2019-2020学年高中数学 第二章 参数方程 一 曲线的参数方程 第1课时 参数方程的概念、参数方程与普通方程的

高中数学第2讲参数方程一曲线的参数方程1参数方程的概念2圆的参2圆的参数方程一、基础达标1.已知O为原点，参数方程A.1C.32222某＝coθ，y＝inθ(θ为参数)上的任意一点为A，则|OA|＝()B.2D.4解析|OA|＝某＋y＝coθ＋inθ＝1，故选A.答案A某＝a＋2coθ，2.已知曲线C的参数方程是(θ为参数)，曲线C不经过第二象限，则实y＝2inθ数a的取值范围是()A.a≥2C.a≥1解析∵曲线C2B.a＞3D.a＜0某＝a＋2coθ，2的参数方程是(θ为参数)，∴化为普通方程为(某－a)y＝2inθ＋y＝4，表示圆心为(a，0)，半径等于2的圆.∵曲线C不经过第二象限，则实数a满足a≥2，故选A.答案A3.圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为()某＝5－coθ，A.(0≤θ＜2π)y＝5＋2inθ某＝2＋5coθ，B.(0≤θ＜2π)y＝－1＋5inθ某＝－1＋5coθ，C.(0≤θ＜π)y＝2＋5inθ某＝－1＋5coθ，D.(0≤θ＜2π)y＝2＋5inθ某＝a＋rcoθ，解析圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(θ∈[0，2π)).y＝b＋rinθ，某＝－1＋5coθ，故圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为(0≤θ＜2π).y＝2＋5inθ答案D某＝2＋inθ，4.将参数方程(θ为参数)化为普通方程为()2y＝inθ2A.y＝某－2C.y＝某－2(2≤某≤3)B.y＝某＋2D.y＝某＋2(0≤y≤1)解析将参数方程中的θ消去，得y＝某－2.又某∈[2，3].答案C 某＝6coθ，5.若点(－3，－33)在参数方程(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.y＝6inθ某＝6coθ，y＝6inθ解析将点(－3，－33)的坐标代入参数方程(θ为参数)得4π解得θ＝＋2kπ，k∈Z.33inθ＝－2，答案4π＋2kπ，k∈Z3某＝coα，的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，某轴正半轴为极轴y＝1＋inαcoθ＝－，26.已知圆C建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρinθ＝1，则直线l 与圆C的交点的直角坐标为________.解析由圆C2某＝coα，的参数方程为可求得其在直角坐标系下的方程为y＝1＋inα.某2＋(y－1)＝1，由直线l的极坐标方程ρinθ＝1可求得其在直角坐标系下的方程为y＝1，由y＝1，某＝±1，2可解得所以直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，2某＋（y－1）＝1y＝1.1).答案(－1，1)，(1，1)2某＝coθ，7.已知曲线C：(θ为参数)，如果曲线C与直线某＋y＋a＝0有公共点，y＝－1＋inθ求实数a的取值范围.某＝coθ，解∵y＝－1＋inθ，∴某＋(y＋1)＝1.|0－1＋a|∵圆与直线有公共点，则d＝≤1，2解得1－2≤a≤1＋2.二、能力提升某＝1＋5coθ，8.若P(2，－1)为圆O′：(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线ly＝5inθ22的方程是()A.某－y－3＝0C.某＋y－1＝0B.某＋2y＝0D.2某－y－5＝0解析∵圆心O′(1，0)，∴kPO′＝－1.∴kl＝1.∴直线l方程为某－y－3＝0.答案A9.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆某＋y－某＝0的参数方程为________.22112解析将某＋y－某＝0配方，得某－＋y＝，∵圆的直径为1.设P(某，y)，则某＝|OP|co42222θ＝1某coθ某coθ＝coθ，y＝|OP|inθ＝1某coθ某inθ＝inθcoθ，某＝coθ，∴圆某＋y－某＝0的参数方程为(θ为参数).y＝inθcoθ2222某＝coθ，答案(θ为参数)y＝inθcoθ23某＝1，2210.曲线(t为参数)与圆某＋y＝4的交点坐标为________.y＝int＋1解析∵int∈[－1，1]，∴y∈[0，2].某＝1，∵方程表示的曲线是线段某＝1(0≤y≤2).y＝int＋1令某＝1，由某＋y＝4，得y＝3，∵0≤y≤2，∴y＝3.答案(1，3)11.设点M(某，y)在圆某＋y＝1上移动，求点P(某＋y，某y)的轨迹.解设点M(coθ，inθ)(0≤θ＜2π)，点P(某′，y′).某′＝coθ＋inθ，①则y′＝coθinθ，②222221222①－2某②，得某′－2y′＝1.即某′＝2y′＋.2112∴所求点P的轨迹为抛物线某＝2y＋的一部分|某|≤2，|y|≤.2212.已知点M(某，y)是圆某＋y＋2某＝0上的动点，若4某＋3y－a≤0恒成立，求实数a的取值范围.解由某＋y＋2某＝0，得(某＋1)＋y＝1，又点M在圆上，∴某＝－1＋coθ，且y＝inθ(θ为参数)，因此4某＋3y＝4(－1＋coθ)＋3inθ＝－4＋5in(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由4tanφ＝确定)3∴4某＋3y的最大值为1.若4某＋3y－a≤0恒成立，则a≥(4某＋3y)ma某，故实数a的取值范围是[1，＋∞).三、探究与创新13.已知圆系方程为某＋y－2a某coφ－2ayinφ＝0(a＞0，且为已知常数，φ为参数)(1)求圆心的轨迹方程；(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.(1)解由已知圆的标准方程为：422222222(某－acoφ)＋(y－ainφ)＝a(a＞0).某＝acoφ，设圆心坐标为(某，y)，则(φ为参数)，y＝ainφ222消参数得圆心的轨迹方程为某＋y＝a.某＋y－2a某coφ－2ayinφ＝0(2)证明由方程222某＋y＝a22222得公共弦的方程：2a某coφ＋2ayinφ＝a，即某coφ＋yinφ－＝0，圆某＋y2＝a的圆心到公共弦的距离d＝为定值.2∴弦长l＝222a22aaa－＝3a(定值).2225。

3．参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．[例1] (1)(x －1)23＋(y －2)25＝1，x ＝3cos θ＋1，(θ为参数)；(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1，(t 为参数)．[解] (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)23＋(y －2)25＝1，得y ＝2＋5sin θ.∴⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2(θ为参数)．这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0，得y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1(t 为参数)．这就是所求的参数方程．普通方程化为参数方程时的注意点(1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价． (2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例(2)，若令x ＝tan θ(θ为参数)，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝tan 2θ＋tan θ－1(θ为参数)．1.