第四节万有引力理论的成就
1．若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于______对物
体的________，即mg＝________，式中M是地球的质量，R是地球的半径，也就是物
体到地心的距离．由此可得出地球的质量M＝________.
2．将行星绕太阳的运动近似看成____________运动，行星做圆周运动的向心力由
__________________________提供，则有________________，式中M是______的质量，
m是________的质量，r是________________________________，也就是行星和太阳中
心的距离，T是________________________．由此可得出太阳的质量为：
________________________.
3．同样的道理，如果已知卫星绕行星运动的________和卫星与行星之间的________，也
可以计算出行星的质量．
4．太阳系中，观测行星的运动，可以计算________的质量；观测卫星的运动，可以计算
________的质量．
5．18世纪，人们发现太阳系的第七个行星——天王星的运动轨道有些古怪：根据
________________计算出的轨道与实际观测的结果总有一些偏差．据此，人们推测，在
天王星轨道的外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的________使其轨道产生了偏离．
________________和________________________确立了万有引力定律的地位．
6．应用万有引力定律解决天体运动问题的两条思路是：(1)把天体(行星或卫星)的运动近
似看成是____________运动，向心力由它们之间的____________提供，即F＝F，可向万以用来计算天体的质量，讨论行星(或卫星)的线速度、角速度、周期等问题．基本公式：22v4π2＝mr＝mrω.
________＝m2Tr(2)地面及其附近物体的重力近似等于物体与地球间的____________，即F＝G＝mg，万主要用于计算涉及重力加速度的问题．基本公式：mg＝________(m在M的表面上)，即
2.
＝gRGM7．利用下列数据，可以计算出地球质量的是()
A．已知地球的半径R和地面的重力加速度g
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和周期T
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度v
D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
8．下列说法正确的是()
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算的轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨
道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星
【概念规律练】
计算天体的质量知识点一．
1．已知引力常量G和下列各组数据，能计算出地球质量的是()
A．地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离
B．月球绕地球运行的周期及月球离地球的距离
C．人造地球卫星在地面附近绕行的速度及运行周期
D．若不考虑地球自转，已知地球的半径及重力加速度
11222－，地球半径Rs＝g＝9.8 10N ·mm/kg/，重力加速度2．已知引力常量G＝6.67×6×106.4m，则可知地球质量的数量级是() 1820 kg10 B10A．．kg
2224 kg10 D10．kg C．知识点二天体密度的计算
3．一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，若认为行星是密度均匀的球体，那
么要确定该行星的密度，只需要测量()
A．飞船的轨道半径B．飞船的运行速度
C．飞船的运行周期D．行星的质量
4．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若卫星贴近该天体的表面做匀
速圆周运动的周期为T，已知万有引力常量为G，则该天体的密度是多少？若这颗卫1星
距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T，则该天体的密度又是多2少？
知识点三发现未知天体
5．科学家们推测，太阳系的第九大行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳
的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信
息我们可以推知()
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的自转周期与地球相等
C．这颗行星的质量与地球相等
D．这颗行星的密度与地球相等
【方法技巧练】
应用万有引力定律分析天体运动问题的方法
6．近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T和T，设在卫星1、卫21星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g、g，则() 21gTgT21114/34/3 ).＝(B A.＝() TTgg1222gTgT211122 ()D.＝) .C＝(TTgg122262.计算在距离地面高m/s＝＝R6.4×10m，地面附近重力加速度g9.8 ．已知地球半径7为
6 m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v102h＝×和周期T.
