5．设随机变量)1,0(~N X ，用切比雪夫不等式估计≤????
??
≥
31X P 3
1
。 ６．假设总体X 服从参数为λ的泊松分布，0.8、1.3、1.1、0.6、1.2是来
自总体X 的样本容量为5的简单随机样本，则λ的矩估计值为_____1___.
7．已知正态总体)9.0,(~2μN X 的容量为9的简单随机样本，样本均值为5，则求未知参数μ的置信度为0.95的置信区间时构造的样本函数为
n
X σμ
-，服从的分布为)1,0(N ，μ的
置信度为0.95的置信区间是_（4.412，5.588） （645.1,96.105.0025.0==Z Z ） 8．总体X 服从正态分布),(21σμN ，总体Y 服从正态分布),(22σμN ，n X X X ,,,21 和
m
Y Y Y ,,,21 分别是来自总体X
和Y 的简单随机样本，则
?????
?
??
?
??
?-+-+-∑∑==2)()(1122m n Y Y X X E n i m
i i i =2
σ。
二、（18分）设连续型随机变量X 服从区间],[a a -)0(>a 上的均匀分布，且已知3
1}1{=
>X P ，求：
（1）常数a 的值；（2）}3
1{<
X P 和}0{a X P <<；（3）)95(),73(--X D X E 。
答案：随机变量X 的密度函数?????≤≤-=其它
,0,21
)(a
x a a x p ，…………………………….3分
（1）3
121021)(}1{1
1
=
-=
+
=
=
>?
?
?
+∞
+∞
a
a
a
a dx dx a
dx x p X P ，得3=a ……………6分
（2）X 的密度函数?????≤≤-=其它
,03
3,61
)(x x p ， ?
-=
=
<3
1
3
9
56
1}31{dx X P ，…………9分
}0{a X P <
-=
=
<<=3
3
2
16
12
1}30{dx X P ……………………………………….12分
（3）?
-==
3
3
06
)(dx x X E ，77)(3)73(-=-=-X E X E ……………………………15分
318
6
)(33
3
3
3
2
2
==
=
--?
x
dx x
X E ，3)()()(2
2=-=EX X E X D
所以 75)(25)95(==-X D X D …………………………………….18分
三、（20分）设二维随机变量),(Y X 的概率分布律为
且已知1)(=Y E ，试求：
（1）常数b a ,；（2）)
(XY E ；)(XY D ；（3）)43(Y X E -，),
(Y X COV ； （4）
)103
2(--Y X D 。
答案：（1）
所以 1)1.0(22.0)(=+++=b a Y E ，∑
∑
===++=2
1
3
1
16.0i j ij b a p
解得 2.0==b a ……………………………………………………….5分 （2）
)(XY E 6.02.022.016.00=?+?+?=
2=
2
2
2.0
1
4
2.0
6.0
))
(
)
(2
(
)
.0
(
D...10分
?
=
+
?
-
-
=XY
XY
E
XY
E
64
（3）
,6.0)(=X E )43(Y X E -2.2)(4)(3-=-=Y E X E ，………………………….14分 06.06.0)()()(),(=-=-=Y E X E XY E Y X COV ……………………………….15分
（4）24.06.06.0))()(222=-=-=EX X E X D （………………………………17分 6.013.044.0))()(222=-?+=-=EY Y E Y D （…………………………19分 所以 )1032(--Y X D 36.6),(12)(9)(4=-+=Y X COV Y D X D …………….20分. 四、（16分）设总体X 的分布密度为
?
??<≥=-0 ,00
,);(x x e x p x θθθ)0(>θ
今从总体中抽取10个个体，得数据如下：1050，1100，1080，1200，1300，1250，1340，1060，1150，1150，其均值1168=x ，试求未知参数θ的最大似然估计值。 答案：由X 的概率密度函数得到关于样本值n x x x ,,,21 的似然函数为
0,);()(1
1
>∑==
∏
=-=i n i x n
i x e
x p L n
i i
θ
θθθ…………………………………………4分
取对数得 ∑=-=n
i i x n L 1
)l n ()(ln θθθ，令
0)(ln 1
=-
=
∑=n
i i
x
n
d L d θ
θ
θ，.10分
解得θ的最大似然估计为 x
1=
Λ
θ，………………………………………………14分
由抽样数据得 00086.01168
1==
Λ
θ…………………………………………….16分
五、（16分）某厂生产的某种铝材的长度服从正态分布，其均值设定为240cm.现从该厂
抽取5件产品，测得其长度均值为5.239=x （单位：cm ），样本方差为16.02
=S ，试
判断该厂此类铝材的长度是否满足设定要求？05.0=α
)0150.2)5(,5706.2)5(,1318.2)4(,7764.2)4((05.0025.005.0025.0====t t t t 答案：依题意检验假设 0100:;240
:μμμμ≠==H H ……………………..3分
因为2σ未知，因此当0H 为真时，构造检验统计量)1(~0--=
n t n
s
X T μ
………………………………………………………………………………..8分 由αα=?
???
??->)1(2
n t T p ，得检验的拒绝域为)]1(,(2
---∞n t α或
)),1([2
+∞-n t α，
…………………………………………………………….12分 因为05.0=α，5=n ，,7764.2)4(025.0=t ……………………………14分 计算得7764.2795.254
.0240
5.239>=?
-=
t ………………………15分
所以拒绝0H ，即可以认为此类铝材的长度不满足设定要求……………16分