九年级数学几何模型压轴题单元测试卷（含答案解析）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=?，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC
上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；
（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，
CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出
PMN 面积的最大值．
【答案】（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492
【解析】 【分析】
（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；
（2）由旋转可推出BAD CAE ??≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；
（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】
（1）PM PN =，PM PN ⊥；
已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得
12PM EC =
，1
2
PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠ 在Rt ABC ?中，90A ∠=?，AB AC =，AD AE = 可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=? 即得PM PN =，PM PN ⊥
故答案为：PM PN =；PM PN ⊥． （2）等腰直角三角形，理由如下： 由旋转可得BAD CAE ∠=∠， 又AB AC =，AD AE = ∴BAD CAE ??≌
∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠， ∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点 ∴PM 是DCE ?的中位线 ∴1
2
PM CE =
，且//PM CE ， 同理可证1
2
PN BD =
，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠， ∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，
DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠，
∴
90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=?，
即PMN ?为等腰直角三角形．
（3）把ADE ?绕点A 旋转的如图的位置，
此时1()72PN AD AB =
+=，1
()72
PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥ 所以PMN ?面积最大值为149
7722
??=． 【点睛】
本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．
2．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，连接BD ，将ABD △绕B 点作顺
时针方向旋转得到A B D
'''
△（B′与B重合），且点D'刚好落在BC的延长上，A D''与CD相交于点E．
（1）求矩形ABCD与A B D
'''
△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE
''）的面积；（2）将A B D
'''
△以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与A B D
'''
△重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得AA B''
△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．
【答案】（1）2
45
2
cm；（2）
2
2
3316
24(0)
225
88020016
(4)
3335
x x x
y
x x x
?
--+≤<
??
=?
?-+≤≤
??
；（3）存在，使得AA B''
△成为等腰三角形的x的值有：0秒、
3
2
669
-
．
【解析】
【分析】
（1）先用勾股定理求出BD的长，再根据旋转的性质得出10
B D BD cm
''==，
2
CD B D BC cm
'=''-=，利用B D A
∠'''的正切值求出CE的值，利用三角形的面积差即可求阴影部分的面积；
（2）分类讨论，当
16
5
x
≤<时和当
16
4
5
x
≤≤时，分别列出函数表达式；
（3）分类讨论，当AB A B
'=''时；当AA A B
'=''时；当AB AA
'='时，根据勾股定理列方程即可．
【详解】
解：（1）6
AB cm
=，8
AD cm
=，
10
BD cm
∴=，
根据旋转的性质可知10
B D BD cm
''==，2
CD B D BC cm
'=''-=，
tan
A B CE
B D A
A D CD
''
'''
∠==
'''
，
6
82
CE
∴=，
3
2
CE cm
∴=，
()286345
22222
A B CE A B D CED S S S cm ''''''?∴==
-?÷=-； （2）①当1605x ≤<
时，22CD x '=+，3
2
CE x =， 233
+22
CD E S x x '∴=
△， 221333
68242222
y x x x ∴=??-=--+；
②当
1645x ≤≤时，102BC x =-，()4
1023
CE x =- ()2
21488020010223333
y x x x ∴=?-=-+．
（3）①如图1，当AB A B '=''时，0x =秒；
②如图2，当AA A B '=''时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+
，24
5
A M N
B '==， 2236AN A N +'=，
22
2418623655x ?
???∴-++= ? ??
???，
解得：6695x -=
秒，（669
5
x --=舍去）； ③如图2，当AB AA '='时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+
，24
5
A M N
B '==， 2222AB BB AN A N +'=+'
22
224183646255x x ?
???∴+=-++ ? ??
???
