角（基础）知识讲解
【高清课堂：角397364角的概念】
要点一、角的概念
1．角的定义：
(1）定义一:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边.如图1所示,角的顶点是点Ｏ，边是射线ＯA、OB．
图1 图2
（2）定义二:一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形,射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示,射线OＡ绕它的端点O旋转到OB的位置时,形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边,终止位置OB是角的终边.
要点诠释:
(1)两条射线有公共端点，即角的顶点;角的边是射线;角的大小与角的两边的长短无关．
(2）平角与周角：如图1所示射线OＡ绕点O旋转,当终止位置OＢ和起始位置OA成一条直线时,所形成的角叫做平角，如图２所示继续旋转,OB和ＯＡ重合时,所形成的角叫做周角．
1.下列语句正确的是( Ｃ）
A．两条直线相交，组成的图形叫做角.
B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角.
C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角.
D.过同一点的两条射线组成的图形叫做角．
【答案】
【解析】根据角的定义判断
【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素,即两条射线间的相对位置关系,这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别．
举一反三：
【变式】判断下列说法是否正确
（１）两条射线组成的图形叫做角（×)
(2)平角是一条直线( × )
(３)周角是一条射线(× )
2.角的表示法:角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
要点诠释:
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
写出图中（1）能用一个字母表示的角；（２)以B为顶点的角；（3)图中共有几个角(小于１８0°).
【答案与解析】
解：(1)能用一个字母表示的角∠A、∠C．
(２）以B为顶点的角∠ABE、∠ABＣ、∠ＣBE．
（３)图中共有7个角.
【总结升华】(１)顶点处只有一个角时,才可以用一个字母表示; (2）一般数角时不包括平角和大于平角的角.
已知：如图,在∠AOE的内部从O引出３条射线,求图中共有多少个角?如果引出99条射线,则有多少个角?
分析：在∠AOE的内部从Ｏ点引出3条射线，那么在图形中,以O为端点的射线共5条。其中，任意一条射线与其他4条射线都必构成一个角（小于平角的角）。数角的时候要按一定的顺序，从ＯＥ边开始数,这样可得到4＋3+2+1个角，所以,这５条射线共组成角的个数为10个角。
公式为:2)1
(
n
n
。同理，如果引出９9条射线,那么，以O为顶点的射线共101条,构成的角的个数为50５0个。
已知：如图,在∠AOE的内部从O引出3条射线，求图中共有多少个角？如果引出99条射线，则有多少个角?
分析：在∠ＡＯＥ的内部从O点引出3条射线，那么在图形中，以O为端点的射线共5条。其中,任意一条射线与其他4条射线都必构成一个角(小于平角的角)。数角的时候要按一定的顺序,从OＥ边开始数，这样可得到４＋3+2+１个角,所以,这5条射线共组成角的个数为10个角。
公式为:2)1
(
n
n
。同理，如果引出99条射线，那么，以O为顶点的射线共１01条,构成的角的个数为５05０个。
3.角的画法
（1）用三角板可以画出３０°、45°、60°、9０°等特殊角.
（2)用量角器可以画出任意给定度数的角．用量角器量角和画角的一般步骤：①对中（角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合（一边与刻度尺上的零度线重合)；
③读数(读出另一边所在线的度数)．
(３)角的和、差关系：利用三角板除了可以做出３0°、45°、６0°、90°外，根据角的和、差关系,还可以画出15°，7５°,10５°，12０°，13５°,15０°,16５°的角．
要点四、方位角
在航行和测绘等工作中,经常要用到表示方向的角．例如，图中射线ＯＡ的方向是北偏东60°；射线OＢ的方向是南偏西3０°．这里的“北偏东60°”和“南偏西
３0°”表示方向的角，就叫做方位角.
要点诠释：
(１)正东，正西，正南,正北4个方向不需要用角度来表示；
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”;
（3)在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；
(4）图中的点Ｏ是观测点,所有方向线（射线）都必须以O为端点.
