1
本教材习题和参考答案及部分习题解答
第四章
4.1已知物体内一点的六个应力分量为：
50x a σ=，0y σ=，30z a σ=-，75yz a τ=-，80zx a τ=，50xy a τ= 试求法线方向余弦为112n =，122
n =
，3n 的微分面上的总应力T 、正应力n σ和
剪应力n τ。
解：应力矢量T 的三个分量为 11106.57i i
T n a σ==，228.033T a =-，318.71T a =-
总应力111.8T a 。
正应力26.04n i i
T n a σ==。
剪应力108.7n a τ。
4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n 和m ，在这两个面上的应力矢量分别为1T 和2T ，试证12?=?T m T n 。 证：利用应力张量的对称性，可得
12()()ij i j ji i j n m n m σσ?=??===??=?T m n σm m σn T n 。证毕。
4.3某点的应力张量为
01211210x xy xz yx y yz y zx zy z στττστσττσ=????????????????
且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y σ及该平面的单位法向矢量。 解：设要求的单位法向矢量为i n ，则按题意有 0ij j n σ=
即
2320n n +=，1230y n n n σ++=，1220n n += (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 2(22)0y n σ-=
上式有两个解：20n =或1y
σ=。若20n =，则代入式(a)中的三个式子，可得
1n =30n =，这是不可能的。所以必有1y σ=。将1y σ=代入式(a)，利用1i i n n =，
可求得
n
4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，
试验证应力分量 22(arctg )x y xy
A C x x y
σ=--++ 22(arctg )y
y xy
A B x x y
σ=-+++
0z yz xz σττ===，2
22
xy y A x y τ=-+
满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数
A 、
B 和
C 。
解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们
满足平衡方程。
在0y =的边界上，有边界条件 0()y y q σ==-，0()0xy y τ==
所给的应力分量xy τ自动满足上面的第二个条件。将y σ的表达式代入上面的第一个条件，得
AB q =- (1) 在上斜面上，有
tg y x β=-，所以斜面上的应力分量可以简化成
(sin cos )x A C σβββ=++，(sin cos )x A B σβββ=-+，
2sin xy A τβ=-，0z yz xz σττ=== (2)
斜面上的外法向方向余弦为
1sin n β=-，2cos n β=-，30n = (3) 将式(2)和(3)代入边界条件0ij j
n σ=，得
0(sin cos )cos 0C A AB βββββ+=--=???
(4)
联立求解(1)和(4)，得 tg q
A ββ
=
-，tg B ββ=-，C β=-
图4.8
3
4.5图4.9表示一三角形水坝，已求得应力分量为 x ax by σ=+，y cx dy σ=+，0z σ=，
0yz
xz ττ==，xy dx ay x τγ=---
γ和1γ分别是坝身和水的比重。求常数a 、b 、c 、d ，使上述应力分量满足边界条件。 解：在0x =的边界上，有边界条件 01()x x y σγ==-，0()0xy x τ==
将题中的应力分量代入上面两式，可解得：0a =，1b γ=-。
在左侧的斜面上，tg x y β=，外法向方向余弦为 1cos n β=，2sin n β=-，30n =
把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件0ij j
n σ=，可解得：
21ctg d γβγ=-，21ctg (2ctg )c βγγβ=-。
4.6物体的表面由
(,,)0f x y z =确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷
(,,)p x y z ，试写出其边界条件。
解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为
n 或
i
n 按题意，边界条件为 p ?=σn n 因此
即 f p f ??=?σ
上式的指标形式为 ,,ij j i f pf σ=。
图4.9
4.7如图4.10所示，半径为a 的球体，一半沉浸在密度为ρ的液体内，试写出该球的全
部边界条件。
图4.10
解：球面的外法向单位矢量为
i i x a a =
=r n e 或
i i x n a
= 当0z ≤时，有边界条件
?=σn 0 即 ?=σr 0 或 0ij j
x σ=。
当0z ≥时，球面上的压力为gz ρ，其中g 为重力加速度，边界条件为 gz σρ?=-n n 即 gz ρ?=-σr r 或 ij j i x gzx σρ=-。
4.8物体的应力状态为ij
ij σσδ=，其中σ为矢径r 的函数。(1)证明物体所受的体积力是有势力，即存在一个函数ψ，使ψ=-?f ；(2)写出物体表面上的面力表达式。
解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以
,,i i i i σσσσ=-??=-??=-?=-=-?f σI I e e
所以，只要令ψσ=，就有ψ=-?f 。
(2)表面上的面力为
σσ=?=?=T n σn I n 或 i
j T n σ=。
4.9已知六个应力分量ij σ中的30i σ=，求应力张量的不变量并导出主应力公式。
解：应力张量的三个不变量为：1x y I σσ=+，22x y xy I σστ=-，3
0I =。 特征方程是
3212122()0I I I I σσσσσσ-+=+=- 上式的三个根即三个主应力为0σ=和
2
x y
σσσ+=
4.10已知三个主应力为1σ、2σ和3σ，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三
角形，其法向单位矢量为
5
1n =
，2n =
3n = 求八面体各个面上的正应力0σ和剪应力0τ。 解：01231
()3
ij i j
n n σσσσσ==++， ij j i n σ=T e ，222
1232223
i i T n σσσσ++=?==T T ，
0τ
4.11某点的应力分量为1122330σσσ===，122331σσσσ===，求： (1)
过此点法向为123)++n e e e 的面上的正应力和剪应力； (2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。 解：
(1)123)ij j i
n σ=++T e e e e ， 224T σ=?=T T 。 正应力为2n σσ=?=T n 。
剪应力为0n τ。
由此可知，2σ
是主应力，123)++n e e e 是和其对应的主方向。 (2)用λ表示主应力，则
2()(2)0λ
σσ
σλσλσλσσσλ
--=-+-=-
所以，三个主应力是12σσ=，23σσσ==-。由上面的结论可知，和1σ对应的主
方向是n ，又因为23σσσ==-是重根，所以和n 垂直的任何方向都是主方向。
第五章
5.1把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为ij ijkl kl C εσ=，
试写出柔度系数张量ijkl C 的具体表达式。 解：
5.2橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力q 作用，
如图5.2所示。设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。试求铁盒内侧面所受的压力、橡皮块的体积应变和橡皮中的最大剪应力。
图
5.2
解：取压力q 的方向为z 的方向，和其垂直的两个相互垂直的方向为x 、
y 的方向。
按题意有
5.3证明：对线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是一致的。非各向同
性体是否具有这样的性质？试举例说明。 解：对各向同性材料，设i n 是应力的主方向，σ是相应的主应力，则
ij j i n n σσ= (1) 各向同性的胡克定律是 2ij
ij ij σλθδμε=+
将上式代入式(1)，得2i ij j i n n n λθμεσ+=，即
1
()2ij j
i n n εσλθμ
=
- 由此可知，i n 也是应变的主方向。类似地可证，应变主方向也是应力主方向。因此，
应力主方向和应变主方向一致。
下面假定材料性质具有一个对称面。设所取的坐标系是应变主坐标系，且材料性
质关于Oxy 平面对称。因为0xy γ=，所以从式(5.14)得 414243xy x y z C C C τεεε=++
若应变主坐标系也是应力主坐标系，则0xy τ=，即 4142430x y z C C C εεε++=
上式只能在特殊的应变状态下才能成立。总之，对各向异性材料，应力主方向和应变
主方向不一定相同。
7
5.4对各向同性材料，试写出应力不变量和应变不变量之间的关系。 解：由式(5.17)可得主应力和主应变之间的关系
2i i σλθμε=+ (1)
……
第六章
6.1为什么同时以应力、应变和位移15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足
的？
解：因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程自动满足。
6.2设
2122()f
g y g A B α=?-+?+??+u e e e
其中f 、g 、A 、B 为调和函数，问常数α为何值时，上述的u 为无体力弹性力学
的位移场。
解：11,1,1()()0k
i k i i j j ij ji k i k
A A A e A e x x x ?
