（一）知识归纳：1．概念与公式：
①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；
2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2
)
1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=
②等比数列：1°.定义若数列q a a a n
n n =+1
}{满足
（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;1
1k
n k n n q
a q a a --==3°.前n 项和公式：),
1(1)
1(111≠--=--=q q
q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n =
2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a 1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =?=?=?--n n n a a a a a a
②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2
b
a A += 2°.设a ,G,
b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ?=?
④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k n
n k k
k
k
a
a a 1
21
31
2,,则组成
公差为n 2d 的等差数列；
2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=n k n n k n
n k k
k
k
a
a a 1
21
31
2,,则
组成公差为q n 的等比数
列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）
⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2
n q 的等比数列.⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列, 1°.若n 为奇数，
则,,:(2
1+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所
有偶数项的和）；
2°.若n 为偶数，则.2
nd
S S =
-奇偶 [例1]解答下述问题： （Ⅰ）已知c
b a 1
,1,1成等差数列，求证：
（1）c b a b a c a c b +++,
,成等差数列； （2）2
,2,2b c b b a ---成等比数列. [解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，
.
2,2,2,
)2(4)(2)2)(2)(2(;
,,.)(2)()(2)()1(),(222112222
22
2成等比数列成等差数列b
c b b a b
b c a b ac b c b a c b a b a c a c b b
c a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac b ac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=
+++=++++=?=+?=+
（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为
2128，求项数n.
[解析]设公比为242
1281024
,142531==-n n a a a a a a a q
)1(2421
1=??-n q a
.7,2
35
25,
2)2()1(,2)(2
)1(2212810242
352
52
35
2
1
12
353
211235321==∴
==??=-+??=?=-++n n q a n q
a a a a a n
n n n 得代入得将而
（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：
,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列 求数列.}{项和的前n k n
[解析],,,,1712
51751a a a a a a ?=∴成等比数列
① ②
.
131
31
32}{,
132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111
111
115111121--=---?=-?=-+=-+=?=?=∴=+==
∴=∴≠=-?+?=+?---n n S n k k d k d d k a a d a a a d a a a q a d a d d a d d a a d a n n n n n n n n k n n k k n n n 项和的前得由而的公比数列
[例3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.
[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有
.
9
338
,926,9250,10,2,9
26
10,388,0643231680
3232))(()4()32)((22
2
22或原三数为或得或∴===∴=+-??????+==-+??????+-=-=++-a d d d d d
a a d d d a d a a a d a d a
（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.
[解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,
???=+=-????=+=-∴+<-+-?=?==+-?=+?∈=++++-+-∴*25
21251,,,
2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与
解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47，57，67，77
一、 选择题
1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）（A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5
a ,
13
a 成等比数列，则
{}n a 的通项公式为
（ ）（A ）13+=n a n
（B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a
①②
①，②
3、已知
c
b a ,,成等比数列，且
y
x ,分别为
a
与
b
、
b
与
c 的等差中项，则
y
c x a +的值为
（ ）（A ）
2
1
（B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，
2y 三个数（ ）
（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列{}n a 的前
n
项和为
n
S ,
n
n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为
（ ）（A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2
6
、
已
知
)
)((4)(2z y y x x z --=-,则（）
（A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ）
z y x 1,1,1成等差数列 （D ）z
y x 1
,1,1成等比数列 7、数列
{}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有
（ ）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
8、数列1
?,161
7,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212
112
+--+n n n
9、若两个等差数列
{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足
5
52
4-+=
n n B A n n ，则
13
5135b b a a ++的
值为（ ）（A ）97
（B ）
7
8 （C ）
20
19 （D ）
8
7
10、已知数列
{}n a 的前
n
项和为
2
52+-=n n S n ,则数列
{}n
a 的前
10项和为
（ ）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列
{}n a 的通项公式5+=n a n
为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺
序
排
成
一
个
新
的
数
列
，
则
此
数
列
的
前
n
项
和
为
（ ）（A ）2)133(+n n （B ）53+n
（C ）23103-+n n （D ）2
31031-++n n
12
、
下
列
命
题
中
是
真
命
题
的
是
( )
A ．数列
{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n +=(0≠p ) B ．已知一个数列{}
n a 的前n 项和为a bn an S n
++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列
C ．数列
{}n a 是等比数列的充要条件1
-=n n ab a
D ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n
+=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要
条件是0=+c a
二、填空题
13、各项都是正数的等比数列
{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q =
14、已知等差数列
{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则
18
6217
51a a a a a a ++++=
15、已知数列
{}n a 满足n n
a S 4
1
1+=,则n a =
16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题 17、已知数列
{}n a 是公差d
不为零的等差数列，数列
{}n
b a 是公比为q 的等比数列，
46,10,1321===b b b ，求公比q 及n b 。
18、已知等差数列
{}n a 的公差与等比数列{}n b 的公比相等，且都等于d
)1,0(≠>d d ,11b a = ，
333b a =,555b a =,求n n b a ,。
19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。 20、已知{}n a 为等比数列，324202,3
a a a =+=，求{}n a 的通项式。
21、数列
{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥
（Ⅰ）求
{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，
又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T
22、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈
（I ）求数列
{}n a 的通项公式；
（II ）若数列
{}n b 满足1
2
1114.4...4(1)()n
n
b b b b n a n N ---*=+∈，证明：{}n b 是等差数列；
数列综合题
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B
D
C
A
A
A
C
A
D
D
D
D
二、 填空题 13.
251+ 14. 2926 15. n )3
1
(34- 16. ±63 三、解答题
17.a 1b =a 1,a 2b =a 10=a 1+9d ,a 3b =a 46=a 1+45d
由{a bn }为等比数例，得（a 1+9d ）2=a 1(a 1+45d )得a 1=3d ,即a b 1=3d ,a b 2=12d ,a b 3=48d . ∴q =4 又由{a bn }是{a n }中的第b n a 项，及a bn =a b 1·4n -1=3d ·4n -1,a 1+(b n -1)d =3d ·4n -1 ∴b n =3·4n -1-2
18.∴ a 3=3b 3 , ∴a 1+2d =3a 1d 2 , ∴a 1(1-3d 2)=-2d ① a 5=5b 5, ∴a 1+4d =5a 1d 4 , ∴a 1(1-5d 4)=-4d ②
②① ,得243151d d --=2，∴ d 2=1或d 2=51,由题意，d =55,a 1=-5。∴a n =a 1+(n -1)d =55(n -6) b n =a 1d n -1=-5·(
5
5)n -1
19.设这四个数为
a aq aq a q
a
-2,,, 则??
