一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）
1．约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：如图1，即4+3=7，观察图2，求：
（1）用含x的式子分别表示m和n；
（2）当y=-7时，求n的值。
【答案】（1）解：根据约定的方法可得：
m=x+2x=3x；
n=2x+3；
（2）解：x+2x+2x+3=m+n=y
当y=-7时，5x+3=-7
解得x=-2．
∴n=2x+3=-4+3=-1
【解析】【分析】（1）根据约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，分别列式即可；
（2）根据约定可得m+n=y，代入上题的关系整理可得关于x的一元一次方程，解出x, 代入n的表达式求值即可.
2．甲乙两人相约元旦一起到某书店购书，恰逢该书店举办全场9.5折的新年优惠活动．甲乙两人在该书店共购书15本，优惠前甲平均每本书的价格为20元，乙平均每本书的价格为25元，优惠后甲乙两人的书费共323元．
（1）问甲乙各购书多少本？
（2）该书店凭会员卡当日可以享受全场8.5折优惠，办理一张会员卡需交20元工本费．如果甲乙两人付款前立即合办一张会员卡，那么比两人不办会员卡购书共节省多少钱？
【答案】（1）解：设甲购书x本，则乙购书（15﹣x）本，
根据题意得：[20x+25（15﹣x）]×0.95=323，
解得：x=7，
∴15﹣x=8．
答：甲购书7本，乙购书8本
（2）解：（20×7+25×8）×0.85+20=309（元），
323﹣309=14（元）．
答：办会员卡比不办会员卡购书共节省14元钱
【解析】【分析】（1）设甲购书x本，则乙购书（15﹣x）本，根据两人买书共消费了323元列出方程，求解即可；（2）先求出办会员卡购书一共需要多少钱，再用323元减去这个钱数即可.
3．阅读下列例题，并按要求回答问题：
例：解方程．
解：①当时，，解得；
②当时，，解得．
所以原方程的解是或．
（1）以上解方程的方法采用的数学思想是________．
（2）请你模仿上面例题的解法，解方程：．
【答案】（1）分类讨论
（2）解：①当时，，
解得，
②当时，，
解得，
∴原方程的解是或．
【解析】【分析】（1）材料中是分①、②两种情况来解答题目，明确的体现了“分类讨论”的数学思想；（2）模仿例题，分两种情况分别求解即可．
4．定义：若一个关于x的方程的解为，则称此方程为“中
点方程”.如：的解为，而；的解为，而 .
（1）若，有符合要求的“中点方程”吗？若有，请求出该方程的解；若没有请说明理由；
（2）若关于x的方程是“中点方程”，求代数式的值.
【答案】（1）解：没有符合要求的“奇异方程”，理由如下：
把代入原方程解得：x= ，
若为“中点方程”，则x= ，
∵≠ ，
∴不符合“中点方程”定义，故不存在
（2）解：∵，
∴（2a-b）x+b=0.
∵关于x的方程是“中点方程”，
∴x= =a.
把x=a代入原方程得：，
∴ =
【解析】【分析】（1）把代入原方程解得：x= ，若为“中点方程”，则x= ，由于b≠b-2，根据“中点方程”定义即可求解；（2）根据“中点方程”定义得到， = ,整体代入即可.
5．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，D，C，其中AB＝2，BD＝3，DC＝1，如图所示，设点A，B，D，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点．写出点A，D，C所对应的数，并计算p的值；
（2）①若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝x，p＝﹣71，求x．
②此时，若数轴上存在一点E，使得AE=2CE,求点E所对应的数（直接写出答案）。
【答案】（1）解：∵B为原点，AB=2，则A点对应的数为-2；BD=3，则D点对应的数为3；DC=1，则C点对应的数为3+1=4，则P=-2+3+4=5.
（2）解：①∵CO=x, 则C点表示的数为x, D点表示的数为x-1, B点表示的数为x-1-3=x-4, A点表示的数为x-4-2=x-6，
∴p=x+x-1+x-4+x-6=-71,
移项得4x=60,
解得x=15.
②由上题知：A表示的数为15-6=9, C点表示的数为15，
设E点表示的数为x, ∵AE=2CE,
1)当E在AC之间时，
∴x-9=2(15-x),
解得x=13；
2)当E在C的右边时，
x-9=2(x-15),
解得x=21.
