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高考数学常见创新题型赏析

（原创、首发、专投稿，适合高二、高三年级11月份用，同意删改）

高考数学创新题分类探究

贵州省龙里中学洪其强（551200）

一、建构数列型：数列作为特殊的函数，在高考数学中占有相当重要的位置，主要涉及增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，建立起等差、等比、或递推数列的模型来解题．

例1 （2003年朝阳区高三统一练习（二））2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.

（Ⅰ）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为10

1=a ，经过n 年后绿化的面积为,1+n a 试用n a 表示1+n a ；

（Ⅱ）求数列}{n a 的第1+n 项1+n a ；

解析（Ⅰ）设现有非绿化面积为1b ，经过n 年后非绿化面积为.1+n b 于是

.1,111=+=+n n b a b a 依题意：1+n a 是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积n a 减去被非绿

化部分

n a 1002后剩余的面积n a 10098，另一部分是新绿化的面积.100

8n b 于是1+n a =

n a 10098+.1008n b =n a 10098+.25

2109)1(1008+=-n n a a （Ⅱ）1+n a =,252109+n a 1+n a －54=－).54(109-n a , 数列}54

{-n a 是公比为,10

9首项

5254104541-=-=-a 的等比数列. n n a )109)(52(541-+=∴+

二、信息迁移型：信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题．这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体．

信息迁移型题可分为定义信息型、图表信息型、图形图像信息型等. 1．定义信息型例1 定义运算

ad bc b d

=-，复数z 满足

11z i i i

=+，则复数在的模为

A ．1．1-+解析由

11z i i i

=+得1212i

zi i i z i i

+-=+?=

=-，

∴z ==，故选C 。

例2 （2001上海22）对任意函数f (x ), x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作

原理如下：

①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0)； ②若x 1?D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1

反馈回输入

端，再输出x 2=f (x 1)，并依此规律继续下去.现定义

4)(+-=

x x x f （1）若输入x 0=65

，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的

所有项；

（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；

（3）若输入x 0时，产生的无穷数列{x n }，满足对任意正整数n 均有x n ＜x n +1；求x 0的取值范围.

解析（1）∵f (x )的定义域D =（–∞,–1)∪(–1,+∞) ∴数列{x n }只有三项，1,5

,1911321-===x x x （2）∵x x x x f =+-=

24)(,即x 2

–3x +2=0 ∴x =1或x =2，即x 0=1或2时 n n n n x x x x =+-=

241 ，故当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2（n ∈N *

）（3）解不等式1

4+-<

x x x ，得x ＜–1或1＜x ＜2 要使x 1＜x 2，则x 2＜–1或1＜x 1＜2 对于函数1

4124)(+-

=+-=

x x x x f ，若x 1＜–1，则x 2=f (x 1)＞4，x 3=f (x 2)＜x 2；若1＜x 1＜2时，x 2=f (x 1)＞x 1且1＜x 2＜2，依次类推可得数列{x n }的所有项均满足x n +1＞

x n （n ∈N *）

综上所述，x 1∈(1,2)，由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2). 2．图表信息型

例 3 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租

车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑. 请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.

解析设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：

从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为41.0290

120

≈，而它

是蓝色的概率为59.0290

170≈. 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显然

是不公平的.

例4 已知某海滨浴场的海浪高度

y （米）是时间t (0≤t ≤24，单位小时）的函数，记作y =f (t )，下表是某日各时的浪高数据

经长期观测y =f (t )的曲线可近似地看成函数y =A cos ωt +b .

（1）根据以上数据，求出函数y =A cos ωt +b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.

解析（1）由表中数据，知T =12，ω=6

2ππ=T . 由t =0,y =1.5得A +b =1.5.

由t =3,y =1.0,得b =1.0.所以，A =0.5,b =1.振幅A =

，

∴y =16

cos 21+t π

(2)由题意知，当y >1时，才可对冲浪者开放.∴16

cos 21+t π>1, t 6cos π

>0.