???=-++=?36)3(216·a aq aq a aq a q a
②① 由①，得a 3=216,a =6 ③ ③代入②，得3aq =36,q =2 ∴这四个数为3，6，12，18 20.解: 设等比数列{a n }的公比为q , 则q ≠0, a 2=a 3q = 2
q
, a 4=a 3q =2q
所以 2q + 2q =203 , 解得q 1=13 , q 2= 3, 当q 1=13, a 1=18.所以 a n =18×(13)n －1=183n －1 = 2×33－
n .
当q =3时, a 1= 29 , 所以a n =29
×3n －1=2×3n －
3.
21.解：(I)由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得
()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a =
故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d
由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+ 又1231,3,9a a a === 由题意可得()()()2
515953d d -+++=+ 解得122,10d d ==∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴()213222
n n n T n n n -=+
?=+
22（I ）：*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。 12.n n a ∴+=
即 2*21().n a n N =-∈
（II ）证法一：121
11
44...4(1).n
n b b b b n a ---=+ 12( (42)
n n b b b n nb +++-∴=
122[(...)],
n n b b b n nb ∴+++-=
①
12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②
②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-
即1(1)20,
n n n b nb +--+= ③ 21(1)20.
n n nb n b ++-++= ④
④－③，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+=
*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈ {}n b ∴是等差数列
等差数列与等比数列解题技巧
一、求数列通向公式的方法
1、分析法
通过与一些已知通向公式的基本数列进行比较、分析、归纳综合找数列的项与项数之间的关系，求出数列的通向公式.
例1、写出数列的一个通向公式
（1）、0.7，0.77，0.777.0.7777，... （2）、2，
, (16)
81
,833,413,25 解：（1）原列各项可以写成有数列{}得到，而乘的每一项除以79,...999.0,99.0,9.0:n a
,1.01n n a -=故原数列的一个通向公式为()
n n n a b 1.019
7
97-==
（2）、原数列可改写为,...,21
5,214,213,212,21143210+++++
故其通向公式为121
-+=n n n a
例2、根据下面各个数列的首项和递推公式，写出它的前4项并归纳出数列的一个通向公式 （1）、)(2,111*
+∈+==N n a a a n n ；)(2
2,1)2(11*+∈+=
=N n a a a a n n
n 解：分析:写出前4项，找出规律，然后归纳出通向公式. (1)、由已知，得
312,1121=+==a a a
,1512,7123423=+==+=a a a a
即,12,122
21-=-=a a
,12,124433-=-=a a
故数列的一个通向公式为)(12*
∈-=N n a n
n (2)、由已知，得,3
2
22,11121=+=
=a a a a ,5222,2122334223=+==+=
a a a a a a 即.5
2
,4221,32,2214321======a a a a 故数列的一个通向公式为)(1
2
*∈+=
N n n a n 注:上述题设给出，数列的前n 项或给出递推公式和初始条件，分析数列的特征，找出规律，写出通向公式. 2、待定系数法
例1、已知数列{}n a 的通向公式是关于n 的二次多项式，按照下列条件，写出数列{}n a 的一个通向公式.
（1）、;7,3,1321===a a a （2）、;8,4,2321===a a a （3）、.0,3321===a a a 分析：设出,2
c bn an a n ++=然后将321a a a 、、代入求出系数,c b a 、、即得通向公式.
解：（1）、,2
c bn an a n ++=依题意，得?????=++=++=++,739,324,1c b a c b a c b a 解得??
???=-==,1,1,
1c b a
.12+-=∴n n a n
（2）、设,2
c bn an a n ++=依题意，得?????=++=++=++,839,424,2c b a c b a c b a 解得?????=-==,2,1,1c b a
.22+-=∴n n a n
（3）、的两个根。是方程、032,032=∴==n a a a 设),3)(2(--=n n a a n
,2
3
,311=∴==a a n 时，当
).
3)(2(2
3
--=∴n n a n 注：由n 个独立条可确定n 个参数的值，因此，当已知数列{}n a 中m 项数值时，可设通项为（m-1）次多项式，并应用待定系数法，求出这一多项式个项系数的值，进而写出n a 的表达式。
3、换元法
换元的关键步骤是变换题设中所给的递推公式，构造出等差数列或等比数列，这种被构造出来的数列称为辅助数列，借助辅助数列便可求得原数列的通向公式.
例1、已知数列{}
,2,,,1221d a a a q a p a a n n n n =+-==++且中求数列{}n a 的通向公式. 分析：将d a a a n n n =+-++122变形为,)()(112d a a a a n n n n =---+++换元后转化为求等差数列的通向公式.
解:将已知条件改写为,)()(112d a a a a n n n n =---+++ 令.,11d u u a a u n n n n n =--=++则
数列{}n u 是以p q a a u -=-=121为首项，公差为d 的等差数列，
,...,,,.
)1()()1(11,3342231121--=-=-=-=--+-=-+=∴n n n n u a a u a a u a a u a a d n p q d n u u 又
将上述（n-1）个式子相加，得:
d
n n p q n u u u a a n n )2)(1(2
1
))(1(1211--+--=+++=-- .)2)(1(2
1
))(1(d n n p q n p a n --+--+=∴
例2、数列{}{}的通向公式。求数列满足n n n n a a a a a ,12,111+==+
分析:将),1(211211+=++=++n n n n a a a a 变形为转化为求等比数列的通向公式.
解：.1211
211）（，+=+∴+=++n n n n a a a a ,21,2,1111=+==+=+a u u u a u n n n n 则令
∴数列{}n u 是以21=u 为首项，以2为公比的等比数列.
.12,21,2221-=∴=+=?=∴-n n n n n n n a a u 即
4、累加法
例1、求数列{}n a ：6，9，14，21，30，...的通向公式.