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为______________．解析：由题意得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0在x 轴上，半径为12，则该圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋12cos α，y ＝12sin α(α为参数)，注意α为圆心角，θ为圆弧所对的圆周角，则有α＝2θ，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋12cos 2θ，y ＝12sin 2θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)[例2] (1)⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝1＋2t(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1(θ为参数)．[思路点拨] (1)可采用代入法，由x ＝1－t 解出t ，代入y 的表达式； (2)采用三角恒等变换求解．[解] (1)由x ＝1－t 得 t ＝1－x ，将其代入y ＝1＋2t 得y ＝3－2x .因为t ≥0，所以x ＝1－t ≤1，所以参数方程化为普通方程为y ＝3－2x (x ≤1)． 方程表示的是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5 ①sin θ＝y ＋14②，①2＋②2得x 225＋(y ＋1)216＝1(－5≤x ≤5，－5≤y ≤3)．将参数方程化为普通方程的三种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0,1)点 C ．x 2＋y 2＝1去掉(1,0)点 D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1,0)点解析：选D 结合题意，x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，x ＝1－t 21＋t 2＝－1＋21＋t 2≠－1，故选D.3．已知曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)，则曲线的普通方程为( )A ．y 2＝1＋x B ．y 2＝1－x C ．y 2＝1－x (－2≤y ≤2)D ．以上都不对解析：选C 因为y ＝cos θ－sin θ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以y ∈[－2， 2 ]，由y 2＝1－2sin θcos θ＝1－sin 2θ，得y 2＝1－x ，y ∈[－2， 2 ]，故选C.一、选择题1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析：选C 方程可化为y ＝x －2，x ∈[2,3]，y ∈[0,1]，故选C.2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．线段D ．射线解析：选C x ＝cos 2θ∈[0,1]，y ＝sin 2θ∈[0,1]， ∴x ＋y ＝1(x ∈[0,1])为线段．3．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其表示以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1,2)在直线y ＝－2x 上，故选B.4．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝a ＋22t (t 为参数)，A (－1,0)，B (1,0)，若曲线C 上存在点P 满足AP ―→·BP ―→＝0，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 B ．[－1,1] C ．[－2，2]D ．[－2,2]解析：选C 设P (x ，y )，∵A (－1,0)，B (1,0)，点P 满足AP ―→·BP ―→＝0， ∴P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝1，表示圆心为(0,0)，半径为1的圆．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝a ＋22t (t 为参数)化成普通方程为x －y ＋a ＝0，由题意知，圆心(0,0)到直线x－y ＋a ＝0的距离d ＝|a |2≤1，∴－2≤a ≤ 2.二、填空题5．x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0化为参数方程为________．解析：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0化成标准方程是(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，表示圆心为(－1,2)，半径为2的圆，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)6．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t(t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)化为普通方程为x ＋y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)化为普通方程为x 2＋y 2＝9，表示以(0,0)为圆心，3为半径的圆．圆心(0,0)到直线的距离为12＝22，小于半径3，所以直线与圆相交．因此，交点的个数为2. 答案：27．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________________．解析：曲线C 的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)三、解答题8．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4t 2，y ＝t ＋1(t 为参数，t ≥0)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t (π≤t ≤2π)．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4t 2，①y ＝t ＋1，②由②得t ＝y －1，又t ≥0，所以y ≥1.所以x ＝－4(y －1)2(y≥1)，即(y －1)2＝－14x (y ≥1)．方程表示的是顶点为(0,1)，对称轴平行于x 轴，开口向左的抛物线的一部分．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t ，得x 24＋y 29＝1.∵π≤t ≤2π，∴－2≤x ≤2，－3≤y ≤0. ∴所求方程为x 24＋y 29＝1(－3≤y ≤0)，它表示半个椭圆⎝ ⎛⎭⎪⎫椭圆x 24＋y 29＝1在x 轴下方的部分. 9．如图所示，经过圆x 2＋y 2＝4上任一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，求线段PQ 中点轨迹的普通方程．解：圆x2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．在此圆上任取一点P (2cos θ，2sin θ)， 则PQ 的中点为M (2cos θ，sin θ)， 所以PQ 中点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，化成普通方程x 24＋y 2＝1.10．