????????=?===???e e e e e e 同理2()0B ???=?e 。 由上面两式及
f 和
g 是调和函数可得
,2(1)g θα=?=-?u
,2(1)g θα?=-? (1) 因
f 、
g 、A 、B 为调和函数，所以
2,22g ?=?u (2) 将式(1)、(2)代入无体力的Lamé-Navier 方程，得 ,2[()(1)2]0g λμαμ+-+?= 上式成立的条件是
()(1)20λμαμ+-+= 即 3λμαλμ
+=
+。
6.3已知弹性体的应力场为
2x x σ=，2y y x σ=+，22xy x y τ=--，0zx zy ττ==，2z
z σ=-。
(1) 求此弹性力学问题的体力场；
(2) 本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力场。
解：
6.4证明下述Betti 互易公式
i i
i i
i i
i i
S
V
S
V
Tu dS f u dV Tu dS f u dV +=+???? ，
其中i T 、i f 、i u 和i T
、i f 、i u 分别为同一弹性体上的两组面力、体力和位移。 证：
6.5如果体积力为零，试验证下述(Papkovich-Neuber)位移满足平衡方程
01
()4(1)
P ν=-
?+-?u p p r
其中2?=p 0，200P ?=。 证：无体力的Lam é-Navier 方程为
2()()λμμ+??+?=?u u 0 又1
12λμμν
+=-，所以Lam é-Navier 方程可以写成 21
()12ν
?+??=-?u u 0
……
6.6设有受纯弯的等截面直杆，取杆的形心轴为x 轴，弯矩所在的主平面为Oxy 平面。试
证下述位移分量是该问题的解
0y z M
u xy z y u EI
ωω=
+-+ 2
220()2z x M v x y z x z v EI
ννωω=-+-+-+
x y M w yz y x w EI
νωω=-+-+。
提示：在杆的端面上，按圣维南原理，已知面力的边界条件可以放松为
0x
A
dA σ=?，0x
A
zdA σ=?，x
A
ydA M σ
=?
其中A 是杆的横截面。
证：容易验证所给的位移分量满足无体力时的Lamé-Navier 方程。用所给的位移可以
求出应变，然后用胡克定律可以求出应力：
9
x My
I
σ=
，其它应力分量为零。 (a) 上述应力分量满足杆侧面无面力的边界条件。杆端面的边界条件为
0xz yz ττ==，0x A
dA σ=?，0x A
zdA σ=?，x A
ydA M
σ=?
式(a)表示的应力分量满足上述端面条件。所以，所给的位移分量是受纯弯直杆的解。
6.7图6.6表示一矩形板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压，求应力和位移。
q 1
2
图6.6
解：显然板中的应力状态是均匀的。容易验证下述应力分量
1x q σ=，2y q σ=-，0z xy yz zx στττ====
满足平衡方程、协调方程和边界条件，即是本问题的解。由胡克定律可求得应变为
12112122123311()()()q q q q q q E E E ννν=+?-+?--?εe e e e e e 利用题3.11的结果，可求得位移为
0001
20121021203
1
()()()1()()()() q q x x E q q y y q q z z E
E
ννν=+?-+
+--+----u u ωr r e e e
6.8弹性半空间0z ≥，比重为γ，边界0z =上作用有均布压力q ，设在z h =处0w =，求位移和应力。
解：由问题的对称性，可以假设 0u v ==，()w w z =
把上述位移分量代入Lam é-Navier 方程，可以发现有两个自动满足，余下的一个变成
222d w dz γλμ
=-+ 解之得
22(2)
w z Az B γ
λμ=-
+++
其中的A 、B 是待定常数。由已知条件得
2()02(2)
w h h Ah B γ
λμ=-
++=+ 所以 22(2)B h Ah γ
λμ=
-+ 22)()2(2)
(w h A z h z γ
λμ=-
+-+- 应力分量为 []2x
y dw
z A dz γσσλ
λλμ
===-++，(2)(2)[]2z dw z A dz
γ
σλμλμλμ
=+=+-
++，0xy yz zx τττ===。
在0z =边界上的边界条件为：10T =，20T =，3T q =。前两个条件自动满足，最后
一个成为
(2)A q λμ-+= 即 (12)22(1)
q q
A G νλμν-=-=-+-
所以最后得 (12)
()[()2]4(1)
w z h z h q G νγν-=--++-，0u v ==；
()z
z q σγ=-+，()1x y z q νσσγν
==-
+-，0xy yz zx
τττ===。
6.9设一等截面杆受轴向拉力
p 作用，杆的横截面积为A ，求应力分量和位移分量。设z
轴和杆的轴线重合，原点取在杆长的一半处；并设在原点处，0u v w ===，且
0u v v
z z x
??????===。 答案：
11
6.10当体力为零时，应力分量为
222[()]x A y x y σν=+-，0yz τ=， 222[()]y A x y x σν=+-，0zx τ=，
22()z
A x y σν=+，2xy A xy τν=-
式中，0A ≠。试检查它们是否可能发生。
解：
6.11图6.7所示的矩形截面长杆偏心受压，压力为P ，偏心距为e ，杆的横截面积为A ，求应力分量。 解：根据杆的受力特点，假设
z
x σαβ=+，0x y xy yz zx σστττ=====
其中α、β是待定的常数。
………
6.12长方形板ABCD ，厚度为h ，两对边分别受均布的弯矩1
M 和2M 作用，如图6.8所示。验证应力分量 1312x M z h σ=
，23
12y
M z
h σ=，0z xy yz zx στττ==== 是否是该问题的弹性力学空间问题的解答。
图6.8
解：所给应力分量满足无体力的平衡方程和协调(Beltrami-Michell)方程，也满足板
面上无面力的边界条件。板边CD 上的边界条件可以放松为 0xy τ=，0xz
τ=，22
0h h x dz σ-=?，2
2
1h h x zdz M σ-=?