解得：3
2
x =
秒． 综上所述：使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有：0秒、
32秒、669-．
【点睛】
本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．
3．综合与探究：
如图1，Rt AOB 的直角顶点O 在坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴正半轴上，4OA =，2OB =，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90?得到线段BC ，过点C 作
CD x ⊥轴于点D ，抛物线23y ax x c =++经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ，直线AC 与x 轴交于点H ．
（1）求点C 的坐标及抛物线的表达式；
（2）如图2，已知点G 是线段AH 上的一个动点，过点G 作AH 的垂线交抛物线于点F （点F 在第一象限），设点G 的横坐标为m ． ①点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为________；
②如图3，当直线FG 经过点B 时，求点F 的坐标，判断四边形ABCF 的形状并证明结论；
③在②的前提下，连接FH ，点N 是坐标平面内的点，若以F ，H ，N 为顶点的三角形与FHC 全等，请直接写出点N 的坐标．
【答案】（1）点C 的坐标为(6,2)，21322y x x =-
++；（2）①1
43
m -+；②点F 的坐标为(4,6)，四边形ABCF 为正方形，证明见解析；③点N 的坐标为(10,4)或
4226,55?? ???或384,55?? ???
． 【解析】 【分析】
（1）根据已知条件与旋转的性质证明ABO BCD ≌，根据全等三角形的性质得出点C 的坐标，结合点E 的坐标，根据待定系数法求出抛物线的表达式；
（2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+，由点A 、C 的坐标求出直线AC 的表达式，进而得解；
②过点G 作GM x ⊥轴于点M ，过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与
DC 的延长线交于点Q ，根据等腰三角形三线合一得出AG CG =，结合①由平行线分线
段成比例得出点G 的坐标，根据待定系数法求出直线BG 的表达式，结合抛物线的表达式求出点F ；利用勾股定理求出AB BC CF FA ===，结合90ABC ?∠=可得出结论； ③根据直线AC 的表达式求出点H 的坐标，设点N 坐标为(,)s t ，根据勾股定理分别求出
2FC ，2CH ，2FN ，2NH ，然后分两种情况考虑：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH
＝CH ，若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，分别列式求解即可． 【详解】 解：（1）
4=OA ，2OB =，
∴点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(2,0)，
线段AB 绕点B 顺时针旋转90?得到线段BC ， AB BC ∴=，90ABC ?∠=，
90ABO DBC ?∴∠+∠=，
在Rt AOB 中，90ABO OAB ?∴∠+∠=，
=OAB DBC ∴∠∠，
CD x ⊥轴于点D ，
90BDC ?∴∠=，
90AOB BDC ?∴∠=∠=．
AB BC =，
ABO BCD ∴△≌△，
2CD OB ∴==，4BD OA ==，
6OB BD ∴+=，
∴点C 的坐标为(6,2)，
∵抛物线2
3y ax x c =++的图象经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ，
236182c a c =?∴?++=?
， 解得，122
a c ?
=-???=?，
∴抛物线的表达式为2
1322
y x x =-
++； （2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+， ∵直线AC 经过点()6,2C ，(0,4)A ，
∴624k b b +=??=?
，
解得，134k b ?
=-
???=?
，即143y x =-+，
∴点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为：1
43
m -+，
故答案为：143
m -+．
②过点G 作GM x ⊥轴于点M ，
OM m ∴=，1
43
GM m =-+，
AB BC =，BG AC ⊥， AG CG ∴=，
90AOB GMH CDH ?∠=∠=∠=，
OA GM CD ∴，
1OM AG
MD GC
∴
==， 1
32
OM MD OD ∴===，
3m ∴=，1433
m -+=，
∴点G 为(3,3)，
设直线BG 的表达式为y kx b =+，将(3,3)G 和(2,0)B 代入表达式得，20
33k b k b +=??
+=?