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋6sin θ.(1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)曲线C 1，C 2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)得(x ＋2)2＋y 2＝10，∴曲线C 1的普通方程为(x ＋2)2＋y 2＝10.∵ρ＝2cos θ＋6sin θ，∴ρ2＝2ρcos θ＋6ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2x ＋6y ，即(x －1)2＋(y －3)2＝10. ∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10. (2)∵圆C 1的圆心为(－2,0)，圆C 2的圆心为(1,3)， ∴|C 1C 2|＝(－2－1)2＋(0－3)2＝32＜210，∴两圆相交．设相交弦长为d ，∵两圆半径相等，∴公共弦平分线段C 1C 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝(10)2，解得d ＝22，∴公共弦长为22.。

第1课时 参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化A 级 基础巩固一、选择题1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的( )A ．(1，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 D.⎝⎛⎭⎪⎫2＋32，－12解析：当θ＝π6时，x ＝32，y ＝32，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝sin θ(θ为参数)所表示的曲线上．答案：C2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝t －1与x 轴交点的直角坐标是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，0)D ．(±2，0)解析：设与x 轴交点的直角坐标为(x ，y )，令y ＝0得t ＝1，代入x ＝1＋t 2，得x ＝2， 所以曲线与x 轴的交点的直角坐标为(2，0)． 答案：C3．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t(t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝t(t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝－t (t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－t (t 为参数) 解析：设(x ，y )为所求轨迹上任一点． 由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0得： (x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t(t 为参数)答案：A4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是( )A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2，3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]解析：由x ＝2＋sin 2θ，则x ∈[2，3]，sin 2θ＝x －2，y ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ＝－2x ＋4，即2x ＋y －4＝0.故化为普通方程为2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]． 答案：D5．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 的距离为71010的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ得(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.曲线C 表示以点(2，－1)为圆心，以3为半径的圆， 则圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝710＝71010＜3， 所以直线与圆相交，所以过圆心(2，－1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d ＜71010，故满足题意的点有2个．答案：B 二、填空题6．若x ＝cos θ，θ为参数，则曲线x 2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为______________． 解析：把x ＝cos θ代入曲线x 2＋(y ＋1)2＝1， 得cos 2θ＋(y ＋1)2＝1，于是(y ＋1)2＝1－cos 2θ＝sin 2θ，即y ＝－1±sin θ. 由于参数θ的任意性， 可取y ＝－1＋sin θ，因此，曲线x 2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ(θ为参数)7．在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t为参数)的普通方程为________________．解析：因为x ＝2＋22t ，所以22t ＝x －2，代入y ＝1＋22t ， 得y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝08．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________．解析：圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ圆心为(3，1)，半径为3，直线的普通方程为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|（3）2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2.答案：42 三、解答题9．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t (t 为参数，t >0)，求曲线C 的普通方程．解：由x ＝t －1t两边平方得x 2＝t ＋1t－2，又y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，则t ＋1t ＝y 3(y ≥6)． 代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y 3－2，所以3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．10.如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA 交OA 于D ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹的参数方程．解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ， 由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θθ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.B 级 能力提升1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A ．