北京市朝阳区2011—2012学年度高三年级第一学期期末统一考试

2011年北京市朝阳区高三一模试题 化学部分6．下列关于水处理的方法不正确．．．的是 A ．向水中通入O 3，用以杀菌消毒 B ．向酸性废水中加入生石灰，将其中和 C ．向废水中加入Na 2CO 3，可将细小悬浮物凝聚 D ．向废水中加入Na 2S ，可将其中的 Cu 2+、Hg 2+沉淀7．X 、Y 、Z 、W 均为短周期元素，在周期表中位置如图所示。

Y 原子的最外层电子数是电子层数的3倍。

下列说法中不．正确．．的是 A ．Y 、Z 的气态氢化物，前者更稳定B ．Z 、W 的最高价氧化物对应水化物的酸性，前者强C ．X 、W 的气态氢化物相互反应，生成物中既含离子键又含共价键D ．Y 、W 的单质，均可通过电解的方法获得8．右图是探究铁发生腐蚀的装置图。

发现开始时U 型管左端红墨水水柱下降，一段时间后U 型管左端红墨水水柱又上升。

下列说法不正确．．．的是 A ．开始时发生的是析氢腐蚀 B ．一段时间后发生的是吸氧腐蚀C ．两种腐蚀负极的电极反应均为：Fe - 2e - == Fe 2+D ．析氢腐蚀的总反应为：2Fe + O 2 + 2H 2O == 2Fe(OH)29．双酚A 是食品、饮料包装和奶瓶等塑料制品的添加剂，能导致人体内分泌失调，对儿童的健康危害更大。

下列有关双酚A 的叙述不正确．．．的是A ．双酚A 的分子式是C 15H 16O 2B ．双酚A 的核磁共振氢谱显示氢原子数之比是1:2:2:3C ．反应①中，1 mol 双酚A 最多消耗2 mol Br 2D ．反应②的产物中只有一种官能团HO C —OHCHCH 3饱和Br 2水 ②①足量H 2/Ni Δ双酚A红墨水pH=3的雨水浸 泡过的 铁钉10．下列解释过程或事实的方程式不．正确．．的是A．熔融烧碱时，不能使用普通石英坩埚：SiO2 + 2NaOH △Na2SiO3 + H2OB．在海带灰的浸出液（含有I-）中滴加H2O2得到I2：2I- + H2O2 + 2H+ == I2 + O2↑+ 2H2OC．红热的铁丝与水接触，表面形成蓝黑色（或黑色）保护层：3Fe + 4H2O △Fe3O4 + 4H2D．“84消毒液” (有效成分NaClO)和“洁厕灵”(主要成分盐酸)混合使用放出氯气：ClO－＋Cl－＋2H＋== Cl2↑＋H2O11下列说法正确的是A．由水电离出的c(H+)：①＞③B．③稀释到原来的100倍后，pH与④相同C．①与③混合，若溶液pH = 7，则V(NaOH)＞V(CH3COOH)D．②与④混合，若溶液显酸性，则所得溶液中离子浓度可能为：c(CH3COO-)＞c(H+)＞c(Na+)＞c(OH-)12．已知：2CH3OH(g) CH3OCH3(g) + H2O(g) ΔH＝－25 kJ/mol某温度下的平衡常数为400。

北京20112012学年度房山区第一学期期末统测高三理科数学试题及答案北京2011-2012学年度房山区第一学期期末统测试题高三数学(理科)考生须知1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试时间为120分钟．2.第Ⅰ卷选择题所有答案必须填涂在机读卡上，第Ⅱ卷非选择题直接在试卷上作答．3.考试结束后，将机读卡和试卷交回．第I卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.）1. 已知集合{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,M N P M N===则P的子集共有( )A.7个B. 6个C. 5个D. 4个2．已知向量==),2,1()4,(-x，若∥，则=⋅（）A.-10B.-6C.0D.63．已知命题22:bmamp<，命题baq<:，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．极坐标方程θρsin 2=和参数方程⎩⎨⎧--=+=ty tx 132（t 为参数）所表示的图形分别为（ ）A. 圆，圆B. 圆，直线C. 直线，直线D.直线，圆5．已知奇函数)(x f 在区间（－∞，0）内单调递增，且0)2(=-f ，则不等式()0f x ≤的解集为（ ）A[]2,2-B (](]2,02, -∞-C (][)+∞-∞-,22,D [][)+∞-,20,2 6．在数列{}n a 中，若12a =，且对任意的正整数,p q 都有qp qp a a a=+，则8a 的值为（ ）A ．256B ．128C ．64D ．327．已知点),(y x P 的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥0321y x x y x ，那么点P 到直线0943=--y x 的距离的最小值为( )A.514 B.56C.2D.18.已知函数22()1,(,)f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有(1)(1)f x f x -=+成立，若当[11]x ∈-，时，()0f x >恒成立，则b 的取值范围是（ ）A ．10b -<<B ．2b >C ．21b b ><-或D ．1b <-第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题纸上指定位置.） 9. 若复数ii --121的实部为a ，虚部为b ，则ba += .10. 如图，有一圆盘,其中的阴影部分圆心角为45，若向圆内投镖，则投中阴影部分的概率为 . 11．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是 .是1i =50S >开始S =？12．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 3cm .13.圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，则点A 到直线l 的距离AD 为 .ABCDEOl否结束21S S =+21i i =+输出i14．规定记号“⊗”表示一种运算，即),(为正实数b a b a ab b a ++=⊗.若31=⊗k ，则k 的值为 ，此时函数()f x x=的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.） 15．（本小题共13分） 设函数2cos 22sin 3)(2++=x x x f ．（I ）求)(x f 的最小正周期和值域；（II ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若3π=A ，△ABC 的面积为23，求)(A f 及a 的值．16.（本小题共13分）已知直线:l 0834=-+y x （R a ∈）过圆C: 022=-+ax y x 的圆心交圆C 于A 、B 两点,O 为坐标原点.（I ）求圆C 的方程;(II) 求圆C 在点P （1,3）处的切线方程; (III)求OAB ∆的面积.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD 为正方形，PD=DC2=，E，F分别是AB，PB的中点．（Ⅰ）求证：//EF平面PAD；（Ⅱ）求直线EF与CD所成的角；（Ⅲ）求二面角B-的余弦值．ECF-18.（本小题共13分） 已知数列{}n a 的前n项和为n S ，11=a ,且3231=++n n S a (n •∈N ).(I ) 求32,a a 的值,并求数列{}na 的通项公式;(II )若对任意正整数n nS k ≤,恒成立,求实数k 的最大值.19.（本小题共14分）已知函数()2ln pf x px x x =--，R p ∈．（I ）若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ） 若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；（III ）设函数22()()p g x f x x +=+，求函数()g x 的单调区间．20．（本小题共13分）已知函数23()3x f x x+=，数列}{na 对N n n ∈≥,2总有111(),1n n a f a a -==.（I ）求{na }的通项公式；(II) 求和：1122334451(1)n nn n Sa a a a a a a a a a -+=-+-++-；（III ）若数列}{nb 满足：①}{nb 为1{}na 的子数列（即}{n b 中的每一项都是1{}na 的项，且按在1{}na 中的顺序排列）②}{nb 为无穷等比数列，它的各项和为21。

