高考模拟复习试卷试题模拟卷
【高频考点解读】
1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点
等)，理解正切函数在区间???
?－π2，π2内的单调性． 【热点题型】
题型一 三角函数的定义域、值域
【例1】 (1)函数y ＝1
tan x －1
的定义域为____________．
(2)函数y ＝2sin ???
?πx 6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－3
解析 (1)要使函数有意义，必须有????
?tan x －1≠0，x ≠π2＋kπ，k ∈Z ，
即?
??x ≠π
4＋kπ，k ∈Z ，x ≠π
2＋kπ，k ∈Z.
故函数的定义域为{x|x≠π4＋kπ且x≠π
2＋kπ，k ∈Z}． (2)∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π
6， ∴sin ????π6x －π3∈????
??－32，1.
∴y ∈[]－3，2，∴ymax ＋ymin ＝2－ 3. 答案 (1){x|x≠π4＋kπ且x≠π
2＋kπ，k ∈Z} (2)A 【提分秘籍】
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：
①形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝asin2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sinx±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值
)．
【举一反三】
(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________． (2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin xcos x 的值域为________．
解析 (1)法一 要使函数有意义，必须使sinx －co s x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．
在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π
4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为
????
??x ??2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z . 法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．
∴定义域为
????
??x ??2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z .
法三 sin x －cos x ＝2sin ???
?x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知
2kπ≤x －π
4≤π＋2kπ，k ∈Z ，
解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π
4，k ∈Z.
所以定义域为????
??x ??2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z . (2)设t ＝sin x －cos x ，则t2＝sin2x ＋cos2x － 2sin xcos x ，sin xcos x ＝1－t2
2，且－2≤t≤ 2.
∴y ＝－t22＋t ＋12＝－1
2(t －1)2＋1.
当t ＝1时，ymax ＝1；当t ＝－2时，ymin ＝－1
2－ 2.
∴函数的值域为???
?－12－2，1. 答案 (1)?
???
??
x ?
?2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z
(2)???
?－12－2，1 题型二三角函数的奇偶性、周期性、对称性
【例2】 (1)已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π
4是函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)的图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )
A.π4
B.π3
C.π2
D.3π4
(2)函数y ＝2cos2?
??
?x －π4－1是( )
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为π
2的奇函数 D ．最小正周期为π
2的偶函数
【提分秘籍】
(1)求f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π
2＋kπ(k ∈Z)，求x ；求f(x)的对称中心的
横坐标，只需令ωx ＋φ＝kπ(k ∈Z)即可．
(2)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos( ωx ＋φ)的形式，则最小正周期为T ＝2π
|ω|；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx ＋b 的形式．
【举一反三】
(1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点???
?4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π
2
(2)(·杭州模拟)若函数f(x)＝sin x ＋φ
3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3
题型三 三角函数的单调性
【例3】 (1)已知f(x)＝2sin ?
??
?x ＋π4，x ∈[0，π]，则f(x)的单调递增区间为________．
(2)已知ω＞0，函数f(x)＝sin ????ωx ＋π4在???
?π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.????12，54 B.????12，34
C.???
?0，12 D ．(0，2] 解析 (1)由－π2＋2kπ≤x ＋π4≤π
2＋2kπ，k ∈Z ， 得－3π4＋2kπ≤x≤π
4＋2kπ，k ∈Z.又x ∈[0，π]，
所以f(x)的单调递增区间为?
??
?0，π4.
(2)由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π
4，
由题意知????π2ω＋π
4，πω＋π4????
?π2，3π2，
∴???π2ω＋π4≥π
2，πω＋π4≤3π
2，
∴12≤ω≤5
4，故选A.
答案 (1)?
??
?0，π4 (2)A
【提分秘籍】
(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝Asin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝Asin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．
【举一反三】
(1)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间?
??
?0，π3上单调递增，在区间?
??
?π3，π2上单调递减，则ω等于( )
A.23
B.3
2 C ．2 D ．3
(2)函数f(x)＝sin ???
?－2x ＋π3的单调减区间为______．
(2)由已知函数为y ＝－sin ???
?2x －π3，欲求函数的单调减区间，
只需求y ＝sin ????2x －π3的单调增区间． 由2kπ－π2≤2x －π3≤2kπ＋π
2，k ∈Z ， 得kπ－π12≤x≤kπ＋5π
12，k ∈Z.