∴2k π–

ππ

k t ,即有12k –3

由0≤t ≤24,故可令k =0,1,2,得0≤t <3或9

例5 一只小船以10 m/s 的速度由南向北匀速驶

过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图），现在小船在水平P 点

以南的40米处，汽车在桥上以西Q 点30米

处（其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本身的大小）.

解析：设经过时间t 汽车在A 点，船在B 点，（如图），则AQ =30–20t ,BP =40–10t ,PQ =20,且有AQ ⊥BP ，PQ ⊥AQ ，PQ ⊥PB ，设小船所在平面为α,AQ ,QP 确定平面为β,记α∩β=l ,由AQ ∥α,AQ ?

β得AQ ∥

l ,又AQ ⊥PQ ，得PQ ⊥l ,又PQ ⊥PB ，及l ∩PB =P 得PQ ⊥α.作AC ∥

PQ ，则AC ⊥α.连CB ，则AC ⊥CB ，进而AQ ⊥BP ，CP ∥AQ 得CP ⊥BP ，∴AB 2=AC 2+BC 2=PQ 2+PB 2+PC 2=202+（40–10t ）2+(30–20t )2=100［5(t –

2)2+9］,t =2时AB 最短，最短距离为30 m.

答案：30 m

例6 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系如下图1所示的一条件线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用如下图2所示的抛物线段表示.

(1)写出如图1所示市场售价与时间的函数关系式P=f(t)；写出如下图2所示种植成本与时间的函数关系式Q=g(t).

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? (注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)

图1

图2

解析 (1)f(t)=??

?≤<-≤≤-.300200,3002,2000,300t t t t ；g(t)=2001(t-150)2+100，0≤t ≤300.

(2)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t)，

即h(t)=??????

?≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,217521200122t t t t t t

当0≤t ≤200时，配方整理得h(t)=-2001

(t-50)2+100，

所以，当t=50时,h(t)取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方

整理得h(t)=- 2001

(t-350)2+100

所以，当t=300时，h(t)取得区间(200，300］上的最大值87.5

综上，由100＞87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t=50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.

三、函数与数列、不等式证明的综合型：函数与数列、不等式证明的综合题在高考中常考常新 , 是既考知识又考能力的好题型 , 在高考备考中有较高的训练价值同时这类问题在高考中频频出现,是历年高考试题中不容忽视的一个考点。

例7 已知函数f (x )=

a a x

x +（ａ＞０，ａ≠１）．

(1) 证明函数f (x )的图象关于点P (2

,21)对称．

(2) 令a n ＝)

1()

(n f n f a -，对一切自然数n ，先猜想使a n ＞ｎ２成立的最小自然数a ,并证明

之．

(3) 求证：n n n n )(!(lg 3lg )1(4

>+∈Ｎ).

解析 (1)关于函数的图象关于定点P 对称, 可采用解几中的坐标证法.

设M (x ,y )是f (x )图象上任一点，则M 关于P (2

,21)的对称点为M ’（１－ｘ，１－ｙ），

x f a

a a

a a a y a a a

a a a a a a a x x x x

x x x

-=-∴+=+-=-+=?+=+--1)1(1111

∴Ｍ′(1-x ,1-y )亦在f (x )的图象上，

故函数f (x )的图象关于点P (2

,21)对称.

(2)将f (n )、f (1-n )的表达式代入a n 的表达式，化简可得a n ＝ａｎ猜a =3, 即3ｎ＞ｎ２．

下面用数学归纳法证明．设n =k (k ≥２)时，3ｋ＞ｋ２．则n =k +1时，3ｋ＋１＞３·３ｋ＞３ｋ２又3k ２－（ｋ＋１）２＝２（ｋ－2

1）２－23

≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）

∴３ｎ＞ｎ２.

(3)∵３ｋ＞ｋ２ ∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ令k =1,2,…，n ，得n 个同向不等式，并相加得：

).!lg(3lg )1(4

),21lg(23lg 2)1(n n n

n n n >-?>+故四、方案优化型

寻找问题的最优解，是这一类题目的共同特点．解决问题的方法主要涉及线性规划、均值不等式、单调性等求最值的方法．

例8 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表，若用

甲、乙、丙三种食物各x 千克，y 千克，z 千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B.