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题（文史类） 2013.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合{02}A x x =<<，集合2{log 0}B x x =>，则A B 等于A ．{}|2x x <B ．{}|x x >0C ．{}|02x x <<D ．{}|12x x <<2．已知i 是虚数单位，若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于A ．2B ．12C ．12-D ．2-俯视图7. 已知函数e ,0,()21,0x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩（a ∈R ），若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是A ．(),1-∞-B ．(),0-∞C ．()1,0-D ．[)1,0-8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，1P ，2P 分别为线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．124 B ．112 C ．16 D ．12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列1,,9a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则12a b b +的值为 .10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +-=，则A = ． 11.若关于x ，y 的不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 .12.已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是 ，离心率是 . 13.在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=．14. 将连续整数1,2,,25 填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .A 1B 1CBD 1C 1ADE三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()sincos cos 1222x x xf x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值.16. （本小题满分14分）在长方体1111ABCD-A B C D 中，12AA =AD=，E 是棱CD 上的一点． （Ⅰ）求证：1AD ⊥平面11A B D ； （Ⅱ）求证：11B E AD ⊥；（Ⅲ）若E 是棱CD 的中点，在棱1AA 上是否存在点P ，使得DP ∥平面1B AE ？若存在，求出线段AP 的长； 若不存在，请说明理由．17. （本小题满分13分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（Ⅰ）写出,,,a b x y 的值；组别 分组 频数频率第1组 [50，60） 8 0.16 第2组 [60，70） a ▓ 第3组 [70，80） 20 0.40 第4组 [80，90） ▓ 0.08 第5组[90，100]2 b合计▓▓频率分布表频率频率分布直方图 x（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； （ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.18. （本小题满分13分）已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间. 19. （本小题满分14分）已知直线:1()l x my m =+∈R 与椭圆()22:109x y C t t+=>相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B ，且当0m =时，83EF =. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 的坐标为(3,0)-，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于M ，N 两点.试判断以MN 为直径的圆是否经过点B ?并请说明理由.20. （本小题满分13分）将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（Ⅰ）当2n =时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩， ，请分别写出3,4,5n =时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（Ⅲ）对于由正整数21,2,3,4,,n 排成的n 行n 列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合222{1,2,,}n n n n n -+-+ ，记其“特征值”为λ，求证： 1.n n λ+<北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题答案（文史类） 2013.1一、选择题：三、解答题：（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1cos ()sincos 1222x x xf x +=+- 111sin cos 222x x =+-…………………………………………2分1).242x π=+- ……………………………………………4分所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………………………………………6分由322242k x k ππππ+≤+≤π+，k ∈Z ，则52244k x k πππ+≤≤π+. 则函数()f x 单调减区间是5[2,2]44k k πππ+π+，k ∈Z . ………………9分 (Ⅱ)由x π3π≤≤42，得7244x πππ≤+≤. ………………………………………11分则当342x ππ+=，即54x π=时，()f x 取得最小值12-. …………………13分 （16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在长方体1111ABCD-A B C D 中，因为11A B ⊥面11A D DA ，所以111A B AD ⊥． ………………………………………………………………2分在矩形11A D DA 中，因为12AA =AD=，所以11AD A D ⊥．……………………4分 所以1AD ⊥面11A B D . ………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为E CD ∈，所以1B E ⊂面11A B CD ，由（Ⅰ）可知，1AD ⊥面11A B CD ， …………………………………………7分 所以11B E AD ⊥． …………………………………………………………………8分 （Ⅲ）当点P 是棱1AA 的中点时，有DP ∥平面1B AE ． ………………………9分 理由如下：在1AB 上取中点M ，连接PM,ME ． 因为P 是棱1AA 的中点，M 是1AB 的中点， 所以PM ∥11A B ，且1112PM A B =．……10分 又DE ∥11A B ，且1112DE A B =．所以PM ∥DE ，且PM DE =， 所以四边形PMED 是平行四边形，所以DP ∥ME ．…………………………11分 又DP ⊄面1B AE ，ME ⊂面1B AE ，所以DP ∥平面1B AE ． …………………………………………………………13分 此时，1112AP A A ==． …………………………………………………………14分 （17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，16,0.04,0.032,0.004a b x y ====．……………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为,,,A B C D ，第5组共有2人，记为,X Y ． 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有,,,,,,,A B A C A D B C B D C D A X A Y ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY共15种情况．…………………………………………………………………………6分 设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ， …………7分A 1B 1CBD 1C 1ADEPM有,AX AY ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY 共9种情况． ……………8分 所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是93()155P E ==． 答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35. ……………10分 （ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F ，有,,,,,,A BA CA DB CB DC DX Y 共7种情况． …………………………………………………………………………11分 所以7()15P F =答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715． ………………………………13分 （18）（本小题满分13分）解：222122()(1)ax x a f x a x x x -+'=+-=， ……………………………………………1分令2()2h x ax x a =-+．（Ⅰ）当2a =时，函数1()2()2ln f x x x x =--，(1)0f =，212()2(1)f x x x'=+-．曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)2f '=． …………………………2分 从而曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-，即220x y --=． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞． 设2()2h x ax x a =-+， （1）当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减．……………6分 （2）当0a >时，244a ∆=-， （ⅰ）若01a <<，由()0f x '>，即()0h x >，得10x a <<或1x a +>；……………8分由()0f x '<，即()0h x <x <<．………………………9分所以函数()f x的单调递增区间为和)+∞，单调递减区间为． ……………………………………11分 （ⅱ）若1a ≥，()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增． ………………………………………………………………13分 （19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0m =时，直线l 的方程为1x =，设点E 在x 轴上方，由221,91x y tx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得(1,(1,)33E F -.所以833EF ==，解得2t =. ……………………………………………3分 所以椭圆C 的方程为22192x y +=. ………………………………………………4分（Ⅱ）由221,921x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(29)4160m y my ++-=，显然m ∈R . …………5分 设1122(,),(,)E x y F x y ,则121222416,2929m y y y y m m --+==++. ……………6分 111x my =+,221x my =+.又直线AE 的方程为11(3)3y y x x =++， 11(3),33y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩解得116(3,)3y M x +， 同理得226(3,)3y N x +.所以121266(2,),(2,)33y y BM BN x x ==++ , …………………………………………9分又因为121266(2,)(2,)33y y BM BN x x ⋅=⋅++12121212363644(3)(3)(4)(4)y y y y x x my my =+=+++++ 1212212124(4)(4)364()16my my y y m y y m y y +++=+++ 2222216(436)164164(29)3216(29)m m m m m -+-⨯+⨯+=-++22264576641285769m m m ---++=0=.…………………13分所以BM BN ⊥,所以以MN 为直径的圆过点B . ………………………………14分（20）（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2,3或2,4或3,4. 得到数表的不同特征值是32或4.3……………………………………………3分 （Ⅱ）当3n =时，数表为此时，数表的“特征值”为4.3……………………………………………………4分当4n =时,数表为此时，数表的“特征值”为54. ………………………………………………………5分 7 1 4 5 8 2 3 6 913 1 5 9 10 14 2 6 7 11 15 3 4 8 12 16211611 16当5n =时，数表为此时，数表的“特征值”为65. …………………………………………………………6分 猜想“特征值”为1n n+. …………………………………………………………………7分 （Ⅲ）设,a b （a b >）为该行（或列）中最大的两个数，则221a nb n n λ≤≤-+，因为2332221(1)10,1(1)(1)n n n n n n n n n n n n n +-+-==-<-+-+-+ 所以2211n n n n n +<-+，从而1.n n λ+<…………………………………………13分17 22 2 7 12 13 18 23 3 8 9 14 19 24 4 5 10 15 20 25。