【解析】【分析】（1）因为B为原点，根据数轴上两点间距离公式分别求出点A，D，C 所对应的数，然后再求这三个数之和即可.
（2）①由原点O在数轴上点C的右边，且CO＝x，得出C表示的数为x, 再根据其他几个点在数轴上的位置关系把各点用含x的代数式表示，根据p=-71列式求出x即可.
②先确定A、C所表示的数，设E点表示的数为x，再根据数轴上两点间距离公式，结合AE=2CE列式，分情况求出E点坐标即可.
6．光华中学在运动会期间准备为参加前导队的同学购买服装（前导队包括花束队、彩旗队和国旗队）其中花束队有60名同学，彩旗队有30名同学，国旗队有10名同学，已知花束队的服装与彩旗队的服装单价比为4:3，国旗队的服装单价比彩旗队的服装单价多5元。（1）若购买花束队和国旗队的服装一共花去6800元，求每个队服装的单价分别是多少元？
（2）国庆来临之际恰逢商店搞活动，有以下三种优惠方案：
A方案：花束队的服装超过2000元的部分打九折，其它两队按原价出售；
B方案：彩旗队的服装买五送一，其它两队按原价出售；
C方案：国旗队的服装打三折，其它两队按原价出售；请你帮助学校计算一下选择哪种方案购买前导队的服装合算？
（3）在（2）的条件下商店卖出这些服装共获利20%，请你算一算商店购进这些服装的成本是多少元？
【答案】（1）解：设花束队的服装单价为4x元，则彩旗队服装单价为3x元，则国旗队服装单价为3x+5.根据题意
解得x=25，则4x=100, 3x=75,3x+5=80
故花束队服装单价100元，彩旗队的服装单价75元，国旗队的服装单价80元.
（2）解：A方案优惠的费用为：元
B方案优惠的费用为：6×75=450元
C方案优惠的费用为：80×10×0.7=560元.
因为C方案优惠的费用最多，
故答案为：择C方案比较划算.
（3）解：选择C费用时，花费元.
设购进这些服装的成本是a元，则根据题意
解得a=7075元.
商店购进这些服装的成本是7075元.
【解析】【分析】（1）由花束队的服装与彩旗队的服装单价比为4:3，可设花束队的服装单价为4x元，则彩旗队服装单价为3x元，根据购买花束队服装费用+国旗队的服装费用=6800，列出方程，解出方程即可.
（2）根据优惠方案，分别求出A、B、C优惠的费用，然后比较即可.
（3）设购进这些服装的成本是a元，根据成本×（1+20%）=C方案的费用，列出方程，求出a值即可.
7．郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包的价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典.
（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?
（2）郑老师有1000元，他计划为全班40位同学每人购买一件学习用品（一个书包或一本词典）后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品，共有哪几种购买书包和词典的方案？
【答案】（1）解：设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为（x－8）元.根据题意，得
3x＋2（x－8）＝124.
解得x＝28.
∴x－8＝20.
答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元.
（2）解：设购买书包y个，则购买词典（40－y）本.根据题意，得
解得10≤y≤12.5.
因为y取整数，所以y的值为10或11或12.
所以有三种购买方案，分别是：
①书包10个，词典30本；
②书包11个，词典29本；
③书包12个，词典28本.
【解析】【分析】（1）设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为（x－8）元，由“用124元恰好可以买到3个书包和2本词典”可列方程求解即可；（2）设购买书包y 个，则购买词典（40－y）本，根据“ 余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用
品”可列不等式组，求解不等式组的正整数解集即可。
8．我们知道，分数可以写成无限循环小数的形式，即；反之,无限循环小数也可以写成分数形式,即 = 事实上,任何无限循环小数都可以写成分数形式.例:无限循环小数写成分数形式为方法步骤如下:
解:∵=0.777……
设则
②-①得
∴ =
同理可得 = =1+ =
根据以上阅读,解答下列问题:
（1） =________， =________；
（2）用题中所给的方法比较与8的大小： ________8(填“＞”、“＜”或“=”).
（3）将写成分数形式,请写出解答过程；
（4）将写成分数形式,请直接写出结果.
【答案】（1）；5
（2）=
（3）解：设 =x，由=0.3535…可知，100x-x=
35，
即100x-x=35.
解方程，得x= ，
于是，得
（4）解：设 =x，由=0.423423…可知，1000x-x=423. =423，
即1000x-x=423.