（1）用x ，y 表示混合食物成本c 元；（2）确定x ，y ，z 的值，使成本最低.

解析（1）依题意得 100,4911=++++=z y x z y x c 又 y x c 57400++=∴.

（2）由{y x z z y x z y x --=≥++≥++100,6300050040080056000400700600及 , 得{

130

332064≥-≥+y x y x ， .45057≥+∴y x ,85045040057400=+≥++=∴y x c

当且仅当{{

50,130332064==≥-=+y x y x y x 即时等号成立., ∴当x =50千克，y =20千克，z =30千克时，混合物成本最低为850元.

五、是否存在型：给出一定的条件,让我们去证明在给定条件下,一些给定的结论一定存在或一定不存在,或者要求我们去判断在给定条件下的结论是否存在.

例9 已知方向向量为v =(1,3)的直线l 过点（0，－23）和椭圆C ：

)0(122

22>>=+b a b

y a x 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，满足63

=?， cot ∠MON ≠0（O 为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.

解析 (Ⅰ)由题意可得直线ι：y =-①

过原点垂直ι的方程为,3

y x =-② 解①②得x=

.∵椭圆中心O(0,0)关于直线ι的对称点在椭圆C 的右准线上, ∴23

232

a c =?=.∵直线ι过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0). ∴a 2

=6,c=2,b 2

=2,故椭圆C 的方程为22

162

x y +

=. ③ (Ⅱ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),当直线m 不垂直x 轴时,直线m ：y=k(x+2)代入③,整理得

(3k 2

+1)x 2

+12k 2

x+12k 2

-6=0,则x 1+x 2=221231

k k -+,x 1x 2=22126

31k k -+,

|MN|=22)

k k +==+

点O 到直线MN 的距离

.∵OM ON ?= ∠MON,即

||||cos 0OM ON MON ?∠=≠ ,

∴||||sin OM ON MON ?∠= ,∴||OMN S MN d =∴?=

即23)k k =

+.整理得21,33k k =∴=±

当直线m 垂直x 轴时,也满足OMN S =

故直线m 的方程为33y x =

+或y=33

x --或x=-2. 经检验上述直线均满足0OM ON ?≠

所在所求直线方程为33y x =+或y=33

x --或x=-2.. 六、恒成立型

例10 （2002年全国高考题）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

解析设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，……，每年新增汽车x 万辆，则301=b ，x b b n n +=+94.01

所以，当2≥n 时，x b b n n +=-194.0，两式相减得：()1194.0-+-=-n n n n b b b b

（1）显然，若012=-b b ，则011==-=--+ n n n n b b b b ，即301===b b n ，此时

.8.194.03030=?-=x

（2）若012≠-b b ，则数列{}n n b b -+1为以8.106.0112-=-=-x b x b b 为首项，以94.0为公比的等比数列，所以，()8.194.01-?=-+x b b n n n .

（i ）若012<-b b ，则对于任意正整数n ，均有01<-+n n b b ，所以，

3011=<<<+b b b n n ，此时，.8.194.03030=?-

（ii ）当万8.1>x 时，012>-b b ，则对于任意正整数n ，均有01>-+n n b b ，所以，

3011=>>>+b b b n n ，

由()8.194.01-?=-+x b b n n n ，得

()()()()()

3094

.0194.01112112211+---=

+-++-+-=----n n n n n n b b b b b b b b b b

()()3006

.094.018.11+--=-n x ，

要使对于任意正整数n ，均有60≤n b 恒成立，即()()603006

.094.018.11≤+---n x

对于任意正整数n 恒成立，解这个关于x 的一元一次不等式 , 得8.194

.018

.1+-≤

x , 上式恒成立的条件为：上的最小值

在N n n

x ∈???

??+-≤8.194.018.1，由于关于n 的函数()8.194

.018

.1+-=

n f 单调递减，所以，6.3≤x . 七、环境保护型

例11 有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V 立方米，每天流出湖泊的水量都是r 立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g (t )表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t 时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g (t )=

+［g (0)- r

p ］·e t v r

-(p ≥0),其中，g (0)是湖水污染的初始质量分数. （1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；（2）求证：当g (0)<

时，湖泊的污染程度将越来越严重；（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖

水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？

解析（1）∵g (t )为常数, 有g (0)-r p

=0, ∴g (0)= r

p .

