动态几何题专题

一. 教学内容：

动态几何题专题

二. 重点难点：

1. 重点：培养学生的分析推理能力、综合解决问题能力等。

2. 难点：在运动变化中寻求规律，解决问题。

三. 具体内容：

包括动点、动线、动形三种类型。

【典型例题】

[例1] 如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒。

（1）求直线AB 的解析式；

（2）当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？

（3）当t 为何值时，△APQ 的面积为524

个平方单位？

x

解：（1）设直线AB 的解析式为y ＝k x ＋b ，由题意，得??

?=+=086b k b

解得k ＝－43

，b ＝6

所以，直线AB 的解析式为y ＝－43

x ＋6

x

（2）由 AO ＝6， BO ＝8 得 AB ＝10，所以AP ＝t ，AQ ＝10－2t 1°当∠APQ ＝∠AOB 时，△APQ ∽△AOB

所以 6t ＝10210t - 解得 t ＝1130

（秒）

2°当∠AQP ＝∠AOB 时，△AQP ∽△AOB ．

所以 10t ＝6210t -

解得 t ＝1350（秒）

x

（3）过点Q 作QE 垂直AO 于点E

在Rt △AOB 中，Sin ∠BAO ＝AB BO ＝54

在Rt △AEQ 中，QE ＝AQ·Sin ∠BAO ＝（10－2t ）·54＝8－58

t

所以，S △APQ ＝21AP ·QE ＝21t ·（8－58t ）＝－254t

＋4t ＝524

解得t ＝2（秒）或t ＝3（秒）

x

[例2] 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6米，BC ＝8米，动点P 以2米/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1米/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，设P 、Q 两点移动t 秒（0

（1）求面积S 与时间t 的关系式；

（2）在P 、Q 两点移动的过程中，四边形ABQP 与△CPQ 的面积能否相等？若能，求出此时点P 的位置；若不能，请说明理由。

解：（1）过点P 作PE ⊥BC 于E

Rt ABC AC AB BC ?中，（米）=+=+=22226810 由题意知：，，则AP t CQ t PC t ===-2102

由，得AB BC PE C PE AB ⊥⊥B // ∴ AC PC

AB PE =

即：，PE t PE t t 61021035102656

=-∴=-=-+()

又 S A B C ?=??=1

26824

∴ 24

353

)656(21242+-=+-??-=-=??t t t t S S S PCQ ABC

即：S t t =-+3

5324

2

（2）假设四边形ABQP 与△CPQ 的面积相等，则有：12

243532

=+-t t 即：t t 25200-+= b ac 224541200-=--??<()

∴ 方程无实根

∴ 的面积不能相等。与边形两点移动的过程中，四、在CPQ ABQP Q P ?

[例3] 如图1，已知△ABC 的高AE =5，BC =40

3，∠ABC ＝45°，F 是AE 上的点，G 是点E

关于F 的对称点，过点G 作BC 的平行线与AB 交于H 、与AC 交于I ，连接IF 并延长交BC 于J ，连接HF 并延长交BC 于K 。

（1）请你探索并判断四边形HIKJ 是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；

（2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围。（图2供思考用）

G I

E C

B

A

B

H

F

B

A

图2

图1

解：（1）∵点G与点E关于点F对称，∴GF=FE

∵HI∥BC，∴∠GIF=∠EJF，又∵∠GFI=∠EFJ，∴△GFI≌△EFJ，∴GI=JE

同理可得HG=EK ，∴HI=JK，∴四边形HIKJ是平行四边形

（2）当F是AE的中点时，A、G重合，所以AF=2.5

如图1，∵AE过平行四边形HIJK的中心F，

∴HG=EK，GI=JE.∴HG/BE=GI/EC.

∵CE＞BE，∴GI＞HG，∴CK＞BJ.

∴当点F在AE上运动时，点K、J 随之在BC上运动，

图1

如图2，当点F的位置使得B、J重合时，这时点K仍为CE上的某一点（不与C、E重合），而且点H、I也分别在AB、AC上

设EF＝x，∵∠AHG＝∠ABC＝45°，AE＝5，

∴BE＝5＝GI，AG＝HG＝5－2x ，CE＝3

40

－5

∵△AGI∽△AEC，∴AG∶AE＝GI∶CE

∴（5－2x）∶5＝5∶（3

40

－5）

∴x＝1，∴AF＝5－x＝4 ∴2

5

＜AF≤4.