A看B的方向是北偏东3０°，那么B看A的方向是( )
A.南偏东6０°B．南偏西６０°
C.南偏东30°Ｄ.南偏西３0°
【答案】D
【解析】依题意画出示意图.由图可知，图中∠1即表示从A看B的北偏东３０°,∠2是从B看A的方位角.由此可确定从B看A是南偏西30°．
【总结升华】从本例的分析与结果来看，从A看B与从Ｂ看A正好是一对对立的观察过程,其方向是一种“相反”的对应关系．方位角的确定首先以什么点为基点（即
人站在此处观察）要弄清楚,再由正南或正北到视线夹角测量出来．
举一反三:
【变式】小王从家出发向南偏东30°的方向走了１000米到达小军家,此时小王家在小军家的＿___＿__＿方向.
【答案】北偏西３0°
要点五、钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角１2等分、每个大格对应3０°的角,分针１分钟转６°，时针每小时转30°，时针1分钟转0．５°,利用这些关系,可帮助我们解决钟表中角度的计算问题.
4时15分时针与分针的夹角.
【答案与解析】
如图(1),∠ＡOC=30°×１＝３0°, ∠BOＣ
=0．5°×15=7．5°．
所以∠ＡOＢ＝3７.5°.
即4时1５分时针与分针的夹角为37．5°
【总结升华】求钟表中时针与分针的夹角有两种方法:第一种方法利用时针与分针的每分钟转速求解,比如解法一;第二种方法直接根据图形求夹角,如解法二．
举一反三：
【变式】2时48分时针与分针的夹角.
【答案】
解法2：如图(2)
∠BOD=30°×4=120°，
∠COD=2×6°＝１2°，
∠AOB=４８×0.５°=2４°，
所以∠AOC=∠BOD ＋∠COD+∠AOB ＝１56°.
即2时48分时针与分针的夹角为156°．
要点二、角的比较与运算
1.角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成３６0等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分,记作“１′”，１′的160
为1秒,记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制．
1周角＝3６０°,1平角=18０°,1°＝６0′,1′＝60″.
要点诠释:
在进行有关度分秒的计算时,要按级进行,即分别按度、分、秒计算,不够减，不够除的要借位,从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算,在相乘或相加时,当低位得数大于６0时要向高一位进位．
(1)把25.７2°分别用度、分、秒表示 (2）把4５°12′3０″化成度
【思路点拨】第(1)题中２5.72°中含有两部分2５°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．第(2)题中，45°12′30″含有三部分４５°,１2′和３0″,其中45°已经是度，只要把12′和30″化成度即可.
【答案与解析】
解：（1)0.72°＝0.7２×60′＝43．2′,０.2′=0.２×6０″=12″，
所以2５.72°=25°４３′１2″．
(２)130300.560'??'''=?= ???,112.512.50.2160??'=? ???°≈°
所以45°12′30″≈45.21°．
【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行，“越级”化单位容易出错．
举一反三：
【变式】 (1)把26.2９°转化为度、分、秒表示的形式;
(2)把３3°24′36″转化成度表示的形式.
【答案】 (1)2６.2９°=２６°+０.２9°=26°+0.29×６0′=2６°+１7．4′
=26°＋１７′+０.４×60″=26°17′+24″＝26°１7′24″
(２)３3°24′36″＝3３°+2４′+3６×160'?? ???
＝3３°+２4′+0．６′ ＝３3°+2４.６′=３3°+2４．６×160?? ???
°=３3.41° 【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位,都化成度或分、秒表示，然后再进行计算。
3、已知:∠A ＝50o24’，∠B ＝50.24o,∠C ＝５０o14’24”,那么下列各式正确的是（ )
A 、∠A>∠
B >∠
C B 、∠A>∠Ｂ＝∠C C 、∠Ｂ＞∠C>∠A Ｄ、∠B=∠Ｃ>∠A
2.角的比较:角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1:度量比较法．先用量角器量出角的度数,然后比较它们的大小．
方法２：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠ＡOB 和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图(1）可得∠AOB ＜∠A′O′B′;由图(2)可得∠ＡＯB ＝∠Ａ′O′B′；由图(3)可得∠AOB>∠A′O′Ｂ′．
3.角的和、差关系
如图所示，∠AOＢ是∠1与∠2的和，记作：∠AＯB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB 与∠2的差，记作：∠1＝∠AＯB-∠２.