解方程，得x= ，
于是，得. =
【解析】【解答】解：（1）设 =x，由=0.666…得，10x-x=6.
解方程，得x= = .
于是，得 = .
设 =x，由=0.222…得，10x-x=2.
解方程，得x= ，
∴ =5
故答案为：，5 ；
（ 2 ）设 =x，由=0.999…得，10x-x=9.
解方程，得x=1，
∴ =8，
故答案为：=；
【分析】（1）设 =x，由=0.666…得，10x-x=6.解方程即可得到结论，设 =x，由=0.222…得，10x-x=2.解方程加5即可；（2）设 =x，由==0.999…得，10x-x=9.解方程即可得到结论；（3）设 =x，由=0.3535…得，100x-x=35，解方程即可得到结论；（4）设 =x，由=0.423423…得，1000x-x=423.解方程即可得到结论. 9．（阅读理解）如果点M，N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的
距离表示为或或 .
利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点A与点B的距离为12个单位长度，点A 在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B 表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒.
（1）点A表示的数为________，点B表示的数为________.
（2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离： ________， ________. （3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒4个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由. 【答案】（1）；
（2）2t；
（3）解：设点Q运动了m秒，则m秒后点P表示的数是 .
当，m秒后点Q表示的数是，则
，解得或7，
当m=5时，-12+2m=-2，
当m=7时，-12+2m=2，
∴此时P表示的是或2；
当时，m秒后点Q表示的数是，
则，
解得，
当m= 时，-12+2m= ，
当m= 时，-12+2m= ，
此时点P表示的数是 .
答：P、Q两点之间的距离能为2，此时点P点Q表示的数分别是，2， .
【解析】【解答】解：设A表示的数为x，设B表示的数是y.
，
∴
又
故答案为：； .
（ 2 ）由题意可知：秒后点P表示的数是，点A表示数，
点C表示数12
， .
故答案为：2t；。
【分析】（1）因为点A在原点左侧且到原点的距离为24个单位长度，所以点A表示数?24；点B在点A右侧且与点A的距离为12个单位长度，故点B表示：?24＋12＝?12；（2）因为点P从点A出发，以每秒运动2两个单位长度的速度向终点C运动，则t秒后点P表示数?24＋2t（0≤t≤18，令?24＋2t＝12，则t＝18时点P运动到点C），而点A表示数?24，点C表示数12，根据两点间的距离公式即可表示出PA,PC的长；
（3）以点Q作为参考，则点P可理解为从点B出发，设点Q运动了m秒，那么m秒后点Q表示的数是?24＋4m，点P表示的数是?12＋2m，再分两种情况讨论：①点Q运动到点C之前；②点Q运动到点C之后根据两点间的距离公式列出方程求解即可解决问题。
10．数轴上点A对应的数为，点B对应的数为，且多项式的二次项系数为，常数项为 .
（1）直接写出: ；
（2）数轴上点A、B之间有一动点P，若点P对应的数为，试化简
；
（3）若点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动；同时点N从点B 出发，沿数轴每秒2个单位长度的速度向左移动，到达A点后立即返回并向右继续移动，求经过多少秒后，M、N两点相距1个单位长度？
【答案】（1）-2|5
（2）解：∴数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，
∴数轴上点A对应的数为?2，点B对应的数为5，
∵数轴上点A、B之间有一动点P，点P对应的数为x，
∴?2＜x＜5，
∴2x＋4＞0，x?5＜0，6?x＞0，
∴|2x＋4|＋2|x?5|?|6?x|＝2x＋4?2（x?5）?（6?x）＝2x＋4?2x＋10?6＋x＝x＋8
（3）解：设经过t秒后，M、N两点相距1个单位长度，
由运动知，AM＝t，BN＝2t，
①当点N到达点A之前时，
a、当M，N相遇前，M、N两点相距1个单位长度，
∴t＋1＋2t＝5＋2，
∴t＝2秒，
b、当M，N相遇后，M、N两点相距1个单位长度，
∴t＋2t?1＝5＋2，
∴t＝秒，
②当点N到达点A之后时，
a、当N未追上M时，M、N两点相距1个单位长度，
∴t?[2t?（5＋2）]＝1，
∴t＝7秒；
b、当N追上M后时，M、N两点相距1个单位长度，
∴[2t?（5＋2）]?t＝1，
∴t＝8秒；
即：经过2秒或秒或7秒或8秒后，M、N两点相距1个单位长度.
