三角函数与解三角形高考试题精选
一．解答题（共31小题）
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=
（a2﹣b2﹣c2）．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；
（2）若a=，求△ABC的面积．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．
6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．
（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求cos（2A+）的值．
8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，
sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．
9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC 的面积为，求cosA与a的值．
10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．
（Ⅰ）求sin∠CED的值；
（Ⅱ）求BE的长．
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b的值．
13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．
（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．14．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．
15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．
16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．
（1）求C和BD；
（2）求四边形ABCD的面积．
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．
18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；
（2）若cosB=，求cosC的值．
19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．
21．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．
（Ⅰ）证明：sinB=cosA；
（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．
22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
（1）求；
（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．
23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC
（Ⅰ）求．
（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．
25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．
26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．
（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．
（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．
28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值
（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．
29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a?cosB．（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．
30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求c的值．
三角函数与解三角形高考试题精选
参考答案与试题解析
一．解答题（共31小题）
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：
；
∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；
∴2sin（A+B）=sinA+sinB；
即sinA+sinB=2sinC（1）；
根据正弦定理，；
∴，带入（1）得：；
∴a+b=2c；
（Ⅱ）a+b=2c；
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；
∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；
又a，b＞0；
∴；
∴由余弦定理，=；
∴cosC的最小值为．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=
（a2﹣b2﹣c2）．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．
【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，
又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，
两式作比得：，∴a=2b．
由，得，
由余弦定理，得；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，
∴．
于是，，
故．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC
2cosCsinC=sinC
∴cosC=，
∴C=；
（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?，
∴（a+b）2﹣3ab=7，
∵S=absinC=ab=，
∴ab=6，
∴（a+b）2﹣18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为5+．
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；
（2）若a=，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，
∴sinA==，
又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，
整理得：cosC=sinC，
则tanC=；
（2）由tanC=得：cosC====，
∴sinC==，
∴sinB=cosC=，
∵a=，∴由正弦定理=得：c===，
则S
=acsinB=×××=．
△ABC
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．
【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，
∴由正弦定理得：，
∴=，
∵sin（A+B）=sinC．
∴整理可得：sinAsinB=sinC，
（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．
sinA=，=
+==1，=，
tanB=4．
6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．
【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosA=4+9﹣2×2×3