分析:观察数列的特征，后面一项减去前面一项的差组成的数列{}n b ：3，5，7，9，...是首项为3，公差为2的等差数列，故可先求出数列{}n b 的通向公式，再推出{}n a 的通向公式. 解：设原数列中相邻两项（后项减去前项）的差所组成的数列{}n b ，则12+=n b n ， 显然，,12,,7,5,311334223112-==-==-==-==---n b a a b a a b a a b a a n n n 各式相加，得：
,1125321-=-+++=-n n a a n .51622+=-+=∴n n a n
5、乘约法
例1、已知数列{}n a 满足n n
n a a 21=+，且21=a ，求通向公式n a .
分析：由n n
n a a 21=+得
n n
n a a 21
=+，当=n 1，2，3，...,（n-1）时得到n-1个关系式，将这n-1个关系式连乘可得n a 的通向公式. 解：由n n
n a a 21=+得
n n
n a a 21
=+， 当1>n 时，有
11
334223122,2,2,2--====n n n a a a a
a a a a ， 将以上各式左右两端分别相乘得12
)
1(2
)
1(1)
1(212
22
2+---+++=?==n n n n n n a a ，
又1a 也满足上式，
{}12)
1(2
+-=∴n n n n a a 的通向公式为.
注:必须对1a 进行验证，若1a 满足关系式，则统一写成n a 的形式；若1a 不满足，要写成分段形式.
6、构造数列法
由已知递推公式进行变形，构造出新的等比数列，然后用累加法、乘约法或直接利用等比数列写出通向公式.
例1、已知数列{}n a 满足??
?+==+d
ca a b a n n 11,
其中.1,0≠c 证明这个数列的通向公式是
.1
)(1---+=-c d c b d bc a n n n
分析:由递推关系可分别用累加法和构造数列法证明. 证法1（累加法） d ca a n n +=+1,两边同除以1
+n c 得：
1
11++++=n n n n n c
d
c a c a ， 当1>n 时，有:
n
n n n n c d c a c a c d
c a c a c
d c a c a =-=-=---11322332122,,, , 将以上各式分别相加，得
c
c c
d c c c d c a c a n n n
n 11)1
1(1)111(12321--=+++=-- ， ∴.1
)(1---+=
-c d
c b
d bc a n n n 证法2：（构造法）设d ca a n n +=+1可化为)(1r a c r a n n +=++， 由待定系数法可得: )1
(11-+=-+
+c d
a c c d a n n , 可知数列??
??
??-+
1c d a n 为以1
-+c d
b 为首项，以
c 为公比的等比数列， ,)1
(11--+=-+
∴n n c c d b c d a ∴.1
)(1---+=
-c d
c b
d bc a n n n 7、递推法
例1、已知数列{}n a 中，21=a ，)2)(12(1+-=+n n a a ，,,3,2,1 =n 求{}n a 的通向公式； 解: )2)(12(1+-=+n n a a ,
)222()12(1-+-=∴-n n a a
(
)1
2-=(
)()[]()
222222122-+-+--n a
(
)
(
)()()
222222121222
-+--+
-=
-n a
=
(
)
()(
)(
)
()
??
???
?-+-+
-+
-+-=
--2
2
11
1
2121212221
2n n a
(
)
(
)()
1211
211221
221
1
+----+-=--n n
()
(
)
1
1
122
21
22----+-=n n
()(
)
.1
22
221
---+=n
二、简单的递推数列即处理策略 （1）、对()()n f a a n f a a n n
n n =+=--1
1或
型数列通项的求法可用累加法或乘约法. （2）、对()n f Aa a n n +=-1型数列通项的求法可用累加法和构造数列法. （3）、对n n n Ba Aa a +=++12型数列通项的求法可用累加法和构造数列法.
（4）对B
Aa D
Ca a n n n ++=
--11型数列通项的求法两边同加上一个常数，这个常数是方程
()02=--+D x B C Ax 的根，然后构造数列求解.
（5）、对()0,=n n s a f 型数列通项的求法由1--=n n n s s a ()2≥n 代入原关系式中化只含有
n a 或n s 的关系式，然后求解.
1、有关“a a =1，()()n f a a n f a a n n
n n =+=--1
1或
”型数列通项公式的求法. 例1、数列{}n a 中，，21=a cn a a n n +=+1（c 为常数， ,3,2,1=n ）且321,,a a a 成公比不为1的等比数列.
（1）、求c 的值；
分析：（1）由321,,a a a 成等比数列可求出c ；（2）用累加法可求通向公式. 解（1）21=a ，c a c a 32,232+=+=， 因为321,,a a a 成等比数列， 所以()()c c 32222
+=+，
解得0=c 或，2=c
当0=c 时，321a a a ==不符合题意，舍去，故2=c .
（2）当2≥n 时，由于 ,2,2312c a a c a a =-=-()c n a a n n 11-=--， 所以()[]()c n n c n a a n 2
11211-=
-+++=- .
又21=a ，2=c 故22
+-=n n a n () ,3,2=n .当n =1时，上式也成立. 所以() ,2,122
=+-=n n n a n .
2、有关“a a =1，()n f Aa a n n +=-1()0≠A ”型数列通项公式的求法. 例1、在数列{}n a 中，11=a ，n
n n a a 221+=+.
（1）、设n b 1
2
-=
n n
a ，证明：数列{}n
b 是等差数列. （2）、求数列{}n a 的前n 项和n S .
分析:此题可先求出n a ，也可通过变形直接证明，求出n b ，再求出n a ，进而求出n S . （1）证明： n
n n a a 221+=+，12
211+=∴
-+n n
n n a a n b 1
2-=
n n
a ，11+=∴+n n
b b ，即11=-+n n b b ，11=b ， 故数列{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列。 （2）解:由（1）知n b n =，1
2
-=n n n a ，则
()12102212221--?+?-++?+?=n n n n n S ， ()n n n n n S 22122212121?+?-++?+?=- ，
两式相减，得
12222212110+-?=---?-?=-n n n n n n n S .
