单元评估检测(六)
(第十一、十二章)
(120分钟150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2018·安阳模拟)在某校连续5次考试成绩中,统计甲,乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图.已知甲同学5次成绩的平均数为81,乙同学5次成绩的中位数为73,则x+y的值为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选A.因为81=,所以x=0,
因为乙同学5次成绩的中位数为73,
所以y=3,所以x+y=3.
2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为 ( )
A.167
B.137
C.123
D.93
【解析】选B.初中部女教师的人数为
110×70%=77,
高中部女教师人数为150×40%=60,
则该校女教师的人数为77+60=137.
3.(2018·长春模拟)下列命题:①在线性回归模型中,相关指数R2表示解释变量x 对于预报变量y的贡献率,R2越接近于1,表示回归效果越好;②两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1;③在回归直线方程=-0.5x+2中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量平均减少0.5个单位;④对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k来说,k越小,“X与Y有关系”的把握程度越大.其中正确命题的个数是 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.①相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率,R2越接近于1,表示回归效果越好,是正确的;②两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1,是正确的;③在回归直线方程=-0.5x+2中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量平均减少0.5个单位,是正确的;④对分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k来说,k越小,“X与Y有关系”的把握程度越小,故原命题错误.
4.某中学数学兴趣小组为调查该校学生对学校食堂的某种食品喜爱与否是否与性别有关,随机询问了 100 名性别不同的学生,得到如下的2×2列联表:
男生女生总计
喜爱30 20 50
不喜爱20 30 50
总计50 50 100
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
附:K2=
根据以上数据,该数学兴趣小组有多大把握认为喜爱该食品与性别有关”
( ) A.99%以上 B.97.5%以上
C.95%以上
D.85%以上
【解析】选C.K2的观测值k
==4>3.841,
所以该数学兴趣小组有95%以上的把握认为“喜爱该食品与性别有关”.
5.(2018·保定模拟)已知具有线性相关的变量x,y,设其样本点为A i(x i,y i)
(i=1,2,…,8),回归直线方程为=x+a,若++…+=(6,2)(O为原点),则a= ( )
A. B.-
C. D.-
【解析】选B.因为++…+
=(x1+x2+…+x8,y1+y2+…+y8)
=(8,8)=(6,2),
所以8=6,8=2?=,=,
因此=×+a,所以a=-.
6.现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1和B1不全被选中的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所有可能的结果组成的12个基本事件为:(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,
B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,
B2,C2).
设“A1和B1不全被选中”为事件N,则其对立事件表示“A1和B1全被选中”,由于={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},所以P()==,由对立事件的概率计算公式得
P(N)=1-P()=1-=.
7.(2018·宜宾模拟)某次知识竞赛中,四个参赛小队的初始积分都是10分,在答题过程中,各小队每答对1题加0.5分,若答题过程中四个小队答对的题数分别是3道,7道,7道,3道,则四个小队积分的方差为( )
A.0.5
B.0.75
C.1
D.1.25
【解析】选C.根据题意,四个参赛小队的得分分别为11.5分,13.5分,13.5分,11.5分;
计算平均数为=×(11.5+13.5+13.5+11.5)=12.5,
方差为s2=×[(11.5-12.5)2+(13.5-12.5)2+(13.5-12.5)2+(11.5-12.5)2]=1.
8.设a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数f(x)=x3+ax-b在区间[1,2]上有零点的概率为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.因为f(x)=x3+ax-b,所以f′(x)=3x2+a,因为a∈{1,2,3,4},所以f′(x)>0,所以函数f(x)在区间[1,2]上为增函数.若存在零点,只需满足条件则解得a+1≤b≤8+2a.因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有:a=1,2≤b≤10,故b=2,b=4,b=8;a=2,3≤b≤12,故b=4,b=8,b=12;a=3,4≤b≤14,故
b=4,b=8,b=12;a=4,5≤b≤16,故b=8,b=12.根据古典概型可得有零点的概率为.
9.把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上,已知硬币平放在托盘上且没有掉下去,则该硬币完全落在托盘上(即没有任何部分在托盘以外)的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由题意可知,要使硬币平放在托盘上且没有掉下去,则硬币的圆心必须落在正方形ABCD中(包括边界),要使硬币完全落在托盘上(即没有任何部分在托盘以外),则硬币的圆心必须在正方形EFGH中(包括边界),如图.
则该硬币完全落在托盘上(即没有任何部分在托盘以外)的概率P==.
10.(2018·商丘模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+b2x+1,若a是从1,2,3中任取的一个数,b是从0,1,2中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( ) A. B.
C. D.
【解析】选D.f′(x)=x2+2ax+b2,要使函数f(x)有两个极值点,则有Δ=(2a)2- 4b2>0,即a2>b2.由题意知所有的基本事件有9个,即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0), (2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b 的取值.满足a2>b2的有6个基本事件,即(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1), (3,2),所以所求事件的概率为=.
11.已知一个样本为x,1,y,5,若该样本的平均数为2,则它的方差s2的最小值为
( ) A.5 B.4
C.3
D.2
【解题指南】求出x+y=2,求出xy的最大值,根据方差的定义求出其最小值即可. 【解析】选C.因为样本x,1,y,5的平均数为2,
故x+y=2,故xy≤1,
故s2=[(x-2)2+(y-2)2+10]=+(x2+y2)≥+·2xy≥+×2=3,故方差的最小值是3.
12.如图所示 , 正六边形ABCDEF 中,P为线段AE的中点,在线段DE上随机取点Q,入射光线PQ经DE反射,则反射光线与线段BC相交的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.如图, 设正六边形的边长为 2a, 则 PE=a,
FP=a,PC=3a,BD=2a,
当反射光线过B时,设Q在M处,
此时△PEM∽△BDM,
设EM=x,则MD=2a-x,
由2a-x=2x,得x=;
当反射光线过C时,设Q在N处,过N作NO⊥PC,则PO=PC=,即FN=,所以反射光线与线段BC相交的概率为P==.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(2019·淮安模拟)有100件产品编号从00到99,用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验,分组后每组按照相同的间隔抽取产品,若第5组抽取的产品编号为91,则第2组抽取的产品编号为________.
【解析】根据系统抽样原理,抽样间隔为l==20,设第一组抽取数据为a0,
则第5组抽取的产品编号为4×20+a0=91,
解得a0=11,
所以第2组抽取的产品编号为1×20+a0=31.
答案:31
14.(2018·惠州模拟)随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如表:
满意情况不满意比较满意满意非常满意
人数200 n 2 100 1 000
根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为________.
【解析】由题意,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1 200+2 100=3 300,由古典概型概率公式可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为=.
答案:
15.(2018·福州模拟)如图为某个四面体的三视图,若在该四面体的外接球内任取一点,则点落在四面体内的概率为________.
【解析】由三视图可知该立体图形为三棱锥,其底面是一个直角边长为3的等腰直角三角形,高为4,所以该三棱锥的体积为12,又外接球的直径2r为以三棱锥的三个两两垂直的棱为三条棱的长方体的对角线,
即2r==2,
所以外接球的体积为,所以点落在四面体内的概率为=.
答案:
16.如图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频
率分布直方图,已知图甲中从左向右第一组的频数为4 000.在样本中记月收入在[1 000,1 500),[1 500,2 000),[2 000,2 500),[2 500,3 000),[3 000,3 500), [3 500,4 000]的人数依次为A1,A2,…,A6.图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的程序框图,则样本的容量n=________;图乙输出的
S=________.(用数字作答)
【解析】因为月收入在[1 000,1 500)的频率为0.000 8×500=0.4,且有4 000人,所以样本的容量n==10 000,由题图乙知输出的S=A2+A3+…+A6=10 000- 4 000=6 000.
答案:10 000 6 000
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2018·武汉模拟)某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛,并记录他们的成绩,得到如图所示的茎叶图.现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”.
(1)记甲班“口语王”人数为m,乙班“口语王”人数为n,比较m,n的大小.
(2)求甲班10名同学口语成绩的方差. 世纪金榜导学号
甲乙
0 6 1 4
7 5 2 7 0 2 3
8 4 0 0 8 5 6 8
3 1 9
4 7
【解析】(1)由茎叶图可得出甲、乙所对应的各个数据.
因为=
=80,
所以m=4;
=
=79,
所以n=5.所以m (2)甲班10名同学口语成绩的方差 s2=[(60-80)2+(72-80)2+(75-80)2+(77-80)2+(80-80)2+(80-80)2+(84-80)2+(88-8 0)2+(91-80)2+(93-80)2] =(202+82+52+32+42+82+112+132) =86.8. 18.(12分)某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区出现a,b 两种“共享单车”(以下简称a型车,b型车).某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况. (1)某日该学习小组进行一次市场体验,其中4人租到a型车,3人租到b型车.如果从组内随机抽取2人,求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a 型车的概率. (2)根据已公布的2016年全年市场调查报告,小组同学发现3月,4月的用户租车情况呈现下表使用规律.例如:3月租用a型车的人中,在4月有60%的人仍租用a 型车. 3月 租用a型车租用b型车 4月 租用a型车60% 50% 租用b型车40% 50% 若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同.已知2017年3月该地区租用a,b两种车型的用户比例为1∶1,根据表格提供的信息,计算2017年4月该地区租用两种车型的用户比. 世纪金榜导学号 【解析】(1)记租到a型车的4人分别为A1,A2,A3,A4;租到b型车的3人分别为B1,B2,B3. 记事件A为“从7人中抽取2人,至少有一人租到a型车”,则事件为“从7人中抽取2人,都租到b型车”. 从7人中抽出2人有A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A1B3, A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A2B3,A3A4,A3B1,A3B2,A3B3,A4B1,A4B2,A4B3,B1B2,B1B3,B2B 3,共21种情况,事件发生有B1B2,B1B3,B2B3,共3种情况, 所以P(A)=1-P()=1-=. (2)依题意,4月份租用a型车的百分比为50%×60%+50%×50%=55%, 租用b型车的百分比为50%×40%+50%×50%=45%, 所以2017年4月该地区租用a,b 型车的用户比为=. 19.(12分)经调查,3个成年人中就有一个高血压,那么什么是高血压?血压多少是正常的?经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查,得出随年龄变化,收缩压的正常值变化情况如下表: 年龄x 28 32 38 42 48 52 58 62 收缩压 y(单位 114 118 122 127 129 135 140 147 mmHg) 其中:=,=- , =17 232,x i y i=47 384. (1)请画出上表数据的散点图. (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 =x+.(,的值精确到0.01) (3)若规定,一个人的收缩压为标准值的0.9～1.06倍,则为血压正常人群;收缩压为标准值的1.06～1.12倍,则为轻度高血压人群;收缩压为标准值的1.12～1.20倍,则为中度高血压人群;收缩压为标准值的1.20倍及以上,则为高度高血压人群.一位收缩压为180 mmHg的70岁的老人,属于哪类人群? 世纪金榜导学号 【解析】(1) (2) ==45, = =129, == =≈0.91, 所以=-≈129-0.91×45=88.05, 所以回归直线方程为=0.91x+88.05. (3)根据回归直线方程的预测,年龄为70岁的老人标准收缩压约为0.91× 70+88.05=151.75(mmHg), 因为≈1.19, 所以收缩压为180 mmHg的70岁老人为中度高血压人群. 20.(12分)(2018·张掖模拟)某医药公司生产五种抗癌类药物,根据销售统计资料,该公司的五种药品A,B,C,D,E的市场需求量(单位:件)的频率分布直方图如图所示. 世纪金榜导学号 (1)求a的值. (2)若将产品的市场需求量的频率视为概率,现从B,C两种产品中利用分层抽样的方法随机抽取5件,然后从这5件产品中任取3件,求“至少有2件取自B产品”的概率. 【解析】(1)由频率分布直方图可得,组距为20, 所以(a+0.0075+0.01+0.0125+0.015)×20=1, 解得a=0.005. (2)由(1)知,B产品的市场需求量的频率为: 0.01×20=0.2, C产品的市场需求量的频率为: 0.015×20=0.3, 故从两件产品中利用分层抽样的方法抽取5件产品,则B产品有2件,分别记作M,N, C产品有3件,分别记作a,b,c, 从中任取3件,所有不同结果有10种,分别为: {M,N,a},{M,N,b},{M,N,c},{M,a,b},{M,a,c},{M,b,c},{N,a,c},{N,a,b},{N, b,c},{a,b,c}, 其中“至少有2件取自B产品”的结果有3种, 分别为:{M,N,a},{M,N,b},{M,N,c}, 所以“至少有2件取自B产品”的概率为P=0.3. 21.(12分)(2018·江西模拟)在某超市,随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况,得到如下的2×2列联表,已知其中从使用手机支付的人群中随机抽取1人,抽到青年的概率为. 世纪金榜导学号 (1)根据已知条件完成2×2列联表,并根据此资料判断是否有99.9%的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”? (2)现采用分层抽样从这100名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本,设事件A为“从这个样本中任选3人,这3人中至少有2人是使用手机支付的”,求事件A发生的概率? 2×2列联表 青年中老年总计 使用手机支付60 不使用手机支付28 总计100 P(K2 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ≥k0) k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 附:K2= 【解析】(1)因为从使用手机支付的人群中随机抽取1人,抽到青年的概率为, 所以使用手机支付的人群中的青年的人数为×60=48(人), 则使用手机支付的人群中的中老年的人数为60-48=12人,所以2×2列联表为: 青年中老年总计 使用手机支付48 12 60 不使用手机支付12 28 40 总计60 40 100 K2的观测值k==25>10.828, 故有99.9%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”. (2)从这100名顾客中采用分层抽样按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”抽取得到一个容量为5的样本,其中使用手机支付的人有5×=3(人), 记编号为1,2,3 不使用手机支付的人有2人,记编号为a,b, 则从这个样本中任选3人有 (1,2,3)(1,2,a)(1,2,b)(1,3,a)(1,3,b)(1,a,b)(2,3,a)(2,3,b)(2,a,b)(3,a,b)共10种, 其中至少有2人是使用手机支付的有 (1,2,a) (1,2,b) (1,3,a)(1,3,b)(2,3,a)(2,3,b)(1,2,3),共7种,故P(A)=. 22.(12分)(2018·莆田模拟)交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为950元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表(其中浮动比率是在基准保费上上下浮动): 交强险浮动因素和浮动费率比率表 类 浮动因素浮动比率型 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格: (1)求这60辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费的平均值(精确到0.1元). (2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5 000元,一辆非事故车盈利10 000元,且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致.试完成下列问题: ①若该销售商店内有六辆(车龄已满三年)该品牌二手车,某顾客欲在该店内随机挑选3辆车,求这3辆车恰好有一辆为事故车的概率. ②若该销售商一次购进120辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求一辆车盈利的平均值. 世纪金榜导学号 【解析】(1)这60辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费的平均值为×0.9+×0.8+×0.7+×1+×1.1+×1.3×950=×950≈942.1(元). (2) ①由统计数据可知,该销售商店内的6辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车,设为a,b,4辆非事故车,设为1,2,3,4.从这6辆车中随机挑选3辆车的情况有(a,b,1),(a,b,2),(a,b,3),(a,b,4),(a,1,2),(a,1,3),(a,1,4),(a,2,3),(a, 2,4),(a,3,4),(b,1,2),(b,1,3),(b,1,4),(b,2,3),(b,2,4),(b,3,4),(1,2, 3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共20种情况. 其中3辆车中恰好有一辆为事故车的情况有:(a,1,2),(a,1,3),(a,1,4), (a,2,3),(a,2,4),(a,3,4),(b,1,2),(b,1,3),(b,1,4),(b,2,3),(b,2,4),(b, 3,4),共12种.故该顾客在店内随机挑选3辆车,这3辆车中恰好有一辆事故车的概率为=. ②由统计数据可知,该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆,非事故车80辆,所以一辆车盈利的平均值为×[(-5 000)×40+ 10 000×80]=5 000(元). 关闭Word文档返回原板块 三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试 正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？ 首先，我们要了解下正弦定理的应用领域 在解三角形中，有以下的应用领域： （1）已知三角形的两角与一边，解三角形 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦 正弦定理 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径） 其次，余弦的应用领域 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径） （4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1．在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为 2．已知α为锐角，且，则α的度数是（） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是（） A．75° B．90° C．105° D．120° 4．若∠A为锐角，且，则A=（） A．15° B．30° C．45° D．60° 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝，E是AC中点， EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。 文科高考数学必背公式 高中数学诱导公式全集： 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角, 终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z) 公式二： 设α为任意角, π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα 高中数学公式及知识点速记 1、函数的单调性 (1)设1212[,],x x a b x x ∈<、且那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间可导， 若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数； 若()=0f x '，则)(x f 有极值。 2、函数的奇偶性 若)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数；偶函数的图象关于y 轴对称。 若)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数；奇函数的图象关于原点对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 4、几种常见函数的导数 ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=； ⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=； ⑧x x 1 )(ln '= 5、导数的运算法则 （1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+. （3）'' '2 ()u u v uv v v -=. 6、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=得0x ．当()00f x '=时： ① 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ② 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 7、分数指数幂 (1) m n a = (2)1m n m n a a - = = . 8、根式的性质 （1 ）n a =. （2）当n a =； 当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==?- 高中数学公式大全（必备版） 高中数学公式大全（必备版） 篇一 篇二 篇三 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变; ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot;cot→tan(奇变偶不变)，然后在前面加上把α看成锐 数学必修1-5常用公式及结论 必修1： 一、集合 1、元素与集合的关系：属于：∈ 不属于：? 空集：φ 2、集合间的关系： 子集：A B ? 真子集：A ≠ ?B 集合相等：若,A B B A ??,则A B = 交集：A B I 并集：A B U 补集：U C A 3、集合A=12{,,,}n a a a L ①子集个数共有 2n 个 ②真子集有 2n -1 个 ③非空子集有 2n -2 个 ④若C 中有m 个元素（n ≥m ），则满足C ? B ? A 的集合B 有 2n-m 个 4、常用数集：自然数集：N 正整数集：*N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 5、空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集，空集的唯一子集是空集本身 二、函数的奇偶性 1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形； （3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 三、函数的单调性 1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2 ① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减 四、二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠）的性质（定义域:R ） 1、顶点坐标公式：???? ??--a b ac a b 44,22， 对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442- 2、二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;抛物线与y 轴交于(0，c) (2) 顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;顶点坐标：（h,k ） (3) 两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 3、韦达定理：X1+X2=-b/a ，X1·X2=c/a 五、指数与指数函数 1、幂的运算法则： （1）a m ? a n = a m + n （2）n m n m a a a -=÷ （3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n ? b n （5） n n n b a b a =?? ? ?? （6）a 0 = 1 ( a ≠0) （7）n n a a 1 =- （8）m n m n a a = （9）m n m n a a 1=- （10）(a+b)2=a 2+ b 2+2ab/(a-b)2=a 2-2ab+b 2 （11）(a+b)3=(a+b)(a 2+2ab+b 2)=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 （12）a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2 )/a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) 2、根式的性质 （1 ）n a =. （2）当n a =； 当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==?- 高考文科必背数学公式 无论你是理科生还是文科生，数学公式，你必须掌握。提醒广大高考考生，越到接近考试的时候，越需要回顾一些重要的基础知识。数学公式就是其中之一。下面汇总整理《高考文科必背数学公式》，供高考考生参考。 函数、导数1、函数的单调性 (1)设x1、x2[a,b],x1x2那么 f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函数; f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是减函数. (2)设函数yf(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数;若f(x)0，则f(x)为减函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x，都有f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数; 对于定义域内任意的x，都有f(x)f(x)，则f(x)是奇函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。 解三角形公式：正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径 余弦定理:a2=b2+c2-2bc*cosA sin(A+B)=sinC sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA sin(A-B)=sinAcosB+sinBcosA sin2A=2sinAcosA cos2A=2(cosA)2-1=(cosA)2-(sinA)2=1-2(sinA)2 tan2A=2tanA/[1-(tanA)2] (sinA)2+(cosA)2=1 常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot( 2kπ+α)=cotα(k∈Z) 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα 公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα 公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα 公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α) 高中文理科数学必背公式 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 高中数学公式及知识点速记(一) 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 4、几种常见函数的导数 ①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1 )(ln '= 5、导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±. （2）' ' ' ()uv u v uv =+. （3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ=θ θ cos sin . 高三数学必背公式总结 高三数学必背公式总结汇总 一、对数函数 log.a(MN)=logaM+logN loga(M/N)=logaM-logaN logaM^n=nlogaM(n=R) logbN=logaN/logab(a>0,b>0,N>0 a、b均不等于1) 二、简单几何体的面积与体积 S直棱柱侧=c*h(底面周长乘以高) S正棱椎侧=1/2*c*h′(底面的周长和斜高的一半) 设正棱台上、下底面的周长分别为c′，c，斜高为h′,S=1/2*(c+c′)*h S圆柱侧=c*l S圆台侧=1/2*(c+c′)*l=兀*(r+r′)*l S圆锥侧=1/2*c*l=兀*r*l S球=4*兀*R^3 V柱体=S*h V锥体=(1/3)*S*h V球=(4/3)*兀*R^3 三、两直线的位置关系及距离公式 (1)数轴上两点间的距离公式|AB|=|x2-x1| (2) 平面上两点A(x1,y1),(x2,y2)间的距离公式 |AB|=sqr[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2] (3) 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式 d=|Ax0+By0+C|/sqr (A^2+B^2) (4) 两平行直线l1:=Ax+By+C=0,l2=Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1- C2|/sqr(A^2+B^2) 同角三角函数的基本关系及诱导公式 sin(2*k*兀+a)=sin(a) tan(2*兀+a)=tana sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana sin(2*兀-a)=-sina,cos(2*兀-a)=cosa,tan(2*兀-a)=-tana sin(兀+a)=-sina sin(兀-a)=sina cos(兀+a)=-cosa cos(兀-a)=-cosa tan(兀+a)=tana 四、二倍角公式及其变形使用 1、二倍角公式 sin2a=2*sina*cosa cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2*(cosa)^2-1=1-2*(sina)^2 tan2a=(2*tana)/[1-(tana)^2] 2、二倍角公式的变形 (cosa)^2=(1+cos2a)/2 (sina)^2=(1-cos2a)/2 tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina 五、正弦定理和余弦定理 正弦定理: a/sinA=b/sinB=c/sinC 余弦定理: a^2=b^2+c^2-2bccosA b^2=a^2+c^2-2accosB c^2=a^2+b^2-2abcosC cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab tan(兀-a)=-tana sin(兀/2+a)=cosa sin(兀/2-a)=cosa高中数学必备知识点 正弦与余弦定理和公式
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