容易验证应力分量满足上述条件。同样可以说明应力分量满足板边
AB 、BC 、AD
上的边界条件。所以，所给的应力分量是所提空间问题的解答。
图6.7
运筹学A卷) 一、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,答案选错或未选者,该题不得分。每小题1分,共10分) 1.线性规划具有唯一最优解就是指 A.最优表中存在常数项为零 B.最优表中非基变量检验数全部非零 C.最优表中存在非基变量的检验数为零 D.可行解集合有界 2.设线性规划的约束条件为 则基本可行解为 A.(0, 0, 4, 3) B.(3, 4, 0, 0) C.(2, 0, 1, 0) D.(3, 0, 4, 0) 3.则 A.无可行解 B.有唯一最优解medn C.有多重最优解 D.有无界解 4.互为对偶的两个线性规划, 对任意可行解X 与Y,存在关系 A.Z > W B.Z = W C.Z≥W D.Z≤W 5.有6 个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有10个变量24个约束
B.有24个变量10个约束 C.有24个变量9个约束 D.有9个基变量10个非基变量 6、下例错误的说法就是 A.标准型的目标函数就是求最大值 B.标准型的目标函数就是求最小值 C.标准型的常数项非正 D.标准型的变量一定要非负 7、m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件就是 A.m+n－1个变量恰好构成一个闭回路 B.m+n－1个变量不包含任何闭回路 C.m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路 D.m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关 8.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A.原问题无可行解,对偶问题也无可行解 B.对偶问题有可行解,原问题可能无可行解 C.若最优解存在,则最优解相同 D.一个问题无可行解,则另一个问题具有无界解 9、有m个产地n个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有mn个变量m+n个约束…m+n-1个基变量 B.有m+n个变量mn个约束 C.有mn个变量m+n－1约束 D.有m+n－1个基变量,mn－m－n－1个非基变量 10.要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值,目标函数就是
4-8 一个半径为r ＝1m ，转速为1500r/min 的飞轮，受到制动，均匀减速，经时间t ＝50s 后静止，求：（1）飞轮的角加速度和飞轮的角速度随时间的关系；（2）飞轮到静止这段时间内转过的转数；（3）t ＝25s 时飞轮边缘上一点的线速率和加速度的大小。 解 （1）由于均匀减速，所以角加速度不变为 2015000.5/6050r r s s s β-= =-? 由角速度和角加速度的关系得 25/0 t r s d dt ω ωβ=? ? 得 250.5(/)t r s ω=- （2） d d d d dt dt d d ωωθωω βθθ = == 25/r s d d θβθωω=? ? 解得 625r θ= 所以转数为625 （3）由于250.5(/)t r s ω=- 所以t=25s 时 12.5/25(/)r s rad s ωπ== 所以线速率为 25(/)v r m s ωπ== 角加速度大小不变 4-9 某电机的转速随时间的关系为ω＝ω0（1－e -t/τ ），式中，ω0＝s ，τ＝，求：（1） t ＝时的转速；（2）角加速度随时间变化的规律；（3）启动6s 后转过的圈数。 解 （1）t=60s 代入得 39(1)(/)8.6/e rad s rad s ω-=-= （2）由d dt ω β= 得 2 4.5t e β- = （3）由6 d dt θθω=?? 33618e θ-=+ [/2][5.87]5n θπ===
4-10 一个圆盘绕穿过质心的轴转动，其角坐标随时间的关系为θ（t ）＝γt+βt 3 ，其初始转速为零，求其转速随时间变化的规律。 解 由d dt θ ω= 得 23t ωγβ=+ 由于初始时刻转速为零，γ=0 23t ωβ= 4-11 求半径为R ，高为h ，质量为m 的圆柱体绕其对称轴转动时的转动惯量。 解 建立柱坐标，取圆柱体上的一个体元，其对转轴的转动惯量为 2 222 m m dJ dV d d dz R h R h ρρρρθππ== 积分求得 23220001 2 R h m J d d dz mR R h πρρθπ= =??? 4-12一个半径为R ，密度为ρ的薄板圆盘上开了一个半径为R/2的圆孔，圆孔与盘边缘相切。求该圆盘对通过圆盘中心而与圆盘垂直的轴的转动惯量。 解：把圆孔补上，取圆盘上一面元dS ，到转轴的距离为r ，则其转动惯量为 22dJ r dS r rdrd ρρθ== 积分得绕轴转动惯量为 23410 1 2 R J r drd R π ρθπρ==? ? 圆孔部分的绕轴转动惯量可由平行轴定理得 4 422213()()()222232 R R R R J πρπρρπ=+= 总的转动惯量为 4 121332 R J J J πρ=-= 4-13电风扇在开启电源后，经过t 1时间达到额定转速ω，当关闭电源后，经过t 2时间后停止转动，已知风扇转子的转动惯量为J ，并假定摩擦力矩和电动机的电磁力矩均为常量，求电动机的电磁力矩。 解：由转动定理得
第四章 典型例题 【例4-1-1】写出下图所示周期矩形脉冲信号的Fourier 级数。 t 周期矩形信号 分析： 周期矩形信号)(~t x 是实信号，其在一个周期[-T 0/2，T 0/2]内的定义为 ???>≤=2/ 02/ )(~ττt t A t x 满足Dirichlet 条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier 级数表示。 解： 根据Fourier 级数系数C n 的计算公式，有 t t x T C t n T T n d e )(~ 1000j 2/2/0ω--?=== --? t A T t n d e 10j 2/2 /0ωττ 2/2/j 000e )j (ττωω=-=--t t t n n T A 2/)2/sin(00τωτωτTn n A =)2 (Sa 00τωτn T A = 故周期矩形信号)(~ t x 的指数形式Fourier 级数表示式为 t n n t n n n n T A C t x 00j 00j e )2(Sa )(e )(~ωωτωτ∑∑∞ -∞ =∞-∞=== 利用欧拉公式 2 e e )cos(00j j 0t n t n t n ωωω-+= 可由指数形式Fourier 级数写出三角形式的Fourier 级数，其为 ()t n n T A T A t x n 0001 0cos )2(Sa )2()(~ωτωττ∑ ∞ =+= 结论： 实偶对称的周期矩形信号)(~ t x 中只含有余弦信号分量。 【例4-1-2】写出下图所示周期三角波信号的Fourier 级数。 t 周期三角波信号 分析： 周期矩形信号)(~ t x 是实信号，其在一个周期 [-1/2，3/2]的表达式为