故所给函数的单调减区间为????kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈Z)． 答案 (1)B (2)????kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈Z)
【高考风向标】
【高考浙江，文11】函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，最小值是．
【答案】32
,
2
π- 【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222
x f x x x x x x x -=++=
++=-+ 23sin(2)242x π=
-+，所以22
T π
π==；min 32()22f x =-. 【高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(6
π
x ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.
【答案】8
【解析】由图像得，当sin()16
x π
+Φ=-时min 2y =，求得5k =，
当sin()16
x π
+Φ=时，max 3158y =?+=，故答案为8.
【高考湖南，文15】已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为3ω =_____.
【答案】2
π
ω=
【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为
1221115424
2k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），，, 距离最短的两个交点一定在同一个周期
内，()
2
22
2
1523
22442
πππωω∴=
-+--∴=（）（），. 【高考天津，文14】已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为．
【答案】
π
【高考福建，文21】已知函数()2103cos 10cos 222
x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移
6
π
个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．
（ⅰ）求函数()g x 的解析式；
（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析． 【解析】（I ）因为()2103cos 10cos 222
x x x f x =+ 535cos 5x x =++
10sin 56x π?
?=++ ??
?．
所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移
6
π
个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．
又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =．
所以()10sin 8g x x =-．
【高考重庆，文18】已知函数f(x)=
1
2
32cos x . (Ⅰ)求f （x ）的最小周期和最小值，
(Ⅱ)将函数f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图像.当x ∈,2ππ??
?
???
时，求g(x)的值域. 【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为
，最小值为
2+3
，（Ⅱ）1323,]. 【解析】 (1) 21
1
3
()
sin 23cos sin 2(1cos 2)2
2f x x x
x x 1
3
33sin 2cos 2sin(2)
23
2
x x x
, 因此()f x 的最小正周期为，最小值为
2+3
2
. (2)由条件可知：3g()sin()
3
2
x x
.
当[,]2
x
时，有2
[,]3
63
x ， 从而sin()3x
的值域为1
[,1]2， 那么3
sin()
32
x
的值域为1323[,]22. 故g()x 在区间[,]2
上的值域是132
3,
].
(·安徽卷) 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2.求cos A 与a 的值．
【解析】 由三角形面积公式，得 12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin2A ＋cos2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin2A ＝±
1－89＝±1
3.
①当cos A ＝13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝32＋12－2×1×3×1
3＝8， 所以a ＝2 2.
②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝32＋12－2×1×3×???
?－13＝12，所以a ＝
2 3.
(·福建卷) 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π
2个单位，得到函数y ＝f(x)的图像，则下列说法正确的是( )
A ．y ＝f(x)是奇函数
B ．y ＝f(x)的周期为π
C ．y ＝f(x)的图像关于直线x ＝π
2对称 D ．y ＝f(x)的图像关于点????－π2，0对称 【答案】D
【解析】将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f(x)＝sin ???
?x ＋π2的图像，即f(x)
＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f(x)是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝
kπ(k ∈Z)对称，关于点???
?π2＋kπ，0(k ∈Z)对称，故选D.
图1-2
(·江苏卷) 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π
3的交点，则φ的值是________．
【答案】π6
(·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ????2x ＋π6，④y ＝tan ???
?2x －π4中，最
小正周期为π的所有函数为( )
A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．①③ 【答案】A
【解析】函数y ＝cos|2x|＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x|的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ????2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ????2x －π4的最小正周
期为π
2，④不正确．
(·江苏卷) 函数y ＝3sin ????2x ＋π4的最小正周期为________． 【答案】π 【解析】周期为T ＝2π
2＝π.
(·辽宁卷) 设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈0，π
2. (1)若|a|＝|b|，求x 的值；
(2)设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值．
(·山东卷) 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( )
图1－3 【答案】D
【解析】∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x )＝－f(x)，∴y ＝xcos x ＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B ，当x ＝π
2，y ＝1>0，x ＝π，y ＝－π<0，故选D.
(·新课标全国卷Ⅰ] 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________． 【答案】－2 55
【解析】f(x)＝sin x －2cos x ＝ 5?
????
15sin x －25cos x ，令cos α＝15，sin α＝25
， 则f(x)＝5sin(x －α)．当θ－α＝2kπ＋π
2， 即θ＝2kπ＋π
2＋α(上述k 为整数)时，
f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－2 5
5. 【高考押题】
1．函数f(x)＝tan ???
?2x －π3的单调递增区间是( )
A.????kπ2－π12，kπ2＋5π12(k ∈Z)
B.???
