华罗庚学校数学课本(一年级下) 第01讲 速算与巧算(一)

小学一年级奥数目录
第一讲：认识数+举一反三：单数与双数
第二讲：比较+举一反三：猴子吃桃比多比少算一算，填一填填填数字（+ 第20周）
第三讲：速算与巧算（一）+举一反三：巧算速算一
第四讲：分类+举一反三：相同与不同
第五讲：位置与顺序+举一反三：几与第几
第六讲：认识物体
第七讲：数数块数、数数线段
第八讲：速算与巧算（二）+巧算速算二
第九讲：统计+移多补少
第十讲：简单的判断
第十一讲：找规律填数+举一反三：按规律，填下去
第十二讲：找规律画下去
第十三讲：图形找规律+举一反三：谁的眼力好观察与思考第十四讲：数数图形
猜猜他几岁
第十五讲：简单应用小兔吃萝卜
猫捉老鼠
第十六讲：变与不变
第十七讲：十、一和（）
第二十讲：没有那么简单
第二十一讲：算式猜谜
第二十二讲：火柴棒游戏（一、二）第二十三讲：摸彩球
第二十四讲：付钱的方法
第二十五讲：合理分组
第二十六讲：天平平衡
第二十七讲：趣味问题
第二十八讲：有几种走法
第二十九讲：鸡兔同笼。