3、有关“b a a a ==21,,n n n Ba Aa a +=++12()
为常数、B A ”型数列通项公式的求法. 例1、已知数列{}n a 中，2,121==a a ，且()111-+-+=n n n qa a q a （2≥n ，0≠q ）. （1）、设n n n a a b -=+1(
)*
∈N
n ，证明{}n
b 是等比数列；
（2）、求数列{}n a 的通向公式；
分析:首先将原关系式变形为()11-+-=-n n n n a a q a a ，构造出新的数列可证明n b 为等比数列，且n a 可求.
（1）证明：由题设()111-+-+=n n n qa a q a （2≥n ），得
()11-+-=-n n n n a a q a a ，即()2,1≥=-n qb b n n 。
由{}是所以n b q a a b ,0,1121≠=-=首项为1，公比为q 的等比数列。 （2）解：由（1），
,,,12312 q a a a a =-=- ().221≥=---n q a a n n n
将以上各式相加，得()212
1≥+++=--n q q a a n n ，
即()212
1≥++++=-n q q a a n n
所以当2≥n 时，
??
???=≠--+
-.1,,,1,1111
q n q q
q a n n 上式对1=n 显然成立. 4、有关“,1a a =B
Aa D
Ca a n n n ++=--11（其中D C B A 、、、为不同时为零的常数）”型数列通
项公式的求法.
例1、已知数列{}n a 的首项32
1=a ，,121+=
+n n n a a a .,2,1 =n 证明：数列?
?????-11n a 是等比数列. 证明: ,121+=
+n n n a a a ,12121211
1n
n n n a a a a ?+=+=∴+
).11
(21111-=-∴
-n
n a a 又3
2
1=
a ，21111=-∴a ，
∴数列?
?????-11n a 是以21为首项，21为公比的等比数列.
5、有关“,1a a =()0,=n n s a f ”型数列通项公式的求法. 例1、设数列{}n a 的前n 项和n
n n a S 22-=.
（1）、求3a 、4a ；
（2）、证明：{}n n a a 21-+是等比数列； （3）、求{}n a 的通向公式.
分析:可通过递推关系n
n n a S 22-=求1a ，由111
1122
2+++++++=+=n n n n n n S a S a 得
112+++=n n n S a 可得出2a 、3a 、3a 要注意()21≥-=-n S S a n n n 的关系.
解（1） ,22,1111+==S a S a ∴2,211==S a . 由n
n n S a 22+=知111
1122
2+++++++=+=n n n n n n S a S a ，得()1.211+++=n n n S a
∴62222212=+=+=S a ,40
2,24,16282,8434333232=+===+=+==S a S S a S (2)、由题意和（1）式知(
)()
n n n n n
n n n n S
S a a 22222
211
1=-=+-+=-+++，
所以{}n n a a 21-+是首项为2，公比为2的等比数列. （3）、()()()11122
21122222a a a a a a a a n n n n n n n -----+-++-+-=
()1
2
1-?+=n n .
三、数列求和
对于数列的求和问题，一般先要仔细地分析数列的通向公式的特点，在分析通项的基础上再来确定是选用哪种求和方法.若不能直接求和的数列可以拆或并成几个可以求和的数列，用分组法。若数列的每一项变为两数之差，可以使大部分项能“正、负抵消”，只剩下有限的几项，此时可用裂项法；若一个数列距首末等距离的和相等，可采用倒序相加法；若数列的各项是由一等差数列和一等比数列组成的，可用错位相减法；若数列的通项n a 中含()n
1-，
可分类讨论或错位相减法.
1、错位相减法:这是在推倒等比数列前n 项和公式所用的方法，这种方法主要用于求数列
{}n n b a ?的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列.
例1、求和()1
3
2
127531--+++++=n n x
n x x x S
解：当1=x 时，2
n S n =；
当1≠x 时， ()1
3
2
127531--+++++=n n x
n x x x S
()n
n x n x x x x xS 127534
3
2
-+++++=∴ 两式相减得：
()n S x -1()()()()()()(),
111212112121121211122x
x x n x n x
x x x n x n x x x x n n n n
n
n -+++--=--+
--=?--+++++=+--
()()()().1112122
1x x x n x n S n n n -+++--=∴+
2、倒序相加法:将一个数列倒过来排列（倒序），当它与原数列相加时，，若有公因式可提并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。等差数列求和公式
()2
1n n a a n S +=
就是用倒序相加法推倒出来的.
例1、求和:,323
2
1
n
n n n n nC C C C S ++++=
分析在：注意到,,,2
2
1
1
--==n n n n n n C C C C 且相等项的系数之和都为n ，故可用“倒序相加法”求和。
解：,323
2
1
n
n n n n nC C C C S ++++=
()(),211
21n n n n n n n C C n C n nC S ++-+-+=-- n
n
n n n n n nC nC nC nC nC S +++++=∴-12102 ,2)(210n
n n n n n n C C C C n ?=++++=
12-?=∴n n S
3、分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列。若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，分别求和，然后再合并.
例1、求数列()(){}121++n n n 的前n 项和. 解:()()121++=n n n a n ,323
3
n n n ++=
()()
()n n n S n +++++++++++=∴ 21213212222333
()()()()2
12121212
2++++++=n n n n n n n
()().2
212
++=
n n n 3、裂项法:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，裂项法的实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 例1、()),2
1
1(2121+-=+=
n n n n a n
()()()
121222+-=n n n b n ).1
21121(211+--+
=n n 例2、求数列()()?
??
???-+++11112
2n n 的前n 项和. 分析：变换通向公式，将其拆为若干项的和或差.拆项的原则是在各项相加的过程中能消去一些项.
解：()()()()()1
12
1112111111222
22-++=-++-+=-+++n n n n n
()2
1
11221+-
+=++
=n n n n ， ()()1
11114141313121222
222222-++++
+-++-++-+=∴n n S n )2111()51311()41211()31111(+-+++-++-++-+=n n
() 1
111个n +++=2
1
11211+-+-
++n n .2
11123+-+-+=n n n
注：将通项进行变换，构造两项之差，这是求和过程中消项的基础.常见的拆项公式有
()()1
1
1111+-
=+n n n n ；
()
)1
1
11(211122
+--=-n n n ；
()
()()()()()];21111[212113++-+=++n n n n n n n ()());1
1(114k n n k k n n +-=+
()
);(115n k n k
n k n -+=++()();!!1!6n n n n -+=?();711m
n m n m n C C C +-=
()().281≥-=-n S S a n n n
4、并项法
例1、求100994321100-+-+-= S 的值.