，
3
6
k b =?∴?=-?，即表达式为36y x =-， 点F 为直线BG 和抛物线的交点，
∴得2
132362
x x x -
++=-， 14x ∴=，24x =-（舍去）， ∴点F 的坐标为(4,6)，
过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与DC 的延长线交于点Q ，
4PF ∴=，2AP =，2FQ =，4CQ =，
在Rt AFP △中和Rt FCQ △中，根据勾股定理，得AF FC ==
同理可得AB BC ==，
AB BC CF FA ∴===， ∴四边形ABCF 为菱形， 90ABC ?∠=， ∴菱形ABCF 为正方形；
③∵直线AC ：1
43
y x =-
+与x 轴交于点H ， ∴1
403
x -
+=， 解得，x ＝12， ∴(12,0)H ，
∴2
2
2
(64)(26)20FC =-+-=，2
2
2
(126)(02)40CH =-+-=， 设点N 坐标为(,)s t ，
∴2
2
2
(4)(6)FN s t =-+-，2
2
2
(12)(0)NH s t =-+-， 第一种情况：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH ＝CH ，
∴2222
(4)(6)20(12)40s t s t ?-+-=?-+=?
， 解得，11425265s t ?
=????=??
，226
2s t =??=?（即点C ），
∴4226,55N ??
??
?； 第二种情况：若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，
∴2222
(4)(6)40(12)20s t s t ?-+-=?-+=?
， 解得，11385
45s t ?
=????=??
，22104s t =??=?，
∴384,55N ??
??
?或(10,4)N ， 综上所述，以F ，H ，N 为顶点的三角形与△FHC 全等时，点N 坐标为(10,4)或4226,55??
???
或384,55??
??
?． 【点睛】
本题是函数与几何的综合题，考查了待定系数法求函数的表达式，全等三角形的判定与性质，菱形与正方形的判定，旋转的性质，勾股定理等知识，其中对全等三角形存在性的分析，因有一条公共边，可对另外两边进行分类讨论，本题有一定的难度，是中考压轴题．
4．如图，△ABC和△DEC都是等腰三角形，点C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F 为线段AD的中点，连接CF．
（1）如图1，当D点在BC上时，BE与CF的数量关系是__________；
（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转90°，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，把△DEC绕C点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如成立，请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．
【答案】（1）BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据“SAS”证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE，又因为AD=2CF，从而
BE=2CF；
（2）由点F是AD中点，可得AD=2DF，从而AC= 2DF+CD，又由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，可知BC=2DF+CE，所以BE= 2（DF+CE），CF= DF+CD，从而BE=2CF；
（3）延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，可证△CDF≌△GAF，再证明△BCE≌△ACG，从而BE=CG=2CF成立.
解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=CE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，在Rt△ACD中，点F是AD中点，
∴AD=2CF，
∴BE=2CF，
故答案为BE=2CF；
（2）（1）中的关系是仍然成立，
理由：∵点F是AD中点，
∴AD=2DF，
∴AC=AD+CD=2DF+CD，
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∴BC=2DF+CE，
∴BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2（DF+CE），
∵CF=DF+CD=DF+CD，
∴BE=2CF；
（3）（1）中的关系是仍然成立，理由：如图3，
延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，
∵点F是AD中点，
∴AF=DF，
在△CDF和△GAF中，，
∴△CDF≌△GAF，
∴AG=CD=CE，∠CDF=∠GAF，
∴∠CAG=∠CAD+∠GAF=∠CAD+∠ADC=180°﹣∠ACD，∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE=360°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，∴∠CAG=∠BCE，
连接BE，
在△BCE和△ACG中，，
∴△BCE≌△ACG，
∴BE=CG=2CF，
即：BE=2CF．
点睛：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质，考查了学生综合运用知识的能力，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
5．（1）发现
如图，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =.
填空：当点A 位于____________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a ，b 的式子表示）
（2）应用
点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE . ①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值.
（3）拓展
如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段
AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM ∠=?，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.
【答案】（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是2，点P 的坐标为（22） 【解析】 【分析】
（1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出
△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD
的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；
（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM ，根据当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，即可得到最大值为22+3；如图2，过P 作PE ⊥x 轴于E ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】
解：（1）∵点A 为线段BC 外一动点，且BC=a ，AB=b ，
∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b ， 故答案为CB 的延长线上，a+b ； （2）①CD=BE ，
理由：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形， ∴AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC ， 即∠CAD=∠EAB ， 在△CAD 与△EAB 中，
AD AB CAD EAB AC AE ??