北京朝阳区高三一模数学(理)试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题（理工类）2011.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．若集合2{|, }M y y x x ==∈R ，{|2, }N y y x x ==+∈R ，则M N I 等于（A ）[)0,+∞（B ）(,)-∞+∞ （C ）∅ （D ）{(2, 4)，(1, 1)-}2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 （A ）8，8 （B ）10，6 （C ）9，7 （D ）12，4 3．极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是（A ）22(2)4x y -+=（B ）224x y += （C ）22(2)4x y +-=（D ）22(1)(1)4x y -+-= 4．已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和．若13a =，24144a a =，则10S 的值是（A ）511（B ） 1023 （C ）1533 （D ）30695．函数)2(cos 2π+=x y 的单调增区间是（A ）π(π,π)2k k + k ∈Z （B ）π(π, ππ)2k k ++ k ∈Z（C ）(2π, π2π)k k +k ∈Z （D ）(2ππ, 2π2π)k k ++k ∈Z6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形， 则此三棱锥的体积等于（A ）612 （B ）33（C ）64 （D ）2337．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，, A C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D .若双曲线的离心率为2，则BDF ∠的余弦值是侧视正视1俯视xyO B AF D（A ）77 （B ）577 （C ） 714（D ）57148．定义区间(, )a b ，[, )a b ，(, ]a b ，[, ]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5)U 的长度(21)(53)3d =-+-=. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，其中x ∈R . 设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，若用123,,d d d 分别表示不等式()()f x g x >，方程()()f x g x =，不等式()()f x g x <解集区间的长度，则当02011x ≤≤时，有（A ）1231, 2, 2008d d d === （B ）1231, 1, 2009d d d === （C ）1233, 5, 2003d d d === （D ）1232, 3, 2006d d d === 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上 9．复数13i z =+，21i z =-，则12z z 等于 .10．在二项式6(2)x +的展开式中，第四项的系数是 .11．如右图，在三角形ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，F 为AB 上的点，且B 4A AF =u u u r u u u r . 若AD x AF y AE =+u u u r u u u r u u u r，则实数x = ，实数y = .12．执行右图所示的程序框图，若输入 5.2x =-，则输出y 的值为 ．13．如下图，在圆内接四边形ABCD 中, 对角线, AC BD 相交于A BC D E ·· F 开输|2|y x =-0, 0y i ==1i i =+点E．已知23BC CD==，2AE EC=，30CBD∠=o，则CAB∠=，AC的长是．14．对于各数互不相等的整数数组),,,,(321niiiiΛ (n是不小于3的正整数)，对于任意的,{1,2,3,,}p q n∈L，当qp<时有qpii>，则称pi，qi是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于；若数组123(,,,,)ni i i iL中的逆序数为n，则数组11(,,,)n ni i i-L中的逆序数为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）在锐角ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知3cos24C=-. （Ⅰ）求sin C；（Ⅱ）当2c a=，且37b=时，求a.16．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为直角梯形，且//AD BC，90ABC PAD∠=∠=︒，侧面PAD⊥底面ABCD. 若12PA AB BC AD===. （Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）侧棱PA上是否存在点E，使得//BE平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角A PD C--的余弦值. P17．（本小题满分13分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23． （Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？18．（本小题满分13分）已知函数2()ln 20)f x a x a x=+-> (. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记()()()g x f x x b b =+-∈R .当1a =时，函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围. 19．（本小题满分14分）已知(2, 0)A -，(2, 0)B 为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且APB ∆面积的最大值为23．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明． 20．（本小题满分14分）有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a (,1,2,3,,, 3)m k n n =L ≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列．（Ⅰ）证明1122m d p d p d =+ （3m n ≤≤，12,p p 是m 的多项式），并求12p p +的值； （Ⅱ）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L (每组数的个数构成等差数列)．设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m cm d 的前n 项和n S ．（Ⅲ）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（Ⅱ）中的n S ，求使得不等式1(6)50n n S d ->成立的所有N 的值． 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题理科2011.4 参考答案一、选择题: 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案ACADABCB二、填空题: 题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 答案1+2i 160210.830o64232n n-三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知可得2312sin 4C -=-.所以27sin 8C =. 因为在ABC ∆中，sin 0C >，所以14sin 4C =. …………………6分 （Ⅱ）因为2c a =，所以114sin sin 28A C ==. 因为ABC ∆是锐角三角形，所以2cos 4C =，52cos 8A =. 所以sin sin()B AC =+sin cos cos sin A C A C =+14252148484=⨯+⨯378=. 由正弦定理可得：37sin sin a B A=，所以14a =. …………………………13分16．（本小题满分13分）解法一：（Ⅰ）因为 90PAD ∠=︒，所以PA AD ⊥.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD I 底面ABCD AD =， 所以PA ⊥底面ABCD .而CD ⊂底面ABCD ，所以PA ⊥CD . 在底面ABCD 中，因为90ABC BAD ∠=∠=︒，12AB BC AD ==，所以 22AC CD AD ==， 所以AC ⊥CD . 又因为PA AC A =I ， 所以CD ⊥平面PAC . ……………………………4分 （Ⅱ）在PA 上存在中点E ，使得//BE 平面PCD ，证明如下：设PD 的中点是F ， 连结BE ，EF ，FC ，则//EF AD ，且12EF AD =. 由已知90ABC BAD ∠=∠=︒，所以//BC AD . 又12BC AD =，所以//BC EF ，且BC EF =，所以四边形BEFC 为平行四边形，所以//BE CF .因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，所以//BE 平面PCD . ……………8分（Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，则 CG ⊥AD .又因为平面ABCD ⊥平面PAD ， 所以 CG ⊥平面PAD . 过G 作GH PD ⊥于H ，连结CH ，由三垂线定理可知CH PD ⊥. 所以GHC ∠是二面角A PD C --的平面角.设2AD =，则1PA AB CG DG ====, 5DP =. 在PAD ∆中，GH DGPA DP =，所以15GH =. 所以 tan 5CGGHC GH∠==，6cos 6GHC ∠=. 即二面角A PD C --的余弦值为66. ………………………………13分解法二：因为 90PAD ∠=︒， 所以PA AD ⊥.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ， 且侧面PAD I 底面ABCD AD =，E FABP C DG HA BP CD z P所以 PA ⊥底面ABCD . 