华罗庚学校数学课本二年级Newly compiled on November 23, 2020华罗庚学校数学课本：二年级上册第一讲速算与巧算一、“凑整”先算1.计算：（1）24+44+56（2）53+36+47解：（1）24+44+56=24+（44+56）=24+100=124这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.（2）53+36+47=53+47+36=（53+47）+36=100+36=136这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.2.计算：（1）96+15（2）52+69解：（1）96+15=96+（4+11）=（96+4）+11=100+11=111这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算.（2）52+69=（21+31）+69=21+（31+69）=21+100=121这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.3.计算：（1）63+18+19（2）28+28+28解：（1）63+18+19=60+2+1+18+19=60+（2+18）+（1+19）=60+20+20=100这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.（2）28+28+28=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6=30+30+30-6=90-6=84这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变计算：（1）45-18+19（2）45+18-19解：（1）45-18+19=45+19-18=45+（19-18）=45+1=46这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.（2）45+18-19=45+（18-19）=45-1=44这样想：加18减19的结果就等于减1.三、计算等差连续数的和相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：1，2，3，4，5，6，7，8，91，3，5，7，92，4，6，8，103，6，9，12，154，8，12，16，20等等都是等差连续数.1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9=5×9 中间数是5=45 共9个数（2）计算：1+3+5+7+9=5×5 中间数是5=25 共有5个数（3）计算：2+4+6+8+10=6×5 中间数是6=30 共有5个数（4）计算：3+6+9+12+15=9×5 中间数是9=45 共有5个数（5）计算：4+8+12+16+20=12×5 中间数是12=60 共有5个数2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×5=11×5=55共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.（2）计算：3+5+7+9+11+13+15+17=（3+17）×4=20×4=80共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.（3）计算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=（2+20）×5=110共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.四、基准数法（1）计算：23+20+19+22+18+21解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.23+20+19+22+18+21=20×6+3+0-1+2-2+1=120+3=1236个加数都按20相加，其和=20×6=按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.（2）计算：102+100+99+101+98解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算.102+100+99+101+98=100×5+2+0-1+1-2=500方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就是把有的加数带有符号搬家）102+100+99+101+98=98+99+100+101+102=100×5=500可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5.习题一1.计算：（1）18+28+72（2）87+15+13（3）43+56+17+24（4）28+44+39+62+56+212.计算：（1）98+67（2）43+28（3）75+263.计算：（1）82-49+18（2）82-50+49（3）41-64+294.计算：（1）99+98+97+96+95（2）9+99+9995.计算：（1）5+6+7+8+9（2）5+10+15+20+25+30+35（3）9+18+27+36+45+54（4）12+14+16+18+20+22+24+266.计算：（1）53+49+51+48+52+50（2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+847.计算：1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5习题一解答1.解：（1）18+28+72=18+（28+72）=18+100=118（2）87+15+13=（87+13）+15=100+15=115（3）43+56+17+24=（43+17）+（56+24）=60+80=140（4）28+44+39+62+56+21=（28+62）+（44+56）+（39+21）=90+100+60=2502.解：（1）98+67=98+2+65=100+65=165（2）43+28=43+7+21=50+21=71或43+28=41+（2+28）=41+30=71 （3）75+26=75+25+1=100+1=101 3.解：（1）82-49+18=82+18-49=100-49=51（2）82-50+49=82-1=81（减50再加49等于减1）（3）41-64+29=41+29-64=70-64=64.解：（1）99+98+97+96+95=100×5-1-2-3-4-5=500-15=485（每个加数都按100算，再把多加的减去）或99+98+97+96+95=97×5=485（2）9+99+999=10+100+1000-3=1110-3=11075.解：（1）5+6+7+8+9=7×5=35（2）5+10+15+20+25+30+35=20×7=140（3）9+18+27+36+45+54=（9+54）×3=63×3=189（4）12+14+16+18+20+22+24+26=（12+26）×4=38×4=1526.解：（1）53+49+51+48+52+50=50×6+3-1+1-2+2+0=300+3=303（2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84=80×10+7-6+5+3-5-3+0-2+1+4=800+4=8047.解：方法1：原式=21+21+21+15=78方法2：原式=21×4-6=84-6=78方法3：原式=（1+2+3+4+5+6）×3+15=21×3+15=63+15=78第二讲数数与计数（一）数学需要观察.大数学家欧拉就特别强调观察对于数学发现的重要作用，认为“观察是一件极为重要的事”.本讲数数与计数的学习有助于培养同学们的观察能力.在这里请大家记住，观察不只是用眼睛看，还要用脑子想，要充分发挥想像力.例1 数一数，图2－1和图2－2中各有多少黑方块和白方块解：仔细观察图2－1，可发现黑方块和白方块同样多.因为每一行中有4个黑方块和4个白方块，共有8行，所以：黑方块是：4×8=32（个）白方块是：4×8=32（个）再仔细观察图2－2，从上往下看：第一行白方块5个，黑方块4个；第二行白方块4个，黑方块5个；第三、五、七行同第一行，第四、六、八行同第二行；但最后的第九行是白方块5个，黑方块4个.可见白方块总数比黑方块总数多1个.白方块总数：5+4+5+4+5+4+5+4+5=41（个）黑方块总数：4+5+4+5+4+5+4+5+4=40（个）再一种方法是：每一行的白方块和黑方块共9个.共有9行，所以，白、黑方块的总数是：9×9=81（个）.由于白方块比黑方块多1个，所以白方块是41个，黑方块是40个.例2 图2－3所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，中间有个“雪花”状的墙洞，问需要几块正六边形的砖（图2－4）才能把它补好解：仔细观察，并发挥想象力可得出答案，用七块正六边形的砖可把这个墙洞补好.如果动手画一画，就会看得更清楚了.例3将8个小立方块组成如图2－5所示的“丁”字型，再将表面都涂成红色，然后就把小立方块分开，问：（1）3面被涂成红色的小立方块有多少个（2）4面被涂成红色的小立方块有多少个（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个解：如图2－6所示，看着图，想像涂色情况.当把整个表面都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接触的面），没有被涂色.