∠∠???
＝＝＝ ， ∴△CAD ≌△EAB ， ∴CD=BE ；
②∵线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，
由（1）知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上， ∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；
（3）∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ， 则△APN 是等腰直角三角形，
∴PN=PA=2，BN=AM ，
∵A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（5，0）， ∴OA=2，OB=5， ∴AB=3，
∴线段AM 长的最大值=线段BN 长的最大值， ∴当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，
最大值=AB+AN，
∵AN=2AP=22，
∴最大值为22+3；
如图2，过P作PE⊥x轴于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE=AE=2，
∴OE=BO-AB-AE=5-3-2=2-2，
∴P（2-2，2）．
【点睛】
考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接CF，DF．
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时
①证明：△BFC是等腰三角形；
②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；
（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．
【答案】（1）①证明见解析；②结论：CF=DF且CF⊥DF．理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析.
【解析】
【详解】
分析：(1)、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CF=BF=EF，根据
∠CFD=2∠ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°得出∠CFD=90°，从而得出答案；(2)、延长DF至
G 使FG=DF ，连接BG ，CG ，DC ，首先证明△BFG 和△EFD 全等，然后再证明△BCG 和△ACD 全等，从而得出GC=DC ，∠BCG=∠ACD ，∠DCG=∠ACB=90°，最后根据直角三角形斜中线的性质得出答案．
详解：（1）①证明：∵∠BCE=90°．EF=FB ，∴CF=BF=EF ，∴△BFC 是等腰三角形． ②解：结论：CF=DF 且CF ⊥DF ．理由如下：
∵∠ADE=90°，∴∠BDE=90°，又∵∠BCE=90°，点F 是BE 的中点，∴CF=DF=1
2
BE=BF ， ∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2， ∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC ，
又∵△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴∠CFD=90°， ∴CF=DF 且CF ⊥DF ．
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图，延长DF 至G 使FG=DF ，连接BG ，CG ，DC ，∵F 是BE 的中点，∴BF=EF ， 又∵∠BFG=∠EFD ，GF=DF ，∴△BFG ≌△EFD （SAS ），∴∠FBG=∠FED ，BG=ED ， ∴BG ∥DE ，∵△ADE 和△ACB 都是等腰直角三角形， ∴DE=DA ，∠DAE=∠DEA=45°，AC=BC ，∠CAB=∠CBA=45°，
又∵∠CBG=∠EBG ﹣∠EBA ﹣∠ABC=∠DEF ﹣（180°﹣∠AEB ﹣∠EAB ）﹣45° =∠DEF ﹣180°+∠AEB+∠EAB ﹣45°=（∠DEF+∠AEB ）+∠EAB ﹣225° =360°﹣∠DEA+∠EAB ﹣225°=360°﹣45°+∠EAB ﹣225°=90°+∠EAB ， 而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB ， ∴∠CBG=∠DAC ，又∵BG=ED ，DE=DA ，∴BG=AD ，又∵BC=AC ， ∴△BCG ≌△ACD （SAS ），∴GC=DC ，∠BCG=∠ACD ， ∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°，
∴△DCG 是等腰直角三角形，又∵F 是DG 的中点，∴CF ⊥DF 且CF=DF ．
点睛：主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．
7．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。 （1）概念理解:
如图1,在ABC ?中,6AC = ,3BC =.30ACB ∠=?,试判断ABC ?是否是“等高底”三角