(2) 我们易证得0

g (t 1)-g (t 2)=［g (0)- r p ］e 1t v r

--［g (0)- r p ］e 21t v r

-=［g (0)- r

p ］［e 1t v

--e 21t v r

-］=［g (0)-

p ］)(2112)

(t t v

t v

r t v

r e

e e

+-,

∵g (0)·r

p <0,t 1

t v r >e 1t v r

,∴g (t 1)

故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.

(3)污染停止即P =0，g (t )=g (0)·e

t v

r -,设经过t 天能使湖水污染下降到初始污染水平5%

即g (t )=5% g(0) ∴201=e t v r

-，∴t =r

ln20，

故需要r

ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.

八、估测计算型

例12 为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：

张先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问：

(1)张先生家每月应还款多少元?

(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少?

(参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651) 解析设月利率为r ，每月还款数为a 元，总贷款数为A 元，还款期限为n 月第1月末欠款数 A (1＋r )－a

第2月末欠款数 [A (1＋r )－a ](1＋r )－a ＝ A (1＋r )2－a (1＋r )－a 第3月末欠款数 [A (1＋r )2－a (1＋r )－a ](1＋r )－a

＝A (1＋r )3－a (1＋r )2－a (1＋r )－a ……

第n 月末欠款数 0)1()1()1()1(21=-+--+-+-+--a r a r a r a r A n n n 得：1

)1()1(-+?

+=n n r r

r A a

对于12年期的10万元贷款，n ＝144，r ＝4.455‰ ∴37.9421

004455.1004455

.0004455.1100000144144=-?

?=a

对于15年期的15万元贷款，n ＝180，r ＝5.025‰ ∴22.12681

005025.1005025

.0005025.1150000180

180=-?

?=a 由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元．

(2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款 a r a r a r a r A X -+--+-+-+=)1()1()1()1(142143144 其中A ＝150000，a ＝1268.22，r ＝5.025‰ ∴X ＝41669.53 再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元．

九、类比归纳型：给出一个数学情景或一个数学命题，要求我们发散思维去联想、类比、推广、转化，找出类似的命题，或者根据一些特殊的数据，特殊的情况去归纳出一般的规律。

例13 从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球

()0,,m n m n N <≤∈,共有1m n C +种取法。在这1m n C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个

球全部为白球，共有01101111m m m n n n C C C C C C -+?+?=?，即有等式：11m m m

n n n C C C -++=成立。试根据上

述思想化简下列式子：

1122m m m k m k n k n k n k n C C C C C C C ---+?+?++?= 。(1,,,)k m n k m n N ≤<≤∈。

解析根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从n k +个球（n 个白球，k 个黑球）中取出m 个球，可分为：没有黑球，一个黑球，……，k 个黑球等()1k +类，故有m n k C +种取法。

例14 已知函数f （x ）在（－1，1）上有定义，1)21

(-=f 且满足x 、y ∈（－1，1）有

)1()()(xy

x f y f x f ++=+．

（1）证明：f （x ）在（－1，1）上为奇函数；（2）对数列,12,21

211n

n n x x x x +==

+求)(n x f ；（3）求证

52)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n 解析（1）令,0==y x 则0)0(),0()0(2=∴=f f f 令,x y -=则)()(,0)0()()(x f x f f x f x f -=-∴==-+ 为奇函数.

（2）1)21

()(1-==f x f ， ),(2)()()1()12()(2

1n n n n

n n n n n n x f x f x f x x x x f x x f x f =+=?++=+=+ )}({.2)

()

(1n n n x f x f x f 即=∴

+是以－1为首项，2为公比的等比数列．

.2)(1--=∴n n x f （3）

)2121211()(1)(1)(11221-++++-=+++n n x f x f x f ,22

12)2

12(2

121

1->+-=--=---=--n n n 而,2212)212(2

52-<+--=++

-=++-n n n n .2

52)(1)(1)(121++->+++∴n n x f x f x f n 十、探索性问题型.