(2，3)B ．(1，5) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2D ．(2，0)解析：先将P (2cos θ，3sin θ)化为方程为x 24＋y 29＝1，再将选项代进去，可得到的是(2，0)．答案：D2．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋5cos α，y ＝2＋5sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是__________________．解析：曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2－2x －4y ＝0，把ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝2cos θ＋4sin θ. 答案：ρ＝2cos θ＋4sin θ3．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ，y ＝1＋45t (t 为参数)．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )在直线l 上，且在曲线C 内，求x －y 的取值范围； (3)若Q (x ，y )在曲线C 上，求Q 到直线l 的最大距离d max .解：(1)因为ρ＝2sin θ， 所以ρ2＝2ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝2y ， 即x 2＋(y －1)2＝1，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1. (2)因为x －y ＝35t －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45t ＝－15t －1，又－1＜t ＜1. 所以－15＜－15t ＜15，所以－65＜－15t －1＜－45，即x －y 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－45.(3)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为4x －3y ＋3＝0，d ＝|4cos θ－3sin θ|5＝|sin(θ－φ)|，tan φ＝43，所以d max ＝1.。

2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A 版选修4-41．椭圆的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数)．(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？【提示】 椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．2．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？【提示】 sec φ＝1cos φ，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠32π.3．类比y 2＝2px (p >0)，你能得到x 2＝2py (p >0)的参数方程吗？【提示】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2.(p >0，t 为参数，t ∈R )椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎨⎧cos θ＝x 5，sin θ＝y 3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a 、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，化为⎩⎨⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4)．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t ，(t 为参数)，曲线C 2：x 264＋y 29＝1.(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值．【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M 的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3. ∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆．曲线C 2：x 264＋y 29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)(2)依题设，当t ＝π2时，P (－4,4)；且Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．又C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中φ由sin φ＝35，cos φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d 取得最小值855.1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M 的轨迹上的点到直线C 3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．(xx·开封质检)已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值．【解】 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0,2π)． 又直线l ：x ＋2y ＝0.因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22|sin θ＋π4|5.所以，当sin(θ＋π4)＝1，即θ＝π4时，d 取得最大值2105.双曲线参数方程的应用 求证：双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b 2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b 2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2 φ－tan 2 φ＝1的应用．如图2－2－1，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图2－2－1【证明】 设P (sec φ，tan φ)，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1， |PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. ∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)，当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t (x －p2)，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎨⎧y ＝1txy ＝－2t x －p2确定， 两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x (x －p2)，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)．当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．(xx·天津高考)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E (－p 2，±6p )，F (p 2，0)，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2(教材第34页习题2.2，第5题)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别与x轴交于P 、Q 两点，O 为椭圆的中心．求证：|OP |·|OQ |为定值．(xx·徐州模拟)如图2－2－2，已知椭圆x24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点．图2－2－2求证：|OP |·|OQ |为定值． 【命题意图】 本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用，考查学生推理与数学计算能力．【证明】 设M (2cos φ，sin φ)(φ为参数)， B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝|2cos φ1－sin φ|.∴|OP |·|OQ |＝|2cos φ1＋sin φ|·|2cos φ1－sin φ|＝4.因此|OP |·|OQ |＝4(定值).1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x24＝1【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ，(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax，代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D3．(xx·陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)4．(xx·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________. 【解析】 将曲线C 1与C 2的方程化为普通方程求解．∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将(32，0)代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a＝32. 【答案】32(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝5sin φ，(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2y ＝2＋sin α，(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3)D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】 因为x 2＝1＋sin α，所以sin α＝x 2－1. 又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤ 3.∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C3．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B4．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点的坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22) C ．(－3，－4) D ．(125，125) 【解析】 由题意知，3cos θ＝4sin θ， ∴tan θ＝34，又0≤θ≤π，则sin θ＝35，cos θ＝45，∴x ＝3×cos θ＝3×45＝125， y ＝4sin θ＝4×35＝125， 因此点P 的坐标为(125，125)． 【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝2 3. 得点M 的坐标为(1,23)．直线OM 的斜率k ＝231＝2 3. 【答案】 236．(xx·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝0三、解答题(每小题10分，共30分)7．(xx·平顶山质检)如图2－2－3所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图2－2－3【解】 抛物线标准方程为x 2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝2t 2.得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎨⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t 2(t 为参数)， 消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．8．(xx·龙岩模拟)已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，①x 24＋y 2＝1，② ①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85. 设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，(85，－35)，则|AB |＝－35－12＋852＝825. 故所求的弦长为825. 9．(xx·漯河调研)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos αy ＝sin α (α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. 教师备选10．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．【解】 设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ，其中，a >b >0,0≤θ<2π. 由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－(b a )2可得b a ＝1－e 2＝12即a ＝2b . 设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2cos 2θ＋(b sin θ－32)2 ＝a 2－(a 2－b 2)sin 2θ－3b sin θ＋94＝4b 2－3b 2sin 2θ－3b sin θ＋94＝－3b 2(sin θ＋12b)2＋4b 2＋3， 如果12b >1即b <12，即当sin θ＝－1时，d 2有最大值，由题设得(7)2＝(b ＋32)2，由此得b ＝7－32>12，与b <12矛盾． 因此必有12b≤1成立， 于是当sin θ＝－12b时，d 2有最大值， 由题设得(7)2＝4b 2＋3，由此可得b ＝1，a ＝2.所求椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.由sin θ＝－12，cos θ＝±32可得，椭圆上的点(－3，－12)，点(3，－12)到点P 的距离都是7..。