?kπ2－π12，kπ2＋5π12(k ∈Z) C.????kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈Z) D.???
?kπ＋π6，kπ＋2π3(k ∈Z)
2．在函数①y ＝cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ????2x ＋π6，④y ＝tan ???
?2x －π4中，最小正周期为π的
所有函数为( )
A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．①③
解析 ①y ＝cos|2x|＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x|的最小正周期为π； ③y ＝cos ???
?2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；
④y ＝tan ????2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A.
答案 A
3．已知函数f(x)＝cos23x －1
2，则f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ( ) A.2π3
B.π3
C.π6
D.π12
解析 因为f(x)＝1＋cos 6x 2－12＝12cos 6x ，所以最小正周期T ＝2π6＝π3，相邻两条对称轴之间的距离为T
2＝π
6，故选C.
答案 C
4．已知函数f(x)＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)????θ∈????－π2，π2是偶函数，则θ的值为 ( )
A ．0
B.π
6
C.π4
D.π3
解析 据已知可得f(x)＝2sin ???
?x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝
kπ＋π2(k ∈Z)，又由于θ∈???
?－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．
答案 B
5．关于函数y ＝tan ???
?2x －π3，下列说法正确的是( )
A ．是奇函数
B ．在区间
????0，π3上单调递减 C.????π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π
6．函数y ＝cos ???
?π4－2x 的单调减区间为________．
解析 由y ＝cos ????π4－2x ＝cos ????2x －π4得2kπ≤2x －π4≤2kπ＋π(k ∈Z)， 故kπ＋π8≤x≤kπ＋5π
8(k ∈Z)．
所以函数的单调减区间为???
?kπ＋π8，kπ＋5π8(k ∈Z)．
答案 ???
?kπ＋π8，kπ＋5π8(k ∈Z)
7．函数y ＝lg(sin x)＋
cos x －1
2的定义域为________．
解析 要使函数有意义必须有????
?sin x ＞0，cos x －1
2≥0， 即?????sin x ＞0，cos x ≥12，解得????
?2kπ＜x ＜π＋2kπ（k ∈Z ），－π3＋2kπ≤x≤π
3＋2kπ（k ∈Z ）， ∴2kπ＜x≤π
3＋2kπ(k ∈Z)，
∴函数的定义域为?
???
??
x|2kπ＜x ≤π3＋2kπ，（k ∈Z ）.
答案 ???
?2kπ，π3＋2kπ(k ∈Z)
8．函数y ＝sin2x ＋sin x －1的值域为________． 解析y ＝sin2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，t ∈[－1，1]，
则有y ＝t2＋t －1＝???
?t ＋122
－5
4，
画出函数图象如图所示，
从图象可以看出，当t ＝－1
2及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t2＋t －1，
可得y ∈????－54，1. 答案 ???
?－54，1 9．已知函数f(x)＝6cos4x ＋5sin2x －4cos 2x ，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域． 解 由cos 2x≠0得2x≠kπ＋π
2，k ∈Z ， 解得x≠kπ2＋π
4，k ∈Z ，
所以f(x)的定义域为?
???
??
x|x ∈R ，且x ≠kπ2＋π4，k ∈Z .
因为f(x)的定义域关于原点对称， 且f(－x)＝6cos4（－x ）＋5sin2（－x ）－4
cos （－2x ）
＝
6cos4x ＋5sin2x －4
cos 2x
＝f(x)． 所以f(x)是偶函数， 当x≠kπ2＋π
4，k ∈Z 时，
f(x)＝6cos4x ＋5sin2x －4cos 2x ＝6cos4x ＋5－5cos2x －42cos2x －1 ＝
（2cos2x －1）（3cos2x －1）
2cos2x －1
＝3cos2x －1.
所以f(x)的值域为????
??
y|－1≤y ＜12，或12＜y≤2.
10．已知函数f(x)＝cos x·sin ????x ＋π3－3cos2x ＋34，x ∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间???
?－π4，π4上的最大值和最小值．
高考模拟复习试卷试
题模拟卷
高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆
一．基础题组
1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )
A ．1
B ．13-
C ．2
3
-
D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．
3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线
)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.
4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线
0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．
二．能力题组
1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线2
1y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22
430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）
A.
4515- B.25
15
- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2
2
14x y +-=。若过点11,2P ??
???
的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。
3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.
三．拔高题组
1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆
0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．3-a
B ．2
3<
a C ．13<<-a 或2
3
>