圆锥曲线与方程
第1课时 曲线与方程（1）
一．知识探究
1.经过(1,3).(2,5)的直线方程为 .
2.与定点的距离等于定长的点的轨迹是 ．
3.已知P 1(1,1).P 2(2,5)，则P 1 圆(x －1)2＋y 2＝1上，而P 2 圆(x －1)2＋y 2
＝1上．（填在或不在）
4.在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是 ；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是 ．
那么，这个方程叫做 ；这条曲线叫做 ．
三．典型选讲
例1分析下列曲线上的点与方程的关系：
(1)求第一、三象限两轴夹角平分线l 上点的坐标满足的关系； (2)说明过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 与方程|x |＝2之间的关系．
变式训练1 (1)过(0,1)P -且平行于x 轴的直线l 的方程是||1y =吗？为什么？ (2)设(2,0)A ，(0,2)B ，能否说线段AB 的方程是20x y +-=？为什么？
例2已知方程22
(1)10x y +-=．
(1) 判断点(1,2)P -，Q 是否在此方程表示在曲线上； (2) 若点(
,)2
m
M m -在此方程表示的曲线上，求m 的值．
变式训练2 已知方程22
()()36x a y b -+-=表示的曲线经过点(0,0)O 和点(0,12)A -，求
a 、
b 的值．
例3 曲线x 2
＋(y －1)2
＝4与直线y ＝k (x －2)＋4有两个不同的交点，求k 的取值范围．若有一个交点呢？无交点呢？
变式训练3 若曲线y ＝x 2
－x ＋2与直线y ＝x ＋m 有两个交点，则实数m 的取值范围是________．
四.课堂练习
课本P37页练习第1,2题 课本P37页习题A 组第1题
五.课后作业
1．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( )
A ．y 2＝x 与y ＝x
B ．y ＝lg x 2
与y ＝2lg x C.y ＋1x －2＝1与lg(y ＋1)＝lg(x －2) D ．x 2＋y 2＝1与|y |＝1－x 2
2．直线x －y ＝0与曲线xy ＝1的交点是( )
A ．(1,1)
B ．(－1，－1)
C ．(1,1).(－1，－1)
D ．(0,0)
3．方程x 2
＋xy ＝x 表示的曲线是( )
A ．一个点
B ．一条直线
C ．两条直线
D ．一个点和一条直线
4．下列命题正确的是( )
A ．方程
x
y －2
＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线 B ．△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0 C ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是 y ＝5
D ．曲线2x 2－3y 2
－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0
5．设点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)，则在曲线x 2＋y 2
＝25(x ≤0)上的点有________．
6．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2
＝0表示的图形是________．
7．曲线x 2＋y 2
＋2Dx ＋2Ey ＋F ＝0与x 轴的两个交点位于原点两侧，则D ，E ，F 满足的条件是________．
8.若曲线y 2
－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围．
自助餐
1．方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，2)与点N(
3
2
，n)均在曲线C上，
求m,n.
2.若直线y=x+b与曲线y=1－x2有公共点，求b的取值范围。
六.小结
对曲线与方程的定义应注意：
(1)定义中的第一条“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上点的坐标没有不满足方程的解的，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性)．
(2)定义中的第二条“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．
(3)定义的实质是平面曲线上的点集和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求出曲线的方程．
第二章圆锥曲线与方程
第2课时求曲线的方程（2）
学习目标：1. 能写出求曲线方程的步骤．
2．会求简单曲线的方程．
重点难点：学习重点：求曲线的方程的一般步骤与方法．
难点：根据题目条件选择合适的方法求曲线的方程．
一.知识探究
1．解析几何研究的主要问题
(1)根据已知条件，求出；
(2)通过曲线的方程，．
2．求曲线的方程的步骤
(1)建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件p的点M的集合；
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程；
(4)化方程f(x，y)＝0为；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
3.求曲线方程的步骤是否可以省略？
二.典型选讲
例1.已知一条直线L和它上方的一个点F，点F到L的距离是2.一条曲线也在L的上方，它上面的每一个点到F的距离减去到L的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
变式训练1已知两定点A(-2,0),B(1,0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|，求点P的轨迹方程
例2 长为4的线段的两个端点分别在x轴.y轴上滑动，求此线段的中点的轨迹方程．
变式训练2 已知点A(－a,0)、B(a,0)，a>0，若动点M与两定点A、B构成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程．
例3.设圆C:(x－1)2＋y2=1,过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程。
四.课堂练习
课本P37页练习第3题
课本P37页习题A 组第2,3,4题
五．课后作业
1．若动点P 到点(1，－2)的距离为3，则动点P 的轨迹方程是( )
A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9
B ．(x －1)2＋(y ＋2)2
＝9
C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝3
D ．(x －1)2＋(y ＋2)2
＝3 2．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x ＋y ＝5(x ≥0) C ．x ＋y ＝5(y ≥0) D ．x ＋y ＝5(0≤x ≤5)
3．已知A (－1,0).B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0
4．若点M 到x 轴的距离和它到直线y ＝8的距离相等，则点M 的轨迹方程是________．
5．直角坐标平面xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →2OA →
＝4，则点P 的轨迹方程是________． 6．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．
7．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝mOA →＋nOB →
， 其中m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1，求点C 的轨迹方程。
8．已知M(4,0),N(1,0)，若动点P 满足MN 2MP =6︱NP ︱求动点的轨迹方程。
自助餐
1.已知△ABC 的两顶点A、B 的坐标分别为A(0,0).B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．
3.一动点C在曲线x2＋y2＝1上移动时，求它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程。
六.小结
1．如何理解求曲线方程的步骤
(1)在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，首先选取适当的坐标系，通常选取特殊位置为原点，相互垂直的直线为坐标轴．建立适当的坐标系，会给运算带来方便．
(2)第二步是求方程的重要的一个环节，要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系，列出几何等式，此步骤也可以省略，直接将几何条件用动点的坐标表示.