第三章习题 4 .针对上题中建立的四个表试用SQL语言完成第2章习题5中的查询。 答案： （1）求供应工程J1零件的供应商号码SNO； SELECT SNO FROM SPJ WHERE JNO=‘J1’； （2）求供应工程J1零件P1的供应商号码SNO； SELECT SNO FROM SPJ WHERE JNO=‘J1’AND PNO=‘P1’； （3）求供应工程J1零件为红色的供应商号码SNO； SELECT SNO /*这是嵌套查询*/ FROM SPJ WHERE JNO=‘J1’AND PNO IN /*找出红色的零件的零件号码PNO */ (SELECT PNO FROM P /*从P表中找*/ WHERE COLOR=‘红’)； 或SELECT SNO FROM SPJ，P /*这是两表连接查询*/ WHERE JNO=‘J1’/*这是复合条件连接查询*/ AND SPJ.PNO=P.PNO AND COLOR=‘红’； （4）求没有使用天津供应商生产的红色零件的工程号JNO； *解析：第一种解法是使用多重嵌套查询，第二种方法的子查询是一个多表连接。 注意：从J表入手，以包含那些尚未使用任何零件的工程号。 SELECT JNO FROM J WHERE NOT EXISTS (SELECT * FROM SPJ WHERE SPJ.JNO=J.JNO AND SNO IN /*天津供应商的SNO*/ (SELECT SNO FROM S WHERE CITY=‘天津’) AND PNO IN /*红色零件的PNO*/ (SELECT PNO FROM P WHERE COLOR=‘红’))； 或SELECT JNO FROM J WHERE NOT EXISTS (SELECT * FROM SPJ, S, P WHERE SPJ.JNO=J.JNO AND SPJ.SNO=S.SNO AND SPJ.PNO=P.PNO AND S.CITY=‘天津’AND P. COLOR=‘红’)； //注：本例中父查询和子查询均引用了Student表，可以像自身连接那样用别名将父查询中的Student表与子查询中的Student表区分开：// （5）求至少用了供应商S1所供应的全部零件的工程号JNO (类似于P113例44)。 解析：它所表达的语义为：不存在这样的零件y，供应商S1供应了y，而工程x 没有选用y。 用SQL语言表示如下：
二、计算题（60分） 1、已知线性规划（20分） MaxZ=3X1+4X2 X1+X2≤5 2X1+4X2≤12 3X1+2X2≤8 X1,X2≥0 其最优解为： 基变量X1X2X3X4X5 X33/2 0 0 1 -1/8 -1/4 X25/2 0 1 0 3/8 -1/4 X1 1 1 0 0 -1/4 1/2 σj 0 0 0 -3/4 -1/2 1）写出该线性规划的对偶问题。 2）若C2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？ 3）若b2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？ 4）如果增加一种产品X6，其P6=(2,3,1)T，C6=4该产品是否应该投产？为什么？解： 1)对偶问题为 Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y3≥3 y1+4y2+2y3≥4 y1,y2≥0 2)当C2从4变成5时， σ4=-9/8 σ5=-1/4 由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。 3）当若b2的量从12上升到15 X＝9/8 29/8 1/4 由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化。 4）如果增加一种新的产品，则 P6’=(11/8,7/8，－1/4)T σ6=3/8>0 所以对最优解有影响,该种产品应该生产 2、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。（共15分）。 B1B2B3产量销地 产地 A1 5 9 2 15 A2 3 1 7 11 A3 6 2 8 20 销量18 12 16 解：初始解为
计算检验数 由于存在非基变量的检验数小于0，所以不是最优解，需调整 调整为： 重新计算检验数 所有的检验数都大于等于0，所以得到最优解 3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表2所示： （15分） 项目 投标者 A B C D 甲 15 18 21 24 乙 19 23 22 18 丙 26 17 16 19 丁 19 21 23 17 答最优解为： X= 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 总费用为50 4. 考虑如下线性规划问题（24分） B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3 18 1 1 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 －2 0 0 11 A 3 0 0 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3 7 12 1 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 0 2 2 11 A 3 0 0 0 20 销量/t 18 12 16
第四章 化学方程式?中? ?根据化学方程式的计算? 唐荣德 典型例题 1．实验室用 g 锌跟足量的盐酸反应，可制氢气和氯化锌各多少克? 分析：在化学反应中，反应物与生成物之间的质量比是成正比关系，因此，利用正比例关系，根据化学方程式和已知的一种反应物(或生成物)的质量，可求生成物(或反应物)的质量。 解：设制得氢气的质量为x ，制得氯化锌的质量为y ………设未知量， Zn ＋2HCl ＝ ZnCl 2＋H 2? …………写出正确的化学方程式 65 136 2 …………写出有关物质的质量比， g y x …………写出已知量和未知数 g 7.365＝y 136，y ＝65 g 7.3136?＝7?7g …………列比例式，求解 g 7.365＝x 2， x ＝65 g 7.32?＝0?1 g 答：制得氢气 g ，氯化锌 g ，………写出简要答案。 2．对于反应：X 2＋3Y 2＝2Z ，可根据质量守恒定律推知下列说法一定错误的是? AD ? A ? 若X 2的式量为m ，Y 2相对分子质量为n ，则Z 的相对分子质量为?m ＋3n ? B ? 若m g X 2和n g Y 2恰好完全反应，则生成?m ＋n ? g Z C ? 若m g X 2完全反应生成n g Z ，则同时消耗?m －n ? g Y 2 D ? Z 的化学式为XY 2 解析：根据质量守恒定律，B 、C 正确。由原子守恒，可得出Z 的化学式为XY 3，故D 错。由题意知，反应物的总质量为m ＋3n ，而生成物的总质量为2?m ＋3n ?，显然违背了质量守恒定律，故A 是错的。 答案：AD 。 3．反应：A ＋3B ＝2C ，若7 g A 和一定量B 完全反应生成 g C ，则A 、B 、C 的相对分子质量之比为 ( B ) A. 14∶3∶7 B. 28∶2∶17 C. 1∶3∶2 D. 无法确定 解析：由质量守恒定律可知：B 为 g －7 g ＝ g 。再根据化学方程式中各物质的化学计量数之比为粒子数之比，可得出它们的相对分子质量之比为：M A ∶M B ∶M C ＝715852 13∶∶..＝7∶∶＝28∶2∶17。 答案：B 。 4．将金属镁和氢氧化镁的混合物在空气中灼烧，混合物的质量在冷却后没有变化，求原混合物中镁元素的质量分数。[已知：Mg(OH)2MgO ＋H 2O] 解析：根据质量守恒定律，反应前后镁元素的质量不变，混合物总质量不变。剩余物为MgO ，故MgO 中Mg 元素的质量分数即为原混合物中镁元素的质量分数。