分析:本题可以视为求两个等差数列的代数和，但运算量较大。若用并项求和法轻而易举就可以解决。
解：()()()50100994321100-=-++-+-= S . 5、降次递推法
例1、求和2
2
2
2
321n S n ++++= 分析：可利用公式(),13312
3
3
+++=+k k k k
(),1331233
++=-+∴k k k k 令,,,3,2,1n k =
分别代入上式，得;1131312233+?+?=-;12323232
33+?+?=-
();1331;;1333334233
233+?+?=-++?+?=-n n n n
将以上各式分别相加，得:
()()().321332*********n n n n ++++++++++?=-+
(
)
()()2
3212311213233
2
22n
n n n n n n n ++=
-+--+=+++?∴ ()().2
121++=
n n n
2222321n S n ++++= ()().6
121++=
n n n
等差数列基础习题精选 一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（） A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（） A．5B．3C．﹣1 D．1 11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D．
一、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 二、等差数列 1、等差数列及等差中项定义 d a a n n =--1、2 1 1-++= n n n a a a 。 2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+= 当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数。 3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S += d n n na S n 2 ) 1(1-+= 4、等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+ 5、等差数列}{n a 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、…… 仍为等差数列。 6、B A a A d Bn An S n +==+=122，， 7、在等差数列}{n a 中,有关n S 的最值问题 利用n S （0≠d 时，n S 是关于n 的二次函数）进行配方（注意n 应取正整数） 三、等比数列 1、等比数列及等比中项定义： q a a n n =-1 、112+-=n n n a a a 2、等比数列的通项公式： 11-=n n q a a k n k n q a a -= 3、等比数列的前n 项和公式：当1=q 时，1na S n = 当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 q q a a S n n --=11 4、等比数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a ?=? 5、等比数列}{n a 的公比为q ，且0≠n S ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、 m m S S 23-、……仍为等比数列 6、0=++=B A B Aq S n n ，则 四、求数列}{n a 的最大的方法： 1-1n n n n a a a a ≥≥+ 五、求数列}{n a 的最小项的方法： 1 -1n n n n a a a a ≤≤+ 例：已知数列}{n a 的通项公式为：32922-+-=n n a n ，求数列}{n a 的最大项。 例：已知数列}{n a 的通项公式为：n n n n a 10) 1(9+=，求数列}{n a 的最大项。
等差数列 1.定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 公差通常用字 母d 表示。 用递推公式表示为a .—a .」二d （ d 为常数）（n_2）； 2 ?等差数列通项公式 (1) a n (n -1)d =dn y -d(n N )(首项:a !，公差:d ，末项: 3. 等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即: 2a n = an-1 ■ an 1 (n — 2) = 2a . 1 二 a . a . .2 d 2 1 n (a 1 d )n 2 2 2 =An Bn 等差数列的证明方法 二d 或am-a n=d （常数「N ）= & 是等差数列. 「a, 是等差数列 = 2a . - a n-1 ' a . 1 （n 一 2） = 2a n 1 = a . ' a . 2 ? （3） 数列"a n *是等差数列二a n 二kn ? b （其中k,b 是常数）。 （4） 数列乩1是等差数列二&二A n 2 ? Bn ,（其中A 、B 是常数）。 注：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5个元素：a 1、d 、n 、a n 及S n ， (2) a n "m (n —m)d . 从而d =勺屯; n —m a n ) （2 ） 等差 中 项 数列；、和是等差 等差数列的前n 项和公式: n(a 1 +a n ) Sn 厂 （其中A 、B 是常数） （当d M 0时，S 是关于n 的二次式且常数项为 0) （1）定义法：若a n -a n j
数列专题（三）：等比数列 知识点 等比数列的基本概念和等差数列的区别与联系 考点一 等比数列的通项公式：利用方程的思想求出等比数列的首项1a 和公比q (){}24353 24 111112424 1111 12040_________ 2020224040n q a a a a a q a q a q a q a q q a q a q a q a q a q ??+=+==??+=+==???????→????=+=+=?????方程①例1 （2013北京高考）等比数列满足，，则公比 解：①② 1111 n n n n n n n n a a q q a a d a a d a a q d ++--==-=-=1. 等比数列 等差数列定义： 或 或公比： 公差： 递增单调性： ()()1111112 0,100,0,0101,,,n m n n p n q a q d a a q d a a q a a n d a A b A m n p a ab q a a a ->≥?≥?<<
等差数列练习题 一、选择题 1、等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为（） A、89 B、 -101 C、101 D、-89 2．等差数列{a n }中，a 15 =33， a 45 =153，则217是这个数列的（） A、第60项 B、第61项 C、第62项 D、不在这个数列中 3、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为（） A、4 B、5 C、 6 D、不存在 4、等差数列{a n }中，a 1 +a 7 =42， a 10 -a 3 =21，则前10项的S 10 等于（） A、 720 B、257 C、255 D、不确定 5、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么 a ：b 等于（） A、 B、 C、或 1 D、 6、已知数列{a n }的前n项和S n =2n2-3n，而a 1 ，a 3 ，a 5 ，a 7 ，……组成一新数 列{C n }，其通项公式为（） A、 C n =4n-3 B、 C n =8n-1 C、C n =4n-5 D、C n =8n-9 7、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30 若此数列的最后一项比第-10项为10，则这个数列共有（） A、 6项 B、8项 C、10项 D、12项 8、设数列{a n }和{b n }都是等差数列，其中a 1 =25， b 1 =75，且a 100 +b 100 =100，
则数列{a n +b n }的前100项和为（） A、 0 B、 100 C、10000 D、505000 二、填空题 9、在等差数列{a n }中，a n =m，a n+m =0，则a m = ______。 10、在等差数列{a n }中，a 4 +a 7 +a 10 +a 13 =20，则S 16 = ______ 。 11．在等差数列{a n }中，a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =68，a 6 +a 7 +a 8 +a 9 +a 10 =30，则从a 15 到 a 30 的和是 ______ 。 12．已知等差数列 110， 116， 122，……，则大于450而不大于602的各项之和为 ______ 。 三、解答题 13．已知等差数列{a n }的公差d=，前100项的和S 100 =145 求： a 1+a 3 +a 5 +……+a 99 的值。 14．已知等差数列{a n }的首项为a，记 (1)求证：{b n }是等差数列 (2)已知{a n }的前13项的和与{b n }的前13的和之比为 3 ：2，求{b n } 的公差。
等差数列和等比数列知识点梳理 第一节：等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈） 2、等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差 推导过程：叠加法 推广公式：()n m a a n m d =+- 变形推广：m n a a d m n --= 3、等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或 b a A +=2 （2）等差中项： 数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1) 2n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ 前N 相和的推导:当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=。（注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。