1.条件探索型：给出了题目的结论,但没有给出满足结论的条件,并且这类条件常常是不唯一的，需要通过逆向思维，从结论出发去判断,并通过推理予以确认。这种条件探索性问题实质上是寻找使命题为真的充分条件和充要条件.

例15 为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各满足什么条件时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？

解析设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y =

(k ＞0为比例系数)

其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60，即a

b +-=

230, 记a

a a

b u +-=

=2)30((0＜a ＜30)，则要求y 的最小值只须求u 的最大值.

由2

)2()2(64++-='a a u ，令u ′=0得a =6

0＜a ＜30 ∴当0＜a ＜6时，u ′＞0，即u 在（0, 6）上是增函数；当6＜u ＜30时u ′＜0, 即u 在（6, 30）上是减函数。

∴a

a u +-=

2)30(在a =6时取得最大值，此时b =3.

从而当且仅当a =6，b =3时,y =ab

取最小值.

2．结论开放型：给出一定的条件,要求从条件出发去探索结论,而结论往往是不唯一的,

甚至是不确定的。解这类题需要从已知条件出发,运用所学过的知识进行推理、探究或实验得出结论.

例16 有两个不是常数数列的等差数列{a n }和等比数列{b n }，且a 1=b 1=l ，那么它们最多有多少个对应项的值相等?你能举出具体的例子吗?

解析根据题意，要找出有多少个对应项的值相等，可以分别设等差数列{a n }和等比数列{b n }的通项为a n =1+(n-1)d (公差d ≠0)． b n =q n-1(公比q ≠0，1)．

由对应项的值相等a n =b n ，有1+(n-1)d = q n-1

设y 1=1+(n-1)d (d ≠O)，y 2= q n-1 (q ≠0，1)．则函数y 1的图象是直线上自变量取正整数的点；函数y 2的图象是指数函数的图象右移1个单位，且自变量取正整数的点．显然两者的图象均过点(1，1)．

当q>0且q ≠1时，

①若d>0，y 1单调递增，则仅当q>l 时，y 1与y 2可能再有交点，且最多再有一个交点；②若d<0，y 1单调递减，则仅当0

当q<0时，y 2= q n-1对应的点分别在y=|q|n-1和y=-|q|n-1两个函数的图象上，y 1与y 2的图象最多再有2个交点．

综上所述，两数列中对应项相等的项不超过3个．

3．条件、结论发散型：题目条件和结论都是不确定的,但是给出了一定量的信息和情景,要求在题目给出的情景中,自行设定条件,自已寻找结论,自己构建命题并进行演绎推理.

例17 某水厂要制作容积为500 m 3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料：①19×19；②30×10；③25×12．(长度单位：m)．

请你选择一种规格的材料，并设计出相应的制作方案．(要求：①用料最省；②简便易行)．解析该水箱的长、宽、高分别为a、b、c. 则其体积V=abc=500(m3)．

其表面积S=2bc+2ac+ab≥332

bc?

? =332)

2ab

(4abc =300(m2)，

要使无盖水箱的表面积最小，当且仅当2bc=2ac=ab，即a=b=10，c=5时，

S=2bc+2ac+ab=300m2为最小．

这表明，将无盖长方体的尺寸设计为：10×10×5(即2：2：1)时，用料最省．

为了选择材料并设计制作方案，先将无盖水箱长方体展开，进一步剪拼成长30 m、宽10 m的长方形．因此，应选择规格为30×10的材料制作．

高考数学常考题型的总结(必修五)