形，请说明理由. （2）问题探究:
如图2, ABC ?是“等高底”三角形,BC 是“等底”，作ABC ?关于BC 所在直线的对称图形得到A BC '?,连结AA '交直线BC 于点D .若点B 是123,12z ai z i =-=+的重心,求AC
BC
的值. （3）应用拓展:
如图3,已知12l l //,1l 与2l 之间的距离为2.“等高底”ABC ?的“等底” BC 在直线1l 上,点A 在直线2l 上,有一边的长是BC 的2倍.将ABC ?绕点C 按顺时针方向旋转45?得到
A B C ?'',A C '所在直线交2l 于点D .求CD 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）13
2
AC BC =
（3）CD 的值为2103,22,2 【解析】
分析：（1）过点A 作AD ⊥直线CB 于点D ，可以得到AD =BC =3，即可得到结论； （2）根据 ΔABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，得到AD =BC ， 再由 ΔA ′BC 与ΔABC 关于直线BC 对称， 得到 ∠ADC =90°，由重心的性质，得到BC =2BD ．设BD =x ，则AD =BC =2x ， CD =3x ，由勾股定理得AC =13x ，即可得到结论； （3）分两种情况讨论即可：①当AB =2BC 时，再分两种情况讨论； ②当AC =2BC 时，再分两种情况讨论即可． 详解：（1）是．理由如下：
如图1，过点A 作AD ⊥直线CB 于点D ， ∴ΔADC 为直角三角形，∠ADC =90°． ∵ ∠ACB =30°，AC =6，∴ AD =1
2
AC =3， ∴ AD =BC =3，
即ΔABC 是“等高底”三角形．
（2）如图2， ∵ ΔABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，∴AD =BC ， ∵ ΔA ′BC 与ΔABC 关于直线BC 对称， ∴ ∠ADC =90°． ∵点B 是ΔAA ′C 的重心， ∴ BC =2BD ．
设BD=x，则AD=BC=2x，∴CD=3x，∴由勾股定理得AC=13x，
∴
1313
22 AC x
BC x
==．
（3）①当AB=2BC时，
Ⅰ．如图3，作AE⊥l1于点E，DF⊥AC于点F．
∵“等高底” ΔABC的“等底”为BC，l1//l2，
l1与l2之间的距离为2，AB=2BC，
∴BC=AE=2，AB=22，
∴BE=2，即EC=4，∴AC= 25．
∵ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA' B' C，∴∠CDF=45°．设DF=CF=x．
∵l1//l2，∴∠ACE=∠DAF，∴
1
2
DF AE
AF CE
==，即AF=2x．
∴AC=3x=25，可得x=2
5
3
，∴CD=2x=
2
10
3
．
Ⅱ．如图4，此时ΔABC是等腰直角三角形，
∵ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA' B' C，
∴ΔACD是等腰直角三角形，
∴CD=2AC=22．
②当AC2BC时，
Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形．
∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C，∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2．
Ⅱ．如图6，作AE⊥l1于点E，则AE=BC，
∴AC=2BC=2AE，∴∠ACE=45°，
∴ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C时，点A′在直线l1上，
∴A′C∥l2，即直线A′ C与l2无交点．
综上所述：CD 2
10
3
，222．
点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读理解能力．解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解．
8．（操作发现）
（1）如图1，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接
AF，EF．
①求∠EAF的度数；
②DE与EF相等吗？请说明理由；
（类比探究）
（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果：
①∠EAF的度数；
②线段AE，ED，DB之间的数量关系．
【答案】（1）①120°②DE=EF；（2）①90°②AE2+DB2=DE2
【解析】
试题分析：（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出
∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；
②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；
（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；
②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．