5、等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6、等差数列的证明方法 定义法或者等差中项发? {}n a 是等差数列． 7、等差数列相关技巧： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、 n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8、等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。
等差数列基础知识 等差数列是小升初奥数的重点考点 1、数列定义： （1）1 ，2, 3, 4, 5, 6，7, 8,…（等差） （2）2 , 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,…（等差） （3）1 , 4, 9, 16, 25, 36, 49,…（非等差） 若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。 数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，第二个数叫做第二项以此类推， 最后一个数叫做这个数列的末项， 数列中数的个数称为项数， 如：2, 4, 6, 8, , 100 2、等差数列： 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个差称为公差 例如：等差数列：3、6、9……96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32, 公差为3的数列。 3、计算等差数列的相关公式： （1）末项公式：第几项（末项）=首项+（项数—1）x公差 （2）项数公式：项数=（末项—首项）+公差+ 1 在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。 例：求等差数列3, 5, 7, 的第10项，第100项，并求出前100项的和。
解：我们观察这个一个等差数列，已知：首项=3,公差=2, 所以由通项公式，得到 第10项：第几项=首项+（项数—1）X公差 第10项=3+ （10-1 ）X 2=21 第100项：第几项=首项+（项数—1）X公差 第 100项=3+（100-1 ） X 2=201 前100项的和：总和=（首项+末项）X项数一2 前100项的和=3+5+7+ 201= （3+201）100 2=10200. 练习1: 1、6+ 7+ 8+ 9+……+ 74 + 75=（2835 ） 2、2+ 6+ 10+ 14+……+ 122+ 126=（2112 ） 3、已知数列2、5、8、11、14……,47应该是其中的第几项？（16） 项数=（末项—首项）+公差+ 1 16=（47 —2）一3+ 1 4、有一个数列：6、10、14、18、22……,这个数列前100项的和是多少？（20400） 第几项（末项）=首项+（项数—1）X公差
课题：等比数列的前n项和（一课时） 教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册 （人民教育出版社） 一、教材分析 ●教学内容 《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体． 二、学情分析 ●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. ●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生 q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1 其是在后面使用的过程中容易出错． 三、目标分析 依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： 1.教学目标
●知识与技能目标 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． ●过程与方法目标 通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、 分析的能力和协作、竞争意识。 ●情感、态度与价值目标 通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于 探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神, 感受数学的美。 2.教学重点、难点 ●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用． ●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用． 突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点， 激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的 切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予 适当的提示和指导. 四、教学模式与教法、学法 根据学生的认知特点，本着学生为主体教师为主导的原则采用多元教学法，让学生至于情景中。学生动手操作实践分组讨论探究，而教师重在启发，引导。基于教学平台和数学软件让学生可观，可感，可交流的环境中轻松的学习。 五、教学过程
等差数列·基础练习题 一、填空题 1. 等差数列8，5，2，…的第20项为___________. 2. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________ 3. 在等差数列中已知13 d =-，a 7=8，则a 1=_______________ 4. 2()a b +与2 ()a b -的等差中项是________________- 5. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是54 6. 正整数前n 个数的和是___________ 7. 数列{}n a 的前n 项和2 3n S n n -＝，则n a ＝___________ 二、选择题 8. 若lg 2,lg(21),lg(23)x x -+成等差数列，则x 的值等于（ ） A.0 B. 2log 5 C. 32 D.0或32 9. 在等差数列{}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ ） A.84 B.72 C.60 . D.48 10. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（ ） A.6 B.3 C.12 D.4 11. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20下昂的和等于 A.160 B.180 C.200 D.220 12. 在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ） A.45 B.75 C.180 D.300 13. 设n S 是数列{}n a 的前n 项的和，且2 n S n =，则{}n a 是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，且是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 14. 数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（ ） A. 41n a n =- B. 32 2n a n n n =-++ C. 2 1n a n n =++ D.不存在
等 差 数 列 1、等差数列的定义：)1()(1>=--n d a a n n 常数 2、等差数列的通项公式；d n a a n )1(1-+= 3、等差数列的求和公式。1() 2 n n n a a S += 1(1) 2 n n n S na d -=+? = n d a n d )2(212-+ （关于n 的二次函数） 4、数列的前n 项和计算式：n n a a a a a a S ++++++= 54321 特别的，当111a S n ==时， 5、等差数列的性质：已知数列{n a }是等差数列，则 （1）对任意m ，n N +∈，有 ()n m a a n m d =+-， n m a a d n m -= - ()m n ≠； （2）若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+， m n p q a a a a +=+ 5、等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2 a b A += a ，A ， b 成等差数列?2 a b A += ． 6、利用n a 与n S 的关系：1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-≥? 7、在等差数列中，n S , n S 2－n S , n S 3－n S 2, n S 4－n S 3, n S 5－n S 4,……, 成等差数列。 8、两个等差数列{}{}n n b a ,的前n 项和分别为n n T S 和，若 ,......2121n n n n T S b b b a a a =++++++则 1 21 2--=k k k k T S b a