图2

[例4] 如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，顶点D ，C 分别在AM ，BN 上运动（点D 不与A 重合，点C 不与B 重合），E 是AB 上的动点（点E 不与A ，B 重合），在运动过程中始终保持DE ⊥CE ，且AD+DE=AB=a 。

（1）当点E 为AB 边的中点时（如图2），求证：①AD+BC=CD ；②DE ，CE 分别平分∠ADC ，∠BCD ；

（2）设AE=m ，请探究：△BEC 的周长是否与m 值有关，若有关请用含m 的代数式表示△BEC 的周长；若无关请说明理由。

解：（1）过点E 作梯形两底的平行线交腰CD 于F ，则F 是CD 的中点，则EF 既是梯形ABCD 的中位线，又是Rt △DEC 斜边上的中线。

根据各自的性质：AD+BC ＝2EF ，CD ＝2EF 所以 AD+BC ＝CD

由△EFD 是等腰三角形（FD ＝FE ＝1CD

2） 得∠FDE ＝∠FED

由EF ∥AD 可得 ∠ADE ＝∠FED ∴∠FDE ＝∠ADE ，即DE 平分∠ADC 同理可证：CE 平分∠BCD

（2）设AD ＝x ，由已知AD+DE ＝AB=a 得DE ＝a －x ，又AE ＝m

在Rt △AED 中，由勾股定理得：222

x m a x ＋＝（－）

化简整理得：22

a m 2ax －＝ ①

在△EBC 中，由AE ＝m ，AB ＝a ，得BE ＝a －m

因为△ADE ∽△BEC ，所以AD AE DE BE BC EC ＝＝， 即：x m a x

a m BC

EC －＝＝

－， 解得：a m m a m a x BC EC .

x x （－）（－）（－）＝，＝

所以△BEC 的周长＝BE ＋BC ＋EC ＝a m m a m a x a m x x （－）（－）（－）

（－）＋＋

＝

m a x a m 1x x ?

? ?

??－（－）＋＋＝＝22

a m x － ② 把①式代入②，得△BEC 的周长＝BE ＋BC ＋EC ＝2ax

2a x ＝，所以△BEC 的周长与m 无

关。

[例5] 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t （秒）。

（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；

（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？

（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO ＝OB 时，求∠BQP 的正切值；

（4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。 解：（1）如图3，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ，则四边形PDCM 为矩形。 ∴PM ＝DC ＝

12

D

图3

∵QB ＝16－t ，∴S ＝1

2×12×（16－t ）＝96－t

（2）由图可知：CM ＝PD ＝2t ，CQ ＝t 。以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：

① 若PQ ＝BQ 。在Rt △PMQ 中，22212PQ t =+，由PQ 2＝BQ 2 得 222

12(16)t t +=-

解得t ＝7

2

② 若BP ＝BQ 。在Rt △PMB 中，222(162)12BP t =-+。由BP 2＝BQ 2 得：

222(162)12(16)t t -+=- 即23321440t t -+=。

由于Δ＝－704＜0 ∴2

3321440t t -+=无解， ∴PB ≠BQ

③ 若PB ＝PQ 。由PB 2＝PQ 2，得2222

12(162)12t t +=-+

整理，得2

3642560t t -+=。解得

1216

163t t =

=，（不合题意，舍去）

综合上面的讨论可知：当t ＝716

2

3t =

秒或秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形。

（3）如图4，由△OAP ∽△OBQ ，得

12AP AO BQ OB == ∵AP ＝2t －21，BQ ＝16－t ，∴2（2t －21）＝16－t

∴t ＝585

过点Q 作QE ⊥AD ，垂足为E ∵PD ＝2t ，ED ＝QC ＝t ，∴PE ＝t

在RT △PEQ 中，tan ∠QPE ＝1230

29QE PE

t ==

图4

（4）设存在时刻t ，使得PQ ⊥BD 。如图5，过点Q 作QE ⊥ADS ，垂足为E 。由Rt △BDC

∽Rt △QPE ，得DC PE BC EQ =，即

121612t = 解得t ＝9 所以，当t ＝9秒时，PQ ⊥BD

图5

[例6] 如图，在直角坐标系中，O 是原点，A 、B 、C 三点的坐标分别为A （18，0），B （18，6），C （8，6），四边形OABC 是梯形，点P 、Q 同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。