又因为90BAD ∠=︒，所以AB ，AD ，AP 两两垂直. 分别以AB ，AD ，AP 为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图.设2AD =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,1)P .（Ⅰ）(0,0,1)AP =u u u r ，(1,1,0)AC =u u u r ，(1,1,0)CD =-u u u r,所以 0AP CD ⋅=u u u r u u u r ，0AC CD ⋅=u u u r u u u r，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD .[来源:学科网]又因为AP AC A =I ， 所以CD ⊥平面PAC . ………………………………4分（Ⅱ）设侧棱PA 的中点是E ， 则1(0, 0, )2E ，1(1, 0, )2BE =-u u u r .设平面PCD 的一个法向量是(,,)x y z =n ，则0,0.CD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 因为(1, 1, 0)CD =-u u u r ，(0, 2,1)PD =-u u u r ， 所以0,20.x y y z -+=⎧⎨-=⎩取1x =，则(1, 1, 2)=n .所以1(1, 1, 2)(1, 0, )02BE ⋅=⋅-=u u u r n ， 所以BE ⊥u u u r n .因为BE ⊄平面PCD ，所以BE P 平面PCD . ………………………………8分（Ⅲ）由已知，AB ⊥平面PAD ，所以(1, 0, 0)AB =u u u r为平面PAD 的一个法向量.由（Ⅱ）知，(1, 1, 2)=n 为平面PCD 的一个法向量. 设二面角A PD C --的大小为θ，由图可知，θ为锐角，所以(1, 1, 2)(1, 0, 0)6cos 661AB ABθ⋅⋅===⨯u u u ru u u r n n . 即二面角A PD C --的余弦值为66. ………………………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6. 依条件可知X ~B (6，23). 6621()33kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k =)X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 5 6P172912729 60729 160729 240729[来源:学科网ZXXK]192729 64729所以1(01112260316042405192664)729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=29164729=. 或因为X ~B (6，23)，所以2643EX =⨯=. 即X 的数学期望为4． ……………5分（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则224156441212232()()()()().3333381P A C C =⨯⨯+⨯⨯+=答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32.81………………………………10分（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B ，则2444662()5A A PB A ==.即教师乙在这场比赛中获奖的概率为25. 显然2323258081=≠，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．…………………13分18．（本小题满分13分）解: (I) 直线2y x =+的斜率为1.函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为22()a f x x x '=-+，所以22(1)111af '=-+=-，所以1a =. 所以2()ln 2f x x x =+-. 22()x f x x-'=.由()0f x '>解得2x >；由()0f x '<解得02x <<.所以()f x 的单调增区间是(2,)+∞,单调减区间是(0,2). ……………………4分 (II) 2222()a ax f x x x x -'=-+=， 由()0f x '>解得2x a >；由()0f x '<解得20x a <<.所以()f x 在区间2(, )a +∞上单调递增，在区间2(0, )a 上单调递减.所以当2x a =时，函数()f x 取得最小值，min 2()y f a=.因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，所以2()2(1)f a a>-即可.则22ln 22(1)2a a a a+->-. 由2ln a a a >解得20a e <<. 所以a 的取值范围是2(0, )e. ………………………………8分(III)依题得2()ln 2g x x x b x=++--，则222()x x g x x +-'=. 由()0g x '>解得1x >；由()0g x '<解得01x <<.所以函数()g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数.又因为函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，所以1()0,()0,(1)0. g e g e g -⎧⎪⎨⎪<⎩≥≥解得211b e e<+-≤. 所以b 的取值范围是2(1, 1]e e+-. ………………………………………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0)F c ．由题意知解得3b =，1c =．故椭圆C 的方程为22143x y +=，离心率为12．……6分 （Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．[来源:学科网]由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+．⎧⎪⎨⎪⎩2221223,22, .a b a a b c ⋅⋅===+OF EPD BAy x所以2026834k x k -=+，00212(2)34ky k x k=+=+． ……………………………10分 因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±. 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=m 与直线PF 相切． 当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y k k x k ==--. 所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k =--．点E 到直线PF 的距离222228421414161(14)k kk k k d k k ----=+-322228142||14|14|k k k k k k +-==+-． 又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知1(1)mn m a n d =+-．212121[1(1)][1(1)](1)()n n a a n d n d n d d -=+--+-=--，同理，3232(1)()n n a a n d d -=--，4343(1)()n n a a n d d -=--，…， (1)1(1)()nn n n n n a a n d d ---=--．又因为123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列，所以2132(1)n n n n nn n n a a a a a a --=-==-L . 故21321n n d d d d d d --=-==-L ，即{}n d 是公差为21d d -的等差数列． 所以，12112(1)()(2)(1)m d d m d d m d m d =+--=-+-．令122,1p m p m =-=-，则1122m d p d p d =+，此时121p p +=． …………4分（Ⅱ）当121, 3d d ==时，*2 1 ()m d m m =-∈N ．数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L ．按分组规律，第m 组中有21m -个奇数，所以第1组到第m 组共有2135(21)m m ++++-=L 个奇数． 注意到前k 个奇数的和为2135(21)k k ++++-=L ，所以前2m 个奇数的和为224()m m =.即前m 组中所有数之和为4m ，所以44()m c m =．因为0m c >，所以m c m =，从而 *2(21)2()m cm m d m m =-⋅∈N ． 所以 234112325272(23)2(21)2n nn S n n -=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L .23412123252(23)2(21)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L .故2341222222222(21)2n n n S n +-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅L2312(2222)2(21)2n n n +=++++---⋅L12(21)22(21)221n n n +-=⨯---⋅-1(32)26n n +=--.所以 1(23)26n n S n +=-+． …………………………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得*2 1 ()n d n n =-∈N ，1(23)26n n S n +=-+*()n ∈N .[来源:Z#xx#]故不等式1(6)50n n S b -> 就是1(23)250(21)n n n +->-． 考虑函数1()(23)250(21)n f n n n +=---1(23)(250)100n n +=---．当1,2,3,4,5n =时，都有()0f n <，即1(23)250(21)n n n +-<-．而(6)9(12850)1006020f =--=>，注意到当6n ≥时，()f n 单调递增，故有()0f n >. 因此当6n ≥时，1(23)250(21)n n n +->-成立，即1(6)50n n S d ->成立． 所以,满足条件的所有正整数5,6,7,,20N =L ． …………………………14分。