等差、等比数列基础练习题及答案 一、选择题 1.数列{a n}满足a1=a2=1，，若数列{a n}的前n项和为S n，则S2013的值为（） A. 2013 B. 671 C. -671 D. 2.已知数列{a n}满足递推关系：a n+1=，a1=，则a2017=（） A. B. C. D. 3.数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2n-1（n∈N+），则a2017的值为（） A. 2 B. 3 C. 2017 D. 3033 4.已知正项数列{a n}满足，若a1=1，则a10=（） A. 27 B. 28 C. 26 D. 29 5.若数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a7等于（） A. 2 B. C. -1 D. 2018 6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=a3+6，则S7=（） A. 49 B. 42 C. 35 D. 28 7.等差数列{a n}中，若a1，a2013为方程x2-10x+16=0两根，则 a2+a1007+a2012=（） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 8.已知数列{a n}的前n项和，若它的第k项满足2＜a k＜5，则k=（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9.在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a10，则k=（） A. 45 B. 46 C. 47 D. 48 10.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（） A. 66 B. 55 C. 44 D. 33 二、填空题 1.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则该数列的通项公式 a n=______． 2.正项数列{a n}中，满足a1=1，a2=，=（n∈N*），那么 a n=______． 3.若数列{a n}满足a1=-2，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，则a3=______；数列{a n}前10项的和S10=______． 4.数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=______，若，则a n=______． 5.已知数列{a n}满足a1=-1，a n+1=a n+，n∈N*，则通项公式a n= ______ ． 6.数列{a n}满足a1=5，-=5（n∈N+），则a n= ______ ． 7.等差数列{a n}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列{a n}前9项的和S9等于______．
高一数学必修5等比数列知识点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
等差数列与等比数列 一、基本概念与公式： 1、等差（比）数列的定义； 2、等差（比）数列的通项公式： 等差数列d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等比数列(1)11-=n n q a a ; (2)m n m n q a a -= .(其中1a 为首项、m a 为第m 项，0≠n a ;),*∈N n m 3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S += 或2 )1(1d n n na S n -+= 等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)； 当q≠1时，S n =q q a n --1) 1(1=,K q K n -? S n =q q a a n --11 二、有关等差 、比数列的几个特殊结论 等差数列、① d=n a －1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 等比数列{}n a 中，若),,,(*∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ?=? 注意：由n S 求n a 时应注意什么？ 1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-. 2、等比数列{}n a 中的任意“等距离”的项构成的数列仍为等比数列． 3、公比为q 的等比数列{}n a 中的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、 S 4m - S 3m 、……（S m ≠0）仍为等比数列，公比为m q . 4、若{}n a 与{}n b 为两等比数列，则数列{}n ka 、{} k n a 、{}n n b a ?、? ?????n n b a
等差数列求和 引例：计算1+2+3+4+……+97+98+99+100 一、有关概念: 像1、2、3、4、5、6、7、8、9、……这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项，……，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数，我们就叫做等差数列。这个固定的数就叫做“公差”。 二、有关公式： 和=（首项+末项）×项数÷2 末项=首项+公差×（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 项数=（末项-首项）÷公差+1 三、典型例题： 例1、聪明脑筋转转转： 判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“×”。 判断首项末项公差项数 （1）1、2、4、8、16、32. （）（）（）（）（）（2）42、49、56、63、70、77. （）（）（）（）（）（3）5、1、4、1、3、1、2、1. （）（）（）（）（）（4）44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（） 例2、已知等差数列1,8,15,…,78.共12项，和是多少？（博易P27例2）
（看ppt,推出公式） 例3、计算1+3+5+7+……+35+37+39 练习2：计算下列各题 （1）6+10+14+18+22+26+30 （3）1+3+5+7+……+95+97+99 （2）3+15+27+39+51+63 （4）2+4+6+8+……+96+98+100 （3）已知一列数4,6,8,10，…，64，共有31个数，这个数列的和是多少？ 例5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有10根，每向下一层增加一根，共堆了10层。这堆圆木共有多少根？（博易P27例3）（看ppt） 练习3： 丹丹学英语单词，第一天学了6个单词，以后每一天都比前一天多学会一个，最后一天学会了26个。丹丹在这些天中共学会了多少个单词？ 等差数列求和练习题 一、判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项 及公差写出来，如果不是请打“×”。 判断首项末项公差 1. 2、4、6、8、10、12、14、16.（）（）（）（） 2. 1、3、6、8、9、11、12、14. （）（）（）（） 3. 5、10、15、20、25、30、35. （）（）（）（） 4. 3、6、8、9、12、16、20、26.（）（）（）（） 二、请计算下列各题。 （1）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30+33 （2）4+8+12+16+20+24+28+32+36+40 （3）求3、6、9、12、15、18、21、这个数列各项相加的和。 （4）2+4+6+8+……+198+200 ★（5）求出所有三位数的和。 （其他作业：练习册B 1题、4题、6题）
等差数列基础知识 1、数列定义: (1) 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,…(等差) (2) 2 , 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,…(等差) (3) 1 , 4, 9, 16, 25, 36, 49,…(非等差) 若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。 数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，第二个数叫做第二项……以此类推， 最后一个数叫做这个数列的末项， 数列中数的个数称为项数， 如：2, 4, 6, 8, , 100 2、等差数列： 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个差称为公差 例如：等差数列：3、6、9……96,这是一个首项为3，末项为96,项数为32，公差为3的数列。 3、计算等差数列的相关公式： (1)末项公式： (2)求和公式： 在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。例：求等差数列3, 5, 7,…的第10项，第100项，并求出前100项的和。 练习1 : 1、6+ 7 + 8+ 9+……+ 74 + 75=( 2835 ) 2、2+ 6 + 10+ 14+……+ 122+ 126=( 2112 ) 3、已知数列2、5、8、11、14……,47应该是其中的第几项？(16) 4、有一个数列：6、10、14、18、22……，这个数列前100项的和是多少？( 20400) 5、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项（101 ）?第50项是多少？（197）
6、1 + 2 + 3+ 4+……+ 2007+ 2008 = 7、(2 + 4+ 6 +……+ 2000) — ( 1 + 3+ 5+……+ 1999)= 8、1 + 2 —3+ 4+ 5 —6 + 7+ 8 —9 +……+ 58 + 59 —60 = 9、有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3,求这个数列的和。 10、求1 ―― 99个连续自然数的所有数字的和。 练习2: 1、在等差数列1 , 5, 9, 13, 17,…，401中401是第几项？（101） 2、100个小朋友排成一排报数，每后一个同学报的数都比前一个同学报的数多3,小明站在第一个位置, 小宏站在最后一个位置。已知小宏报的数是300,小明报的数是几？ 3、有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层。最下面一层有多少根?