（1）求出直线OC 的解析式及经过O 、A 、C 三点的抛物线的解析式。

（2）试在⑴中的抛物线上找一点D ，使得以O 、A 、D 为顶点的三角形与△AOC 全等，请直接写出点D 的坐标。

（3）设从出发起，运动了t 秒。如果点Q 的速度为每秒2个单位，试写出点Q 的坐标，

并写出此时t 的取值范围。

（4）设从出发起，运动了t 秒。当P 、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 的周长的一半，这时，直线PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t 的值；如不可能，请说明理由。

解：（1）∵O 、C 两点的坐标分别为O ()0,0，C ()6,8 设OC 的解析式为b kx y +=，将两点坐标代入得：

43=

k ，0=b ，∴x

y 43=

∵A ，O 是x 轴上两点，故可设抛物线的解析式为()()180--=x x a y 再将C ()6,8代入得：

403

-

=a

∴

x x y 20274032+-

= （2）D ()6,10 （3）当Q 在OC 上运动时，可设Q ??? ??m m 43,，依题意有：()

22

2243t m m =??? ??+ ∴

t

m 58

=，∴Q ??? ??t t 56,58，()50≤≤t 当Q 在CB 上时，Q 点所走过的路程为t 2，∵OC ＝10，∴CQ ＝102-t

∴Q 点的横坐标为228102-=+-t t ，∴Q ()6,22-t ，()105≤

（4）∵梯形OABC 的周长为44，当Q 点OC 上时，P 运动的路程为t ，则Q 运动的路程为()t -22

△OPQ 中，OP 边上的高为：

()()532221,

5322?

-=

?-?t t t OPQ S 梯形OABC 的面积＝()846101821=?+，依题意有：()218453222

1?

=?-t t

整理得：0

140

22

2=

+

-t

t∵△＝0

140

4

222<

?

-，∴这样的t不存在当Q在BC上时，Q走过的路程为t-

22，∴CQ的长为：t

t-

=

-

-12

10

22

∴梯形OCQP的面积＝

()t

t+

-

-

?10

22

6

2

1

＝36≠84×2

1

∴这样的t值不存在

综上所述，不存在这样的t值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积

【模拟试题】

1. 在三角形ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm。现有动点P从点A出发，沿射线AB向点B方向运动;动点Q从点C出发，沿射线CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，求：

（1）几秒钟后，ΔPBQ的面积是ΔABC的面积的一半?

（2）在第（1）问的前提下，P，Q两点之间的距离是多少?

2. 如图所示，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3，P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动。设点P所走过的路程为x，点P所以过的线段与绝无仅有AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的函数关系的变化而变化。在下图中，能正确反映y与x的函数关系的是（）（2005年北京市中考题）

O O O O

X X X X

Y

Y

Y

Y

88

8

8

A B C D

3. 如图所示，四边形AOBC为直角梯形，5OB=%AC，OC所在直线方程为2

y x

=，平行于OC的直线l为：2

y x t

=+，l是由A点平移到B点时，l与直角梯形AOBC两边所转成的三角形的面积记为S。（1）求点C的坐标。（2）求t的取值范围。（3）求出S与t之间的函数关系式。（2005年广西壮族自治区柳州市中考题）

图2-4-47

4. 如图所示，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/秒的速度移动。（1）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？（2）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，点P 到达点B 后又继续沿BC 边向点C 移动，点Q 到达点C 后又继续沿CA 边向点A 移动，在这一整个移动过程中，是否存在点P 、Q ，使△PBQ 的面积等于9cm 2？若存在，试确定P 、Q 的位置；若不存在，请说明理由。（2003年山东省济南市中考题）

图2-4-48A

5. 如图所示，在梯形ABCD 中，AB=BC=10cm ，CD=6cm ，∠C=∠D=90°。

图2-4-49

（1）如图，动点P 、Q 同时以每秒1cm 的速度从点B 出发，点P 沿BA 、AD 、DC 运动到点C 停止。设P 、Q 同时从点B 出发t 秒时，△PBQ 的面积为1y （cm 2），求1y （cm 2）关于

t （秒）的函数关系式。

（2）如图2－4－51，动点P 以每秒1cm 的速度从点B 出发沿BA 运动，点E 在线段CD

上随之运动，且PC=PE 。设点P 从点B 出发t 秒时，四边形PADE 的面积为2y （cm 2）。求2y （

cm 2

）关于t （秒）的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围。（2005年吉林省中考题）

【试题答案】

1. 解：（1）2秒或12秒钟后，ΔPBQ 的面积是ΔABC 的面积的一半

（2）PQ ＝2. A

3.（1）C （1，2） （2）－10≤t ≤2

（3）S 与t 的函数关系式为2

15(100)20S t t t =

++-≤≤或211(02)4S t t t =-+≤≤

4.（1）2秒或4秒

（2）存在点P 、Q ，使得△PBQ 的面积等于9cm 2，有两种情况： ① 点P 在AB 边上距离A 为3cm ，点Q 在BC 边上距离点B 为6cm ② 点P 在BC 边上，距B 点3cm 时，此时Q 点就是A 点 5.（1）当点P 在BA 上运动时，2