每个小立方体都有6个面，减去没涂色的面数，就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都写在了它的上面，参看图2－6所示.（1）3面涂色的小立方体共有1个；（2）4面涂色的小立方体共有4个；（3）5面涂色的小立方体共有3个.例4如图2－7所示，一个大长方体的表面上都涂上红色，然后切成18个小立方体（切线如图中虚线所示）.在这些切成的小立方体中，问：］（1）1面涂成红色的有几个（2）2面涂成红色的有几个（3）3面涂成红色的有几个解：仔细观察图形，并发挥想像力，可知：（1）上下两层中间的2块只有一面涂色；（2）每层四边中间的1块有两面涂色，上下两层共8块；（3）每层四角的4块有三面涂色，上下两层共有8块.最后检验一下小立体总块数：习题二1.如图2－8所示，数一数，需要多少块砖才能把坏了的墙补好2.图2－9所示的墙洞，用1号和2号两种特型砖能补好吗若能补好，共需几块3.图2－10所示为一块地板，它是由1号、2号和3号三种不同图案的瓷砖拼成.问这三种瓷砖各用了多少块4.如图2－11所示，一个木制的正方体，棱长为3寸，它的六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长为1寸的小正方体.求：（1）3面涂成红色的有多少块（2）2面涂成红色的有多少块（3）1面涂成红色的有多少块（4）各面都没有涂色的有多少块（5）切成的小正方体共有多少块5.图2－12所示为棱长4寸的正方体木块，将它的表面全染成蓝色，然后锯成棱长为1寸的小正方体.问：（1）有3面被染成蓝色的多少块（2）有2面被染成蓝色的多少块（3）有1面被染成蓝色的多少块（4）各面都没有被染色的多少块（5）锯成的小正方体木块共有多少块6.图2－13所示为一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的外表面（包括底面）全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块7.图2－14中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围成的，你知道哪一条绳子长吗（仔细观察，想办法比较出来）.2+8+8=18（个）.习题二解答1.解：用10块砖可把墙补好，可以从下往上一层一层地数（发挥想像力）：共1+2+2+1+2+2=10（块）.如果用铅笔把砖画出来（注意把砖缝对好）就会十分清楚了，如图2－15所示.2.解：仔细观察，同时发挥想像力可知需1号砖2块、2号砖1块，也就是共需（如图2－16所示）1+2=3（块）.3.解：因为图形复杂，要特别仔细，最好是有次序地按行分类数，再进行统计：4.解：（1）3面涂色的有8块：它们是最上层四个角上的4块和最下层四个角上的4块.（2）2面涂色的有12块：它们是上、下两层每边中间的那块共8块和中层四角的4块.（3）1面涂色的有6块：它们是各面（共有6个面）中心的那块.（4）各面都没有涂色的有一块：它是正方体中心的那块.（5）共切成了3×3×3=27（块）.或是如下计算：8+12+6+1=27（块）.5.解：同上题（1）8块；（2）24块；（3）24块；（4）8块；（5）64块.6.解：3面被涂成绿色的小正方体共有16块，就是图2—18中有“点”的那些块（注意最下层有2块看不见）.7.解：分类数一数可知，围成小猫的那条绳子比较长.因为小狗身体的外形是由32条直线段和6条斜线段组成；小猫身体的外形是由32条直线段和8条斜线段组成.第三讲数数与计数（二）例1 数一数，图3－1中共有多少点解：（1）方法1：如图3－2所示从上往下一层一层数：第一层 1个第二层 2个第三层 3个第四层 4个第五层 5个第六层 6个第七层 7个第八层 8个第九层 9个第十层 10个第十一层 9个第十二层 8个第十三层 7个第十四层 6个第十五层 5个第十六层 4个第十七层 3个第十八层 2个第十九层 1个总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=55+45=100（利用已学过的知识计算）.（2）方法2：如图3－3所示：从上往下，沿折线数第一层 1个第二层 3个第三层 5个第四层 7个第五层 9个第六层 11个第七层 13个第八层 15个第九层 17个第十层 19个总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）.（3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示的样子，变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100（个）.想一想：①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋.②由方法1和方法3得出下式：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想：1=1×11+2+1=2×21+2+3+2+1=3×31+2+3+4+3+2+1=4×41+2+3+4+5+4+3+2+1=5×51+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×61+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×71+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×81+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×91+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多.同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规律.③由方法2和方法3也可以得出下式：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想：1+3=2×21+3+5=3×31+3+5+7=4×41+3+5+7+9=5×51+3+5+7+9+11=6×61+3+5+7+9+11+13=7×71+3+5+7+9+11+13+15=8×81+3+5+7+9+11+13+15+17=9×91+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，我们就又发现了一条规律.例2 数一数，图3－5中有多少条线段解：（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有：AB AC AD AE AF 5条.以B点为共同左端点的线段有：BC BD BE BF 4条.以C点为共同左端点的线段有：CD CE CF 3条.以D点为共同左端点的线段有：DE DF 2条.以E点为共同左端点的线段有：EF1条.总数5+4+3+2+1=15条.（2）用图示法更为直观明了.见图3－6.总数5+4+3+2+1=15（条）.想一想：①由例2可知，一条大线段上有六个点，就有：总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律（见图3－7）：还可以一直做下去.总之，线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比总数小1.我们又发现了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系.②上面的事实也可以这样说：如果把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是：线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见图3－8）.基本线段数线段总条数还可以一直写下去，同学们可以自己试试看.例3 数一数，图3－9中共有多少个锐角解：（1）我们知道，图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角.所以，以OA边为公共边的锐角有：∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOF共5个.以OB边为公共边的锐角有：∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4个.以OC边为公共边的锐角有：∠COD，∠COE，∠COF共3个.以OD边为公共边的锐角有：∠DOE，∠DOF共2个.以OE边为一边的锐角有：∠EOF 只1个.锐角总数5+4+3+2+1＝15（个）.②用图示法更为直观明了：如图3－10所示，锐角总数为：5+4+3+2+1=15（个）.想一想：①由例3可知：由一点发出的六条射线，组成的锐角的总数=5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：（见图3－11～15）两条射线1个角（见图3－11）三条射线2+1个角（见图3－12）四条射线3+2+1个角（见图3－13）五条射线4+3+2+1个角（见图3－14）六条射线5+4+3+2+1个角（见图3－15）总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比射线数小1.②同样，也可以这样想：如果把相邻两条射线构成的角叫做基本角，那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关系是：角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本角个数.③注意，例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段的，例3是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式.