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2012.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =, 集合{}1,3,5A =, {}1,2B =, 则A(U ðB )等于（ ）A ．∅B ．{}5C ．{}3D ．{}3,52. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若2342,216a a a =+=，则n a 等于（ ）A ．22-nB ．32n -C ．12-n D ．n23.已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．56π B ．23π C ． 3π D ．6π4.曲线e ()1xf x x =-在0x =处的切线方程为（ ）A ．10x y --=B ．10x y ++=C ．210x y --=D ．210x y ++=5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+的值为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4 6.函数33,0,(),0x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩的图象与函数()ln(1)g x x =+的图象的交点个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47.函数()f x 是定义域为R 的可导函数，且对任意实数x 都有()(2)f x f x =-成立．若当1x ≠时，不等式(1)()0x f x '-⋅<成立，设(0.5)a f =，4()3b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b c a >>8.已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=， ②2()f x x =， ③()e x f x =，④()f x = 则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）A ．①②B ．③④C ．①②④D ．②③④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.设集合{|2}A x x =∈≤R ，B ={x ∈R ∣}1262x <<,则A B = . 10.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和．若569108,24a a a a +=+=，则公差d = ，10S = .11.已知角α的终边经过点(3,4)(0)a a a <，则sin α= ，tan(2απ-)= . 12. 在ABC ∆中，若4BA BC ⋅=，ABC ∆的面积为2，则角B = .13. 已知函数()y f x =满足：(1)=f a （01a <≤），且()1,()1,()(1)2(),()1,f x f x f x f x f x f x -⎧>⎪+=⎨⎪≤⎩则(2)=f （用a 表示），若1(3)=(2)f f ，则a = . 14.已知函数()f x x x =.当[,1]x a a ∈+时，不等式(2)4()f x a f x +>恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知12,3,cos 3a b C ===． （Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）求sin()C A -的值． 16.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，131n n a S +=+，n *∈N . （Ⅰ）写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记n T 为数列{}n na 的前n 项和，求n T ；（Ⅲ）若数列{}n b 满足10b =，12log (2)n n n b b a n --=≥，求数列{}n b 的通项公式.17.（本小题满分13分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并写出其单调递增区间；（Ⅱ）设函数()()2cos 2g x f x x =+，求函数()g x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值． 18.（本小题满分13分）已知函数2()243f x ax x a =+--，a ∈R . （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在[]1,1-上的最大值；（Ⅱ）如果函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点，求a 的取值范围. 19.（本小题满分14分）设函数()ln f x a x x1=+，a ∈R ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若对任意0x >，不等式()2f x a ≥成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）当0a <时，设10x >，20x >，试比较)2(21x x f +与2)()(21x f x f +的大小并说明理由．20.（本小题满分13分）给定一个n 项的实数列12,,,(N )n a a a n *∈，任意选取一个实数c ，变换()T c 将数列12,,,n a a a 变换为数列12||,||,,||n a c a c a c ---，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第(N )k k *∈次变换记为()k k T c ，其中k c 为第k 次变换时选择的实数.如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称11()T c ， 22()T c ，…，()k k T c 为 “k 次归零变换”.（Ⅰ）对数列：1,3,5,7，给出一个 “k 次归零变换”，其中4k ≤； （Ⅱ）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”； （Ⅲ）对于数列231,2,3,,n n ，是否存在“1n -次归零变换”？请说明理由.北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期高三年级期中练习数学试卷答案（理工类）2012.11（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为1cos3C=，所以sin3C===．………………………2分所以，11sin23223ABCS ab C==⨯⨯⨯=………………………5分（Ⅱ）由余弦定理可得，2222cosc a b abC=+-1492233=+-⨯⨯⨯9=所以，3c=．…………………………………………7分又由正弦定理得，sin sinc aC A=，所以，2sin3sin3a CAc⨯===．……………………9分因为a b<，所以A为锐角,所以，7cos9A===．……………………11分所以，sin()sin cos cos sinC A C A C A-=-71393927=-⨯=．…………………………………13分16. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，24a =，316a =. ……………………………………………2分由题意，131n n a S +=+，则当2n ≥时，131n n a S -=+.两式相减，得14n n a a +=（2n ≥）. ……………………………………………3分 又因为11a =，24a =，214a a =， 所以数列{}n a 是以首项为1，公比为4的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式是14n n a -=（n *∈N ）. ………………………………5分（Ⅱ）因为2112323124344n n n T a a a na n -=++++=+⨯+⨯++⋅，所以2314412434(1)44n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅， ……………………6分两式相减得，2114314444414nn nn n T n n ---=++++-⋅=-⋅-， ………8分整理得，311499n n n T -=⋅+ (n *∈N ). ………………………………9分 （Ⅲ） 当2n ≥时，依题意得2122log b b a -=,3223log b b a -=,… , 12log n n n b b a --=.相加得，122232log log log n n b b a a a -=+++. ……………………………12分依题意122log log 42(1)n n a n -==-.因为10b =，所以[]212(1)(1)n b n n n =+++-=-（2n ≥）.显然当10b =时，符合.所以(1)n b n n =-(n *∈N ). ……………………………………14分17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可得2A =，22362T πππ=-=， 所以T =π，所以2ω=． …………………………………………………………2分 当6x π=时，()2f x =，可得 2sin(2)26ϕπ⋅+=， 因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． ………………………………………………………4分所以函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+．………………………………5分 函数()f x 的单调递增区间为[,]()36k k k πππ-π+∈Z ．…………………………7分 （Ⅱ）因为()()2cos 22sin(2)2cos 26g x f x x x x π=+=++2sin 2cos 2cos 2sin 2cos 266x x x ππ=++ …………………………8分23cos 2x x =+)3x π=+. ………………………10分因为[,]64x ππ∈-，所以50236x ππ≤+≤．当232x ππ+=，即12x π=时，函数()g x 有最大值为 ……………12分 当203x π+=，即6x π=-时，函数()g x 有最小值0． ………………13分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，则2()244f x x x =+-222(2)42(1)6x x x =+-=+-．因为[]1,1x ∈-，所以1x =时，()f x 的最大值(1)2f =．………………………3分 （Ⅱ）当0a =时，()43f x x =- ,显然在[]1,1-上有零点, 所以0a =时成立.……4分当0a ≠时，令168(3)8(1)(2)0a a a a ∆=++=++=,解得1,a =-2a =-． ………………………………………5分 （1） 当1a =-时, 22()2422(1)f x x x x =-+-=-- 由()0f x =，得1[1,1]x =∈-；当 2a =-时,221()4414()2f x x x x =-+-=--．由()0f x =，得1[1,1]2x =∈-， 所以当 0,1,2a =--时, ()y f x =均恰有一个零点在[]1,1-上.………………7分（2）当(1)(1)(7)(1)0f f a a -=-+≤，即17a -≤≤时，()y f x =在[]1,1-上必有零点. ………………………………………8分（3）若()y f x =在[]1,1-上有两个零点, 则0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≥⎪⎪≥⎩或0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0.a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≤⎪⎪≤⎩ …………………12分 解得7a ≥或2a <-．综上所述，函数()f x 在区间[]1,1-上存在极值点，实数a 的取值范围是1a ≥-或2a ≤-. ………………………………………13分19. （本小题满分14分）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞. ………………………………………1分 （Ⅰ）由题意21)(,0xx a x f x -='>， ………………………………………2分 （1）当0a >时，由0)(<'x f 得012<-x x a ，解得a x 1<，函数)(x f 的单调递减区间是)1,0(a ； 由0)(>'x f 得012>-xx a ，解得a x 1>，函数)(x f 的单调递增区间是),1(∞+a． …………………………………………4分（2）当0a ≤时， 由于0x >，所以21()0a f x x x '=-<恒成立，函数)(x f 的在区间(0),+∞上单调递减． ……………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为对于任意正实数x ，不等式()2f x a ≥成立，即xx a a 1ln 2+≤恒成立． 因为0>a ，由（Ⅰ）可知 当a x 1=时，函数()ln f x a x x1=+有最小值a a a a a a a f ln 1ln )1(-=+=．…7分 所以a a a x f a ln )(2min -=≤，解得10ea <≤．故所求实数a 的取值范围是1(0,]e． ………………………………………9分（Ⅲ）因为121212()ln 22x x x x f a x x ++2=++， 121212()()1(ln ln )22f x f x a x a x x x +11=+++．12121212121[ln(]22x x x x a x x a x x x x ++=)+=. ……………………………10分所以121212121212()()()ln 2222x x f x f x x x x x f a a x x x x ++++2-=+-+121212()2()x x a x x x x 2-=-+．（1）显然，当12x x =时，1212()()()22x x f x f x f ++=． ……………………11分 （2）当12x x ≠时，因为0,021>>x x 且0a <，所以221>+x x 21x x ，所以02ln ,1221212121<+>+x x x x a x x x x ．………………12分又121212()02()x x x x x x 2--<+，所以121212()02()x x a x x x x 2--<+ 所以02)()()2(2121<+-+x f x f x x f ， 即2)()()2(2121x f x f x x f +<+． 综上所述，当12x x =时，1212()()()22x x f x f x f ++=；当12x x ≠时，2)()()2(2121x f x f x x f +<+ ．……………………………………………………14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）方法1：1(4)T ：3,1,1,3;2(2)T ：1,1,1,1;3(1)T ：0,0,0,0．方法2：1(2)T ：1,1,3,5;2(2)T ：1,1,1,3;3(2)T ：1,1,1,1；4(1)T ：0,0,0,0．．……4分（Ⅱ）经过k 次变换后，数列记为()()()12,,,k k k n a a a ，1,2,k =．取1121)2c a a =(+,则(1)(1)12121||2a a a a ==-，即经11()T c 后，前两项相等；取(1)(1)2231()2c a a =+，则(2)(2)(2)(1)(1)123321||2a a a a a ===-，即经22()T c 后，前3项相等； … …设进行变换()k k T c 时，其中(1)(1)11()2k k k k k c a a --+=+，变换后数列变为 ()()()()()()12312,,,,,,,k k k k k k k k n a a a a a a ++，则()()()()1231k k k k k a a a a +====；那么，进行第1k +次变换时，取()()1121()2k k k k k c a a +++=+， 则变换后数列变为(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)123123,,,,,,,,k k k k k k k k k k n a a a a a a a ++++++++++，显然有(1)(1)(1)(1)(1)12312k k k k k k k a a a a a +++++++=====；… …经过1n -次变换后，显然有(1)(1)(1)(1)(1)1231n n n n n n na a a a a ------=====； 最后，取(1)n n n c a -=，经过变换()n n T c 后，数列各项均为0.所以对任意数列，都存在 “n 次归零变换”． ……………………………………9分 （Ⅲ）不存在“1n -次归零变换”. ………………………………………………10分 证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换()j j T c 时，12min{,,,}j n c a a a <，那么此变换次数便不是最少.这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行()j j T c 后，再进行11()j j T c ++，由11|||||()|i j j i j j a c c a c c ++--=-+，即等价于一次变换1()j j j T c c ++，同理，进行某一步()j j T c 时，12max{,,,}j n c a a a >；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的i c 满足1212min{,,,}max{,,,}n i n a a a c a a a ≤≤．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“1n -次归零变换”． （1）当2n =时，对于1,4，显然不存在 “一次归零变换” ，结论成立．（由（Ⅱ）可知，存在 “两次归零变换”变换：1253(),()22T T ） （2）假设n k =时成立，即231,2,3,,k k 不存在“1k -次归零变换”． 当1n k =+时，假设2311,2,3,,,(1)k k k k ++存在“k 次归零变换”．此时，对231,2,3,,k k 也显然是“k 次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知231,2,3,,k k 不存在“1k -次归零变换”，则k 是最少的变换次数，每一次变换i c 一定满足1ki c k ≤≤，1,2,,i k =．因为111212|||(1)|||(1)()k k k k k c c c k c c c +++----=+-+++1(1)0k k k k k +≥+->所以，1(1)k k ++绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾．所以，当1n k =+时不存在“k 次归零变换”．由（1）（2）命题得证． ………………………………………13分。

