什么是随机过程

什么是随机过程？

随机过程是一种依赖于参数t 的随机变量，参数t 可以取离散整数值，此时称该过程为离散参数随机过程，记作{},n X n N ∈，参数t 也可以取连续值，则称该过程为连续随机过程，记作(){},X t t R ∈。由于许多应用中参数t 具有时间含义，所以就习惯上把t 称为时间。

中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案

（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-

第11讲随机过程 孙应飞

第三章 Poisson 过程（Poisson 信号流） 九、更新过程 （1） 概念及基本性质 定义：设}1,{≥k X k 是独立同分布，取值非负的随机变量，分布函数为)(x F ， 且1)0(

)}({)(t N E t m = 称)(t m 为更新函数。关于更新函数，有以下重要的定理。 定理：对于0≥?t ，有： ∑∞ ==1 )()(n n t F t m 证明：根据以上的关系式，计算得： ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞ =∞ =∞ =∞ =∞ =∞ ==∞ =∞=≤=≥=≥=========1 1 111110} {} )({})({} )({})({} )({})({)(n n n k k k n n n k n n t S P n t N P k t N P n t N P n t N P n t N P n n t N P n t m 即有： ∑∞ ==1 )()(n n t F t m 推论：若对0≥?t ，1)(

(解答)《随机过程》第二章习题

第二章 Markov 过程 习题解答 1、 设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为： 01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ 定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下： ?????? ?=========----; 1,1, 3;0,1,2; 1,0,1; 0,0,01111n n n n n n n n n X ξξξξξξξξ ???===-;,1; 0,0,01其它n n n Y ξξ 试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。不是的话，请说明理由。 解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。 任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定 1+n X 的概率特性，即我们有： }{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+ 因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为： ????? ???? ???=p q p q p q p q P 0 000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。（也可以利用02 >P 判定此链是不可约的遍历链） （2）显然，}2,{≥n Y n 的状态空间为}1,0{=S ，由于： } 1,1{} 1,1,0{}1,10{23234234====== ===Y Y P Y Y Y P Y Y Y P } 0,1{} 0,1,0{}0,10{23234234====== ===Y Y P Y Y Y P Y Y Y P 由}2,{≥n Y n 的定义，可知 } 1,1,1{}1,1,0{}0,1,1{}0,1,0{}1,0,1{}1,1{12312312312312323===?===?===?? ===?======ξξξξξξξξξξξξξξξY Y }1,1,0,0{}0,1,0,0{}1,1,0{12341234234====?========ξξξξξξξξY Y Y

中科院光电研究所

光电研究院2011年硕士招生简章 中国科学院光电研究院（以下简称光电院）成立于2003年底，是隶属于中国科学院的国立研究机构。中国科学院空间科学与应用总体部和中国科学院二代导航专项总体部依托光电院。 光电院主要科研单元有：空间系统工程部、光电系统工程研究部、有效载荷应用中心、对地观测技术应用研究部、气球飞行器研究中心、二代导航专项总体部等部门。 研究领域主要包括光电子工程、空间科学与应用、航天地面系统、浮空飞行器技术、导航技术等五个方面。涉及光学、光电子学、激光技术及其应用、空间飞行器及有效载荷、遥感技术与应用、信息及信号处理技术、无线通信、电子学、微波通信、计算机应用、高空科学气球等学科。 光电院具有计算机应用技术、信号与信息处理、飞行器设计和光学工程四个专业的硕士学位授予权；同时具有信号与信息处理、计算机应用技术、光学工程三个专业的博士学位授予权。目前有博士生导师14人、硕士生导师44人；在学研究生140人，其中博士生30人、硕士生110人、在站博士后2人。欢迎计算机科学与技术、信息与通信工程、电子科学与技术、自动控制、遥感及摄影测量、应用数学、应用物理、微波技术、光学工程、天体力学、数学、力学、热物理、机械类等相关专业学生报考。光电研究院实行研究生奖学金制度和研究助理制度，在学期间不收学费。毕业分配是在国家计划的就业范围内，实行双向选择的分配原则。 硕士研究生招生专业目录

2．第④单元专业课由中国科学院研究生院统一命题（考试科目主要覆盖范围、主要参考书及出版社名称），可上中国科学院研究生院招生网查询； 3. 2011年预计招收硕士研究生80人（学术型硕士40人、专业学位研究生40人，其中接收推荐免试生约占50%）；最终以中国科学院批准招收名额为准。