，则，周期为T，引力常量为G1．若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为r) 可求得(
A．该行星的质量B．太阳的质量C．该行星的平均密度D．太阳的平均密度．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面表面处重力加2 速) 倍，则该星球的质量将是地球质量的(度的41 ．4倍BA. 4 ．64倍 D C．16倍
．火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨3 道) 半径约为地球绕太阳公转半径的1.5倍．根据以上数据，下列说法中正确的是( A．火星表面重力加速度的数值比地球表面小B．火星公转的周期比地球的长C．火星公转的线速度比地球的大D．火星公转的向心加速度比地球的大G，4．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为) 那么该行星的平均密度为(2πGT3 . BA. 2
GT3π2πGT4 D . C. 2GTπ4月发射第一颗火年105．为了对火星及其周围的空间环境进行监测，我国预计于2011 星h的圆轨道上运动时，探测器“萤火一”．假设探测器在离火星表面高度分别为h和21引力常.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，周期分别为T和T21) 仅利用以上数据，可以计算出(量为G. ．火星的密度和火星表面的重力加速度
A ．火星的质量和火星对“萤火一”的引力
B ．火星的半径和“萤火一”的质量
C ．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一”的引力
D b为一颗近地绕地球做匀速圆R，a为静止在地球赤道上的一个物体，．设地球半径为6下列说法中正确的是为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r.周运动的人造卫星，c)
(r的线速度大小之比为a与cA．RRB．a与c的线速度大小之比为rrC．b与c的周期之比为RRRD．b与c的周期之比为rr 日“神舟七”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太27月9年2008．7．
空行走标志着中国航天事业全新时代的到来．“神舟七”绕地球做近似匀速圆周运动，，若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为2r，则可以确定r其轨道半径为)
(
4 ．卫星与“神舟七”的加速度大小之比为1∶A2 ．卫星与“神舟七”的线速度大小之比为1∶
B ．翟志刚出舱后不再受地球引力
C ．翟志刚出舱任务之一是取回外挂的实验样品，假如不小心实验样品脱手，则它将做
D 自由落体运动，若G．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为8)
由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为(
πππ3341111????????. D C. B. A.????????G
ρGρ3GρGρπ42222所示，．如图19
1
图2R(RR和a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是为) 地球半径)．下列说法中正确的是(1 2、b∶的线速度大小之比是A．a2
∶2、b的周期之比是1B．a4 6∶、b的角速度大小之比3C．a4
9∶、b的向心加速度大小之比是D．a 8项科学之最，在》杂志评选出了2008年度世界．英国《新科学家(Ne w Scientist)10 ，45 R约为kmXTEJ1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径2cM，则该黑洞表面重)为光速，G为引力常量R的关系满足＝(其中c质量M和半径2GR 力)
加速度的数量级为(
2102 8 221214
土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两11. 个54，忽略所km1.2 km和r＝×1010＝和岩石颗粒AB与土星中心的距离分别为r8.0×BA) 结果可用根式表示有岩石颗粒间的相互作用．( 的线速度之比．A和B(1)求岩石颗粒5处10km ×N(2)土星探测器上有一物体，在地球上重为10 ，推算出它在距土星中心3.23，请估算土星质量是地球质量×N．已知地球半径为6.410km0.38 受到土星的引力为的多少倍？
12．中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大．现有一中子星，观测到
1它的自转周期为T＝s．问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不30－致因自转而瓦解？(计算时星体可视为均匀球体，万有引力常量G＝6.67×101132)) skg·m/(
第4节万有引力理论的成就
课前预习练2gRGMm1．地球引力2GR2πGMm2＝mr()太阳行星行星绕太阳运动太阳对行星的万有引力匀速圆周．22Tr324πr ＝M的轨道半径行星绕太阳运动的公转周期2GT 距离3．周期
行星4．太阳
哈雷彗星的“按时回归”5．万有引力定律吸引海王星的发现
GMmGMm万有引力匀速圆周(2)万有引力6．(1)22Rr2gRMm，所G＝mg得
M＝7．ABCD[设相对地面静止的某一物体的质量为m，则有2GR3224π4πrrMm，
所＝m得M，则万有引力提供向心力，以A选项正确．设卫星质量为mG＝
222GTTr22vv rMm，所以M＝＝以B选项正确．设卫星质量为m，由万有引力提供向心力，Gm，得2Grr2πMm2v，由r＝m vω＝m，由万有引力提供向心力，C选项正确．设卫
星质量为mG＝mωv2Tr3v T2π]
得MD选项正确．＝，所以＝rω＝r，消去r G2πTD
．8 课堂探究练BCD ．1D
2．无法计算围绕中心天体点评天体质量的计算仅适用于计算被环绕的中心天体的质量，做圆周运动的天体的质量，常见的天体质量的计算有如下两种：(1)已知行星的运动情况，计算太阳质量．(2)已知卫星的运动情况，计算行星质量．3223π4π4πMRGMm43Rπ＝，又因为M＝，V＝＝，ρ，所以ρ，所以R＝因为．3C[m2222GTRTGT3V]
选项C正确．利用飞船受到行星的万有引力提供飞船做圆周运动的向心力进行分析．点评．3?＋h3π?R3π4.223RGTGT21 .卫星贴近天体表面做匀速圆周运动时有解析
设卫星的质量为m，天体的质量为M3224π4πRMm M＝G＝mR，则
222GTRT1143RπV＝根据数学知识可知星球的体积3323π4πRM ＝故该星球密度ρ＝＝2
1GTV4123Rπ·GT13 时有卫星距天体表面距离为h24πMm)
h＝m(R＋G22T?h?R＋2324π??R＋h M＝2GT2323?3π?R＋h4π?h?R＋Mρ＝＝＝2324RGTV232Rπ·GT23324πMrr计算出天体的质量，再利用ρ＝计算天体的密度，注意点评利用公式M＝24GT3Rπ 3.
Rr＝指绕天体运动的轨道半径，而R指中心天体的半径，只有贴近中心天体运动时才有A
．522πTGMm2可得R，＝[卫星绕天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有m()6．B32 RRT2GMK34GMGMm成Tg，则＝＝g与＝K为常数，由重力等于万有引力有＝mg，联立解得234R34TT32K]
反比．33 s
10 m/s7.6×7．6.9×10 根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，有解析
2v Mm mG＝2h＋?RR?＋hGM 知①v＝h＋RMm2 GM＝gR②由地球表面附近
万有引力近似等于重力，即G＝mg得2R 由①②两式可得29.8gR6v＝m/s
10×＝6.4×6610×＋2R＋h6.4×103 m/s
106.9×＝2π?R＋h?运动周期T＝v66?10×＋2?2×3.14×6.4×103 s 10＝7.6×＝s
36.9×10方法总结解决天体问题的两条思路
(1)所有做圆周运动的天体，所需要的向心力都来自万有引力．因此，向心力等于万有Mm引力
是我们研究天体运动建立方程的基本关系式，即G＝ma，式中的a是向心加速度．2rMm(2)物体在地球(天体)表面时受到的万有引力近似等于物体的重力，即：G＝mg，式2R．
表面物体的重力加速度．天体))的半径，g为地球(中的R为地球(天体课后巩固练B
．12gRMm ，M＝G＝mg得2．D[由2GR2gR Gg3M＝ρ＝＝
GR4π4V3Rπ3ggR34
＝＝所以R＝，则Gρ4πgR地地222·gR4?R?464ggR地地地地]
项正确．64M，所以D根据M＝＝＝＝地GGG2MmMA＝G，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的，3．AB[由G＝mg得g225RR32πrMm2对；周期长的线速B2π正确；由G＝m()，公转轨道半径大的周期长，r得T＝2
GMrTMGM]
错．G，D度小(或由v＝判断轨道半径大的线速度小)，C错；公转向心加速度a＝2rr2πMm2，)RG[设飞船的质量为m，它做匀速圆周运动的半径为行星半径R，则＝m(4．B2
TR324πR232GT3π4πMR＝，行星的平均密度ρ，所以行星的质量M＝＝＝B项正确．]
22GT4GT433RRππ33 ，则有，半径为设火星质量为MR，“萤火一”的质量为m5．A[2πMm??2m＝) G ①R(＋h??21T?hR＋?112πMm??2mG ②＝(R＋h) ??22T?h?R＋22GMGMm，g＝mg＝，则、联立①②两式可求得MR，由此可进一步求火星密度，由于22RRA.]
显然火星表面的重力加速度也可求出，正确答案为R、，选项A可得，[物体a与同步卫星c角速度相等，由v＝rω二者线速度之比为6．D r3RrR错误，可得，二者周期之比为，选项cB 均错误；而b、均为卫星，由T＝C2πrGMr]
正确．DGMGM v∶，可知4，故A v正确；根据v＝∶[7．AB根据a＝，可知aa＝1∶22211rr 正确；根据万有引力定律，翟志刚不论是在舱里还是在舱外，都受地球引力2，故B＝1∶]
D错．错；样品脱手时具有和人同样的初速度，并不会做自由落体运动，故的作用，故C物体随天体一起自转，当万有引力全部提供向心力使之转动时，物体对天体的[8．D1骣p3224πMMm琪]
正确．D，所以T＝，＝RG压力恰好为零，则＝m，又ρ琪224RT rG3R π桫32v Mm G[根据得＝mCD．92rr v6GM3R a＝v.
＝＝，v2rR2b
24πGMm ，得根据＝mr22Tr324πr ＝T，GM6R2 T2a3＝??＝9T3R bωT ba4. ＝＝3 6∶ωT ab FGM万根据a＝＝，得2n rm9a3R an2.] ＝(＝)
4Ra2bn MGMGMm＝，将，即g＝10．C[可认为黑洞表面物体的重力等于万有引力，即mg＝22 RRR2822?103×?cc21221×＝代入上式得g＝＝10 m/sm/s.]
3R2G210××2456(2)95
．(1)112Mm2＝v r.万有引力提供岩石颗粒做圆周运动的向心力，所以有G＝m v故/解析(1)2
r5v km1.2×106rGM AB. ＝＝所以＝4v r2r km×108.0AB(2)设物体在地球上重为G，在土星上重为G，则由万有引力定律知：土地MmMm土地G＝G，G＝G 22土地RR土地Mm土22＝Fr ＝G，故GR又F2万土土万r2252?10×?3.2MGRFr×0.38土土土万所以＝＝＝95. ＝
3222?6.4×10G10R×?MGR地地地地地143×10 kg/m12．1.27解析考虑中子星赤道处一小块物体，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋转所需的向心力时，中子星才不会瓦解．
设中子星的密度为ρ，质量为M，半径为R，自转角速度为ω，位于赤道处的小块物体质量为m，则有
2π4GMm23ρπR＝＝MmωR，ω＝，2RT33π由以上各式得ρ＝2GT143 10 kg/m1.27代入数据解得ρ＝×Mm2R知，只要赤道上的物体不做mω＝因中子星自转的角速度处处相同，据点评G2R 离心运动，其他位置上的物体就会处于稳定状态，中子星就不会瓦解．