同学们可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力.习题三1.书库里把书如图3－16所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书共有多少本2.图3－17所示是一个跳棋盘，请你数一数，这个跳棋盘上共有多少个棋孔3.数一数，图3－18中有多少条线段4.数一数，图3－19中有多少锐角5.数一数，图3－20中有多少个三角形6.数一数，图3－21中有多少正方形习题三解答1.解：方法1：从左往右一摞一摞地数，再相加求和：10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10=135（本）.方法2：把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个三角形“尖顶”组成.长方形中的书10×11=110三角形中的书 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25总数：110+25=135（本）.2.解：因为棋孔较多，应找出排列规律，以便于计数.仔细观察可知，图中大三角形ABC上的棋孔的排列规律是（从上往下数）：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1，2，3，4，所以棋孔总数是：（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13）+（1+2+3+4）×3=91+10×3=121（个）.3.解：方法1：按图3－22所示方法数（图中只画出了一部分）线段总数：7+6+5+4+3+2+1=28（条）.方法2：基本线段共7条，所以线段总数是：7+6+5+4+3+2+1=28（条）.4.解：按图3－23的方法数：角的总数：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.5.解：方法1：（1）三角形是由三条边构成的图形.以OA边为左公共边构成的三角形有：△OAB，△OAC，△OAD，△OAE，△OAF，△OAG，△OAH，共7个；以OB边为左公共边构成的三角形有：△OBC，△OBD，△OBE，△OBF，△OBG，△OBH，共6个；以OC边为左公共边构成的三角形有：△OCD，△OC E，△OCF，△OCG，△OCH，共5个；以OD边为左公共边构成的三角形有：△ODE，△ODF，△ODG，△ODH，共4个；以OE边为左公共边构成的三角形有：△OEF，△OEG，△OEH，共3个；以OF边为左公共边构成的三角形有：△OFG，△OFH，共2个；以OG边和OH，GH两边构成的三角形仅有：△OGH1个；三角形总数：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.（2）方法2：显然底边AH上的每一条线段对应着一个三角形，而基本线段是7条，所以三角形总数为：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.6.解：最小的正方形有25个，由4个小正方形组成的正方形 16个；由9个小正方形组成的正方形 9个；由16个小正方形组成的正方形 4个；由25个小正方形组成的正方形 1个；正方形总数：25+16+9+4+1=55个.第四讲认识简单数列我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列.在这一讲里，我们要认识一些重要的简单数列，还要学习找出数列的生成规律；学会把数列中缺少的数写出来，最后还要学习解答一些生活中涉及数列知识的实际问题.例1 找出下面各数列的规律，并填空.（1）1，2，3，4，5，□，□，8，9，10.（2）1，3，5，7，9，□，□，15，17，19.（3）2，4，6，8，10，□，□，16，18，20.（4）1，4，7，10，□，□，19，22，25.（5） 5，10，15，20，□，□，35，40，45.注意：自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列.例2 找出下面的数列的规律并填空.1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89.解：这叫斐波那契数列，从第三个数起，每个数都是它前面的两个数之和.这是个有重要用途的数列.8+13=21，13+21=34.所以：空处依次填：例3 找出下面数列的生成规律并填空.1，2，4，8，16，□，□，128，256.解：它叫等比数列，它的后一个数是前一个数的2倍.16×2=32，32×2=64，所以空处依次填：例4 找出下面数列的规律，并填空.1，2，4，7，11，□，□，29，37.解：这数列规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，这些差是个自然数列：例5 找出下面数列的规律，并填空：1，3，7，15，31，□，□，255，511.解：规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，差的变化规律是个等比数列，后一个差是前一个差的2倍.另外，原数列的规律也可以这样看：后一个数等于前一个数乘以2再加1，即后一个数=前一个数×2+1.例6 找出下面数列的生成规律，并填空.1，4，9，16，25，□，□，64，81，100.解：这是自然数平方数列，它的每一个数都是自然数的自乘积.如：1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，，64=8×8，81=9×9，100=10×10.若写成下面对应起来的形式，就看得更清楚.自然数列： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓自然数平方数列：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100例7 一辆公共汽车有78个座位，空车出发.第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，车上坐满乘客（假定在坐满以前，无乘客下车，见表四（1））方法2：由上表可知，车上的人数是自1开始的连续自然数相加之和，到第几站后，就加到几，所以只要加到出现78时，就可知道是到多少站了，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人）可见第12站以后，车上坐满乘客.例8 如果第一个数是3，以后每隔6个数写出一个数，得到一列数：3，10，17，……，73.这里3叫第一项，10叫第二项，17叫第三项，试求73是第几项解：从第1项开始，把各项依次写出来，一直写到73出现为止（见表四（2））.可见73是第11项.例9 一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块.爸爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：“小明，现在你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放16块，……照这样一直放下去.要放满这10个盒，你说这100块糖够不够”小朋友，请你帮小明想一想解：小朋友，你是不是以为100块糖肯定能够放满这10个纸盒的了！下面让我们算一算，看你想得对不对（见表四（3））.表四（3）放满10个盒所需要的糖块总数：可见100块糖是远远不够的，还差1946块呢！这可能是你没有想到的吧！其实，数学中还有很多很多奇妙无比的故事呢.习题四1.从1开始，每隔两个数写出一个自然数，共写出十个数来.2.从1开始，每隔六个数写出一个自然数，共写出十个数来.3.在习题一和习题二中，按题目要求写出的两个数列中，除1以外出现的最小的相同的数是几4.自2开始，隔两个数写一个数：2，5，8， (101)可以看出，2是这列数的第一项，5是第二项，8是第三项，等等.问101是第几个数5.如图4－1所示，“阶梯形”的最高处是4个正方形叠起来的高度，而且整个图形包括了10个小正方形.如果这个“阶梯形”的高度变为12个小正方形叠起来那样高，那么，整个图形应包括多少个小正方形6.如图4－2所示，把小立方体叠起来成为“宝塔”，求这个小宝塔共包括多少个小立方体7.开学的第一个星期，小明准备发起成立一个趣味数学小组，这时只有他一个人.他决定第二个星期吸收两名新组员，而每个新组员要在进入小组后的下一个星期再吸收两名新组员，求开学4个星期后，这个小组共有多少组员8.图4－3所示为细胞的增长方式.就是说一个分裂为两个，再次分裂变为4个，第三次分裂为8个，……照这样下去，问经过10次分裂，一个细胞变成几个9.图4－4所示是一串“黑”、“白”两色的珠子，其中有一些珠子在盒子里，问（1）盒子里有多少珠子（2）这串珠子共有多少个习题四解答1.解：可以先写出从1开始的自然数列，再按题目要求删去那些不应该出现的数，就得到答案了：即1，4，7，10，13，16，19，22，25，28可以看出，这是一个等差数列，后面一个数比前面一个数大3.2.解：仿习题1，先写前面的几个数如下：可以看出，1，8，15，22，……也是一个等差数列，后面的一个数比前面的一个数大7.按照这个规律，可以写出所有的10个数：1，8，15，22，29，36，43，50，57，64.3. 解：观察习题一和习题二两个数列：可见两个数列中最小的相同数是22.4.解：经仔细观察后可以看出，这是一个等差数列，后一个数比前一个数大3，即公差是3.下面再多写出几项，以便从中发现规律：（表四（4））再仔细观察可知：第二项=第一项+1×公差，即5＝2+1×3；第三项=第一项+2×公差，即8=2+2×3；第四项=第一项+3×公差，即11=2+3×3；第五项=第一项+4×公差，即14=2+4×3；…………由于101=2+33×3；可见，101是第34项，即第34个数.5.解：仔细观察可发现，这个“阶梯形”图形最高处是4个小正方形时，它就有4个台阶，整个图形包括的小正方形数为：1+2+3+4=10.所以最高处是12个小正方形时，它必有12个台阶，整个图形包括的小正方形数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（个）.6.解：从上往下数，小宝塔共有六层.仔细观察可发现如下规律（表四（5））：所以六层小立方体的总数为：1+3+6+10+15+21=56（个）.7.解：列表如下：4个星期后小组的总人数：1+2+4+8=15（人）.8.解：列表如下：一个细胞经过10次分裂变为1024个.9.解：仔细观察可知，这串珠子的排列规律是：白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白1, 1,1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 1, 7, 1,①在盒子里有：4+1+4=9（个）.②这一串珠子总数是：1+1+1+2+1+3+1+4+1+5+1+6+1+7+1=1+2+3+4+5+6+7+（1+1+1+1+1+1+1+1）=28+8=36（个）.第五讲自然数列趣题本讲的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的思维方法一般是运用枚举法及分类统计方法，望同学们能很好地掌握它.例1 小明从1写到100，他共写了多少个数字“1”解：分类计算：“1”出现在个位上的数有：1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10个；“1”出现在十位上的数有：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10个；“1”出现在百位上的数有：100共1个；共计10+10+1=21个.例2 一本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字解：分类计算：从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9（个）；从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90=180（个）；第100页，只1页共用3个铅字，所以排100页书的页码共用铅字的总数是：9+180+3=192（个）.例3 把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少解：（见图5—1）先按题要求，把1到100的一百个自然数全部写出来，再分类进行计算：如图5—1所示，宽竖条带中都是个位数字，共有10条，数字之和是：（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10=45×10=450.窄竖条带中，每条都包含有一种十位数字，共有9条，数字之和是：1×10+2×10+3×10+4×10+5×10+6×10+7×10+8×10+9×10=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10=45×10＝450.另外100这个数的数字和是1+0+0=1.所以，这一百个自然数的数字总和是：450+450+1=901.顺便提请同学们注意的是：一道数学题的解法往往不只一种，谁能寻找并发现出更简洁的解法来，往往标志着谁有更强的数学能力.比如说这道题就还有更简洁的解法，试试看，你能不能找出来习题五1.有一本书共200页，页码依次为1、2、3、……、199、200，问数字“1”在页码中共出现了多少次2.在1至100的奇数中，数字“3”共出现了多少次3.在10至100的自然数中，个位数字是2或是7的数共有多少个4.一本书共200页，如果页码的每个数字都得用一个单独的铅字排版（比如，“150”这个页码就需要三个铅字“1”、“5”和“0”），问排这本书的页码一共需要多少个铅字5.像“21”这个两位数，它的十位数字“2”大于个位数字“1”，问从1至100的所有自然数中有多少个这样的两位数6.像“101”这个三位数，它的个位数字与百位数字调换以后，数的大小并不改变，问从100至200之间有多少个这样的三位数7.像11、12、13这三个数，它们的数位上的各个数字相加之和是（1+1）+（1+2）+（1+3）=9.问自然数列的前20个数的数字之和是多少8.把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少9.从1到1000的一千个自然数的所有数字的和是多少习题五解答1.解：分类计算，并将有数字“1”的数枚举出来.“1”出现在个位上的数有：1，11，21，31，41，51，61，71，81，91，101，111，121，131，141，151，161，171，181，191 共20个；“1”出现在十位上的数有：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19110，111，112，113，114，115，116，117，118，119 共20个；“1”出现在百位上的数有：100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126，127，128，129，130，131，132，133，134，135，136，137，138，139，140，141，142，143，144，145，146，147，148，149，150，151，152，153，154，155，156，157，158，159，160，161，162，163，164，165，166，167，168，169，170，171，172，173，174，175，176，177，178，179，180，181，182，183，184，185，186，187，188，189，190，191，192，193，194，195，196，197，198，199共100个；数字“1”在1至200中出现的总次数是：20+20+100=140（次）.2.解：采用枚举法，并分类计算：“3”在个位上：3，13，23，33，43，53，63，73，83，93共10个；“3”在十位上：31，33，35，37，39共5个；数字“3”在1至100的奇数中出现的总次数：10+5=15（次）.3.解：枚举法：12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，62，67，72，77，82，87，92，97共18个.4.解：分段统计，再总计.页数铅字个数1～9共9页1×9=9（个）（每个页码用1个铅字）10～90共90页2×90=180（个）（每个页码用2个铅字）100～199共100页3×100=300（个）（每个页码用3个铅字）第200页共1页3×1=3（个）（这页用3个铅字）总数：9+180+300+3=492（个）.5.解：列表枚举，分类统计：10 1个20 21 2个30 31 32 3个40 41 42 43 4个50 51 52 53 54 5个60 61 62 63 64 65 6个70 71 72 73 74 75 76 7个80 81 82 83 84 85 86 87 8个90 91 92 93 94 95 96 97 98 9个总数1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（个）.6.解：枚举法，再总计：101，111，121，131，141，151，161，171，181，191共10个.7.解：分段统计（见表五（1）），再总计：总的数字相加之和：45+45+10+2=102.8.解：按题意，试着写出从1到100的自然数中的头、尾和中间的几部分：1，2，3，……，48，49，50，51，……，96，97，98，99，100.仔细观察可知：若再补个0（并不影响题目的答案）还可以写出一个类似的算式：0+99=99；因此共得出50个99.而一个99的数字和是：9+9=18；50个99的数字和是：18×50=900，再加上100这个数的数字和是1+0+0=1，就得出从1到100的所有自然数的数字之和为901.照以上方法列出算式就非常简洁：（9+9）×50+1=901.9.解：（见图5—2）写出1～1000的自然数列的头、尾和中间的几部分，并在1的前面加个“0”；又因为9+9+9=27，1+0+0+0=1，所以从1～1000的所有自然数的所有数字之和为：27×500+1=13501.习题六1.观察图6—4中的点群，请回答：（1）方框内的点群包含多少个点（2）第10个点群中包含多少个点（3）前十个点群中，所有点的总数是多少2.观察下面图6—5中的点群，请回答：（1）方框内的点群包含多少个点（2）推测第10个点群中包含多少个点（3）前10个点群中，所有点的总数是多少3.观察图6—6中的点群，请回答：（1）方框内的点群包含多少个点（2）推测第10个点群包含多少个点（3）前十个点群中，所有点的总数是多少4.图6—7所示为一堆砖.中央最高一摞是10块，它的左右两边各是9块，再往两边是8块、7块、6块、5块、4块、3块、2块、1块.问：（1）这堆砖共有多少块（2）如果中央最高一摞是10O块，两边按图示的方式堆砌，问这堆砖共多少块5.图6—8所示为堆积的方砖，共画出了五层.如果以同样的方式继续堆积下去，共堆积了10层，问：（1）能看到的方砖有多少块（2）不能看到的方砖有多少块习题六解答1.解：（1）数一数，前四个点群包含的点数分别是：1，5，9，13.不难发现，这是一个等差数列，公差是4，可以推出，第5个点群包含的点数是：13+4=17（个）.（2）下面依次写出各点群的点数，可得第10个点群的点数为37.（3）前十个点群的所有点数为：。

