高中数学一轮复习资料
第五章 三角函数
第四节 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像
A 组
1．(2009年高考浙江卷改编)已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是________．
解析：函数的最小正周期为T ＝2π
|a |，∴当|a |>1时，T <2π.当0<|a |<1时，T >2π，观察图形中周期
与振幅的关系，发现④不符合要求．答案：④
2．(2009年高考湖南卷改编)将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π
6
)的图象，则φ等于________． 解析：y ＝sin(x －π6)＝sin(x －π6＋2π)＝sin(x ＋11π6)．答案：11π
6
3．将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________．
解析：因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π
6
)，f (x )的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数
为奇函数，则φ的最小值为5π
6
.
答案：5π6
4．如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)，x ∈R 的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．
①函数f (x )的最小正周期为π
2
；
②函数f (x )的振幅为23；
③函数f (x )的一条对称轴方程为x ＝7
12π；
④函数f (x )的单调递增区间为[π12，7
12
π]；
⑤函数的解析式为f (x )＝3sin(2x －2
3π)．
解析：据图象可得：A ＝3，T 2＝5π6－π3?T ＝π，故ω＝2，又由f (7π12)＝3?sin(2×7π
12
＋φ)＝1，
解得φ＝2k π－2π3(k ∈Z )，又－π<φ<π，故φ＝－2π3，故f (x )＝3sin(2x －2π
3
)，依次判断各选项，易知
①②是错误的，由图象易知x ＝7π
12
是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无
穷多个，区间[π12，7π
12
]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确．答案：③⑤
5．(原创题)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 1＋2010)成立，则ω的最小值为________．
解析：显然结论成立只需保证区间[x 1，x 1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，
且f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，则2010≥2πω2?ω≥π2010.答案：π
2010
6．(2010年苏北四市质检)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π
2
)＋2cos 2ωx ，x ∈R (ω>0)，在y
轴右侧的第一个最高点的横坐标为π
6. (1)求ω；
(2)若将函数f (x )的图象向右平移π
6
个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，
纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间．
解：(1)f (x )＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋32＝sin(2ωx ＋π6)＋3
2，
令2ωx ＋π6＝π2，将x ＝π
6
代入可得：ω＝1.
(2)由(1)得f (x )＝sin(2x ＋π6)＋3
2
，
经过题设的变化得到的函数g (x )＝sin(12x －π6)＋3
2
，
当x ＝4k π＋43π，k ∈Z 时，函数取得最大值5
2.
令2k π＋π2≤12x －π6≤2k π＋3
2π(k ∈Z )，
∴4k π＋4π3≤x ≤4k π＋10
3
π(k ∈Z )．
即x ∈[4k π＋4π3，4k π＋10
3
π]，k ∈Z 为函数的单调递减区间．
B 组
1．(2009年高考宁夏、海南卷)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.
解析：由图可知，T 2＝2π－3
4
π，
∴T ＝52π，∴2πω＝52π，∴ω＝45，
∴y ＝sin(4
5x ＋φ)．
又∵sin(45×3
4π＋φ)＝－1，
∴sin(3
5π＋φ)＝－1，
∴35π＋φ＝3
2
π＋2k π，k ∈Z . ∵－π≤φ<π，∴φ＝910π. 答案：9
10
π
2．(2010年南京调研)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.
解析：由图象知T ＝2(2π3－π
6
)＝π.
∴ω＝2πT ＝2，把点(π6，1)代入，可得2×π6＋φ＝π2，φ＝π6
.答案：
π6
3．(2009年高考天津卷改编)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π
4
)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函
数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象________．
解析：∵f (x )＝sin(ωx ＋π
4
)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，
∴
2π
ω
＝π，故ω＝2. 又f (x )＝sin(2x ＋π4)∴g (x )＝sin[2(x ＋π8)＋π4]＝sin(2x ＋π
2)＝cos2x .
答案：向左平移π
8
个单位长度
4．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ) 的图象
如图所示，f (π2)＝－2
3，则f (0)＝________.
解析：T 2＝1112π－712π＝π3，∴ω＝2πT ＝3.