(3)在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“丢解”或“增解”．
(4)第五步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中x(或y)的取值予以剔除．
2．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．
3．要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．
第二章 圆锥曲线与方程
第3课时 椭圆及其标准方程（1）
学习目标：1. 能说出椭圆的实际背景，体验从具体情境中抽象出椭圆模型的过程．
2．熟记椭圆的定义和标准方程，会推导椭圆标准方程．
重点难点： 学习重点：椭圆的定义及标准方程.
难点：椭圆标准方程的推导．
一.知识探究
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，点 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距．
2．平面内动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是什么？当2a <|F 1F 2|时呢？
3．椭圆的标准方程
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程 焦点坐标
a,b,c 的关系
4．如何确定焦点的位置？
二.典型选讲：
例1.判断下列椭圆的焦点的位置，并求出焦点的坐标。
①
164
1002
2=+y x ②
125
92
2=+y x
变式训练1.将方程22525922=+y x 化为标准方程，并求出焦点的坐标。
例2.已知椭圆16x 2
＋25y 2
＝400上一点到椭圆左焦点的距离为3，求该点到右焦点的距离。
变式训练2. 椭圆
136
642
2=+y x 的弦PQ 过F 1，求△PQF 2的周长
四.课堂练习
课本P42页练习题
课本P49页习题第1,2题
五.课后作业
1．a ＝6，c ＝1的椭圆的标准方程是( )
A.x 236＋y 235＝1
B.y 236＋x 235＝1
C.x 236＋y 2
5
＝1 D ．以上都不对 2．设P 是椭圆x 225＋y 2
16
＝1上的点．若F 1.F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
3.椭圆
1100
362
2=+y x 上一点P ，则△PF 1F 2的周长 4．椭圆x 216＋y 2
9
＝1的焦距为________，焦点坐标为________．
5．已知椭圆x 29＋y 2
m
2＝1的焦点在x 轴上，则实数m 的取值范围是________．
6.求下列条件的椭圆的标准方程 : （1）焦点坐标分别为（0，-4），（0,4），a=5；
（2）a+c=10,a-c=4
自助餐
1.已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12
)2＋y 2
＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF
于P ，求动点P 的轨迹方程
2.方程
15
102
2=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ） A.10 四.小结： 1．椭圆的标准方程(1)所谓“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴．（2）椭圆的标准方 程有两种形式，即22221(0)x y a b a b +=>>和22 221(0)y x a b a b +=>>.这两种形式的方程表 示的椭圆的相同点是它们的形状、大小相同，都有0a b >>，222 a b c =+；不同点是椭圆 在直角坐标中的位置不同，前者焦点在x 轴上，后者焦点在y 轴上 2．求椭圆标准方程时应注意的问题 确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面．“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，即在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量” 则是指确定a 2.b 2 的具体数值，常用待定系数法． 第二章 圆锥曲线与方程 第4课时 椭圆及其标准方程（2） 学习目标：1. 能说出椭圆的实际背景，体验从具体情境中抽象出椭圆模型的过程． 2．熟记椭圆的定义和标准方程，会推导椭圆标准方程． 重点难点： 学习重点：椭圆的定义及标准方程. 难点：椭圆标准方程的推导． 一.复习回顾 1．椭圆的定义： 2．平面内动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是什么？当2a <|F 1F 2|时呢？ 3．椭圆的标准方程： 二．典型例题 例1.己知椭圆的焦点在x 轴上，焦距是6，椭圆上一点到两个焦点距离之和是10，写出这个椭圆的标准方程。 变式训练（1）已知椭圆的两个焦点的坐标分别为(－2,0)和(2,0)，且椭圆经过 点（25，-23 ） ，求此椭圆的标准方程。 （2）坐标轴为对称轴，并且经过两点(0,2)A 和1 (2 B 例2.已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2 ＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程． 变式训练2.已知B 、C 是两个定点，|BC|＝6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程. 例3．在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P,过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？ 变式训练3一动点C 在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，求它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程。 课后作业． 1.若椭圆x 2m ＋y 2 4 ＝1的焦距等于2，则m 的值为( ) A ．3 B ．5 C ．3或5 D ．8 2．