高考数学常考题型的总结（必修五）对高三理科来说，必修五是高考的必考内容，它不仅要考查基础知识点，而且还要考查解题方法和解题思路的问题。同学们在复习过程中，一定要明白什么是重要，什么是难点，什么是常考知识点。对重难点要了如指掌，能做到有的放矢。同学们不仅要掌握课本上的知识点，更重要的要对知识点理解的有深度，对经典题型或高考常考题型掌握到相当熟练的程度。人们常说，只有你多于一桶水的能力，在考试过程中才能发挥出一桶水的水平来，否则，基本不可能考出相对理想的成绩来。必修五主要包括三大部分内容：解三角形、数列、不等式。高考具体要考查那些内容呢？这是我们师生共同研究的问题。虽然高考题不能面面俱到，但是我们在复习的时候，一定要不留死角，对常考题型的知识点和方法能倒背如流。下面具体对必修五常考的型作一分解：解三角形解三角形是高考的必考知识点，每年都有考题，一般考查分数为5-12分。考查的时候，可能是选择题、填空题，或解答题，有时单独考查，有时会与三角函数，平面向量等知识点进行综合考查，难度一般不是很大，如果出解答题，一般是第17题，属于拿分题。知识点：正弦定理、余弦定理和三角形的面积的公式。正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为AB C ?的外接圆半径）余弦定理：C ab c b a cos 22 2 2 =-+，B ac b c a cos 22 2 2 =-+，A bc a c b cos 22 2 2 =-+ （变形后） C ab c b a cos 2222=-+，B ac b c a cos 2222=-+，A cb a b c cos 22 22=-+ 三角形的面积的公式：A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21===?。知识点分解：（1）两边一角，求另外两角一边，可以用正弦定理，也可以用余弦定理，特别注意两种三角形的情况。（2）两角一边，求另外一角和两边，肯定是正弦定理。（3）等式两边都有边或通过转化等式两边都有边，用正弦定理。（4）知道三边的关系用余弦定理。

高考数学专题5平面向量39与平面向量有关的创新题文

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学专题5 平面向量 39 与平面向量有关的创新题文成立，设a ，b 的夹角为θ，则sin θ＝________. 2．在△ABC 中，已知AB →AC →＝tan A ，当A ＝π6 时，△ABC 的面积为________． 3．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定m ，n 之间的一种运算“?”为m ?n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )．若a ＝(－1，－2)，a ?b ＝(4,5)，则b ＝________. 4．(2015·宜昌一模)已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则 △AOC 的面积为________． 5．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ·β .若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈? ????0，π4，且a b 和b a 都在集合?????????? ???n 2n∈Z 中，则a b ＝________. 6．已知O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心． 7．设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成．若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为________． 8．若函数f (x )＝2sin(π6x ＋π3 )(－2

高考数学最常考的几类题型

高考数学最常考的几类题型要想提高高考数学成绩必须要花一定的时间来研究历年来高考常考题型，精准把握高考最新动态，综合分析往年高考的常规题型，我们发现这七个题型是非常常考的：第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。第三，数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。第四，不等式主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。第五，概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。第七，解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。

单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事

高考数学必考题型整理

高考数学必考题型整理知己知彼，百战不殆，想要在高考中数学大放光彩就必须了解高考数学题型，掌握高考数学的方向，才能在高考取的好成绩，下面小编就总结一下高考数学必考的几大题型，供参考。高考数学必考题型之函数与导数考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。函数与导数单调性 ⑴若导数大于零，则单调递增;若导数小于零，则单调递减;导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。 ⑵若已知函数为递增函数，则导数大于等于零;若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。高考数学必考题型之几何公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平

行，那么这两个角相等或互补判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行“线面平行” 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行“面面平行” 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直“线面垂直” 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直“面面垂直” 高考数学必考题型之不等式 ①对称性 ②传递性 ③加法单调性，即同向不等式可加性 ④乘法单调性 ⑤同向正值不等式可乘性 ⑥正值不等式可乘方 ⑦正值不等式可开方 ⑧倒数法则高考数学必考题型之数列 (1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几

高考数学新题型分类

2019年高考数学新题型分类新课标以来，高考数学中出现了创新题型，以第8、14、20题为主，创新题型是建立在高中数学思维体系之上的一中新数学题型。2019年高考数学新题型分类为以下几点： (一)解析几何中的运动问题解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的很多思想，加上题目中所给信息相融合。在数学层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。 (二)新距离近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要懂得坐标系中坐标差的原理，对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，可是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情况下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。比如2019年压轴题，对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情况均相同，故只需考虑一个位就行了。在大题具体解题中笔者