又(7
12π，0)是函数的一个上升段的零点， ∴3×712π＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，得φ＝－π
4＋2k π，k ∈Z ，
代入f (π2)＝－23，得A ＝223，∴f (0)＝23. 答案：23
5．将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(－π
12
，0)
中心对称．
解析：由y ＝sin(2x ＋π3)＝sin2(x ＋π6)可知其函数图象关于点(－π
6
，0)对称，因此要使平移后的图
象关于(－π12，0)对称，只需向右平移π12即可．答案：右 π
12
6．(2010年深圳调研)定义行列式运算：??????a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝????
??3 cos x 1 sin x 的图象向左平移m 个单位(m >0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是________．
解析：由题意，知f (x )＝3sin x －cos x ＝2(32sin x －12cos x )＝2sin(x －π
6)，
其图象向左平移m 个单位后变为y ＝2sin(x －π6＋m )，平移后其对称轴为x －π6＋m ＝k π＋π
2
，k ∈Z .
若为偶函数，则x ＝0，所以m ＝k π＋2π3(k ∈Z )，故m 的最小值为2π3.答案：2π
3
7．(2009年高考全国卷Ⅱ改编)若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π
6
个单位长度后，与函数
y ＝tan(ωx ＋π
6
)的图象重合，则ω的最小值为________．
解析：y ＝tan(ωx ＋π4)向右平移π6个单位长度后得到函数解析式y ＝tan[ω(x －π6)＋π
4
]，即y ＝tan(ωx
＋π4－πω6)，显然当π4－πω6＝π6＋k π(k ∈Z )时，两图象重合，此时ω＝1
2
－6k (k ∈Z )．∵ω>0，∴k ＝0时，ω的最小值为12.答案：1
2
8．给出三个命题：①函数y ＝|sin(2x ＋π3)|的最小正周期是π2；②函数y ＝sin(x －3π2)在区间[π，3π
2
]上单
调递增；③x ＝5π4是函数y ＝sin(2x ＋5π
6
)的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是________．
解析：由于函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π，故函数y ＝|sin(2x ＋π3)|的最小正周期是π
2
，①正
确；y ＝sin(x －3π2)＝cos x ，该函数在[π，3π2)上单调递增， ②正确；当x ＝5π4时，y ＝sin(2x ＋5π6)＝sin(
5π
2
＋5π6)＝sin(π2＋5π6)＝cos 5π6＝－32，不等于函数的最值，故x ＝5π4不是函数y ＝sin(2x ＋5π
6
)的图象的一条对称轴，③不正确．答案：2
9．(2009年高考上海卷)当0≤x ≤1时，不等式sin πx
2
≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________．
解析：当0≤x ≤1时，y ＝sin πx
2的图象如图所示，y ＝kx 的图象在[0,1]
之间的部分应位于此图象下方，当k ≤0时，y ＝kx 在[0,1]
上的图象恒在x 轴
下方，原不等式成立．
当k >0，kx ≤sin πx
2
时，在x ∈[0,1]上恒成立，k ≤1即可．
故k ≤1时，x ∈[0,1]上恒有sin πx
2
≥kx .答案：k ≤1
10．(2009年高考重庆卷)设函数f (x )＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π
3
.(1)求ω的值；
(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π
2
个单位长度得到，求y ＝g (x )的单调增区间．
解：(1)f (x )＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2sin ωx ·cos ωx ＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin(2ωx ＋π
4
)
＋2，依题意，得2π2ω＝2π3，故ω＝3
2
.
(2)依题意，得g (x )＝2sin[3(x －π2)＋π4]＋2＝2sin(3x －5π
4
)＋2.
由2k π－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π
12
(k ∈Z )．
故g (x )的单调增区间为[23k π＋π4，23k π＋7π
12
](k ∈Z )．
11．(2009年高考陕西卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π
2
)的周期为π，且
图象上一个最低点为M (2π
3
，－2)．
(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，π
12
]时，求f (x )的最值．
解：(1)由最低点为M (2π3，－2)得 A ＝2.由T ＝π得ω＝2πT ＝2π
π
＝2.
由点M (2π3，－2)在图象上得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π
3＋φ)＝－1，
∴4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－11π6，k ∈Z .又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6
， ∴f (x )＝2sin(2x ＋π
6)．
(2)∵x ∈[0，π12]，∴2x ＋π6∈[π6，π3]，∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π
6
＝
π3，即x ＝π
12
时，f (x )取得最大值 3. 12．(2009年高考福建卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π
2
.