４.角平分线
从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示,OC是∠AOB的角平分线,∠ＡOB＝２∠AOC=２∠BＯＣ，
∠ＡOB．
∠ＡＯＣ＝∠BOC =1
2
要点诠释:由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
如图所示，已知ＯC平分∠ＢOD，且∠BOC＝20°,ＯB是∠AＯD的平分线,求∠ＡＯＤ的度数.
【答案与解析】
解：因为ＯＣ平分∠ＢOD，且∠ＢOC=20°，
所以∠BOD＝2∠BOC=2×2０°=4０°．
又OB是∠AOD的平分线,
所以∠AOＤ＝2∠BOＤ＝２×40°＝80°．
【总结升华】应用角的平分线的定义时根据两点:若ＯB是∠AOC的平分线,则①∠AOB=∠BOC=1
2
∠ＡOC；②∠ＡOＣ＝2∠ＡOＢ＝2∠BOC，在解题时要学会灵活应用．
举一反三:
【变式】已知:如图，ＯM是∠AOB的平分线，ＯN是∠BOC的平分线，∠AＯC ＝80?，求:∠ＭON.
【答案】∵OＭ平分∠ＡOB，OＮ平分∠COB,
∴∠ＭＯB=1
2∠AＯB,∠BOＮ=1
2
∠ＢＯC.(角平分线的定义)
∴∠ＭON=∠ＭOB+∠BON
=1 2∠AOB+1
2
∠ＢOC＝1
2
(∠AＯB+∠BOC)
=1 2∠AOC=1
2
×８0?＝40?．
即∠MON=40?.
图中,∠ＡOＢ＝∠BＯC=∠ＣＯＤ=∠DＯＥ，则有(1）∠＝4∠AＯB
（2）∠=∠＝3∠ＢOC
-- -- 集 合 1．集合概念 元素:互异性、无序性、确定性 2.集合运算 全集Ｕ：如U ＝Ｒ 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且 并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集:}{A x U x x A C U ?∈=且 ３.集合关系 空集A ?φ 子集B A ?：任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合-－-文氏图（即韦恩图、Ve ｎn 图）、数轴 典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A ２. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和. 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02，且{}7,3=B A ,求a 的值. 5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ，若B A ?，则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ，{}52≤≤-=x x B ，若B A ?,求实数m 的取值范围． 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ，{}2,12-=a A ,{}5=A C S ，求a 的值. 8． 若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22，试问B A ,是否相等. 9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M 成立的实数a 的取值范围. １0. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ?，求实数a 的取值范围. １１． 设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442，(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122，{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集，求实数a 的取值范围. 12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){} 05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +，是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由.
集合知识点总结 一、集合的概念 教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问 题，掌握集合问题的常规处理方法． 教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．： 一)主要知识： 1．集合、子集、空集的概念； 2．集合中元素的3个性质，集合的3 种表示方法； 3. 若有限集A有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n 1，非空子集有2n 1个，非空真子集有2n 2个． 二、集合的运算 教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性 质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握 集合问题的常规处理方法. 教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用. 一)主要知识： 1. 交集、并集、全集、补集的概念； 2. AI B A A B，AUB A A B； 3. C U AI C U B C U (AUB)，C U AUC U B C U(AI B). 二)主要方法： 1. 求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；
2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出 问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键． 考点要点总结与归纳 一、集合有关概念 1. 集合的概念：能够确切指定的一些对象的全体。 2. 集合是由元素组成的 集合通常用大写字母A、B、C,…表示，元素常用小写字母a b、c, …表示。 3. 集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性。 (1)确定性：一个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集 合,绝无模棱两可的情况。如：世界上最高的山 (2)互异性：集合中的元素是互不相同的个体,相同的元素只能 出现一次。如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} ( 3)无 序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。 女口：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 4. 元素与集合的关系 (1)元素a是集合A中的元素，记做a€ A，读作“ a属于集合A”； (2)元素a不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a不属于集合A”。 5. 集合的表示方法：自然语言法, 列举法,描述法,图示法。 ( 1)自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2 且小于等于8 的偶数
