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2010工科数分第二学期期末试题

课程编号:MTH17004, MTH17006

北京理工大学2010-2011学年第二学期

工科数学分析期末试题(A 卷)

班级_______________ 学号_________________ 姓名__________________

(本试卷共6页, 十一个大题,试卷后面空白纸撕下作草稿纸)

2010工科数分第二学期期末试题

一. 填空题(每小题2分, 共10分) 1.

已知3||=a

,26

||=b ,72

||=?b a

,且a

与b 的夹角是钝角,则=

?b a

______。

2. 设x

yz ye

y x u z

ln 2

++=,则=)

1,1,1()

grad (div

u ______________。

3.

已知向量c

b a

,,不共面,但向量c

a c

b b a

+++λ,,2共面,则=

λ _________。 4. 设

L

是曲线

1

,,3

===z t y t x 上从

)1,0,0(A 到

)

1,8,2(B 的一段,若将

?++=

L

zdz

ydy dx x

I 2

化成第一类曲线积分,则有=

I _________________________。

5. 变量替换x

y v x u

=

=,可将微分方程z

y

z y x

z x

=??+??化成 ________________________。

二. (9分) 交换积分次序并计算?

?

=

y y

x

dx

x

e

dy

I 1

三. (9分) 求函数y

y

y x y x f -+

=2

2

2

1),(的极值和极值点。

四. (9分)设方程523

=+-y xz z 确定函数),(y x z z =,求

y

x z ???2

五. (9分) 在曲面

xy

z =上求一点,使曲面在此点处的切平面垂直于直线

1

3

21

1z y x =-=+,并写出切平面方程。

六. (8分) 证明方程0

ln 1

=+-xdy x dx yx y

y 是全微分方程,并求出通解。

七. (10分) 求幂级数∑

=-+1

1

)1(n n x

n n 的收敛域及和函数。

八. (10分) 设V 是球面1)

(z 1)

1(2

2

2

≥=-++z y

x 与锥面2

2

y

x

z

+=所围的立体,其上

每点的密度与此点到原点的距离的平方成反比(比例系数为1),求V 的质量及质心。

九.(9分) 将x

x

x f arctan )1()(2

+=展开成x 的幂级数,并指出收敛域。

十.(9分) 利用高斯公式计算??-+-+-=

S

dxdy

z x

dzdx y z

dydz x y

I

)()()(2

2

2

,其中S 是抛

物面)1(22

2

≥--=z y

x

z 的上侧。

十一.(8分) 设0

>n

a ,且级数∑

=1

n n

a 收敛,

n

n n a a b )

1ln(1+-

=λ(λ是常数),判断级数∑

=1

n n

b 的收敛性。

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