(1)若cos π4cos φ－sin 3π
4
sin φ＝0，求φ的值；
(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π
3
，求函数f (x )的解析式；
并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．
解：法一：(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得cos π4cos φ－sin π
4
sin φ＝0，
即cos(π4＋φ)＝0.又|φ|<π2，∴φ＝π4
.
(2)由(1)得，f (x )＝sin(ωx ＋π4)．依题意，T 2＝π3，又T ＝2π
ω
，故ω＝3，
∴f (x )＝sin(3x ＋π
4
)．函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为
g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]，g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π
2
(k ∈Z )，
即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )．从而，最小正实数m ＝π12
.
法二：(1)同法一．
(2)由(1)得 ，f (x )＝sin(ωx ＋π4)．依题意，T 2＝π3.又T ＝2π
ω
，故ω＝3，
∴f (x )＝sin(3x ＋π
4
)．
函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π
4
]．
g (x )是偶函数当且仅当g (－x )＝g (x )对x ∈R 恒成立，
亦即sin(－3x ＋3m ＋π4)＝sin(3x ＋3m ＋π
4)对x ∈R 恒成立．
∴sin(－3x )cos(3m ＋π4)＋cos(－3x )·sin(3m ＋π
4)
＝sin3x cos(3m ＋π4)＋cos3x sin(3m ＋π
4)，
即2sin3x cos(3m ＋π4)＝0对x ∈R 恒成立．∴cos(3m ＋π4)＝0，故3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，∴m ＝k π
3
＋
π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12
.
【篇一】人教版高一数学知识点整理 考点一、映射的概念 1.了解对应大千世界的对应共分四类，分别是：一对一多对一一对多多对多 2.映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都存在的一个元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。包括：一对一多对一 考点二、函数的概念 1.函数：设A和B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个函数。记作y=f(x),xA.其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域;与x的值相对应的y的值函数值，函数值的集合叫做函数的值域。函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射。 2.函数的三要素：定义域、值域、对应关系。这是判断两个函数是否为同一函数的依据。 3.区间的概念：设a,bR,且a 高中数学第一轮复习的策略 高中数学复习，面广量大知识点多，不少学生感到既枯燥无趣，又不能灵活应用，从而是很多学生产生了为难情绪，学习积极性不高。如何提高高中数学复习的效率，增强复习的针对性和实效性是摆在我们面前的一个重要课题。 一、构建知识网络，注重基础，重视预习，提高复习效率 数学的基础知识理解与掌握，基本的数学解题思路分析与数学方法的运用，是第一轮复习的重中之重。对知识点进行梳理，形成完整的知识体系，确保基本概念、公式等牢固掌握。要扎扎实实，对每个知识点都要理解透彻，明确它们要求以及与其他知识之间的联系。复习课的容量大、内容多、时间紧。要提高复习效率，必须使自己的思维与老师的思维同步。而预习则是达到这一目的的重要途径，要做到“两先两后”，即先预习后听课，先复习后作业。以提高听课的主动性，减少听课的盲目性。而预习了之后，再听老师讲课，就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍，把重点放在自己还未掌握的内容上，从而提高复习效率。预习还可以培养自己的自学能力。 二、提高课堂听课效率，勤动手，多动脑。 高三的课一般有两种形式：复习课和评讲课，到高三所有课都进入复习阶段，通过复习，学生要能检测出知道什么，哪些还不知道，哪些还不会，因此在复习课之前一定要弄清那些已懂那些还不懂，增强听课的主动性。现在学生手中都会有一种复习资料，在老师讲课之前，要把例题做一遍，做题中发现的难点，就是听课的重点;对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过程中的困难;有助于提高思维能力，自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平;体会分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举一反三，提高思维和解决问题的能力。此外还要作好笔记，笔记不是记录而是将上述听课中的要点，思维方法等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。三建好错题档案，做好查漏补缺。 这里说的“错”，是指把平时做作业中的错误收集起来。高三复习，各类试题要做几十套，甚至更多。如果平时做题出错较多，就只需在试卷上把错题做上标记，在旁边写上评析，然后把试卷保存好，每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。查漏补缺的过程就是反思的过程。除了把不同的问题弄懂以外，还要学会“举一 函数 1、 函数的概念 定义：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f ，使得A 中任一元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数。记作：x→y=f(x),x ∈A.集合A 叫做函数的定义域，记为D,集合{y ∣y=f(x),x ∈A}叫做值域，记为C 。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x ∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 两个函数相同只需两个要素：定义域和对应法则。 已学函数的定义域和值域 一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 二次函数 c bx ax x f ++=2 )() 0(≠a :定义域R ，值域：当 2、 函数图象 定义：对于一个函数y=f(x)，如果把其中的自变量x 视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y 视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x 取何值，都同时确定了一个点，由于x 的取值范围是无穷大，同样y 也有无穷个，表示的点也就有无穷个。这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象，简称图象。 常数函数f(x)=1 一次函数f(x)=-3x+1 二次函数f(x)=2x 2+3x+1 反比例函数f(x)=1/x 3、定义域的求法 已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况： 分式中的分母不为零； 偶次根式下的数或式大于等于零； 实际问题中的函数，其定义域由自变量的实际意义确定； 定义域一般用集合或区间表示。 