数列 基础知识梳理 一、数列 1、数列的定义 数列是按照一定顺序排列着的一列数，在函数的意义下，数列是某一定义域为正整数或它 的有限子集｛1,2,3,4，……,n｝的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值， 其图像是无限个或有限个孤立的点，数列的一般形式为印，a2,a3,|l（,a n ,通常简记为｛a n｝，其中a n是数列的第n项，也叫通项。 1）｛a n｝与a n是不同的概念，｛a n｝表示数列a1l a2,a3^|,an^L而a.表示的是这个数 列的第n项 2）数列与集合的区别 集合中元素性质：确定性，无序性，互异性； 数列中数的性质：确定性，有序性，可重复性。 2、数列的通项公式 当一个数列｛a n｝的第n项a n与项数n之间的函数关系可以用一个公式a^ f n来表示，就把这个公式叫数列｛a n｝的通项公式，可根据数列的通项公式算出数列的各项，也可判断给定的数是否为数列｛a n｝中的项或可确定是第几项。但不是所有数列都可以写出通项公式，数列的通项公式也不唯一。 3、数列的表示方法 数列看成一个特殊的函数，所有从函数的观点出发，数列的表示方法有以下三种: 1）解析法：通项公式和递推公式两种； 2）列表法 3）图像法（数列的图像是一系列孤立的点）4、数列的分类 （1）有穷数列和无穷数列 （2）单调数列，搬动数列，常数列 5、a n与S n的关系 S（ n =1） n 一IS n —Sn4（n^2） 6、等差数列 1）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 定义的表示为：a n -a n 一1 = d （n ?二 N *,n 丄2）或者 a n ： -a n = d （n ?二 N *） 公差d 可正可负或为零，为零时，数列为常数列。 2）等差数列的通项公式 a n =印 n -1 d, a .二 a m n -m d d = a n ~am (n = m) n —m 3）等差数列的增减性 d .0=等差数列「aj 为递增数列； d ：：0=等差数列「a/为递减数列； d=0=等差数列CaJ 为常数列。 4 ）等差中项 a +b 任意两个数a,b 有且仅有一个等差中项 ，即。 2 A 二~~ = a,A,b 三个数构成等差数列。 2 5）等差数列前n 项和公式（倒序相加法） n & a n S i ； 2 n （n —1） 5 d. 2 + x , n （n T ） d 2 『 d 第二个公式 q = na 1 d 可整理成 S n n …I 印 n 2 2 I 2丿 pl pl A 二一启二印-一则S n =An 2 ? B n , S n 可看成是关于n 的二次函数（常数项为 2 2 那么可以得出一下结论： （1） 当d -0是,S n 有最小值；当d ：：：0是,S n 有最大值； （2） ｛ a n ｝是等差数列二 S n 二 An 2 ? Bn. 对于第二个公式要求 a n ，a m 是数列中的项即可，也可表示为 n -1
高考“等差数列”试题精选 1.(2007安徽文)等差数列n 的前项和为n ，若432（ ） （A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6 2． (2008重庆文)已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ） (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 3.（2006全国Ⅰ卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 4．(2008广东文)记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ） A ．7 B. 6 C. 3 D. 2 5．（2003全国、天津文，辽宁、广东）等差数列{}n a 中，已知3 1 a 1= ，4a a 52=+，33a n =， 则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51 6.（2007四川文）等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ） (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7．（2004福建文）设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 ==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 8.（2000春招北京、安徽文、理）已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( ) A ．α1＋α101＞0 B ．α2＋α100＜0 C ．α3＋α99＝0 D ．α51＝51 9.（2005全国卷II 理）如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10.（2002春招北京文、理）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和 为390，则这个数列有（ ） （A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项
等比数列专题复习 1. 等比数列的定义： 2. 通项公式：n a = = = 3. 等比中项 （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即： 或 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有 （等比中项互为相反数） （2）数列{}n a 是等比数列? 4. 等比数列的前n 项和n S 公式： (1) 当1q =时，n S = (2) 当1q ≠时，n S = = = 5. 等比数列的判定方法 （1）用定义：对任意的n,都有 ?{}n a 为等比数列 （2） 等比中项： ?{}n a 为等比数列 （3） 通项公式： ?{}n a 为等比数列 （4） 前n 项和公式： ?{}n a 为等比数列 6. 等比数列的证明方法 （1）定义法：对任意的n,都有 ?{}n a 为等比数列 （2） 等比中项法： ?{}n a 为等比数列 7. 注意 （1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11n n a a q -= 8. 等比数列的性质 (1) 当1q ≠时 ①等比数列通项公式()1110n n n n a a a q q A B A B q -===??≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比 ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q q q q --==-=-?=-----，系数和常数项是 的类指数函数，底数为公比q (2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式. 因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3) 若m+n=s+t (m, n, s, t ∈*N ),则n m a a ?= .特别的,当n+m=2k 时,得 注：12132n n n a a a a a a --?=?=??? (4) 列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n k a ,{}n k a ?,{}k n a ,{}n n k a b ??，{}n n a b (k 为非零常数) 均为 (5) 数列{}n a 为等比数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为 (6) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是 (7) 若{}n a 为等比数列,则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -???，成 (8) {}n a 为递增等比数列则 {}n a 为递增等比数列则
一、等差数列选择题 1．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21S B ．20S C ．19S D ．18S 2．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62 10S S ，则34a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45 B ．50 C ．60 D ．80 5．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=，则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为 （ ） A ． 89 B ． 910 C ．1011 D ．11 12 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121 B ．161 C ．141 D ．151 7．已知数列{}n a 中，132a = ，且满足()* 1112,22 n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有 n a n λ ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 8．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．16 9．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 11．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ?∈都有333 122n n n a a a ++=+，则10a 等于 （ ） A ．10 B C ．64 D ．4 12．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ）