课程编号：MTH17004, MTH17006
北京理工大学2010-2011学年第二学期
工科数学分析期末试题（A 卷）
班级_______________ 学号_________________ 姓名__________________
(本试卷共6页, 十一个大题，试卷后面空白纸撕下作草稿纸)
一. 填空题（每小题2分, 共10分） 1.
已知3||=a
，26
||=b ，72
||=?b a
，且a
与b 的夹角是钝角，则=
?b a
______。
2. 设x
yz ye
y x u z
ln 2
++=，则=)
1,1,1()
grad (div
u ______________。
3.
已知向量c
b a
,,不共面，但向量c
a c
b b a
+++λ,,2共面，则=
λ _________。 4. 设
L
是曲线
1
,,3
===z t y t x 上从
)1,0,0(A 到
)
1,8,2(B 的一段，若将
?++=
L
zdz
ydy dx x
I 2
化成第一类曲线积分，则有=
I _________________________。
5. 变量替换x
y v x u
=
=,可将微分方程z
y
z y x
z x
=??+??化成 ________________________。
二. (9分) 交换积分次序并计算?
?
=
y y
x
dx
x
e
dy
I 1
。
三. (9分) 求函数y
y
y x y x f -+
=2
2
2
1),(的极值和极值点。
四. (9分)设方程523
=+-y xz z 确定函数),(y x z z =，求
y
x z ???2
。
五. (9分) 在曲面
xy
z =上求一点，使曲面在此点处的切平面垂直于直线
1
3
21
1z y x =-=+，并写出切平面方程。
六. (8分) 证明方程0
ln 1
=+-xdy x dx yx y
y 是全微分方程，并求出通解。
七. (10分) 求幂级数∑
∞
=-+1
1
)1(n n x
n n 的收敛域及和函数。
八. (10分) 设V 是球面1)
(z 1)
1(2
2
2
≥=-++z y
x 与锥面2
2
y
x
z
+=所围的立体，其上
每点的密度与此点到原点的距离的平方成反比（比例系数为1），求V 的质量及质心。
九.(9分) 将x
x
x f arctan )1()(2
+=展开成x 的幂级数，并指出收敛域。
十.(9分) 利用高斯公式计算??-+-+-=
S
dxdy
z x
dzdx y z
dydz x y
I
)()()(2
2
2
，其中S 是抛
物面)1(22
2
≥--=z y
x
z 的上侧。
十一.(8分) 设0
>n
a ，且级数∑
∞
=1
n n
a 收敛，
n
n n a a b )
1ln(1+-
=λ（λ是常数），判断级数∑
∞
=1
n n
b 的收敛性。