4、值域的求法 ①观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 ②反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。 ③配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x 2+x+2)的值域。 练习：求函数y=2x －5＋√15－4x 的值域. ④判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 ⑤图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例4求函数y=∣x+1∣+√(x-2) 2的值域。 ⑥换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例5求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。 ⑦不等式法 例6求函数y=(2x-1)/(x+1) (1≤x ≤2) 的值域。 5、复合函数 设y=f(u ），u=g(x ），当x 在u=g(x ）的定义域Dg 中变化时，u=g(x ）的值在y=f(u ）的定义域D f 内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量（即函数）。 6、函数的表示方法：列表法，解析法，图像法 7、分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 分段函数经常使用图像法 8、函数解析式的求法 ①代入法 例1已知f(x)=x 2-1,求f(x+x 2) ②待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。 例2已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x+3，求f(x) ③换元法 ④特殊值法 例4已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12 ()()(++=-+成立，且0)1(=f 。 (1)求 )0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。 ⑤方程组法 1、求下列函数的定义域： 2、求下列函数的值域 3 函数? ?? ??>+-≤<+≤+=1,51 0,30 ,32x x x x x x y 的最大值是 。 4已知：x x x f 2)1(2 += +，求)(x f 。 6已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ． 高三一轮复习 5.3 等比数列及其前n项和 【教学目标】 1.理解等比数列的概念． 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题． 4.了解等比数列与指数函数的关系. 【重点难点】 1.教学重点理解等比数列的概念并掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力； 【教学策略与方法】 自主学习、小组讨论法、师生互动法 【教学过程】 2．前n 项和公式S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 1．必会结论；等比数列的性质 (1)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则 a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . (2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，{|a n |}，???? ??1a n ，{a 2 n }，{a n ·b n }，???? ??a n b n (λ≠0)仍然是等比数列． (3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个 等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k . (4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列． (5)若等比数列{a n }共2k (k ∈N *)项，则S 偶 S 奇 ＝q . 2．必清误区；(1)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，与等差数列不同． (2)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)并不能断言{a n }是等比数列，还要验证a 1≠0. 考点分项突破 考点一等比数列的基本运算 1．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【解析】 ∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，∴3＋3q 2 ＋3q 4 ＝21.∴1＋q 2 ＋q 4 ＝7.解得q 2 ＝2或q 2 ＝－3(舍去)． ∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.故选B. 【答案】 B 2．已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝128. (1)求通项a n ； (2)若b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝360，求n 的值． 第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. 人教版高二数学上册各 章节知识点 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 不等式单元知识总结 一、不等式的性质 1．两个实数a 与b 之间的大小关系 2．不等式的性质 (4) (乘法单调性) 3．绝对值不等式的性质 (2)如果a ＞0，那么 (3)|a ·b|＝|a|·|b|． (5)|a|－|b|≤|a ±b|≤|a|＋|b|． (6)|a 1＋a 2＋……＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋……＋|a n |． 二、不等式的证明 1．不等式证明的依据 (2)不等式的性质(略) (3)重要不等式：①|a|≥0；a 2≥0；(a －b)2≥0(a 、b ∈R) ②a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R ，当且仅当a=b 时取“=”号) 2．不等式的证明方法 (1)比较法：要证明a ＞b(a ＜b)，只要证明a －b ＞0(a －b ＜0)，这种证明不等式的方法叫做比较法． 用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号． (2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法． (3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充 分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法． 证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等． 三、解不等式 1．