口方向向上，由b＜0，a＞0可以推出对称轴x=﹣＞0，由c=0可以得到此函数过原点，由此即可确定可知它的图象经过的象限．
【解答】解：∵a＞0，
∴开口方向向上，
∵b＜0，a＞0，
∴对称轴x=﹣＞0，
∵c=0，
∴此函数过原点．
∴它的图象经过一，二，四象限．
故选B．
【点评】此题主要考查二次函数的以下性质．
7．已知二次函数y=2x2﹣2（a+b）x+a2+b2，a，b为常数，当y达到最小值时，x的值为（）
A．a+b B． C．﹣2ab D．
【考点】二次函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】本题考查二次函数最小（大）值的求法．
【解答】解：根据二次函数y=2x2﹣2（a+b）x+a2+b2=2（x﹣）2+，
因此当x=时，y达到最小值．
故选B．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
8．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）
A．B．C．D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
9．若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），则S=a+b+c的变化范围是（）
A．0＜s＜2 B．S＞1 C．1＜S＜2 D．﹣1＜S＜1
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题．
【分析】由二次函数的解析式可知，当x=1时，所对应的函数值y=s=a+b+c．把点（0，1），（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c，得出c=1，a﹣b+c=0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出S=a+b+c的变化范围．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，
且经过点（0，1），（﹣1，0），
∴易得：c=1，a﹣b+c=0，a＜0，b＞0，
由a=b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，
由b=a+1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②，
∴由①②得：﹣1＜a+b＜1，且c=1，
得到0＜a+b+c＜2，
∴0＜s＜2．
故选A．
【点评】此题考查了点与函数的关系，解题的关键是画草图，利用数形结合思想解题．
10．如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（）
A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣14
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】根据题意，知顶点的纵坐标是3或﹣3，列出方程求出解则可．
【解答】解：根据题意=±3，
解得c=8或14．
故选C．
【点评】本题考查了求顶点的纵坐标公式，比较简单．
11．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（）A．y=﹣2x2+8x+3 B．y=﹣2x?2﹣8x+3 C．y=﹣2x2+8x﹣5 D．y=﹣2x?2﹣8x+2
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】已知抛物线的顶点坐标，把经过的点的坐标代入顶点坐标式求出系数则可．
【解答】解：根据题意，设y=a（x﹣2）2+3，抛物线经过点（3，1），所以a+3=1，a=﹣2．
因此抛物线的解析式为：y=﹣2（x﹣2）2+3=﹣2x2+8x﹣5．
故本题选C．
【点评】本题考查利用待定系数法设抛物线的顶点坐标式求抛物线的表达式．
12．关于二次函数y=ax2+bx+c图象有下列命题：
（1）当c=0时，函数的图象经过原点；
（2）当c＞0时，函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根；
（3）当b=0时，函数图象关于原点对称．
其中正确的个数有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【考点】二次函数的性质．
【分析】当b=0时，函数解析式缺少一次项，对称轴x=0，是y轴；当c=0时，缺少常数项，图象经过（0，0）点；当c＞0时，图形交y轴正半轴，开口向下，即a＜0，此时ac＜0，方程ax2+bx+c=0的△＞0．【解答】解：根据二次函数的性质可知：
（1）当c=0时，函数的图象经过原点，正确；
（2）当c＞0时，函数的图象开口向下时，图象与x轴有2个交点，所以方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根，正确；
（3）当b=0时，函数图象关于原点对称，错误．有两个正确．
故选C．
【点评】主要考查了二次函数y=ax2+bx+c中系数a，b，c与图象的关系．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填写在答题卡上的横线上．
13．若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集是a＞﹣2且a≠0．
【考点】一元二次方程的定义；解一元一次不等式．
【专题】计算题．
【分析】本题根据一元二次方程的定义和解不等式来解答；
一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．
【解答】解：∵3a+6＞0，
∴3a＞﹣6，
解得：a＞﹣2；
根据一元二次方程的定义，a≠0；
所以a＞﹣2且a≠0．
【点评】本题是一个方程与不等式相结合的题目，解关于x的不等式是本题的一个难点；解不等式时，移项时要注意符号的变化．
14．请你写一个一元二次方程，使该方程有一根为0，则这个方程可以是x2﹣x=0．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】开放型．
【分析】以0和1为根写一个一元二次方程即可．
【解答】解：x=0是方程x2﹣x=0的一个根．
故答案为x2﹣x=0．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．方程x2+6x+3=0的两个实数根为x1，x2，则+=10．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣6，x1?x2=3，再利用完全公式变形得到+=，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣6，x1?x2=3，
所以+====10．
故答案为10．
【点评】本题考查了根与系数的关系：设x1，x2为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则有如下关系：x1+x2=﹣，x1?x2=．
16．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】根据题意，已知对称轴x=2，图象经过点（5，0），根据抛物线的对称性，可知图象经过另一点（﹣1，0），设抛物线的交点式y=a（x+1）（x﹣5），把点（1，4）代入即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=2，且经过点（5，0），
根据抛物线的对称性，图象经过另一点（﹣1，0），
设抛物线的交点式y=a（x+1）（x﹣5），
把点（1，4）代入，得：
4=a（1+1）×（1﹣5），解得a=﹣，
所以y=﹣（x+1）（x﹣5），
即y=﹣x2+2x+．
故答案为：y=﹣x2+2x+．
【点评】当已知函数图象与x轴有两交点时，利用交点式求解析式比较简单；
当已知函数的顶点坐标，或已知函数对称轴时，利用顶点式求解析式比较简单；
当已知函数图象经过一般的三点时，利用一般式求解．
17．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点．
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3；
请写出满足上述全部特点的二次函数解析式：y=（x﹣3）（x﹣5）．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】压轴题．
【分析】由对称轴是直线x=4，与x轴两交点的横坐标都是整数，可设与x轴两交点坐标为（3，0），（5，0），又因为以函数与x轴，y轴交点为顶点的三角形面积为3，可得与y轴的交点的坐标为（0，3）．利用交点式y=a（x﹣x1）（x﹣x2），求出解析式．
【解答】解：此题答案不唯一
∵对称轴是直线x=4，与x轴两交点的横坐标都是整数
可设与x轴两交点坐标为（3，0），（5，0）
又因为以函数与x轴，y轴交点为顶点的三角形面积为3
可得与y轴的交点的坐标为（0，3）
设解析式y=a（x﹣3）（x﹣5）
把点（0，3）代入得a=．
∴解析式y=（x﹣3）（x﹣5）．
【点评】此题是开放题，解题的关键理解题意．还要注意利用待定系数法求函数解析式，当题目中出现二次函数与x轴的交点坐标时，采用交点式比较简单．
18．如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则化简代数式+=．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】由二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，求c的值及a、b的关系式，根据对称轴的位置判断a的取值范围，再把二次根式化简求值．
【解答】解：把（﹣1，0）和（0，﹣1）两点代入y=ax2+bx+c中，得
a﹣b+c=0，c=﹣1，
∴b=a+c=a﹣1，
由图象可知，抛物线对称轴x=﹣＞0，且a＞0，
∴a﹣1＜0，0＜a＜1，
+
=+
=|a+|+|a﹣|，
=a+﹣a+，
=．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系，对称轴的性质，根据对称轴的位置确定a的取值范围的解题的关键．
三、解答题：本大题共6小题，满分66分．解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．
19．（12分）（202X秋?宝坻区校级期末）解方程
（1）2（x﹣3）2=8（直接开平方法）（2）4x2﹣6x﹣3=0（运用公式法）
（3）（2x﹣3）2=5（2x﹣3）（运用分解因式法）（4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）先将方程化为（x﹣3）2=4的形式，然后开平方即可．
（2）先正确确定a，b，c的值，然后代入公式计算．
（3）先移项，再应用提取公因式法分解因式求解．
（4）先对左边的部分进行乘法计算，然后再用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣3）2=4
x﹣3=2或x﹣3=﹣2，
解得，x1=1或x2=5；
（2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，
b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，
x==，
，；
（3）移项得，（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=0，
因式分解得，（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）=0，
，x2=4；
（4）化简得，x2+9x+20=0，
（x+4）（x+5）=0，
解得，x1=﹣4，x2=﹣5．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
20．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】应用题．
【分析】设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
【解答】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得（100﹣4x）x=400，
解得x1=20，x2=5．
则100﹣4x=20或100﹣4x=80．
∵80＞25，
∴x2=5舍去．
即AB=20，BC=20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
21．2009年4月7日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009～2011）》，某市政府决定2009年投入6000万元用于改善医疗卫生服务，比2008年增加了1250万元．投入资金的服务对象包括“需方”（患者等）和“供方”（医疗卫生机构等），预计2009年投入“需方”的资金将比2008年提高30%，投入“供方”的资金将比2008年提高20%．
（1）该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元？
（2）该市政府2009年投入“需方”和“供方”的资金是多少万元？
（3）该市政府预计2011年将有7260万元投入改善医疗卫生服务，若从2009～2011年每年的资金投入按相同的增长率递增，求2009～2011年的年增长率．
【考点】二元一次方程组的应用；一元二次方程的应用．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】（1）用2009年市政府投入资金钱数减去比2008年投入增加的资金钱数，可以得出结果．
（2）题中有两个等量关系：2008年市政府投入需方的资金钱数+投入供方的资金钱数=4750，2009年投入需方的资金钱数+投入供方的资金钱数=6000，据此可以列出方程组．
（3）根据等量关系2009年资金投入钱数×（1+年增长率）2011﹣2009=7260，直接设未知数，求出解．
【解答】解：
（1）该市政府2008年投入改善医疗服务的资金是：6000﹣1250=4750
答：该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是4750万元．
（2）设市政府2008年投入“需方”x万元，投入“供方”y万元，
由题意得，解得
∴2009年投入“需方”资金为（1+30%）x=1.3×3000=3900（万元），
2009年投入“供方”资金为（1+20%）y=1.2×1750=2100（万元）．
答：该市政府2009年投入“需方”3900万元，投入“供方”2100万元．
（3）设年增长率为m，由题意得6000（1+m）2=7260，
解得m1=0.1，m2=﹣2.1（不合实际，舍去）
答：从2009～2011年的年增长率是10%．
【点评】关键是弄清题意，找出等量关系：2008年市政府投入需方的资金钱数+投入供方的资金钱数=4750，2009年投入需方的资金钱数+投入供方的资金钱数=6000，2009年资金投入钱数×（1+年增长率）2011﹣2009=7260．
22．（10分）（2003?上海校级自主招生）已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，一元二次方程x2+b2x+20=0的两实根为x3、x4，且x2﹣x3=x1﹣x4=3，求二次函数的解析式，并写出顶点坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】先将x2﹣x3=x1﹣x4=3化简为两根之和的形式，再代入数值进行计算．
【解答】解：∵x2﹣x3=x1﹣x4=3
∴x2﹣x3=3，x1﹣x4=3
∴x2﹣x3+x1﹣x4=6即（x1+x2）﹣（x3+x4）=6
∴（x1+x2）﹣（x3+x4）=﹣b+b2=6，即b2﹣b﹣6=0，解得：b=﹣2或3
∵x2﹣x3=x1﹣x4
∴|x1﹣x2|=|x3﹣x4|
即=
∴9﹣4c=81﹣4×20，
解得：c=2
又∵一元二次方程x2+b2x+20=0有两实根
∴△=b4﹣80≥0，
当b=﹣2，c=2时，有y=x2﹣2x+2，
△=4﹣4×1×2=﹣4＜0，
与x轴无交点，
∴b=﹣2不合题意舍去
则解析式为y=x2+3x+2，
根据顶点坐标公式可得顶点坐标：．
【点评】要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x1﹣x2|，并熟练运用．
23．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），其表达式是y=ax2+c的形式．请根据所给的数据求出a，c的值．
（2）求支柱MN的长度．
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
【考点】二次函数的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）根据题目可知A．B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．
（2）设N点的坐标为（5，y N）可求出支柱MN的长度．
（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和．做GH垂直AB交抛物线于H则可求解．
【解答】解：（1）根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（﹣10，0）、（10，0）、（0，6）．
将B、C的坐标代入y=ax2+c，得
解得．
所以抛物线的表达式是；
（2）可设N（5，y N），于是．
从而支柱MN的长度是10﹣4.5=5.5米；
（3）设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，则G点坐标是（7，0），
（7=2÷2+2×3）．
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则yH=﹣×72+6=3+＞3．
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
24．如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB 于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）由题意易求得A与B的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线AB的函数关系式；（2）由s=MN=NP﹣MP，即可得s=﹣t2+t+1﹣（t+1），化简即可求得答案；
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，即可得方程：﹣t2+t=，解方程即可求得t 的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可．
【解答】解：（1）∵当x=0时，y=1，
∴A（0，1），
当x=3时，y=﹣×32+×3+1=2.5，
∴B（3，2.5），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+1；
（2）根据题意得：s=MN=NP﹣MP=﹣t2+t+1﹣（t+1）=﹣t2+t（0≤t≤3）；
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有﹣t2+t=，
解得t1=1，t2=2，
∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形．
①当t=1时，MP=，NP=4，故MN=NP﹣MP=，
又在Rt△MPC中，MC=，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形，
②当t=2时，MP=2，NP=，故MN=NP﹣MP=，
又在Rt△MPC中，MC=，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形．
【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用．