《燃料与燃烧》习题解答 第一篇 燃料概论 1. 某种煤的工业分析为：M ar =3.84, A d =10.35, V daf =41.02, 试计算它的收到基、干燥基、干燥无灰基的工业分析组成。 解：干燥无灰基的计算：0 2.41=daf V 98.58100=-=daf daf V Fc ; 收到基的计算 ar ar ar ar V M A FC ---=100 36.35100 100=--? =ar ar daf ar A M V V A ar = 9.95 FC ar = 50.85 干燥基的计算： 35.10=d A V d = 36.77; 88.52100=--=d d d A V FC 2. 某种烟煤成分为： C daf =83.21 H daf =5.87 O daf =5.22 N daf =1.90 A d =8.68 M ar =4.0; 试计算各基准下的化学组成。 解：干燥无灰基：80.3100=----=daf daf daf daf daf N O H C S 收到基： 33.8100 100=-? =ar d ar M A A 95.72100 100=--?=ar ar daf ar M A C C H ar =5.15 O ar =4.58 N ar =1.67 S ar =3.33 M ar =4.0 干燥基： 68.8=d A 99.75100 100=-? =d daf d A C C 36.5913.0=?=daf d H H 77.4913.0=?=daf d O O N d = N daf ×0.913 =1.74 47.3913.0=?=daf d S S 干燥无灰基：C daf =83.21 H daf =5.87 O daf =5.22 N daf =1.90 S daf =3.80 3. 人工煤气收到基组成如下：
3）若问题中 x2 列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化； 4）c2 由 1 变为 2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。 Cj CB 0 0 Cj-Zj 0 4 Cj-Zj 3 4 Cj-Zj 最优解为 X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5 2对偶问题为Minw=9y1+8y2 6y1+3y2≥3 3y1+4y2≥1 5y1+5y2≥4 y1,y2≥0 对偶问题最优解为 y1=1/5,y2=3/5 3 若问题中 x2 列的系数变为（3，2）T 则P2’=(1/3,1/5σ2=-4/5＜0 所以对最优解没有影响 4）c2 由 1 变为2 σ2=-1＜0 所以对最优解没有影响 7. 求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集，每弧旁的数字是（cij , fij ）。（10 分） V1 (9,5 (4,4 V3 (6,3 T 3 XB X4 X5 b 9 8 X1 6 3 3 X4 X3 1 8/5 3 3/5 3/5 X1 X3 1/3 7/5 1 0 0 1 X2 3 4 1 -1 4/5 -11/5 -1/3 1 - 2 4 X 3 5 5 4 0 1 0 0 1 0 0 X4 1 0 0 1 0 0 1/3 -1/ 5 -1/5 0 X5 0 1 0 -1 1/5 -4/5 -1/3 2/5 -3/5 VS (3,1 (3,0 (4,1 Vt (5,3 V2 解： (5,4 (7,5 V4 V1 (9,7 (4,4 V3 (6,4 (3,2 Vs (5,4 (4,0 Vt (7,7 6/9 V2 最大流＝11 (5,5 V4 8. 某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过 A、B、C 三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表：ⅠⅡⅢ设备能力(台.h A 1 1 1 100 B 10 4 5 600 C 2 2 6 300 单
第四章：基本平面图形知识点 一、寻找规律： (1) 2 n n - ◆ 数线段条数：线段上有n 个点（包括线段两个端点）时，共有(1) 2 n n -条线段 ◆ 数角的个数：以0为端点引n 条射线，当∠AOD<180°时， 则（如图）?小于平角的角个数为(1) 2 n n -． ◆ 数直线条数：过任三点不在同一直线上的n 点一共可画(1) 2 n n -条直线． ◆ 数交点个数：n 条直线最多有(1) 2 n n -个交点． ◆ 握手问题：数n 个人两两握手能握(1) 2 n n -次． 二、基本概念 1．线段、射线、直线 （1）线段：绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看做线段． 线段的特点：是直的，它有两个端点． （2）射线：将线段向一方无限延伸就形成了射线． 射线的特点：是直的，有一个端点，向一方无限延伸． （3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线． 直线的特点：是直的，没有端点，向两方无限延伸． 2．线段的中点 把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点． 利用线段的中点定义，可以得到下面的结论： （1）因为AM=BM=12 AB ，所以M 是线段AB 的中点． （2）因为M 是线段AB 的中点，所以AM=BM=12 AB 或AB=2AM=2BM ． 3．角 由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边． 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的． 一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角． 4．角平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 5．两点之间的距离 两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离． 6．直线的性质 经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”表示“惟一性”． 7．线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短． 三、线段、角的表示方法 线段的记法： ①用两个端点的字母来表示 ②用一个小写英文字母表示 射线的记法： 用端点及射线上一点来表示，注意端点的字母写在前面 直线的记法： ①用直线上两个点来表示 ②用一个小写字母来表示 角的表示：①用三个大写字母表示，表示顶点的字母写在中间：∠AOB ； ②用一个大写字母表示：∠O ； ③用一个希腊字母表示：∠ａ； ④用一个阿拉伯数学表示：∠1。 四、线段、角的比较 度量法 叠合法 1.作一条线段等于已知线段 作法： O A 顶点 边 边 B ａ 1 O A 射线OA A B a 直线AB 直线a