1310y t =

当点P 在AD 上运动时，130y =

当点P 在DC 上运动时，190y t =-+ （2）2

21299025BPC PEC ABCD y S S S t t ??=--=

-+梯形，自变量t 的取值范围是0≤t ≤5

中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析

中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析 在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。 在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。 一.考试说明要求 图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。 图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线 解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例： 1、与相似及圆有关的基本图形

初二动态几何问题.

初二动态几何问题 一、动态几何问题涉及的几种情况 动态几何问题就其运动对象而言，有： 1、点动（有单动点型、多动点型）. 2、线动（主要有线平移型、旋转型）。线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生形动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解. 3、形动（就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动） 二、解决动态几何问题的基本思考策略与分析方法： 动态型问题综合了代数、几何中较多的知识点,解答时要特别注意以下七点: 1、把握运动变化的形式及过程； 2、思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的几何量； 3、动中取静：（最重要的一点） 要善于在“动”中取“静”（让图形和各个几何量都“静”下来），抓住变化中的“不变量”和不变关系为“向导”，求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量; 4、找等量关系：利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形等的几何性质及相互关系，找出基本的等量关系式; 5、列方程：将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型； (某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化，所以在求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解。在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图形建立方程模型求解) 6、是否以及怎么分类讨论： 将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍，从动态的角度去分析观察可能出现的情况，看图形的形状是否改变，或图形的有关几何量的计算方法是否改变，以明确是否需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决， 7、确定变化分界点： 若需分类讨论，要以运动到达的特殊点为分界点，画出与之对应情况相吻合的图形，找到情况发生改变的时刻，确定变化的范围分类求解。

初中数学动态几何问题

[导读] 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线 摘要：本文结合笔者的教学实践对初中数学教学中的动态几何问题进行了探讨。 关键词：二次函数；动点；动线；动态 作者简介：郭兴淑，任教于云南腾冲一中。 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，函数为背景，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题。这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.本类问题主要有动点、动线、动面三个方面的问题。其中动点问题有单动点和双动点两种类型，无论是动点、动线、单动点还是双动点，我们都要注意到如何在动中求静，在静中求解，找到相应的关系式，把想知道的量用常量或含自变量的关系式表示出来。下面就以二次函数为背景的动态问题和单纯几何图形变化的动态问题采撷几例加以分类浅析，供读者参考。 动态问题在中考中占有相当大的比重，主要由综合性问题构成，就运动而言，可以分为三类：动点、动线、动形；就题型而言，包括计算题、证明题和应用题等。它的题型特点和考查功能决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。一般的，解题设计要因题定法。无论是整体考虑还是局部联想，确定方法都必须遵循的原则是：熟悉化原则、具体化原则；简单化原则、和谐化原则等。 动态问题一直是近几年数学中考的一个热点，随着编者的不断刨新，动态问题又有升温，比如双动问题就是中考中的最新风景区，他可以培养同学们在运动变化中发展空间想象能力．这类问题只要我们掌握“动中有静，静观其变，动静结合”的基本解题策略，我们就能以不变碰多变．以下列举近几年数学中考的两类双动问题供读者参考交流． 随着新课程改革的进行，全国各地的中考试卷异彩纷呈，尤其是解答题中的动态问题，集数与代数、空间与图形两大内容于一体，题型新颖，阅读量大，考查面广．为体现中考试

(完整)初三数学几何的动点问题专题练习及答案

动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点 Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四 边形的第四个顶点M的坐标． 3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k） 是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出 自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC 所夹锐角的正切值． A Q C D B P x A O Q P B y

初中数学几何图形综合题(供参考)

初中数学几何图形综合题 必胜中学2018-01-30 15:15:15 题型专项几何图形综合题 【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用. 【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等. 【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决. 【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势. 为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.