解不等式问题的分类 (1)解一元一次不等式． (2)解一元二次不等式． (3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式． ①解一元高次不等式； ②解分式不等式； ③解无理不等式； ④解指数不等式； ⑤解对数不等式； ⑥解带绝对值的不等式； ⑦解不等式组． 2．解不等式时应特别注意下列几点： (1)正确应用不等式的基本性质． (2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性． (3)注意代数式中未知数的取值范围． 3．不等式的同解性 高中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 高中数学 / 高三数学教案 编订：XX文讯教育机构 高三数学第一轮复习讲义(教学设计) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于高中高三数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 高三数学第一轮复习讲义直线的方程一．复习目标：1．深化理解倾斜角、斜率的概念，熟练掌握斜率公式； 2．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能熟练写出直线方程． 二．知识要点：1．过两点、的直线斜率公式：． 2．直线方程的几种形式：点斜式：；斜截式：； 两点式：；截距式：；一般式：． 三．课前预习： 1．设，则直线的倾斜角为（） 2．已知，则过不同三点，，的直线的条数为（）多于 3．已知的顶点 , ，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是 .4．若直线的方向向量是 ,则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围为 . 四．例题分析：例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程. 例2．⑴已知，试求被直线所分成的比λ；⑵已知，，若直线与直线相交于点，不与重合，求证：点分的比 .例3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程. 例4．的一个顶点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程． 五．课后作业：班级学号姓名 1．若，则过点与的直线的倾斜角的取值范围是（） 2．以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为的正方形的四条边的方程为（） 3．已知三点，，在同一直线上，则的值为．4．过点的直线与轴、轴分别交于、两点，点分有向线段所成的比为，则直线的斜率为，直线的倾斜角为 .5．设，，则直线的倾斜角为．6．不论为何实数，直线恒过定点．7．设过点作直线l交x轴的正半轴、y轴的正半轴于a、b两点，（1）当取得最小值时，求直线l的方程．（2）当取得最小值时，求直线l的方程． 8．对直线上任意一点，点也在直线上，求直线的方程．9．求过点p(0，1)的直线l，使它包含在两已知直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0间的线段被点p所平分． 10．设同在一个平面上的动点、的坐标分别是、，并且坐标间存在关系，，当动点在不平行于坐 全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念 教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的 值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1：（）是函数吗？ 问题2：与是同一函数吗？ 观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课： 高考数学复习练习题全套 (附参考答案) 1. 已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ． 2. 设,x y 为正实数，且33log log 2x y +=，则 11 x y +的最小值是 . 3. 已知：()()()()50050A ,,B ,,C cos ,sin ,,αααπ∈． （1）若AC BC ⊥，求2sin α． （2）若31OA OC +=OB 与OC 的夹角． 4. 已知：数列{}n a 满足()2 1 123222 2 n n n a a a a n N -+++++= ∈……． （1）求数列{}n a 的通项． （2）若n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项的和n S ． 姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 002 1. 2 2 75157515cos cos cos cos ++的值等于 ． 2. 如果实数.x y 满足不等式组22 110,220x x y x y x y ≥??-+≤+??--≤? 则的最小值是 ． 3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）． （1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）； （2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值． 4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． (1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值； (2)判断函数()21x g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； (3)若函数()f x 为理想函数，假定?[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证 00()f x x =． 学习数学需要通过复习来循序渐进地提高自己的数学能力，考生在数学首轮复习中，往往存在两个误区，一是只顾埋头做题而不注重反思，有些同学在做题时，只要结果对了就不再深思做题中使用的解题目方法和题目所体现出来的数学思想；二是只注重课堂听课效率，而不注重课后练习，这在文科生中显得尤为普遍，这往往会导致考生看到考题觉得自己会，可一做就错。 为了避免高三数学总复习的盲目性，真正做到复习的计划性、针对性、实效性，笔者结合近几年自身高三数学教学的体会，谈一点粗浅的认识，仅供大家参考，不妥之处，望大家给予批评指正。 一、回归课本，注重基础，重视预习。 数学的基本概念、定义、公式，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法，是第一轮复习的重中之重。回归课本，自已先对知识点进行梳理，确保基本概念、公式等牢固掌握，要扎扎实实，不要盲目攀高，欲速则不达。复习课的容量大、内容多、时间紧。要提高复习效率，必须使自己的思维与老师的思维同步。而预习则是达到这一目的的重要途径。没有预习，听老师讲课，会感到老师讲的都重要，抓不住老师讲的重点；而预习了之后，再听老师讲课，就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍，把重点放在自己还未掌握的内容上，从而提高复习效率。预习还可以培养自己的自学能力。 二、提高课堂听课效率，勤动手，多动脑。 高三的课只有两种形式：复习课和评讲课，到高三所有课都进入复习阶段，通过复习，学生要能检测出知道什么，哪些还不知道，哪些还不会，因此在复习课之前一定要有自己的思考，听课的目的就明确了。现在学生手中都会有一种复习资料，在老师讲课之前，要把例题做一遍，做题中发现的难点，就是听课的重点；对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 注意：B ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 高中数学-函数的概念及表示练习 【考情分析】 高考在本考点的常考题型为选择和填空，分值5分，中高等难度 【考纲研读】 1．