高中数学：两角和、差及倍角公式练习 1．(新疆乌鲁木齐一诊)2cos10°－sin20° sin70° 的值是( C ) A ．12 B ．32 C ． 3 D ． 2 解析：原式＝ 2cos (30°－20°)－sin20° sin70° ＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20° cos20°＝ 3. 2．(山西五校联考)若cos θ＝23,θ为第四象限角,则cos ? ???? θ＋π4的值为( B ) A ． 2＋10 6 B ． 22＋10 6 C ．2－106 D ．22－106 解析：由cos θ＝2 3,θ为第四象限角, 得sin θ＝－5 3, 故cos ? ???? θ＋π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×? ????23＋53＝22＋106.故选B ． 3．若α∈? ????π2，π,且3cos2α＝sin ? ???? π4－α,则sin2α的值为( C ) A ．－1 18 B ．1 18 C ．－1718 D ．1718 解析：由3cos2α＝sin ? ?? ?? π4－α可得
3(cos 2 α－sin 2 α)＝2 2(cos α－sin α), 又由α∈? ???? π2，π可知cos α－sin α≠0, 于是3(cos α＋sin α)＝2 2, 所以1＋2sin α·cos α＝1 18, 故sin2α＝－17 18.故选C ． 4．已知锐角α,β满足sin α－cos α＝1 6,tan α＋tan β＋3tan α·tan β＝3,则α,β的大小关系是( B ) A ．α＜π 4＜β B ．β＜π 4＜α C ．π 4＜α＜β D ．π 4＜β＜α 解析：∵α为锐角,sin α－cos α＝1 6＞0, ∴π4＜α＜π2 . 又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3, ∴tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝3, ∴α＋β＝π3,又α＞π4,∴β＜π 4＜α. 5．在△ABC 中,sin A ＝513,cos B ＝3 5,则cos C ＝( A ) A ．－1665 B ．－5665 C ．± 1665 D ．± 5665 解析：∵B 为三角形的内角,cos B ＝3 5＞0, ∴B 为锐角,∴sin B ＝1－cos 2B ＝4 5,
集合期末复习题12.26 姓名 班级________________ 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=-的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=}{ 12x x <<，B=}{ x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{ 2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{ 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={} 22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人， 化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人.
集合·典型例题 能力素质 例用符号∈或填空1 ? 1________N ， 0________N ， －3________N ， 0.5N N ，；2 1________Z ， 0________Z ， －3________Z ， 0.5Z Z ，；2 1________Q ， 0________Q ， －3________Q ， 0.5Q Q ，；2 1________R ， 0________R ， －3________R ， 0.5R R ，；2 分析元素在集合内用符号∈，而元素不在集合内时用符号． ? 解∈， ∈，－，，； 1N 0N 3N 0.5N N ???2 1Z 0Z 3Z 0.5Z Z 1Q 0Q 3Q ∈， ∈，－∈，，；∈，∈，－∈，??2 0.5Q Q 1R 0R 3R 0.5R R ∈，； ∈，∈，－∈，∈，； 22?? 说明：要注意符号的规范书写． 例2 (1)用列举法表示不超过10的非负偶数的集合，并用另一种方法表示出来； (2)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N}，试用列举法表示集合A ； 分析 (1)中集合含的元素为0、2、4、6、8、10；(2)中集合所含的元素是点(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)． 解 (1){0，2，4，6，8，10｝；用描述法表示为{不超过10的非负偶数}，或|x|x ＝2n ，n ∈N ，n ＜6}． (2)A ＝{(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)}． 说明：注意(2)中集合A 的元素是点的坐标．
三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · ； 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec
12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。
选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A= }{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U= {}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________.