类型1操作探究题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D作DF⊥AC于点F. (1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC；

最新初中数学动态几何探究题汇总大全

最新初中数学动态几何探究题汇总大全 【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角 函数等知识的综合运用. 【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解 决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等. 【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、 覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含 的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决. 【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综 合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势. 为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题. 类型1 操作探究题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D 作DF⊥AC于点F. (1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC； (2)若∠DAF＝∠DBA. ①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由； ②当点F在线段CA上时，设BE＝x，请用含x的代数式表示线段AF.

初中数学动态几何问题

中考数学专题 动态几何问题 第一部分 真题精讲 【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． C M B （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形． A B M C N E D ∵AB DE ∥，AB MN ∥． ∴DE MN ∥．（根据第一讲我们说梯形辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NC EC CD =．（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035t t -=-．解得5017 t =． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC

专题25 动态几何之线动形成的函数关系问题(预测题)-中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，包括单动点形成的函数关系和图象问 题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和图象问题。本专题原创编写线动点形成的函数关系问题模拟题。 线动问题就是在一些基本几何图形上，设计一个动线（包括平移和旋转），或由点动、面动形成线动，并对线在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。 在中考压轴题中，线动形成的函数关系问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1. 如下图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，AD=2，BC=6，AB=DC= 线l 垂直于BC ，且从经过点B 的位置向右平移，直至经过点C 的位置停止，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数关系式是 ▲ 。 【答案】。 【考点】动线问题的函数图象，等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，分类思想的应用。 【分析】如图1，分别过点A ，D 作BC 的垂线，垂足为E ，F ， ()()()2 21x 0x 22S 2x 22x 41 x 6x 104x 62 ?≤≤??? =-≤???-+-≤??＜＜

中考数学几何综合题汇总.doc

如图 8，在Rt ABC中，CAB 90，AC 3 ， AB 4 ，点 P 是边 AB 上任意一点，过点 P 作PQ AB 交BC于点E，截取 PQ AP ，联结 AQ ，线段 AQ 交BC于点D，设 AP x ，DQ y ．【2013徐汇】 （1）求y关于x的函数解析式及定义域；（ 4 分） （2）如图 9，联结CQ，当CDQ和ADB相似时，求x的值；（ 5 分） （3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边 AB 上时，求 AP 的长．（ 5 分） C Q D E A P B （图 8） C Q D E A （图 9） P B C A B （备用图） 【2013 奉贤】如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点 C作 AB的垂线交⊙ O于点 D，联结 OD，过点 B 作 OD的平行线交⊙ O于点 E、交射 线CD于点 F． （1）若 ⌒ ED BE⌒ ，求∠ F 的度数； （2）设CO x, EF y,写出y 与x之间的函数解析式，并写出定义域；

（3）设点 C 关于直线 OD 的对称点为 P ，若△ PBE 为等腰三角形，求 OC 的长． 第 25 题 【 2013 长宁】△ ABC 和△ DEF 的顶点 A 与 D 重合，已知∠ B = 90 . ，∠ BAC = 30 . ， BC=6，∠ FDE = 90 ， DF=DE=4. （1）如图①， EF 与边 、 分别交于点 ，且 . 设 DF a ，在射线 上取 AC AB G 、H FG=EH DF 一点 P ，记： DP xa ，联结 CP. 设△ DPC 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写 出定义域； （2）在（ 1）的条件下，求当 x 为何值时 PC // AB ； （ 3）如图②，先将△ DEF 绕点 D 逆时针旋转，使点 E 恰好落在 AC 边上，在保持 DE 边与 AC 边完 全重合的条件下， 使△ DEF 沿着 AC 方向移动 . 当△ DEF 移动到什么位置时， 以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 图① 图② 【 2013 嘉定】已知 AP 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上的一个动点 （不与点 A 、P 重合），联结 AC ，以直线 AC 为对称轴翻折 AO ，将点 O 的对称点记为 O 1 ，射线 AO 1 交半圆 O 于 点 B ，联结 OC . （1）如图 8，求证： AB ∥ OC ； （2）如图 9，当点 B 与点 O 1 重合时，求证： AB CB ；