了解构成函数的要素，了解映射的概念 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数 3．了解简单的分段函数，并能简单应用 一、选择题 1．(·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝??? 1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1， 则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 2．(·浙江高考)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin2x )＝sin x B ．f (sin2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1| 3.(山东)设f (x )={√x ,0 第一章集合 第一节集合的含义、表示及基本关系 A组 1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________． 2．若?{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________． 3．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________． 4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N ＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是________． 5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 6．(原创题)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？ B组 1．设a，b都是非零实数，y＝a |a|＋b |b|＋ ab |ab|可能取的值组成的集合是________． 2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B?A，则实数m＝________. 3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P ＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个． 4．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若N M，那么a的值是________．5．满足{1}A?{1,2,3}的集合A的个数是________个． 高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 (1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 (2)画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 例1 判定以下关系是否正确 (2){1，2，3}＝{3，2，1} (4)0∈{0} 分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的． 说明：含元素0的集合非空． 例2 列举集合{1，2，3}的所有子集． 分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个． 含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}； 含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个． ________． 分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}． 答 共3个． 说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束． [ ] 分析 作出4图形． 答 选C ． 说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便． (1){a}{a}?(3){0}??≠ (5){0}(6){0} ??∈＝解含有个元素的子集有：； 0?说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ?例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ??例设为全集，集合、，且，则≠ 4 U M N U N M ? ? 点击思维 例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是 [ ] 分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上 x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1， y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B ． 答 选A ． 说明：要注意集合中谁是元素． M 与P 的关系是 [ ] A ．M ＝ U P B ．M ＝P 分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利 用补集的性质：M ＝ U N ＝ U ( U P)＝P ；三是利用画图的方法． A A B B A B C A B D A B ．＝．．．≠≠ ?? ?C M P D M P ．．≠? ? 函数的概念与性质 【知识要点】 1.函数的概念及函数的三要素 2.怎么判断函数的单调性 3.怎么判断函数的奇偶性 【典型例题】 例1．求下列函数的解析式，并注明定义域． （1）若x x x f 2)1(+=-，求)(x f ． （2）若31 )1(44-+=+x x x x f ，求)(x f ． 例2.求下列函数的值域． （1）)1(1 3 2≥++=x x x y （2）1)(--=x x x f （3）232--=x x y （4）246 (),[1,4]1 x x f x x x ++= ∈+ 例3.已知函数f （x ）=m （x +x 1）的图象与函数h （x ）=41（x +x 1 ）+2的图象关于点A （0，1）对称. （1）求m 的值； （2）若g （x ）=f （x ）+ x a 4在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围. 例4．判断下列函数的奇偶性 （1）334)(2-+-=x x x f （2）x x x x f -+?-=11)1()( 例5．设定义在[-2，2]上的偶函数，)(x f 在区间[0，2]上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实为数m 的取值范围。 例6．已知函数f （x ）=x + x p +m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值. （2）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 例7．（2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ， 有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）. （1）求f （1）的值； （2）判断f （x ）的奇偶性并证明； （3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围. 