集合概念 一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西， 并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。 例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 （1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有 A?（或B?Ａ） 包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，； 注意：B （2）A与B是同一集合。 ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) 或若集合A?B，存在x∈B且x A，则称集合A是集合B的真子集。 ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若 sin 3 ( 2 ), tan 1 ,则 tan( ) 的值是 5 2 A ．2 B ．－ 2 2 2 C ． D ． 11 11 2、如果 sin x 3cosx, 那么 sin x · cosx 的值是 1 1 2 3 A ． B ． C ． D ． 6 5 9 10 3、如果 tan( ) 2 , tan( ) 1 ,那么 tan( )的值是 5 4 4 4 13 3 13 13 A ． B ． C ． D ． 18 22 22 18 4、若 f (sin x) cos2x, 则 f 3 等于 2 1 3 1 3 A ． B ． C ． D ． 2 2 2 2 5、在 ABC 中， sin A · sin B cosA · cosB, 则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6 、角 终边过点 (4,3) ，角 终边过点 ( 7, 1)，则 sin() ； 7 、若 tan 3，则 2 所在象限是 ； 8 、已知 cot 4 3，则 2 sin cos ； cos 2 sin 9 、 tan 65 tan 70 tan65·tan 70 ； 10、 化简 3sin 2x 3 cos2x 。 三、解答题： 11、求 sec100 tan 240·csc100 的值。
12、已知3 ，求(1 tan )(1 tan )的值。4 13、已知cos2 3 , 求 sin 4 cos4的值。 5 14、已知tan, tan 是方程x 2 3x 5 0的两个根， 求 sin 2 ( ) 2 sin( ) ·cos( ) 的值。
集合经典例题讲解 集合元素的“三性”及其应用 集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错． 例1 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 2q ｝，其中a 0≠，Ａ＝Ｂ，求q 的值． 例2 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 例3 已知集合=A {2，3,2a +4a +2}，B ＝{0,7,2a +4a -2,2-a }，且A I B={3,7},求a 值． 分析： 集合易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 2、分不清四种集合：{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合 ()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x I 中元素的个数为…………………………………………………………………………（） （A ）1（B ）0（C ）1或0（D ）1或2 3、搞不清楚是否能取得边界值： 例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ?A ，求m 的范围. 例4、已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P I 等于（） A.（0,2）,(1,1)B.{(0,2),(1,1)}C.{1,2}D. {}2≤y y 集合与方程 例1、已知{}φ=∈=+++=+R A R x x p x x A I ,,01)2(2，求实数p 的取值范围。 例2、已知集合(){}(){}20,01,02,2≤≤=+-==+-+=x y x y x B y mx x y x A 和，如果φ≠B A I ,求 实数a 的取值范围。 例3、已知集合()(){} 30)1()1(,,123,2=-+-=??????+=--=y a x a y x B a x y y x A ，若φ=B A I ，求实数a 的值。 集合学习中的错误种种 数学是一门严谨的学科，在集合学习中，由于对概念理解不清或考虑问题不全面等，稍不留心就会不知不觉地产生错误，本文归纳集合学习中的种种错误，认期帮助同学们避免此类错误的再次发生． 一、混淆集合中元素的形成 例 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B =I 忽视空集的特殊性 例 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ?，则m 的值为 没有弄清全集的含义
1。集合得含义及其表示 (一)集合元素得互异性 1、已知,则集合中元素x所应满足得条件为 变式:已知集合,若,则实数得值为_______ 2。中三个元素可以构成一个三角形得三边长,那么此三角形可能就是 ①直角三角形②锐角三角形③钝角三角形④等腰三角形 (二)集合得表示方法 １. 用列举法表示下列集合 (1) ____＿__＿_____＿＿＿＿＿＿＿______ 变式:已知a,ｂ,c为非零实数,则得值组成得集合为__＿ (2) ＿＿＿_ 变式1: 变式２: (3)集合用列举法表示集合B (4)已知集合Ｍ=,则集合M中得元素为 变式:已知集合Ｍ=,则集合M中得元素为 2。用描述法表示下列集合 (1)直角坐标系中坐标轴上得点＿＿_＿_＿＿_＿__＿__＿＿___＿_____＿__＿__ 变式:直角坐标平面中一、三象限角平分线上得点_________＿__＿_ (2)能被３整除得整数_______＿___________＿_＿_、 3.已知集合,, (1)用列举法写出集合;(2)研究集合之间得包含或属于关系 4。命题(1) ;(２);(3);(4)表述正确得就是、 5、使用与与数集符号来替代下列自然语言:
(1)“255就是正整数” (２)“2得平方根不就是有理数” (３)“3、1416就是正有理数” (4)“-1就是整数” (5)“不就是实数” 6、用列举法表示下列集合: (1)不超过3０得素数(２)五边形得对角线 (3)左右对称得大写英文字母(4)60得正约数 7。用描述法表示:若平面上所有得点组成集合, (1)平面上以为圆心,5为半径得圆上所有点得集合为____＿＿_＿_ (2)说明下列集合得几何意义:; 8。当满足什么条件时,集合就是有限集？无限集？空集？ 9、元素0、空集、、三者得区别? 10. 请用描述法写出一些集合,使它满足: (i)集合为单元素集,即中只含有一个元素; (ii)集合只含有两个元素; (ｉiｉ)集合为空集 11.试用集合概念分析命题:先有鸡还就是先有鸡蛋？ 解释:表述问题时把有关集合得元素说清楚,大有好处。先有鸡还就是先有鸡蛋？让我们运用集合概念来分析它。设地球上古往今来得鸡组成一个集合,孵出了最早得鸡得蛋算不算鸡蛋呢？这就是关键问题。设所有得鸡蛋组成集合,要确定得元素,就得立个标准,说定什么就是鸡蛋,一种定义方法就是:鸡生得蛋才叫鸡蛋;另一种定义方法就是:孵出了鸡得蛋与鸡生得蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义,问题得答案只能就是先有鸡;选择后一种定义,答案当然就是先有鸡蛋。至于如何选择,不就是数学得任务,那就是生物学家得事。 (三)空集得性质 1.若?｛x｜ｘ2≤ａ,a∈R｝,则实数ａ得取值范围就是_______＿ ２、已知ａ就是实数,若集合｛x| ax＝1｝就是任何集合得子集,则a得值就是_______.0?
集合知识点总结 Prepared on 22 November 2020
辅导讲义：集合与常用逻辑用语 1、集合：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 集合的常用表示法：列举法、描述法。 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为 A ? B ，或B ?A ，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”。 即：若A a ∈则B a ∈，那么称集合A 称为集合B 的子集 注：空集是任何集合的子集。 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B 或B ?A ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作 U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作 B A ?（读作“A 交B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 B A ?=A B ?，B A ?B B A A ???，。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作 B A ?（读作“A 并B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 B A ?=A B ?，?A B A ?，?B B A ?。 8、元素与集合的关系：有属于和不属于两种，集合与集合间的关系，用包含、真包含
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案 一、选择题： 1、若)tan(,2 1 tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-2 11 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ． 1 6 B ． 15 C ． 29 D ． 310 3、如果的值是那么)4 tan(,41)4tan(,52)tan(π απββα+=-=+ A ． 1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ? ??232则等于 A ．- 12 B ．- 32 C ． 12 D ． 32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 8、已知=+-=?? ? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 12、的值。 ，求已知)tan 1)(tan 1(4 3βαπ βα--= + 两角和与差练习题 一、选择题： 2．已知)2,0(πα∈,sin(6πα+)=5 3,则cos α的值为( ) A ．－10 334+ B ．10 343- C ．10334- D ．10 334+
7．已知cos(α－π6)＋sin α＝ 4 5 3，则sin(α＋7π 6 )的值是 ( ) A ．－ 2 35 B.235 C ．－45 D.45 8.f(x)＝sinx cosx 1＋sinx ＋cosx 的值域为( ) A ．(―3―1,―1) ∪(―1, 3―1) B ．[－2－1 2,―1] ∪(―1, 2－1 2 ) C ．( －3－12 , 3－1 2 ) D ．[ －2－1 2,2－1 2 ] 解析：令t ＝sin x ＋cos x ＝ 2sin(x ＋π 4)∈[― 2,―1]∪(―1, 2)． 则f(x)＝t 2－1 21＋t ＝ t －12∈[－2－1 2,―1]∪(―1, 2－1 2 )．B 9 .sin()cos()cos()θθθ+?++?-+?7545315的值等于（ ） A. ±1 B. 1 C. -1 D. 0 10．等式sin α＋3cos α＝4m －6 4－m 有意义，则m 的取值范围是 ( ) A ．(－1,7 3) B ．[－1,7 3 ] C ．[－1,7 3 ] D ．[―73 ,―1] 11、已知αβγ，，均为锐角，且1tan 2α=，1tan 5β=，1tan 8 γ=，则αβγ++的值（ ） Ａ．π 6 Ｂ． π4 Ｃ． π3 Ｄ．5π4 12．已知 是锐角，sin =x,cos =y,cos()=－ 5 3 ，则y 与x 的函数关系式为
高一数学集合知识点归纳 高一数学的集合学习以及总结需要把集合相关知识点进行归纳，只有把知识点归纳好才可以学好高一数学集合，以下是我总结了高一数学的知识点，希望帮到大家更好地归纳好集合的知识点同时复习好集合。 一、知识点总结 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性、互异性和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则AB(或AB); 2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或，且) 3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}