初中数学动态几何问题

MC NC EC CD (这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键) 中考数学专题 动态几何问题 第一部分真题精讲 【例1】如图，在梯形 ABCD 中，AD II BC , AD 3 , DC 5 , BC 10,梯形的高为4 ?动 点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从C 点 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动?设运动的时间为t (秒)? (1 )当MN I AB 时，求t 的值； (2)试探究：t 为何值时，△ MNC 为等腰三角形. 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同 学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析 动态条件和静态条件之间的关系求解。 对于大多数题目来说， 都有一个由动转静的瞬间， 就 本题而言，M , N 是在动，意味着 BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和 这些动态的条件密切相关的条件 DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。 所以当题中设定 MN//AB 时，就变成了一个静止问题。 由此，从这些条件出发，列出方程， 自然得出结果。 【解析】 解：(1 )由题意知，当 M 、N 运动到t 秒时，如图①，过 D 作DE II AB 交BC 于E 点，则 四边形 ABED 是平行四边形. ??? AB II DE , AB II MN ? ??? DE II MN ? (根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将 MN 放在三角形 内，将动态问题转化成平行时候的静态问题)

八年级数学动态几何综合探究题训练大全

八年级数学动态几何综合探究题训练大全 1．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且CE=BF ．连接DE ，过点E 作EG ⊥DE ，使EG=DE ，连接FG ，FC ． (1)请判断：FG 与CE 的数量关系是________，位置关系是________； (2)如图2，若点E ，F 分别是边CB ，BA 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明； (3)如图3，若点E ，F 分别是边BC ，AB 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断． 2．如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交 ∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证：EO =FO ； （2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论． A B C E F M N O (第19题图） B C

3．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α． (1)如图①，若α=90°，求AA′的长； (2)如图②，若α=120°，求点O′的坐标； (3)在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时， 求点P′的坐标（直接写出结果即可） 4．正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE ⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F． （1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，求证：AF+BF=2OE； （2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2时．线段AF，BF与OE具有什么数量关系？并说明理由． （3）当运动到图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你 的猜想．

初中数学几何的动点问题专题练习-附答案版

动点问题专题训练 1、如图，已知A B C △中，10A B A C ==厘米，8B C =厘米，点D 为A B 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，B P D △与 CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使B P D △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿A B C △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在A B C △的哪条边上相遇？ 2、直线364 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发， 同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段O A 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点 O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．

3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B 两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是 正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C

专题二：动态几何型压轴题(中考压轴解析)

C 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且 4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． [题型背景和区分度测量点] 本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当E 点在AB 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解． [区分度性小题处理手法] 1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程． 2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R ±r(r R >)建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. 解：（1） 证明CDF ?∽EBD ?∴BE CD BD CF = ，代入数据得8=CF ，∴AF=2 （2） 设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=利用（1）的方法 x CF 32 = ， 相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切， x x 32 1010+ -=，24=x ； 内切， x x 32 1010- -=，17210±=x ．100<

中考数学中的探究性问题动态几何(终审稿)

中考数学中的探究性问 题动态几何 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

中考数学中的《探究性问题——动态几何》 动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查 学生的综合分析和解决问题的能力。 有关动态几何的概念，在很多资料上有说明，但是没有一个统一的定义，在这里就不在赘述了。本人只是用2005 年的部分中考数学试题加以说明。 一、知识网络 《动态几何》涉及的几种情况动点问题? 动线问题动形问题? ? 二、例题经典 1.【05 重庆课改】如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1 个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2 个单位长度的速度向点A 移动,设点P、Q 移动的时间为t 秒． (1) 求直线AB 的解析式； y (2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似 24 A (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为 个平方单位 5 P Q

【解】（１）设直线AB 的解析式为y＝k x＋b 由题意，得b＝6 8k＋b＝0 3 解得k＝－b＝6 4 3 所以，直线AB 的解析式为y＝－x＋6． 4 （２）由AO＝6，BO＝8 得AB＝10 所以AP＝t ，AQ＝10－2t 1°当∠APQ＝∠AOB 时，△APQ∽△AOB． t 10 2t 30 所以＝解得t＝ (秒) 6 10 11 2°当∠AQP＝∠AOB 时，△AQP∽△AOB． t 10 2t 50 所以＝解得t＝ 10 6 13 (秒) （３）过点Q 作QE 垂直AO 于点E． BO 4 在Rt△AOB 中，Sin∠BAO＝ ＝ AB 5 O y y A P Q O A Q y B B B x x x