部分思考与练习题答案 第一章 1、试说明低压电器适用的电压范围？ 低压电器，通常指工作在交流电压小于1200V ，直流电压小于1500V 的电路中起通断、保护、控制或调节作用的电器设备 2、试说明刀开关的适用范围？ 刀开关主要用于接通和切断长期工作设备的电源及不经常启动及制动、容量小于7.5kW 的异步电动机。 3、试说出转换开关、行程开关和按钮的区别？并画出它们的图形符号与文字符号。 转换开关常用于交流380V 以下、直流220V 以下的电气线路中，供手动不频繁地接通或分断电路，可控制小容量交、直流电动机。一般控制的异步电动机容量小于5kW ，每小时接通次数不超过15-20次。 (a)组合开关作隔离开关(b) 组合开关作转换开关 或Q S L L L 行程开关又称限位开关，是一种利用生产机械某些运动部件的碰撞来发出控制命令的主令电器。用于控制生产机械的运动方向、速度、行程大小或位置的一种自动控制器件。
常开触头 （动合触点）常闭触头（动断触点）复式触头（动合及动断触点） S Q S Q S Q 按钮是一种结构简单使用广泛的手动电器，在控制电路中用于手 动发出控制信号以控制接触器、继电器等。 4、试说明按钮的顔色各代表什么含义？ 按钮颜色及其含义颜色 含义典型应用红色危险情况下的操作 紧急停止停止或分断停止一台或多台电动机，停止一台机器的一部分， 使电器元件失电 黄色应急或干预抑制不正常情况或中断不理想的工作周期 绿色启动或接通启动一台或多台电动机，启动一台机器的一部分， 使电器元件得电 蓝色上述几种颜色未包括的任一种功能－ 黑色、灰 色、白色无专门指定功能 可用于停止和分断上述以外的任何情况5、试说明按钮开关的工作原理，其与电磁式接触器工作原理有何异同？ 按钮一般由按钮帽、复位弹簧、触头和外壳等部分组成。当按下按钮时，先断开常闭触头，再接通常开触头。按钮放开后，在复位弹簧的作用下触头复位。
第二章习题及解答 1. 简述网络信息资源的特点。 （1）分散性分布； （2）共享性与开放性； （3）数字化存储； （4）网络化传输。 2. 试比较全文搜索引擎、分类检索、元搜索引擎三种搜索引擎的不同之处。 全文搜索引擎是目前主流的搜索引擎，有计算机索引程序在互联网上自动检索网站网页，建立起数据库，收录网页较多，用户按搜索词进行检索，返回排序的结果。以谷歌、百度、必应等为代表。 分类检索，将人工搜集或用户提交的网站网页内容，将其网址分配到相关分类主题目录，形成分类树形结构索引。用户不需用关键词检索，只要根据网站提供的主题分类目录，层层点击进入，便可查到所需的网络信息资源。典型代表有Yahoo、新浪分类目录搜索、淘宝网的类目等。分类检索用于目标模糊、主题较宽泛、某专业网站或网页的查找，要求查准时选用； 元搜索引擎不是一种独立的搜索引擎，没有自己的计算机索引程序和索引数据库，是架构在许多其他搜索引擎之上的搜索引擎。在接受用户查询请求时，可以同时在其他多个搜索引擎中进行搜索，并将其他搜索引擎的检索结果经过处理后返回给用户。 3. 简述搜索引擎的工作原理。 搜索引擎的基本工作原理包括如下三个过程：首先，抓取，在互联网中发现、搜集网页信息；第二，建立索引，对信息进行提取和组织建立索引库；第三，搜索词处理和排序，由检索器根据用户输入的查询关键字，在索引库中快速检出文档，进行文档与查询的相关度评价，对将要输出的结果进行排序，并将查询结果返回给用户。 4．简述常用的关键词高级检索功能。 常用的关键词高级检索功能应用包括：使用检索表达式搜索、使用高级搜索页、元词搜索。 使用检索表达式搜索分别有空格、双引号、使用加号、通配符、使用布尔检索等。 有时我们为了限制搜索范围、搜索时间、过滤关键字等，需要用到高级搜索页。 大多数搜索引擎都支持“元词”（metawords）功能。依据这类功能，用户把元词放在
(一)线性规划建模与求解 B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。甲、乙两种产品每生产1 单位分别消耗2小时、1小时。又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大 要求：1、建立该问题的线性规划模型。 2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。如果不存在最优解，也请说明理由。 解：1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产x 1 、x 2 单位 。 (2)目标函数： max z=2 x 1+x 2 (3)约束条件如下：1221 12 25..3,0+≤??≥??≥?x x s t x x x x 2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只须画出其中一条等值线， 结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线 z=2 x 1+x 2与约 束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行 。甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。 （二）图论问题的建模与求解样题 A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例 13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。
习题四 3、何谓静态链接？何谓装入时动态链接和运行时的动态链接？ 答：(1) 静态链接。在程序运行之前，先将各目标模块及它们所需的库函数，链接成一个完整的装配模块，以后不再拆开。我们把这种事先进行链接的方式称为静态链接方式。 (2) 装入时动态链接。这是指将用户源程序编译后所得到的一组目标模块，在装入内存时，采用边装入边链接的链接方式。 (3) 运行时动态链接。这是指对某些目标模块的链接，是在程序执行中需要该(目标)模块时，才对它进行的链接。 6、为什么要引入动态重定位？如何实现？ 答：（1）在连续分配方式中，必须把一个系统或用户程序装入一连续的内存空间。如果在系统中只有若干个小的分区，即使它们容量的总和大于要装入的程序，但由于这些分区不相邻接，也无法把该程序装入内存。这种不能被利用的小分区称为“零头”或“碎片”。为了消除零头所以要引入动态重定位。 （2）在动态运行时装入的方式中，作业装入内存后的所有地址都仍然是相对地址，将相对地址转换为物理地址的工作，被推迟到程序指令要真正执行时进行。为使地址的转换不会影响到指令的执行速度，必须有硬件地址变换机构的支持，即须在系统中增设一个重定位寄存器，用它来存放程序(数据)在内存中的起始地址。程序在执行时，真正访问的内存地址是相对地址与重定位寄存器中的地址相加而形成的。地址变换过程是在程序执行期间，随着对每条指令或数据的访问自动进行的，故称为动态重定位。 14、较详细地说明引入分段存储管理是为了满足用户哪几方面的需要。 答：1) 方便编程 通常，用户把自己的作业按照逻辑关系划分为若干个段，每个段都是从0 开始编址，并有自己的名字和长度。因此，希望要访问的逻辑地址是由段名(段号)和段内偏移量(段内地址)决定的。