4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B} 5)补集：CUA={x|xA但x∈U} 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB; ④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪B=B∪A; ③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二、集合知识点整合 集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如:1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:紧急~。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素:有理数的~。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论:集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年—1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。 集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。 集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称
发散思维培训班测试题 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ，{}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集
8、设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D } {2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2x ax b ++,A=}{}{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式
第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、(优秀的， 漂亮的，聪明的，难的，简单的，都不可以构成集合) （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 课时二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 （1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：B A?（或B?Ａ）注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，（2）A与B是同一集合。
三角函数的两角和差及倍角公式练 习题 欧阳学文 一、选择题： 1、若)tan(,2 1 tan ),2 (53sin βαβπαπα-= <<=则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ． 3 10 3、如果的值是那么)4 tan(,4 1)4 tan(,5 2)tan(παπββα+=-=+ A ．1318 B ． 322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ? ? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ． 32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题：
6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=； 7、若αα23tan ，则=所在象限是； 8、已知=+-=?? ? ??+θθθθθπ sin 2cos cos sin 234cot ，则； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan ·； 10、化简3232sin cos x x + =。 三、解答题： 11、求的值。 ·??+?100csc 240tan 100sec 12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(4 3βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 235 44θθθ=+ 14、已知 )sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。 答案： 一、 1、B 2、D 提示: tanx = 3, 所求12 2sin x , 用万能公式。 3、B 提示: ()απ αββπ+ =+--? ? ?? ?44 4、A 提示: 把x =π3 代入
1. 集合的含义及其表示 (一)集合元素的互异性 1?已知x R，则集合{3,X,X22x}中元素X所应满足的条件为 变式：已知集合A {a 2,(a 1)2,a2 3a 3}，若1 A，则实数a的值为_________________ 2. M a，b,c中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是 ①直角三角形②锐角三角形③钝角三角形④等腰三角形 (二)集合的表示方法 1. 用列举法表示下列集合 (“ A {x|x旦凹,a,b为非零实数} a b 变式：已知a,b,c为非零实数，则2 A A 旦0的值组成的集合为 |a| |b| |c| |abc| — (2) _________________________ A {(x,y)|y ——乙x N*} A {(1,3),(2,6),(4, 6),(5, 3),(6, 2),(9, 1)} 3 x 12 变式1： A x x N,—— N 6 x 变式2： A x, yxy6,xN,yN (3)集合A {x|x乙2 x 2}, B {y| y x2,x A},用列举法表示集合B (4)已知集合M=a Z|旦 N*}，则集合M中的元素为 5 a 变式：已知集合M=-^ Z |a N*}，贝卩集合M中的元素为 5 a 2. 用描述法表示下列集合 (1)直角坐标系中坐标轴上的点__________________________________ 变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点 ________________ (x,y)y x,x R (2)能被 3 整除的整数 ________________________ x 3n,n Z . 3. 已知集合 A 0, , B xx A , C xx A