中考数学几何综合题汇总

如图8，在ABC Rt ?中，?=∠90CAB ，3=AC ，4=AB ，点P 是边AB 上任意一点，过点P 作AB PQ ⊥交BC 于点E ，截取AP PQ =，联结AQ ，线段AQ 交BC 于点D ，设x AP =，y DQ =．【2013徐汇】 （1）求y 关于x 的函数解析式及定义域； （4分） （2）如图9，联结CQ ，当CDQ ?和ADB ?相似时，求x 的值； （5分） （3）当以点C 为圆心，CQ 为半径的⊙C 和以点B 为圆心，BQ 为半径的⊙B 相交的另一 个交点在边AB 上时，求AP 的长． （5分） 【2013奉贤】如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =8， 点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，联结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ． （1）若 ，求∠F 的度数； （2）设,,y EF x CO ==写出y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （图8） C A B D E P Q C A B D E P Q （图9） （备用图） C A B BE ED =⌒ ⌒

第25题 （3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长． 【2013长宁】△ABC 和△DEF 的顶点A 与D 重合，已知∠B =?90. ，∠BAC =?30. ，BC=6，∠ FDE =?90，DF=DE=4. （1）如图①，EF 与边AC 、AB 分别交于点G 、H ，且FG=EH . 设a DF =，在射线DF 上取一点P ，记：a x DP =，联结CP. 设△DPC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）在（1）的条件下，求当x 为何值时 AB PC //； （3）如图②，先将△DEF 绕点D 逆时针旋转，使点E 恰好落在AC 边上，在保持DE 边与AC 边完全重合的条件下，使△DEF 沿着AC 方向移动. 当△DEF 移动到什么位置时，以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 【2013嘉定】已知AP 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的一个动点（不与点A 、P 重合），联结AC ，以直线AC 为对称轴翻折AO ，将点O 的对称点记为1O ，射线1AO 交半圆O 于点B ，联结OC . （1）如图8，求证：AB ∥OC ； （2）如图9，当点B 与点1O 重合时，求证：CB AB =； 图① 图②

热点专题8 动态几何问题(解析版)

热点专题8动点几何问题 考向1图形的运动与最值 1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是．

【解析】如图， 过点P作PE⊙BD交AB的延长线于E， ⊙⊙AEP＝⊙ABD，⊙APE⊙⊙ATB， ⊙， ⊙AB＝4， ⊙AE＝AB+BE＝4+BE， ⊙， ⊙BE最大时，最大， ⊙四边形ABCD是矩形， ⊙BC＝AD＝3，CD＝AB＝4， 过点C作CH⊙BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，⊙BD是⊙C的切线， ⊙⊙GME＝90°， 在Rt⊙BCD中，BD＝＝5， ⊙⊙BHC＝⊙BCD＝90°，⊙CBH＝⊙DBC， ⊙⊙BHC⊙⊙BCD，

⊙， ⊙， ⊙BH＝，CH＝， ⊙⊙BHG＝⊙BAD＝90°，⊙GBH＝⊙DBA， ⊙⊙BHG⊙⊙BAD， ⊙＝， ⊙， ⊙HG＝，BG＝， 在Rt⊙GME中，GM＝EG?sin⊙AEP＝EG×＝EG， 而BE＝GE﹣BG＝GE﹣， ⊙GE最大时，BE最大， ⊙GM最大时，BE最大， ⊙GM＝HG+HM＝+HM， 即：HM最大时，BE最大， 延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，⊙GP'＝HP'+HG＝， 过点P'作P'F⊙BD交AB的延长线于F， ⊙BE最大时，点E落在点F处，

即：BE 最大＝BF ， 在Rt⊙GP 'F 中，FG ＝＝＝＝， ⊙BF ＝FG ﹣BG ＝8， ⊙ 最大值为1+＝3， 故答案为：3． 2. (2019 江苏省无锡市)如图，在ABC ?中，5AB AC ==，BC =D 为边AB 上一动点(B 点除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ?面积的最大值为 ． 【解析】过D 作DG ⊙BC 于G ，过A 作AN ⊙BC 于N ，过E 作EH ⊙HG 于H ，延长ED 交BC 于M ．

动态几何型压轴题

C 动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ， 以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． [题型背景和区分度测量点] 本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当E 点在AB 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系 (相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解． [区分度性小题处理手法] 1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程． 2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R ±r(r R >)建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解] 解：（1） 证明CDF ?∽EBD ?∴ BE CD BD CF = ，代入数据得8=CF ，∴AF=2 （2） 设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=利用（1）的方法 x CF 32 = ， 相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切， x x 32 1010+ -=，24=x ；