2013年高考政治总复习选择题百题精炼专题06 为人民服务的政府（教师版）（北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期期末统一考试）1.一段时间以来，“网络反腐”成了网络上的一大热词。

网民提供了大量有价值的线索，有关部门对这些线索及时进行了调查处理。

网络反腐①是对政府权力进行制约和监督的关键②是我国行政监督体系的重要组成部分③可以通过社会与公民的监督杜绝腐败④可以发挥人民群众对权力的监督作用A. ①②B. ①③C. ②④D.③④（北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期期末统一考试）2.刚买车，就有保险公司发来短信；刚看房，就有装修公司来联络……在网购时代，网络信息泄露事件时有发生。

这要求政府A．制定相关法律 B．加强市场监管C．规范执法行为 D．完善公共服务（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试）3.国家“十二五”规划纲要提出，坚持培育发展和管理监督并重，推动社会组织健康发展，发挥其提供服务、反映诉求、规范行为的作用。

纲要催生了社会组织的蓬勃发展。

目前，山东全省性社会团体有138个承担政府委托、转移职能326项，有184个获得政府购买服务9820万元。

这表明①政府职能正逐步减少②政府职能正逐步市场化③社会组织的发展有利于推动公民有序政治参与④社会组织在政府和公民之间起到了重要的桥梁作用A.①②B.②③C.②④D.③④(北京市丰台区2012-2013学年度第一学期期末练习)4.社区内的“片儿警”早已为北京市民所熟悉，如今又出现了“社区法官”，通过多走访、多宣传、多参与、多指导的司法服务，力图成为化解社区纠纷的“灭火器”。

对上述材料理解正确的是A.优化公共服务是政府行政管理体制的创新B.服务人民有利于提高国家机关的工作效率C.司法服务逐渐渗透到基层群众自治组织中D.调解社区纠纷有利于降低民事案件起诉率【答案】D【解析】社区法官化解社区纠纷，解决民事纠纷，会降低民事案件起诉率。

选D。

【考点定位】该题考查政府的职能。

2012年高三一模理综化学试题6. 下列与生产、生活相关的说法不正确．．．的是A．CO2和CH4都是温室气体B．酿酒过程中，淀粉水解不能得到乙醇C．天然气和液化石油气的主要成分都是甲烷D．使用一定的催化剂可将汽车尾气中的CO和NO转化成CO2和N27. 下列说法正确的是A．Si是一种非金属主族元素，其晶体可用于制作计算机芯片B．工业上通常用电解Na、Fe、Cu对应的氯化物制得该三种金属单质C．Cl、Br、I的非金属性逐渐减弱，HCl、HBr、HI水溶液的酸性逐渐减弱D．S、P、Cl 得电子能力和它们相应的最高价氧化物对应水化物的酸性均依次增强8. 下列解释事实的化学方程式或离子方程式不正确．．．的是A. 用食醋除去暖水瓶中的水垢：2CH3COOH + CaCO3═ Ca2+ + 2CH3COO- + CO2↑+ H2OB. 自然界各种原生铜的硫化物经氧化、淋滤作用后产生的硫酸铜，遇到难溶的PbS，慢慢转变为铜蓝（CuS）：Cu2+ + SO42- + PbS ═ CuS + PbSO4C. 在盐碱地（含较多NaCl、Na2CO3）上通过施加适量CaSO4，可降低土壤的碱性：CaSO4+ Na2CO3═ CaCO3↓+ Na2SO4D. 在燃煤时加入适量石灰石，可减少SO2的排放：2CaCO3 + O2 + 2SO2 ═ 2CaSO3 + 2CO29．下列叙述正确的是A．标准状况下，2.24 L NH3中含有6.02×1022个共价键B．100 mL 1 mol/L 的Na2CO3溶液中含有6.02×1022个CO32-C．将4 g NaOH溶于100 g蒸馏水，所得溶液物质的量浓度是0.1 mol/LD．将7.8 g Na2O2放入足量的水中，反应时转移6.02×1022个电子10. 关于右图装置说法正确的是A．装置中电子移动的途径是：负极→Fe →M溶液→石墨→正极B．若M为NaCl溶液，通电一段时间后，溶液中可能有NaClOC．若M为FeCl2溶液，可以实现石墨上镀铁D．若M是海水，该装置是通过“牺牲阳极的阴极保护法”使铁不被腐蚀11. 常温时，在X的溶液中先滴入几滴酚酞溶液后变红，再加入等体积的Y的溶液，混合溶液一定显红色的是（溶液物质的量浓度均为0.01 mol/L）X YA 氢氧化钡明矾B 醋酸钠醋酸C 碳酸氢钠石灰水D 氢氧化钠硫酸12. PCl3和PCl5都是重要的化工原料。