会详细叙述。 (三)新名词对于题目中出现了新名词新性质，考生完全可以从新性质本身出发，从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。新课标数学追求对数学思维的自然描述，即不会给学生思维断层、非生活常规思路(北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路)。比如2009年北京卷文科填空压轴题，就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元，这样肯快就可以得到答案。 (四)知识点性质结合此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题，此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。比如2019年高考北京卷填空压轴题，需要考生掌握轨迹与方程思想，方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。再比如2009年北京卷填空压轴题，就是对数列递推关系进行了简单的扩展，考生只要严格按照题目的规则代入就可得到答案。此类题型需要考生对于知识点的原理、思维方法有深层次的理解才能够很快做出答案。上面提到的两道题均没有考对应知识点的细节处理问题，而是上升的数学思维方法的层次。(五)情境结合题要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、

高中数学必修一集合经典习题

集合练习题一、选择题（每小题5分，计5×12=60分） 1．下列集合中，结果是空集的为（）（A）（B）（C）（D） 2．设集合，，则（）（A）（B）（C）（D） 3．下列表示①②③④中,正确的个数为( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4．满足的集合的个数为（）（A）6 （B） 7 （C） 8 （D）9 5．若集合、、，满足，，则与之间的关系为（）（A）（B）（C）（D） 6．下列集合中，表示方程组的解集的是（）（A）（B）（C）（D） 7．设，，若，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D） 8．已知全集合，，，那么是（）（A）（B）（C）（D） 9．已知集合，则等于（）（A）（B）（C）（D） 10．已知集合，，那么（）（A）（B）（C）（D） 11．如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）

（A）（B）（C）（D） 12．设全集，若，，，则下列结论正确的是（）（A）且（B）且（C）且（D）且二、填空题（每小题4分，计4×4=16分） 13．已知集合，，则集合 14．用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为 15．设全集，，，则的值为 16．若集合只有一个元素，则实数的值为三、解答题（共计74分） 17．（本小题满分12分）若，求实数的值。 18．（本小题满分12分）设全集合，，，求，，， 19．（本小题满分12分）设全集，集合与集合，且，求，

20．（本小题满分12分）已知集合，，且，求实数的取值范围。 21．（本小题满分12分）已知集合，，，求实数的取值范围 22．（本小题满分14分）已知集合，，若，求实数的取值范围。已知集合}31{≤≤-=x x A ，},{2A x y x y B ∈==，},2{A x a x y y C ∈+==，若满足B C ?，求实数a 的取值范围．已知集合}71{<<=x x A ，集合}521{+<<+=a x a x B ，若满足 }73{<<=x x B A ，求实数a 的值．

高考数学创新题型精选

2007年高考数学创新题型精选一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（06年山东）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( ) A ．0 B.6 C.12 D.18 2．（06年辽宁卷）设○ +是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○ +封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（） A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 3．(05天津)从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22 221x y m n +=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（） A. 43 B. 72 C. 86 D. 90 4．（05福建）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5．(06上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（） A.48 B. 18 C. 24 D.36 6．点P 到点A(21，0)，B(a ，2)及到直线x ＝－2 1 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 ( ) A. 21 B.23 C.21或23 D.－21或2 1 7．如果二次方程 x 2 -px-q=0(p,q∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有（） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 8. 设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （） A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 9。（05全国Ⅲ）计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母 A .6E B. 72 C .5F D. B0 10．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ ABc PBC S S ??， λ2＝ABC PCA S S ??， λ3＝ ABC PAB S S ??，定义f (P)=(λ1, λ, λ3),若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（21，31，6 1 ），则（） A. 点Q 在△GAB 内 B. 点Q 在△GBC 内 C. 点Q 在△GCA 内 D. 点Q 与点G 重合二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形。不必证明。类比性质叙述如下：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 12．规定记号“?”表示一种运算，即+∈++=?R b a b a b a b a 、，. 若31=?k ，则函数()x k x f ?=的

高考集合知识点总结与典型例题

集合一．【课标要求】 1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?；记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作N *或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R 。 2．集合的包含关系：（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ；（2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；（2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集；（3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 4．交集与并集：