【解析】【解答】（1）解：∵多项式6x3y?2xy＋5的二次项系数为a，常数项为b，
∴a＝?2，b＝5，
故答案为：?2，5
【分析】（1）根据多项式的定义可求出a、b的值.
（2）由于数轴上点A、B之间有一动点P，可得出?2＜x＜5，从而可得2x＋4＞0，x?5＜0，6?x＞0，根据绝对值的性质将原式化简，即可求出结论.
（3）设经过t秒后，M、N两点相距1个单位长度，由运动知，AM＝t，BN＝2t，①当点N到达点A之前时，分两种情况：当M，N相遇前，M、N两点相距1个单位长度或当M，N相遇后，M、N两点相距1个单位长度，②当点N到达点A之后时，分两种情况：当N未追上M时，M、N两点相距1个单位长度或当N追上M后时，M、N两点相距1个单位长度，据此分别列出方程，求出t值即可.
11．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是－4、8（A、B两点间的距离用AB表示），点M、N是数轴上两个动点，分别表示数m、n
（1）AB＝________个单位长度；若点M在A、B之间，则|m＋4|＋|m－8|＝________
（2）若|m＋4|＋|m－8|＝20，求m的值
（3）若点M、点N既满足|m＋4|＋n＝6，也满足|n－8|＋m＝28，则m＝________；n＝________
【答案】（1）12；12
（2）解：如果m在-4的左边，则-m-4+8-m=20,
m=-8.
如果m在8的右边，则m+4+m-8=20,
m=12
所以m=-8或12.
（3）11；-9
【解析】【解答】解：（1）12,12.
（ 3 ）|m＋4|＋n＝6，|n－8|＋m＝28
当m<-4,n<8时，-m-4+n=6,8-n+m=28，无解.
当m<-4,n>8时，-m-4+n=6,n-8+m=28，n=23,m=13，矛盾.
当m>-4,n<8时，m+4+n=6,8-n+m=28，m=11,n=-9.
当m>-4,n>8时，m+4+n=6,n-8+m=28，无解.
【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值，即可求出AB的长，根据数轴上表示的数，右边的总比左边的大，由点M在A、B之间即可得出-4＜m＜8,故m＋4＞0，m－8＜0，再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，再合并同类项即可；
（2）分类讨论，①当m在-4的左边，m＋4＜0，m－8＜0，根据绝对值的意义去掉绝对值符号，再解方程即可；②当m在8的右边，m＋4＞0，m－8＞0根据绝对值的意义去掉绝对值符号，再解方程即可，综上所述即可得出答案；
（3）分①当m<-4,n<8时，②当m<-4,n>8时，③当m>-4,n<8时，④当m>-4,n>8时四类进行讨论，分别根据绝对值的意义去掉绝对值的符号，再解方程即可。
12．数轴上A、B（A左B右）所对应的数为a、b，|a+5|+（b-10）2=0，C为数轴上一动点且对应的数为c，O为原点．
（1）若BC=2，求c的值；
（2）是否存在一点C使得CB=2CA，若存在求出对应的数为c，不存在说明理由；
（3）是否存在一点C使得CA+CB=21，若存在求出对应的数为c，不存在说明理由．
【答案】（1）解：∵|a+5|+（b-10）2=0，
∴，
解得：，
∵BC=2，
∴|c-10|=2，
解得：c=12或8，
∴c的值为12或8.
（2）解：①当点C在点A右边时，
∴10-c=2（c+5），
解得：c=0，
②当点C在点A左边时，
∴10-c=2（-5-c），
解得：c=-20，
综上所述：c为0或-20.
（3）解：①当点C在点B右边时，
∴c-10+c+5=21，
解得：c=13，
②当点C在点A左边时，
∴-5-c+10-c=21，
解得：c=-8，
综上所述：c为13或-8.
【解析】【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性可得a、b值，由BC=2，列出式子|c-10|=2，解之即可.
（2）分情况讨论：①当点C在点A右边时，②当点C在点A左边时，根据CB=2CA分别列出方程，解之即可.
（3）分情况讨论：①当点C在点B右边时，②当点C在点A左边时，根据CA+CB=21分别列出方程，解之即可.