华罗庚学校数学课本：二年级上册第一讲速算与巧算一、“凑整”先算1.计算：（1）24+44+56（2）53+36+47解：（1）24+44+56=24+（44+56）=24+100=124这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.（2）53+36+47=53+47+36=（53+47）+36=100+36=136这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.2.计算：（1）96+15（2）52+69解：（1）96+15=96+（4+11）=（96+4）+11=100+11=111这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算.（2）52+69=（21+31）+69=21+（31+69）=21+100=121这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.3.计算：（1）63+18+19（2）28+28+28解：（1）63+18+19=60+2+1+18+19=60+（2+18）+（1+19）=60+20+20=100这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.（2）28+28+28=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6=30+30+30-6=90-6=84这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变计算：（1）45-18+19（2）45+18-19解：（1）45-18+19=45+19-18=45+（19-18）=45+1=46这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.（2）45+18-19=45+（18-19）=45-1=44这样想：加18减19的结果就等于减 1.三、计算等差连续数的和相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：1，2，3，4，5，6，7，8，91，3，5，7，9。

华罗庚学校数学课本：四年级（上册）第一讲速算与巧算（一）例1 计算9＋99＋999＋9999＋99999解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.9＋99＋999＋9999＋99999＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1）＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5＝111110-5＝111105.例2 计算199999＋19999＋1999＋199＋19解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如199＋1＝200）199999＋19999＋1999＋199＋19＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.例3 计算（1＋3＋5＋...＋1989）－（2＋4＋6＋ (1988)解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.1990×497＋995—1990×497＝995.例4 计算389＋387＋383＋385＋384＋386＋388解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝390×7—1—3—7—5—6—4—＝2730—28＝2702.解法2：也可以选380为基准数，则有389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8＝2660＋42＝2702.例5 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）＝4940＋1＝4941.例6 计算54＋99×99＋45解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.54＋99×99＋45＝（54＋45）＋99×99＝99＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900.例7 计算9999×2222＋3333×3334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×（6666＋3334）＝3333×10000＝33330000.例8 1999＋999×999解法1：1999＋999×999＝1000＋999＋999×999＝1000＋999×（1＋999）＝1000＋999×1000＝1000×（999＋1）＝1000×1000＝1000000.解法2：1999＋999×999＝1999＋999×（1000-1）＝1999＋999000-999＝（1999-999）＋999000＝1000＋999000＝1000000.有多少个零.总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.习题一1.计算899998＋89998＋8998＋898＋882.计算799999＋79999＋7999＋799＋793.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋19935.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？6.求出从1～25的全体自然数之和.7.计算1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—1018.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋879.计算（125×99＋125）×1610.计算3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋911.计算999999×7805312.两个10位数1111111111和9999999999的乘积中，有几个数字是奇数？第二讲速算与巧算（二）例1 比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解：A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为987654321＞123456788，所以A＞B.例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241×249 242×248 243×247244×246 245×245.解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；243×247＝（240＋3）×（250—3）＝240×250＋3×7；244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；245×245＝（240＋5）×（250—5）＝240×250＋5×5.恒等变形以后的各式有相同的部分240 ×250，又有不同的部分1×9，2×8，3×7，4 ×6，5×5，由此很容易看出245×245的积最大.一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5则5×5＝25积最大.例3 求1966、1976、1986、1996、2006五个数的总和.解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：1986×5＝9930.例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.解：五个连续偶数的中间一个数应为320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，...，x—1，x，x＋1， (x)＋n—1，x＋n，其中x是这2n＋1个自然数的平均值.巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.例5 将1～1001各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.①1986不是9的倍数，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.习题二1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右图填满后，这30个数的总和是多少？2.有两个算式：①98765×98769，②98766 ×98768，请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？3.比较568×764和567×765哪个积大？4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？①1992×1999＋1999②1993×1998＋1998③1994×1997＋1997④1995×1996＋19965.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.6.45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数.7.把从1到100的自然数如下表那样排列.在这个数表里，把长的方面3个数，宽的方面2个数，一共6个数用长方形框围起来，这6个数的和为81，在数表的别的地方，如上面一样地框起来的6个数的和为429，问此时长方形框子里最大的数是多少？第三讲定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，①求3△2，2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：①3△2＝3×3-2×2＝9-4＝ 52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再计算第二步39△2＝3 ×39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6-2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5. 例2 定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：①5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※5＝7×5－（7＋5）＝35-12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝8x－13那么8x－13＝3 解出x＝2例5 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定义：a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出k的值.解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.习题三第四讲等差数列及其应用许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13.③2，4，6，8，10，12，14…④3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列①中，d=2-1=3-2=4-3= (1)数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6，10，14，18，22， (98)②1，2，1，2，3，4，5，6；③1，2，4，8，16，32，64；④9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；解：①是，公差d=4.②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是，因为4-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an。

