2020-2021学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）集合{1U =，2，3，4，5}，{1S =，4，5}，{2T =，3，4}，则()(U S T =?
)
A ．{1，5}
B ．{1}
C ．{1，4，5}
D ．{1，2，3，4，5}
2．（5分）“0a >”是“函数()(0)f x ax b a =+≠单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知某扇形的弧长为23π，圆心角为3
π
，则该扇形的面积为( ) A ．
23
π
B ．π
C ．
43
π
D ．
83
π 4．（5分）已知非零实数a ，b 满足a b >，则( ) A ．11
a b a b
+
>+ B ．
11
a b
< C ．22a b --< D ．(||)(||)ln a ln b >
5．（5分）已知函数2,0(),0
x x f x lgx x ?=?>?，则1
(())(10f f = )
A ．2-
B ．1-
C ．
1
100
D ．1
6．（5分）函数||
()x x
ln x f x e e
-=
-的大致图象是( ) A ． B ．
C ．
D ．
7．（5分）已知函数2()441f x ax x =+-，(1,1)x ?∈-，()0f x <恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．3
4
a -
B ．1a <-
C ．314
a
-< D ．1a -
8．（5分）已知函数1
()log ((,2))1
a
x f x x r a x -=∈++的值域为(1,)+∞，则( ) A ．2,22r a ==- B ．2,22r a ==+ C ．1,21r a ==+ D ．1,21r a ==-
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．（5分）下列选项不正确的是( )
A ．既是奇函数又是偶函数的函数一定是()0()f x x R =∈
B ．函数1
y x
=
在定义域内是减函数
C ．所有的周期函数一定有最小正周期
D ．函数()lnx f x e =和函数()g x x
=
有相同的定义域与值域
10．（5分）如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积2()y m 与时间t （月)的关系为：t y a =．有以下几个判断，正确的是( )
A ．2a =
B ．浮萍从25m 蔓延到215m 只需要经过1.5个月
C ．在第6个月，浮萍面积超过230m
D ．若浮萍蔓延到22m ，24m ，28m 所经过的时间分别为1t ，2t ，3t ，则123t t t += 11．（5分）根据已给数据：
x
1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.75 3x 的近似值 5.196
5.378
5.565
5.961
6.839
在精确度为0.1的要求下，方程34x x =+的一个近似解可以为( ) A ．1-
B ．1.5
C ．1.562
D ．1.7
12．（5分）已知222()sin sin ()sin ()f x x x x αβ=++++，其中α，β为参数，若对x R ?∈，
()f x 恒为定值，则下列结论中正确的是( )
A ．3
()2
f x =
B ．()2f x =
C ．αβπ+=
D ．满足题意的一组α，β可以是2,3
3
π
παβ=
=
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知35sin ,cos ,(0,),(,)51322
ππ
αβαβπ==-∈∈，则sin()αβ+= ．
14．（5分）已知函数()sin()f x A x ω?=+，x R ∈（其中0A >，0ω>，||)2
π
?<，其部分
图象如图所示，则()f x = ．
15．（5分）已知a ，b 都是正数，若3a b ab ++=，则a b +的最小值为 ．
16．（5分）已知14a <<，函数129
(),[1,],[,4]f x x x a x a x
=+?∈∈，使得12()()80f x f x ，则
a 的取值范围 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（Ⅰ）求值：若3log 21x =，求22x x -+的值；
（Ⅱ）化简：
cos(3)cos(
)
2
sin 2π
απαα
--．
18．（12分）已知集合2{|340}A x x x =--<，22{|450}B x x mx m =+-<，其中m R ∈． （Ⅰ）若{|51}B x x =-<<，求实数m 的值；
（Ⅱ）已知命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，且0m >，求实数m 的取值范围．
19．（12分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线
2(0)y x x =上．
（Ⅰ）求cos2α的值；
（Ⅱ）若角β满足tan(2)1αβ-=，求tan()αβ-的值． 20．（12分）已知函数2()sin cos cos f x x x x =+．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期，并写出函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的1
2
（纵坐标不变），再把图象向右平移
8
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求满足()1g x 的实数x 的集合． 21．（12分）为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：)h 的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y 与x 成正比：药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为1
()(16
x a y a -=为常数），根据图中提供
的信息，回答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y 与x 之间的函数关系式．
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
22．（12分）已知函数2()(1)||f x x x x a =+--． （Ⅰ）若1a =，解不等式()1f x ；
（Ⅱ）若函数()f x 在[2-，2]上单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）记函数()f x 在[2-，2]上最大值为g （a ），求g （a ）的最小值．
2020-2021学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）集合{1U =，2，3，4，5}，{1S =，4，5}，{2T =，3，4}，则()(U S T =?