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题（文史类） 2013.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合{02}A x x =<<，集合2{log 0}B x x =>，则AB 等于A ．{}|2x x <B ．{}|x x >0C ．{}|02x x <<D ．{}|12x x <<2．已知i 是虚数单位，若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于A ．2B ．12C ．12-D ．2-7. 已知函数e ,0,()21,0x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩（a ∈R ），若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是A ．(),1-∞-B ．(),0-∞C ．()1,0-D ．[)1,0-8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，1P ，2P 分别为线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．124 B ．112C ．16 D ．12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列1,,9a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则12a b b +的值为 .10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +-=，则A = ．11.若关于x ，y 的不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 .12.已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是 ，离心率是 .13.在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅= ．14. 将连续整数1,2,,25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .A 1B 1CBD 1C 1ADE三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()sincos cos 1222x x xf x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值.16. （本小题满分14分）在长方体1111ABCD-A BC D 中，12AA=AD=，E 是棱CD 上的一点． （Ⅰ）求证：1AD ⊥平面11A B D ； （Ⅱ）求证：11B E AD ⊥；（Ⅲ）若E 是棱CD 的中点，在棱1AA 上是否存在点P ，使得DP ∥平面1B AE ？若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由． 17. （本小题满分13分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（Ⅰ）写出,,,a b x y 的值；组别 分组 频数频率第1组 [50，60） 8 0.16 第2组 [60，70） a ▓ 第3组 [70，80） 20 0.40 第4组 [80，90） ▓ 0.08 第5组[90，100]2 b合计▓▓频率分布表频率频率分布直方图（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； （ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.18. （本小题满分13分）已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19. （本小题满分14分）已知直线:1()l x my m =+∈R 与椭圆()22:109x y C t t +=>相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B ，且当0m =时，83EF =. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 的坐标为(3,0)-，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于M ，N 两点.试判断以MN 为直径的圆是否经过点B ?并请说明理由.20. （本小题满分13分）将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”. （Ⅰ）当2n =时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩， ，请分别写出3,4,5n =时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）； （Ⅲ）对于由正整数21,2,3,4,,n 排成的n 行n 列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合222{1,2,,}n n n n n -+-+，记其“特征值”为λ，求证：1.n n λ+<北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题答案（文史类） 2013.1二、填空题：（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分） 三、解答题： （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1cos ()sincos 1222x x xf x +=+- 111sin cos 222x x =+- …………………………………………2分1).242x π=+- ……………………………………………4分所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………………………………………6分由322242k x k ππππ+≤+≤π+，k ∈Z ，则52244k x k πππ+≤≤π+. 则函数()f x 单调减区间是5[2,2]44k k πππ+π+，k ∈Z . ………………9分 (Ⅱ)由x π3π≤≤42，得7244x πππ≤+≤. ………………………………………11分则当342x ππ+=，即54x π=时，()f x取得最小值12-. …………………13分 （16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在长方体1111ABCD-A BC D 中，因为11A B ⊥面11A D DA ，所以111A B AD ⊥． ………………………………………………………………2分 在矩形11A D DA 中，因为12AA=AD=，所以11AD A D ⊥．……………………4分 所以1AD ⊥面11A B D . ………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为E CD ∈，所以1B E ⊂面11A B CD ，由（Ⅰ）可知，1AD ⊥面11A B CD ， …………………………………………7分 所以11B E AD ⊥． …………………………………………………………………8分 （Ⅲ）当点P 是棱1AA 的中点时，有DP ∥平面1B AE ． ………………………9分 理由如下：在1AB 上取中点M ，连接PM,ME ． 因为P 是棱1AA 的中点，M 是1AB 的中点， 所以PM ∥11A B ，且1112PM A B =．……10分 又DE ∥11A B ，且1112DE A B =． 所以PM ∥DE ，且PM DE =， 所以四边形PMED 是平行四边形，所以DP ∥ME ．…………………………11分 又DP ⊄面1B AE ，ME ⊂面1B AE ，所以DP ∥平面1B AE ． …………………………………………………………13分 此时，1112AP A A ==． …………………………………………………………14分 （17）（本小题满分13分）A 1B 1CBD 1C 1ADEPM解：（Ⅰ）由题意可知，16,0.04,0.032,0.004a b x y ====．……………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为,,,A B C D ，第5组共有2人，记为,X Y ． 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有,,,,,,,A B A C A D B C B D C D A X A Y ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY共15种情况．…………………………………………………………………………6分设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ， …………7分 有,AX AY ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY 共9种情况． ……………8分 所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是93()155P E ==． 答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35. ……………10分 （ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F ，有,,,,,,AB AC AD BC BD CD XY 共7种情况． …………………………………………………………………………11分 所以7()15P F =答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715． ………………………………13分 （18）（本小题满分13分）解：222122()(1)ax x a f x a x x x -+'=+-=， ……………………………………………1分令2()2h x ax x a =-+．（Ⅰ）当2a =时，函数1()2()2ln f x x x x =--，(1)0f =，212()2(1)f x x x '=+-．曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)2f '=． …………………………2分 从而曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-，即220x y --=． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞． 设2()2h x ax x a =-+， （1）当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减．……………6分（2）当0a >时，244a ∆=-，（ⅰ）若01a <<，由()0f x '>，即()0h x >，得10x a <<或1x a>；……………8分由()0f x '<，即()0h x <，得11x a a <<．………………………9分 所以函数()f x的单调递增区间为和)+∞，单调递减区间为． ……………………………………11分（ⅱ）若1a ≥，()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增． ………………………………………………………………13分 （19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0m =时，直线l 的方程为1x =，设点E 在x 轴上方，由221,91x y tx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得(1,(1,33E F -.所以833EF ==，解得2t =. ……………………………………………3分 所以椭圆C 的方程为22192x y +=. ………………………………………………4分 （Ⅱ）由221,921x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(29)4160m y my ++-=，显然m ∈R . …………5分 设1122(,),(,)E x y F x y ,则121222416,2929m y y y y m m --+==++. ……………6分 111x my =+,221x my =+.又直线AE 的方程为11(3)3y y x x =++，11(3),33y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩解得116(3,)3y M x +， 同理得226(3,)3y N x +. 所以121266(2,),(2,)33y y BM BN x x ==++, …………………………………………9分 又因为121266(2,)(2,)33y y BM BN x x ⋅=⋅++ 12121212363644(3)(3)(4)(4)y y y y x x my my =+=+++++ 1212212124(4)(4)364()16my my y y m y y m y y +++=+++2222216(436)164164(29)3216(29)m m m m m -+-⨯+⨯+=-++ 22264576641285769m m m ---++=0=.…………………13分 所以BM BN ⊥,所以以MN 为直径的圆过点B . ………………………………14分（20）（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2,3或2,4或3,4. 得到数表的不同特征值是32或4.3……………………………………………3分（Ⅱ）当3n =时，数表为此时，数表的“特征值”为4.3……………………………………………………4分7 1 4 5 8 2 3 6 913 1 5 9 10 142 6当4n =时,数表为此时，数表的“特征值”为54. ………………………………………………………5分当5n =时，数表为此时，数表的“特征值”为65. …………………………………………………………6分 猜想“特征值”为1n n+. …………………………………………………………………7分 （Ⅲ）设,a b （a b >）为该行（或列）中最大的两个数，则221a nb n n λ≤≤-+，因为2332221(1)10,1(1)(1)n n n n n n n n n n n n n +-+-==-<-+-+-+所以2211n n n n n+<-+，从而1.n n λ+<…………………………………………13分7 11 15 3 4 8 12 1621 1 6 11 16 17 22 2 7 12 13 18 23 3 8 9 14 19 24 4 510 15 20 25。

高一数学期末测试题本试卷满分150分 考试时间：120分钟A 卷[必修模块4] 满分100分题号 一 二三本卷总分1718 19 分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．若()24OA = ，，()13OB =，，则AB 等于( )A ．()11，B ．()11--，C ．()37，D ．()37--，2．已知()02πα∈，，sin 0α>，且cos 0α<，则角α的取值范围是( ) A ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，C ．3ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．3π2π2⎛⎫⎪⎝⎭，3．如果函数()tan y x ϕ=+的图象经过点π03⎛⎫⎪⎝⎭，，那么ϕ可以是( )A ．π3-B ．π6-C ．π6D ．π34．设m ∈R ，向量()()122a b m m -=-，，，，若a b ⊥ ，则m 等于( )A ．23-B ．23C ．4-D ．45．函数()()2sin cos y x x x =+∈R 的最小正周期是( ) A ．π4B ．π2C ．πD ．2π6．函数cos y x =图象的一条对称轴的方程是( ) A ．0x =B ．π4x =C ．π2x =D ．3π4x =7．在ABC ∆中，D 是BC 的中点，则AB AC +等于( ) A ．2BDB ．2DBC ．2DAD ．2AD8．已知函数()sin cos f x x x =+，那么π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是( )A ．233B ．32C ．62D ．229．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么a b -等于( )A ．1B ．2C ．3D ．210．为得到函数πcos 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图象( )A ．向左平移π3个长度单位 B ．向右平移π3个长度单位 C ．向左平移2π3个长度单位D ．向右平移2π3个长度单位 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11．设α是第二象限角，5sin 13α=，则cos α= ． 12．若向量()12a = ，与向量()1b λ=-，共线，则实数λ= ． 13．22cos 151︒-= ．14．已知向量a 和b 的夹角为120︒，且4a b ==，那么a b ⋅= ．15．若角α的终边经过点()12P -，，则tan 2α= ． 16．如右图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++(其中ππ2ϕ<<)，那么这一天6时至14时温差的最大值是 ℃；与图中曲线对应的一个函数解析式是 ．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知ππtan 22αα⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭，，．⑴求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；⑵求sin 2cos 2αα+的值．18．(本小题满分12分)设π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，向量()13cos sin 22a b αα⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，． ⑴证明：向量a b + 与a b - 垂直；⑵当22a b a b +=- 时，求角α．19．(本小题满分14分)已知函数()()222πππ2sin 3sin cos 442f x x x x x ⎛⎫⎡⎤=++-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，．⑴求5π12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；⑵求()f x 的单调区间； ⑶若不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．/ / / / / / ○/ / / / / / ○/ / / / / / ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○/ / / / / / ○/ / / / / / ○/ / / / / / 密 封 线 内 不 要 答 题B 卷[学期综合] 满分50分题号 一二本卷总分67 8 分数一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上． 1．函数()21log 211y x x=++-的定义域是 ． 2．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：x3- 2-1- 012 3 4y6 04-6- 6-4-6则不等式20ax bx c ++>的解集是 ．3．已知函数3log y x =的图象上有两点()()1122A x y B x y ，，，，且线段AB 的中点在x 同上，则12x x ⋅= ．4．若函数2y x c =+是区间(]1-∞，上的单调函数，则实数c 的取值范围是 ．5．为预防流感，学校对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭(a 为常数)．如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：⑴从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为 ．⑵据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么/ / / / / / ○/ / / / / / ○/ / / / / / ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○/ / / / / / ○/ / / / / / ○/ / / / / / 密 封 线 内 不 要 答 题从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回教室．二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 6．(本小题满分10分) 已知函数()22x x f x -=+． ⑴证明()f x 是偶函数；⑵判断()f x 在()0+∞，上的单调性并加以证明．7．(本小题满分10分)设a∈R，函数()24=++．f x x ax⑴解不等式()()10+-<；f x f x x⑵求()g a．，上的最小值()12f x在区间[]8．(本小题满分10分)对于区间[]()a b a b <，，若函数()y f x =同时满足：①()f x 在[]a b ，上是单调函数；②函数()[]y f x x a b =∈，，的值域是[]a b ，，则称区间[]a b ，为函数()f x 的“保值”区间． ⑴求函数2y x =的所有“保值”区间； ⑵函数()20y x m m =+≠是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．/ / / / / / ○/ / / / / / ○/ / / / / / ○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○/ / / / / / ○/ / / / / / ○/ / / / / / 密 封 线 内 不 要 答 题。