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 2 9 ＝1上， 则sin A ＋sin C sin B ＝________. 3.已知椭圆的两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12.试求该椭圆的方程． 4.已知椭圆经过点(2,3)-且与椭圆2 2 9436x y +=有共同的焦点，求该椭圆的方程。 5.求焦点在X 轴上，焦距为4，并且经过点P （3，-2√6 ）的椭圆的方程。 6.如果点M(x,y)在运动的过程中，总满足关系式222 2)3()3(-++ ++y x y x =10,点M 的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程。 四.小结： 求椭圆标准方程时应注意的问题 (1)确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面．“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，即在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定 量”则是指确定a 2.b 2 的具体数值，常用待定系数法． (2)当椭圆的焦点位置不明确（无法确定）求其标准方程时，可设方程为 22 1(0,0,)x y m n m n m n +=>>≠，从而避免讨论和繁杂的计算；也可设为2 21(0,0)Ax By A B +=>>，这种形式在解题中较为方便 第二章圆锥曲线与方程 第5课时椭圆的简单几何性质（1） 学习目标：1.熟记椭圆的简单几何性质． 2．清楚离心率对椭圆扁平程度的影响及其原因． 重点难点：学习重点：椭圆几何性质的推导及简单运用． 难点：性质的简单运用． 一.知识探究 1.椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形 标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性对称轴：对称中心： 离心率 2．能否用a和b表示椭圆的离心率e? 3．a、b、c的几何意义是什么？ 三．典型选讲 例1.求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长.焦距.焦点坐标.顶点坐标和离心率． 变式训练1若将例1中椭圆方程改为“16x2＋25y2＝1”，应如何求解？例2.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在轴x,离心率是2 3 ，长轴长是6 （2）一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 变式训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 长轴是短轴的3倍且经过点A（3,0） 例3.过椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>>的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P，Q， 2 F为右焦点， PF 2 Q=900，求椭圆的离心率。 变式训练3 12F F 、，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的 2 3 ，求椭圆的离心率。 四．课堂练习 课本P48页练习第1,2，3，4，5题 课本P49页习题第3，4，5题 五.课后作业 1．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于( ) A.12 B.2 2 C. 2 D ．2 2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为1 3 ，则椭圆的方程是 ( ) A. x 2144＋y 2128＝1 B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 2 32 ＝1 3．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,4)，另一个顶点是(－5,0)，则椭圆的方程为________． 4．椭圆的一个焦点将长轴分为3∶2两段，则椭圆的离心率是________． 5．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是( ) A.x 216＋y 29＝1或x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 29＝1或y 225＋x 2 9＝1 C.x 2 25＋y 216＝1或y 225＋x 2 16 ＝1 D ．椭圆的方程无法确定 6.若椭圆x 2m ＋y 24＝1的离心率为1 3 ，则m 为 7.已知Ｐ为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>短轴上一顶点，1F ，2F 为左右焦点， F 1PF 2=1200， 求椭圆的离心率。 自助餐 B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的短轴的两个端点，O 为椭圆的中心，过左焦点F 1作长轴的垂线 交椭圆于P ，若|F 1B 2|是|OF 1|和|B 1B 2|的等比中项，则|PF 1| |OB 2| 的值是( ) A. 2 B. 22 C.32 D.23 六.小结 1．椭圆的对称性(1)判断曲线关于x 轴.y 轴.原点对称的依据 ①若把方程中的x 换成－x ，方程不变，则曲线关于y 轴对称；②若把方程中的y 换成－y ，方程不变，则曲线关于x 轴对称；③若把方程中的x.y 同时换成－x.－y ，方程不变，则曲线关于原点对称．(2)椭圆关于x 轴.y 轴对称也关于原点对称 对于椭圆标准方程，把x 换成－x ，或把y 换成－y ，或把x.y 同时换成－x.－y ，方程都不变，所以图形关于y 轴.x 轴和原点都是对称的．这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 2．离心率与椭圆的形状的关系：离心率c e a = ，在椭圆中，0,01a c e >>∴<< ,若设a 不
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