)
A ．{1，5}
B ．{1}
C ．{1，4，5}
D ．{1，2，3，4，5}
【解答】解：集合{1U =，2，3，4，5}，{1S =，4，5}，{2T =，3，4}， 所以{1U T =，5}， 所以(){1U S T =?，5}． 故选：A ．
2．（5分）“0a >”是“函数()(0)f x ax b a =+≠单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：对于一次函数()f x ax b =+，(0)a ≠， 若函数()f x 单调递增，则0a >，
反之，“0a >”能推出“函数()f x ax b =+单调递增”，
故“0a >”是“函数()(0)f x ax b a =+≠单调递增”的充分必要条件， 故选：B ．
3．（5分）已知某扇形的弧长为23π，圆心角为3
π
，则该扇形的面积为( ) A ．
23
π
B ．π
C ．
43
π
D ．
83
π 【解答】解：扇形的圆心角α为
3π，弧长l 为23
π， ∴扇形的半径2l
r α
==，
∴扇形的面积112222233
S lr ππ=
=??=
． 故选：A ．
4．（5分）已知非零实数a ，b 满足a b >，则( ) A ．11a b a b
+
>+ B ．
11
a b
< C ．22a b --<
D ．(||)(||)ln a ln b >
【解答】解：对于A ，取12a =，13b =，可得152a a +=，1103b b +=，11
a b a b
+<+，故A 错误；
对于B ，若0a b >>，则
11
a b
>，故B 错误； 对于C ，由a b >，可得a b -<-，所以22a b --<，故C 正确； 对于D ，取1
2
a =，2
b =-，则(||)(||)ln a ln b <，故D 错误． 故选：C ．
5．（5分）已知函数2,0(),0
x x f x lgx x ?=?>?，则1
(())(10f f = )
A ．2-
B ．1-
C ．
1100
D ．1
【解答】解：因为函数2,0
(),0x x f x lgx x ?=?>?
，
所以11
()11010f lg ==-，
故21
(())(1)(1)110
f f f =-=-=．
故选：D ．
6．（5分）函数||
()x x
ln x f x e e -=
-的大致图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠， ||||
()()x x x x
ln x ln x f x f x e e e e ----=
=-=---，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除D ，
f （1）0=，排除A ，B ，
故选：C ．
7．（5分）已知函数2()441f x ax x =+-，(1,1)x ?∈-，()0f x <恒成立，则实数a 的取值范
围是( ) A ．34
a -
B ．1a <-
C ．314
a
-< D ．1a -
【解答】解：当0a =时，()410f x x =-<，解得14
x <， 故当3
4
x =
时，()0f x >，故不符合题意； 当0a >时，则有(1)4410
(1)4410f a f a -=--??=+-?
，无解；
当0a <时，则有0
4124(1)0a f ???
-
-???
-??①，或04124(1)0a f ???-?????②，或△16160a =+<③， 解得①无解，②无解，③1a <-， 故1a <-，
综上所述，实数a 的取值范围是1a <-． 故选：B ．
8．（5分）已知函数1
()log ((,2))1
a
x f x x r a x -=∈++的值域为(1,)+∞，则( )
A ．2,2r a ==
B ．2,2r a ==
C ．1,1r a ==
D ．1,1r a ==
【解答】解：令12
()111
x h x x x -=
=-
++， 因为函数()h x 在(,2)r a +上单调递增， 所以22()(1,1)13
h x r a ∈-
-++， 当1a >时，函数()f x 在(,2)r a +上单调递增， 此时值域不可能为(1,)+∞，
当01a <<时，函数()f x 在(,2)r a +上单调递减， 要使得值域为(1,)+∞，则有2101
213r a a ?
-=??+??-=?+?
，
解得1
r =，1a =． 故选：D ．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合