新浙教版七年级上册数学第四章《代数式》知识点及典型例题 意义：能把数和数量关系一般化地、简明地表示出来 用字母表示数 举例如用“ a+b=b+a”表示加法的交换律就非常地简洁明了 代数式概念：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式，这里的运算是指 加、减、乘、除、乘方和开方。特别规定：单独一个数或者一个字母也称为代数式 意义：代数式可以简明地、具有普遍意义地表示实际问题中的量 列代数式：特别注意找规律这种类型的题目 直接代入法 代数式的值 整体代入法 定义：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式。特别规定：单 独一个数或一个字母也叫单项式 代数式 单项式系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的的次数 整式多项式定义：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 多项式多项式的次数：次数最高的项的次数就是这个多项式的次数 常数项：不含字母的项叫做常数项 多项式的命名：几次几项式 同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 合并同类项：把多项式中的同类项合并为一项的过程叫做合并同类项 合并同类项 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指 数不变 去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变； 括号前是“—” ，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项都改变符号 整式的加减 整式加减的步骤：先去括号，再合并同类项 关于整式加减的简单应用：如求图形的面积等 单项式 整式 关于代数式分类的拓展代数式 有理式 多项式 分式 无理式 (被开方数含有字母 )
运筹学例题及解答 一、市场对I、II两种产品的需求量为：产品I在1-4月每月需10000件，5-9月每月需30000件,10-12月每月需100000件；产品II在3-9月每月需15000件，其它月份每月需50000件。某厂生产这两种产品成本为：产品I在1-5月内生产每件5元，6-12月内生产每件4.50元；产品II在1-5月内生产每件8元，6-12月内生产每件7元。该厂每月生产两种产品能力总和应不超过120000件。产品I容积每件0.2立方米，产品II容积每件0.4立方米，而该厂仓库容积为15000立方米，要求：(a)说明上述问题无可行解；(b)若该厂仓库不足时，可从外厂借。若占用本厂每月每平方米库容需1元，而租用外厂仓库时上述费用增加为1.5元，试问在满足市场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用为最少。 解：(a) 10-12月份需求总计：100000X3+50000X3=450000件，这三个月最多生产120000X3=360000件，所以10月初需要（450000-360000=90000件）的库存，超过该厂最大库存容量，所以无解。 ? ?（b）考虑到生产成本，库存费用和生产费用和生产能力，该厂10-12月份需求的不足只需在7-9月份生产出来库存就行， 则设xi第i个月生产的产品1的数量，yi第i个月生产的产品2 的数量，zi，wi分别为第i个月末1，2的库存数s1i，s2i分别
为用于第i+1个月库存的原有及租借的仓库容量m3，可建立模型： Lingo 程序为 MODEL: sets: row/1..16/:; !这里n 为控制参数; col/1..7/:; AZ(row,col):b,x; endsets 1211 127777778 7887898998910910109101110111110111211min (4.57)( 1.5) 30000150003000015000300001500030000150003000015000.i i i i i i z x y s s x z y w x z z y w w x z z y w w x z z y w w x z z y w w st x z ===+++-=→-=+-=→+-=+-=→+-=+-=→+-=+-=→+-=+∑∑1211121100005000 120000(712)0.20.415000(712)0i i i i i i i y w x z i z w s s s i ?????????=→+=??+≤≤≤?+=+??≤≤≤???变量都大于等于
第4章部分习题参考答案 4.1 解释下列术语 ?存储器最大频宽－存储器连续工作时所能达到的频宽。 ?存储器实际频宽－存储器实际工作时达到的频宽，它一般小于存储器最大频宽。 ?模m交叉编址－交叉访问存储器由多个存储体（m个存储模块）组成一个大容量的存 储器，对多个存储体的存储单元采用交叉编址方式，组成交叉访问存储器。通常有两种交叉编址方式，一是地址的高位交叉编址，一般使用较少转型是低位交叉编址，即由m个存储体组成的低位交叉存储器的存储单元地址的低log2m位称为体号k，高log2n 位称为体内地址j，存储单元地址A的计算公式为：A＝m×j×k。若已知地址A，可计算出对应的体号k=A mod m，体内j=[A/m]地址。高位交叉编址主要用于扩展常规主存的容量，而低位交叉编址主要用于提高常规主存的访问速度。 ?程序局部性－程序中对于存储空间90％的访问局限于存储空间的10％的区域中，而另 外10的访问则分布在存储空间的其余90％的区域中。这就是通常说的程序局部性原理。访存的局部性规律包括两个方面，一是时间局部性：如果一个存储项被访问，则可能该项会很快被再次访问；二是空间局部性：如果一个存储项被访问，则该项及其邻近的项也可能很快被访问。 ?虚拟存储器－即“主存－辅存”存储层次，主要目的是为了弥补主存容量的不足，可 以为程序员提供大量的程序空间。其部分功能采用硬件，其余则由操作系统的存储管理软件来实现，对于系统程序员不透明。 ?段式管理－把主存按段分配的存储管理方式。它是一促模块化的存储管理方式，每个 用户程序模块可分到一个段，该程序模块博只能访问分配给该模块的段所对应的主存空间。段长可以任意设定，并可放大和缩小。系统中通过一个段表指明保段在主存中的位置。段表中包括段名（段号）、段起点、装入位和段长等。段表本身也是一个段。 段一般是程序模块划分的。 ?页式管理－把虚拟存储空间和实际存储空间等分成固定大小的页，各虚拟页可装入主 存中的不同实际页面位置。页式存储中，处理机逻辑地址由虚页号和页内地址两部分组成，实际地址也分成页号和页内地址两部分，由地址映像机构将虚页号转换成主存的实页号。页式管理用一个页表，包括页号、每页在主存的起始位置、装入位等。页表是虚页号与物理页号的映射表。页式管理由操作系统进行，对应用程序员是透明的。
一 《燃料与燃烧》习题解答 第一篇 燃料概论 1. 某种煤的工业分析为：M ar =3.84, A d =10.35, V daf =41.02, 试计算它的收到基、干燥基、干燥无灰基的工业分析组成。 解：干燥无灰基的计算：0 2.41=daf V 98.58100=-=daf daf V Fc ; 收到基的计算 ar ar ar ar V M A FC ---=100 36.35100 100=--? =ar ar daf ar A M V V A ar = 9.95 FC ar = 50.85 干燥基的计算： 35.10=d A V d = 36.77; 88.52100=--=d d d A V FC 2. 某种烟煤成分为： C daf =83.21 H daf =5.87 O daf =5.22 N daf =1.90 A d =8.68 M ar =4.0; 试计算各基准下的化学组成。 解：干燥无灰基：80.3100=----=daf daf daf daf daf N O H C S 收到基： 33.8100 100=-? =ar d ar M A A 95.72100 100=--? =ar ar daf ar M A C C H ar =5.15 O ar =4.58 N ar =1.67 S ar =3.33 M ar =4.0 干燥基： 68.8=d A 99.75100 100=-? =d daf d A C C 36.5913.0=?=daf d H H 77.4913.0=?=daf d O O N d = N daf ×0.913 =1.74 47.3913.0=?=daf d S S 干燥无灰基：C daf =83.21 H daf =5.87 O daf =5.22 N daf =1.90 S daf =3.80