目录第一章：数一数第一讲看图数一数第二讲有几种走法第二章：比一比、看一看第一讲变与不变第二讲移多补少单元练习（一）第三章：算一算（一）第一讲单数和双数第二讲算式猜谜第三讲巧算速算（一）第四讲＋、－和（）单元练习（二）第四章：简单应用（一）第一讲没有那么简单第二讲简单的判断第三讲小兔吃萝卜第四讲猫和老鼠单元练习（三）第五章：找规律第一讲按规律填下去第六章：算一算（二）第一讲合理分组第二讲天平平衡第二讲巧算速算（二）单元练习（四）第七章：简单应用（二）第一讲摸彩球第二讲付钱的方法第三讲鸡兔同笼单元练习（五）第八章：趣味数学第一讲火柴棒游戏（一）第二讲火柴棒游戏（二）第三讲趣味问题单元练习（六）综合练习（一）综合练习（二）第一章数一数第一讲看图数一数【专题导引】数学上有很多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理，学会了推理，能使小朋友们头脑更灵活，变得更聪明。

这一周我们将共同研究简单推理的初步知识，今后我们将进一步去学习，希望大家能够多观察、多动脑、多分析，培养我们的观察能力和分析能力。

【典型例题】【例1】填空【试一试】填空【例2】“”处代表几【试一试】“”外代表几【例3】填空。

【试一试】填空。

【例4】【试一试】【＊例5】填空。

【＊试一试】填空。

课外作业家长签名：1、2、★ = ☆ + ☆☆ = ▲ + ▲ + ▲★ = （）个▲3、（1）□ + 6 = 12 □=（）△ + □ =10 △=（）（2）● - ▲ = 7 ▲=（）▲ + 4 = 9 ●=（）4、（1）○ + ○ + ☆ = 10○ + ○ + ☆ + ☆ =14那么：☆ = 2（2）□ + ○ + ○ = 30如果：○ = 8 那么：□ = （）5、小明比小白大6岁，小丽比小明小6岁。

小白和小丽谁大我的学习收获：。

=+++= （）个我来编题：第二讲有几种走法【专题导引】小朋友，我们外出可乘不同的交通工具，两地之间也有不同的路线，究竟有多少种不同的走法，你能一一列举清楚吗学习下面的内容，你一定会有所收获的。

一年级共37讲第十一讲不等与排序文档贡献者：与你的缘两个数或者相等或者不等，不等关系又分为大于和小于。

排序就是把互相不等的一些数通过比较按大小顺序排列起来，或是按照一定的要求把一些东西排列起来。

例1把下面圈里的数从大到小排起队来。

解：容易看出，圈里的数都是两位数，比较两个两位数的大小时，首先看十位数字，十位数字大的数比十位数字小的数大，因此这些数从大到小排队如下：例2把下面圈里的数从小到大排排队，并用“＜”连接起来。