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2012.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =, 集合{}1,3,5A =, {}1,2B =, 则A I (U ðB )等于（ ） A ．∅ B ．{}5 C ．{}3 D ．{}3,52. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若2342,216a a a =+=，则n a 等于（ ）A ．22-nB ．32n -C ．12-n D ．n23.已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．56π B ．23π C ． 3π D ．6π 4.曲线e ()1xf x x =-在0x =处的切线方程为（ ）A ．10x y --=B ．10x y ++=C ．210x y --=D ．210x y ++=5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足2AP PM =u u u r u u u u r，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的值为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．46.函数33,0,(),0x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩的图象与函数()ln(1)g x x =+的图象的交点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47.函数()f x 是定义域为R 的可导函数，且对任意实数x 都有()(2)f x f x =-成立．若当1x ≠时，不等式(1)()0x f x '-⋅<成立，设(0.5)a f =，4()3b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()y f x =，若数列b ac >>c b a >>a b c >>b c a >>{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=， ②2()f x x =， ③()e x f x =，④()f x = 则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）A ．①②B ．③④C ．①②④D ．②③④第二部分（非选择题 共110分）9.10.10S 11.12. 13. f 14.15. （Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）求sin()C A -的值． 16.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，131n n a S +=+，n *∈N . （Ⅰ）写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n T 为数列{}n na 的前n 项和，求n T ；（Ⅲ）若数列{}n b 满足10b =，12log (2)n n n b b a n --=≥，求数列{}n b 的通项公式.17.（本小题满分13分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><部分图象如图所示． 18.19.20.给定一个n 项的实数列12,,,(N )n a a a n *∈L ，任意选取一个实数c ，变换()T c 将数列12,,,n a a a L 变换为数列12||,||,,||n a c a c a c ---L ，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第(N )k k *∈次变换记为()k k T c ，其中k c 为第次变换时选择的实数.如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称11()T c ，22()T c ，…，()k k T c 为 “k 次归零变换”.k（Ⅰ）对数列：1,3,5,7，给出一个 “k 次归零变换”，其中4k ≤； （Ⅱ）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”；（Ⅲ）对于数列231,2,3,,nn L ，是否存在“1n -次归零变换”？请说明理由.北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期高三年级期中练习 数学试卷答案（理工类） 2012.11又由正弦定理得，，所以，． ……………………9分因为，所以为锐角,所以，． ……………………11分sin sin C A 2sin 3sin 39a CA c===g a b <A 7cos 9A ===所以， ． …………………………………13分16. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，，. ……………………………………………2分由题意，，则当时，.两式相减，得（）. ……………………………………………3分分 分.17.因为，所以． ………………………………………………………4分所以函数的解析式为．………………………………5分 函数的单调递增区间为．…………………………7分sin()sin cos cos sin C A C A C A -=-gg 71393927=-⨯=24a =316a =131n n a S +=+2n ≥131n n a S -=+14n n a a +=2n ≥n ||2ϕπ<6ϕπ=()f x ()2sin(2)6f x x π=+()f x [,]()36k k k πππ-π+∈Z（Ⅱ）因为…………………………8分. ………………………10分18. 解：分分分（ 由，得，所以当 时, 均恰有一个零点在上.………………7分（2）当，即时，在上必有零点. ………………………………………8分（3）若在上有两个零点, 则()()2cos 22sin(2)2cos 26g x f x x x xπ=+=++2sin 2cos2cos 2sin 2cos 266x x x ππ=++23cos 2x x =+)3x π=+[,]x ππ∈-502x ππ≤+≤0,1,2a =--()y f x =[]1,1-(1)(1)(7)(1)0f f a a -=-+≤g 17a -≤≤()y f x =[]1,1-()y f x =[]1,1-或…………………12分解得或．19.（Ⅱ）因为对于任意正实数，不等式成立，即恒成立．因为，由（Ⅰ）可知当时，函数有最小值．…7分所以，解得．0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≥⎪⎪≥⎩0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0.a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≤⎪⎪≤⎩7a ≥2a <-x ()2f x a ≥x x a a ln 2+≤0>a a x 1=()ln f x a x x 1=+a a a a a a a f ln 1ln )1(-=+=a a a x f a ln )(2min -=≤10e a <≤故所求实数的取值范围是．………………………………………9分（Ⅲ）因为，．分（1分（2分综，．……………………………………………………14分20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）方法1：：3,1,1,3;：1,1,1,1;：0,0,0,0．方法2：：1,1,3,5;：1,1,1,3;：1,1,1,1；：0,0,0,0．．……4分（Ⅱ）经过次变换后，数列记为，．a1(0,]e121212()ln22x x x xf ax x++2=++121212()()1(ln ln)22f x f xa x a xx x+11=+++1212121[ln(]x x x xa x x a++=)+=2)()()2(2121xfxfxxf+<+1(4)T2(2)T3(1)T1(2)T2(2)T3(2)T4(1)Tk()()()12,,,k k kna a aL1,2,k=L取,则，即经后，前两项相等；取，则，即经后，前3项相等；… …时，；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的满足．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“次归零变换”． （1）当时，对于1,4，显然不存在 “一次归零变换” ，结论成立．1121)2c a a =(+(1)(1)12121||2a a a a ==-11()T c (1)(1)2231()2c a a =+(2)(2)(2)(1)(1)123321||2a a a a a ===-22()T c ()k k T c (1)(1)11()k k k k k c a a --+=+j c ||i a (j j T 12j n ic 1212min{,,,}max{,,,}n i n a a a c a a a ≤≤L L 1n -2n =（由（Ⅱ）可知，存在 “两次归零变换”变换：） （2）假设时成立，即不存在“次归零变换”．当时，假设存在“次归零变换”． 此时，对也显然是“次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知不存在“次归零变换”，则是最少的变换次数，每一次变换一定满足，．因为所以，绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾．所以，当时不存在“次归零变换”．由（1）（2）命题得证． ………………………………………13分1253(),()22T T n k =231,2,3,,kk L 1k -1n k =+2311,2,3,,,(1)k k k k ++L k 231,2,3,,kk L k 231,2,3,,kk L 1k -k ic 1ki c k ≤≤1,2,,i k =L 111212|||(1)|||(1)()k k k k k c c c k c c c +++----=+-+++L L L 1(1)0k k k k k +≥+->g 1(1)k k ++1n k =+k。