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题 a） 12 12 12 12 min z=23 466 ..424 ,0 x x x x s t x x x x + +≥ ? ? +≥ ? ?≥ ? 解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为 最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为 min 3 z=2303 2 ?+?= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题 a） 12 12 12 12 max z=10x5x 349 ..528 ,0 x x s t x x x x + +≤ ? ? +≤ ? ?≥ ? 解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点， 即 1 12 122 1 349 3 528 2 x x x x x x = ? += ?? ? ?? +== ?? ? ，即最优解为* 3 1, 2 T x ?? = ? ?? 这时的最优值为 max 335 z=1015 22 ?+?=
单纯形法： 原问题化成标准型为 121231241234 max z=10x 5x 349 ..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=?? ++=??≥? j c → 10 5 B C B X b 1x 2x 3x 4x 0 3x 9 3 4 1 0 0 4x 8 [5] 2 0 1 j j C Z - 10 5 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 10 1x 8/5 1 2/5 0 1/5 j j C Z - 1 0 - 2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 10 1x 1 1 0 -1/7 2/7 j j C Z - -5/14 -25/14
第四章部分习题解答 习题一 （P215） 4．已知从曲线的切线到切点的向径所成的角为定角α， 求该曲线所满足的微分方程。 解：设所求曲线的方程为)(x f y =，切点为),(y x M ， 则有x y y y x y ?'+'-=α1tan ，即α+α-='tan tan y x x y y 。 5．设有一质量为m 的质点作直线运动，假定有一个和时间成正比的拉力作用在它上面，同时质点又受到与速度成正比的阻力作用，试求速度随时间变化的微分方程。 解：质点在运动过程中所受的力有两个： 一个是t k F 11=（1k 为正的常数）； 一个是v k F 22-=（2k 为正的常数），2F 的方向与质点运动的方向相反。 因此作用在质点上的力v k t k F F F 2121-=+=。 另一方面，由牛顿第二定律可知，dt dv m ma F ==， 故得微分方程：v k t k dt dv m 21-=。 习题二 6.一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴间的任意切线线段被切点所平分, 求此曲线的方程。 解：设所求切线方程为)x (f y =，切点为)y ,x (M ，则由题意可知： 切线与x 轴的交点为)0 ,x 2(A ，切线与y 轴的交点为)y 2 ,0(B ， 故得微分方程： x 200y 2dx dy --=，即x y dx dy -=，且3y 2x ==。 分离变量，得x dx y dy -=，两端积分得C xy =。
代入初始条件3y 2x ==，得6C =，故所求曲线的方程为6xy =。 7．一汽船在h km 10的速度运动时停止了发动机，经过s 20后船的速度减至h km 6，已知水的阻力与汽船运动的速度成正比，试问发动机停止min 2后船的速度是多少？ 解：设汽船在发动机停止t 小时后的速度为)h km (v ，则有 kv dt dv m -=，且10v 0t ==。解方程得通解：t m k Ce v -=， 把10v 0t ==代入上式，得10C =，故t m k e 10v -=。 把6v 360020 t ==代入上式，得360020m k e 106?-=， 解得35ln 18035ln 360020m k =?=，故t 35 ln 180e 10v -=。 当)h (301602t ==时，35 ln 630135ln 180e 10e 10v -?-==467.0)5 3(106≈=)h km (。 8．镭的衰变规律是：衰变速度与镭的剩余量成正比，已知镭的原有量为o m ，经过1600年后，只剩下原有量的一半，求镭的衰变规律。 解：设镭的衰变规律为)t (m m =，则有 km dt dm -=，o 0t m m ==，o 1600t m 21m ==。 解之得方程的通解k t Ce m -=， 把o 0t m m ==代入通解得o m C =，故k t o e m m -=。 把o 1600t m 2 1m ==代入上式，得k 1600o o e m m 21-=， 16002ln k =， 故镭的衰变规律为t 16002ln o e m m -=，即1600t o )2 1(m m =。
第四章基本平面图形练习题 典型考题一: 线段的中点问题 1.已知线段AB=10cm,在AB的延长线上取一点C，使AC=16cm,则线段AB的中点与AC的中点的距离为 2.如果A,B,C三点在同一条直线上，且线段AB=4cm, BC=2cm,则那么A，C两点之间的距离为 3.已知线段AB=20cm,在直线AB上有一点C，且BC=10cm,M是线段AC的中点,求线段AM的长. 4.如图，点C在线段AB上，AC=8cm,CB=6cm,点M,N分别是AC,BC的中点. （1）求线段MN的长； （2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别为AC、BC 的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？ 典型考题二: 角的平分线问题 1.已知：OC是∠AOB的平分线，若∠AOB=58°，则∠AOC= 2.如图，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，若∠COD=25°，则∠AOB的度数为 3.如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， （1）求∠MON的度数。 （2）如果（1）中∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数。 （3）如果（1）中∠BOC=β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数。 （4）从（1）（2）（3）的结果你能看出什么规律？ 4.已知∠AOB=120°，∠AOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB， （1）求∠MON的度数； （2）通过（1）题的解法，你可得出什么规律？ 5.已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．（1）如图①，当∠BOC =70°时，求∠DOE的度数；