试题解析：解：（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°．∵∠DCF=60°，∴∠ACF=∠BCD．
在△ACF和△BCD中，
∵AC=BC，∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；
②DE=EF．理由如下：
∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，∴∠FCE=60°﹣30°=30°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE中，∵CD=CF，∠DCE=∠FCE，CE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF；
（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，
∠ACB=90°，∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°．∵∠DCF=90°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD 中，
∵AC=BC，∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；
②AE2+DB2=DE2，理由如下：
∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴∠FCE=90°﹣45°=45°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE中，∵CD=CF，∠DCE=∠FCE，CE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF．在Rt△AEF中，
AE2+AF2=EF2，又∵AF=DB，∴AE2+DB2=DE2．
二、初三数学圆易错题压轴题（难）
9．已知：四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，DE⊥AB，垂足为点E，DE的锯长线交⊙O于点F，DC的延长线与FB的延长线交于点G．
（1）如图1，求证：GD＝GF；
（2）如图2，过点B作BH⊥AD，垂足为点M，B交DF于点P，连接OG，若点P在线段OG上，且PB＝PH，求∠ADF的大小；
（3）如图3，在（2）的条件下，点M是PH的中点，点K在BC上，连接DK，PC，D交PC点N，连接MN，若AB＝122，HM+CN＝MN，求DK的长．
【答案】（1）见解析；（2）∠ADF＝45°；（3）1810
．
【解析】
【分析】
（1）利用“同圆中，同弧所对的圆周角相等”可得∠A＝∠GFD，由“等角的余角相等”可得∠A＝∠GDF，等量代换得∠GDF＝∠GFD，根据“三角形中，等角对等边”得GD＝GF；（2）连接OD、OF，由△DPH≌△FPB可得：∠GBH＝90°，由四边形内角和为360°可得：∠G＝90°，即可得：∠ADF＝45°；
（3）由等腰直角三角形可得AH＝BH＝12，DF＝AB＝12，由四边形ABCD内接于⊙O，可得：∠BCG＝45°＝∠CBG，GC＝GB，可证四边形CDHP是矩形，令CN＝m，利用勾股定理可求得m＝2，过点N作NS⊥DP于S，连接AF，FK，过点F作FQ⊥AD于点Q，过点F 作FR⊥DK交DK的延长线于点R，通过构造直角三角形，应用解直角三角形方法球得DK．【详解】
解：（1）证明：∵DE⊥AB
∴∠BED＝90°
∴∠A+∠ADE＝90°
∵∠ADC＝90°
∴∠GDF+∠ADE＝90°
∴∠A＝∠GDF
∵BD BD
∴∠A＝∠GFD
∴∠GDF＝∠GFD
∴GD＝GF
（2）连接OD、OF
∵OD＝OF，GD＝GF
∴OG⊥DF，PD＝PF
在△DPH 和△FPB 中
PD PF DPH FPB PH PB =??
∠=∠??=?
∴△DPH ≌△FPB （SAS ） ∴∠FBP ＝∠DHP ＝90° ∴∠GBH ＝90°
∴∠DGF ＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90° ∴∠GDF ＝∠DFG ＝45° ∴∠ADF ＝45°
（3）在Rt △ABH 中，∵∠BAH ＝45°，AB ＝
∴AH ＝BH ＝12 ∴PH ＝PB ＝6 ∵∠HDP ＝∠HPD ＝45° ∴DH ＝PH ＝6
∴AD ＝12+6＝18，PN ＝HM ＝1
2
PH ＝3，PD ＝
∵∠BFE ＝∠EBF ＝45° ∴EF ＝BE
∵∠DAE ＝∠ADE ＝45° ∴DE ＝AE ∴DF ＝AB ＝
∵四边形ABCD 内接于⊙O ∴∠DAB +∠BCD ＝180° ∴∠BCD ＝135° ∴∠BCG ＝45°＝∠CBG ∴GC ＝GB
又∵∠CGP ＝∠BGP ＝45°，GP ＝GP ∴△GCP ≌△GBP （SAS ） ∴∠PCG ＝∠PBG ＝90° ∴∠PCD ＝∠CDH ＝∠DHP ＝90° ∴四边形CDHP 是矩形
∴CD ＝HP ＝6，PC ＝DH ＝6，∠CPH ＝90° 令CN ＝m ，则PN ＝6﹣m ，MN ＝m +3 在Rt △PMN 中，∵PM 2+PN 2＝MN 2 ∴32+（6﹣m ）2＝（m +3）2，解得m ＝2 ∴PN ＝4
过点N 作NS ⊥DP 于S ，