中考压轴冲刺二 动态几何定值问题解析

中考压轴冲刺二动态几何定值问题解析 类型一【线段及线段的和差为定值】 例1、已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E． （1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F． ①写出旋转角α的度数； ②求证：EA′+EC＝EF； （2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接P A，PF，若AB，求线段 P A+PF的最小值．（结果保留根号） 【详解】①解：由∠CA′D＝15°，可知∠A′CD=90°-15°=75°，所以∠A′CA=180°-75°=105°即旋转角α为105°． ②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM． ∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°， ∴∠CEA′＝120°， ∵FE平分∠CEA′， ∴∠CEF＝∠FEA′＝60°， ∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°， ∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE， ∴△FOC∽△A′OE，

∴OF A O' ＝ OC OE ， ∴OF OC ＝ A O OE ' ， ∵∠COE＝∠FOA′， ∴△COE∽△FOA′， ∴∠F A′O＝∠OEC＝60°， ∴△A′CF是等边三角形， ∴CF＝CA′＝A′F， ∵EM＝EC，∠CEM＝60°， ∴△CEM是等边三角形， ∠ECM＝60°，CM＝CE， ∵∠FCA′＝∠MCE＝60°， ∴∠FCM＝∠A′CE， ∴△FCM≌△A′CE（SAS）， ∴FM＝A′E， ∴CE+A′E＝EM+FM＝EF． （2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M． 由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′， ∴△A′EF≌△A′EB′， ∴EF＝EB′， ∴B′，F关于A′E对称， ∴PF＝PB′， ∴P A+PF＝P A+PB′≥AB′，

动态几何问题 -

动态几何问题 动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题．本专题原创编写单动点形成的最值问题模拟题． 在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法． 原创模拟预测题1．如图，已知直线3 34y x = -与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ．则△PAB 面积的最大值是（ ） A ．8 B ．12 C ．21 2 D ．172 【答案】C ． 【解析】 试题分析：∵直线334y x = -与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A 点的坐标为（4，0），B 点的坐标为（0，﹣3），34120x y --=，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，∴ 点C （0，1）到直线34120x y --=223041234?-?-+16 5，∴圆C 上点到直线 334y x =-的最大距离是1615+=215，∴△PAB 面积的最大值是121525??=212，故选C ． 考点：圆的综合题；最值问题；动点型． 原创模拟预测题2．菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP+BP 最短时，点P 的坐标为 ．

【答案】（233-，23-）． 【解析】 考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题；动点型；压轴题；综合题． 原创模拟预测题3．如图，已知抛物线 2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线1x =-，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ． （1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标； （3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．

动态几何问题的解题技巧

动态几何问题的解题技 巧 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

动态几何问题的解题技巧 解这类问题的基本策略是： 1．动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系 ．．．．．．．．，动中觅静就是在运动 变化中探索问题中的不变性 ．．．． 2．动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓 住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题 ．．．．．．．．．．．，从而找到“动”与“静”的关系． 3．以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系 ．．．．．．．．．，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系． 总之，解决动态几何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形， 把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变 ．．．．．．．．．．．．．。 这类问题与函数相结合时，注意使用分类讨论的思想，运用方程的思想、数形结合思想、转化的思想等。 1、在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形。

（1）观察线段PD 和PE 之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明； （2）△PBE 是否构成等腰三角形若能，指出所有的情况（即求出△PBE 为等腰三角形时CE 的长， 直接写出结果）；若不能请说明理由。 2、如图，等腰Rt △ABC(∠ACB ＝90°)的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一直线上，开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ， (1)求y 与x 之间的函数关系式； (2)当△ABC 与正方形DEFG 重合部分的面积为32 时，求CD 的长． 3、在平面直角坐标系中，直线1l 过点A(2，0)且与轴y 平行，直线2l 过点B(0，1)且与轴x 平行，直线1l 与2l 相交于点P 。点E 为直线2l 上一点，反比例函数 0,0(>>=k x x k y 且k ≠2)的图象过点E 且与直线1l 相交于点F. （1）写出点E 、点F 的坐标（用k 的代数式 表示）； （2）求 PF PE 的值； （3）连接OE 、OF 、EF ， 若△OEF 为直角三角形，求k 的值。 4、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4cm ，BC=5cm ，点D 在BC 上，且CD=3cm ，现有两个动点P ，Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1厘米/秒的速度沿AC 向终点C 运动；点Q 以厘米/秒的速度沿BC 向终点C 运动．过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E ，连接EQ ．设动点运动时间为t 秒（t ＞0）．