高中数学复习第一轮知识点大汇总 第一章集合与常用逻辑用语 第1讲集合的概念和运算 一、选择题 1．已知集合A＝{y|x2＋y2＝1}和集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于() A．(0,1) B．[0,1] C．(0，＋∞) D．{(0,1)，(1,0)} 解析∵A＝{y|x2＋y2＝1}，∴A＝{y|－1≤y≤1}． 又∵B＝{y|y＝x2}，∴B＝{y|y≥0}．A∩B＝{y|0≤y≤1}． 答案 B 2. 设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩?UN＝{2,4}，则N＝() A．{1,2,3}B．{1,3,5} C．{1,4,5} D．{2,3,4} 解析由M∩?UN＝{2,4}可得集合N中不含有元素2,4，集合M中含有元素2,4，故N＝{1,3,5}． 答案 B 3．设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则?U M＝()．A．{1,4} B．{1,5} C．{2,3} D．{3,4} 解析U＝{1,2,3,4}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}， ∴?U M＝{1,4}． 答案 A 4．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是()．A．2 B．3 C．4 D．5 解析B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}． 答案 B 5．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a2}，则“a ＝1”是“N ?M”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 解析 若N ?M ，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a ＝±1或a ＝±2.故“a ＝1”是“N ?M”的充分不必要条件． 答案 A 6．设集合 A ＝? ????? ??? ?x ??? x 24＋3y 2 4＝1 ，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )． A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[0，＋∞) D ．{(－1,1)，(1,1)} 解析 A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}＝[0,2]． 答案 B 二、填空题 7．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 解析 ∵3∈B ，又a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1. 答案 1 8．已知集合A ＝{0,2，a2}，B ＝{1，a}，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为________． 解析 若a ＝4，则a2＝16?(A ∪B)，所以a ＝4不符合要求，若a2＝4，则a ＝±2，又－2?(A ∪B)，∴a ＝2. 答案 2 9．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论： ①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合； ③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合． 其中正确结论的序号是________． 解析 ①中，－4＋(－2)＝－6?A ，所以不正确． ②中设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确．③令A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，3∈A 1,2∈A 2，但是，3＋2?A 1∪A 2，则A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确． 高中数学主要知识点 必修1数学知识 第一章、集合与函数概念 §、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的 子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集{|,}U C A x x U x U =∈?且 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于A 且属于B 的元素所组成 的集合,叫做A,B 的交集．记作A I B （读作‘A 交B ’），即A I B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝． 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作： A Y B （读作‘A 并 B ’），即A Y B ={x|x ∈A ，或x ∈B})． 设S 是一个集合，A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集） 记作A C S ，即 C S A=},|{A x S x x ?∈且 韦 恩 图 示 A B 图1 A B 图2 S A 高中数学必修4三角函数练习题 一、选择题 1、 下列各三角函数值中，取负值的是（ ）; Asin(-6600) B.tan(-1600) C.cos(-7400) D.sin(-4200)cos570 2、α角是第二象限的角，│2 cos α│=2 cos α -,则角 2 α 属于： （ ） A ． 第一象限；B ．第二象限；C ．第三象限；D ．第四象限. 3、已知α、β是第二象限的角，且βαcos cos >，则 （ ） A.βα<; B.βαsin sin >； C.βαtan tan >；D.以上都不对. 4、函数y= sin(2x+ 4 π )的一个增区间是( ) A. [-4,4ππ] B. [-8,83ππ] C. [-0,2π] D. [-8 3, 8ππ] 5、已知- ≤6 π x< 3π ,cosx=1 1 +-m m ,则m 的取值范围是( ) A ．m<-1 B. 3 10、函数y=x sin log 2 1的定义域是________. 11、 满足sin(x －4 π)≥2 1的x 的集合是____________________; 12、关于函数()(),32sin 4R x x x f ∈??? ? ?+=π有下列命题： ① 由()()021==x f x f 可得21x x -必是π的整数倍； ② ()x f y =的表达式可改写为()??? ? ?-=62cos 4πx x f ； ③ ()x f y =的图象关于点??? ??-0,6π 对称； ④ ()x f y =的图象关于直线6 π-=x 对称. 以上命题成立的序号是__________________. 13、函数y=f(x) 的图象上每个点的纵坐标保持不变, 将横坐标伸长到原来的两倍, 然后再将整个图象沿x 轴向左平移2 π 个单位, 得到的曲线与y= 2 1 sinx 的图象相同, 则y=f(x) 的函数表达式是_________________; 三、解答题 14、当()Z k k k ∈+ ≤≤- 4 24 2π παπ π时，化简： ααααcos sin 21cos sin 21?++?-高中数学第一轮复习的策略
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