解：这些数是一位数和两位数。

根据下面的原则对这些数进行比较、排队：（1）一位数比两位数小，（2）比较十位数字相同的两个两位数时，要看它们的个位数字，个位数字小的那个两位数小。

排队结果如下：例3见下图，把右边大圆圈里的数分别填入左边的小圆圈里，使图中所示的不等关系成立。

解：仔细观察不等关系图可以发现：①最左端的小圆圈中应填的数都大于其他三个小圆圈中应填的数，所以应填最大的数4；②最上面的小圆圈应填的数最小，所以应填1，这样其他两个小圆圈中的数就容易填了。

见图。

例4请把1、2、3、4、5、6、7填入右图中的小圆圈里，使图中的“大于”、“小于”关系成立。

解：仔细观察图中不等关系符号的方向可知，在由小圆圈组成的三角形中：①最上面的小圆圈中的数最小，应填1，左下角的小圆圈中的数最大，应填7；②从上往下数，第二层的小圆圈中的数都大于最上面的小圆圈中的数1，而小于第三层圆圈中的三个数，所以第二层应填2、3、4，而第三层应填7、6、5；③再考虑到第二层和第三层各层的不等号方向，填图就可以最后完成了。

见图。

例5老师发了数学考卷，一班（1）组的六个同学的分数是这样的：①小王和小钱的分数一样多；②小赵比小李的分数多，可比小王的分数少；③小乐没有小王、小赵的分数多，但比小李的多；④小钱的分数比小顾的又要少一些。

请给他们排排队，并回答谁分数最多？谁分数最少？解：由①：小王=小钱由②：小王＞小赵＞小李由③：小王＞小赵＞小乐＞小李由④：小顾＞小钱=小王＞小赵＞小乐＞小李可见小顾的分数最多，小李的分数最少。

奥数与普数的区别、对象奥数：部分有兴趣的小学生普数：所有小学生二、学习的目的奥数：①孩子学有余力，对奥数很感兴趣，非常喜欢②为了学奥数而学奥数，想通过奥数提高自己的思维能力和应付择校考试普数：应试（毕业考）三、内容奥数：奥数一部分内容是课本的提高，还有一部分则是更高年级所涉及的知识点普数：完全是课本内容、什么样的孩子适合学奥数？奥数不是人人都能学好的。

对于学有余力的学生来说，学习奥数确实对思维有一定帮助，而且上路得早，对以后的学习会有一定好处。

但是还是一句话，要看小孩的实际情况，如果他不喜欢，数学成绩一般甚至很差，就完全没有这个必要来学习奥数了。

如果强迫学习，只会让他们更加头疼，学习更感吃力，对数学更加没有兴趣。

学习奥数绝不是短期的功利行为，也决不可能取得立竿见影的效果，一定是持之以恒。

所以客观地讲，一般的学生还是要以普通数学的要求为基础。

概括来说具备以下特征的孩子比较适合学奥数：一、对数学有浓厚的兴趣二、突出的自学能力三、强烈的独立意识四、超常的记忆力五、超常的心算能力六、坚强的意志品质七、富于创造性八、高远的志向和报负学习奥数对学生的作用：通过奥数的学习：培养学生会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等能力。

让孩子们会用归纳、演绎和类比进行推理，会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点。

对于今后的其他理科科目学习的帮助很大，打牢理科学习的扎实基础。

1、促进在校成绩的全面提高，培养良好的思维习惯；2、使学生获得心理上的优势，培养自信；3、有利于学生智力的开发；4、数学是理科的基础，学习奥数对于这个学生进入初中后的学习物理化学都非常有好处（很多重点中学就是因为这个原因招奥数好的学生）。

怎样学好奥数经常有家长问我：“我的孩子刚开始接触奥数，怎么样能快速提高？”我想大家都知道欲速则不达的道理，如果真的起步比较晚的话，就应该从重点抓起，比如应用题，数论这些考试必考的内容，先把少数重要的专题学好，绝对不能图快，想一举把所有内容用短短的时间全学会，囫囵吞枣的结果是：各个内容你可能都见过，老师提到什么方法你可能也知道，但是给你出几个题你可能就做不出来了。

华罗庚奥数练习题————————————————————————————————作者 :————————————————————————————————日期：?一年级第一讲习题一１．计算 :1 ３+１４ +１5+16+17+25２．计算 : ２ +3＋４ +5+１5+1６+１7＋1８+2０3．计算 :21+2 ２+23+2４ +25+26＋27＋ 28+２ 94.计算 :5+6+7 ＋8+９+1０ +11+1２＋１ 3+１4+１５ +16+17+１8＋１９+205．计算 :22-20 ＋18-16+14- １2+10-8＋６ -4+2-06. 计算： 10-20+３0-40+50－６ 0＋ 70－80+90一年级第五讲习题五1 ．一队男生 8 人。

老师要求在2 名男生中间插进 1 名女生 , 问可插进多少女生 ?２．小冬用 12 张纸订成一个簿本。

重新数起 , 每隔 3 纸夹进一片树叶，问这个簿本内共放进多少片树叶？3.在一条 20 米长的小道两旁种小松树 , 假如每隔５米种一棵 , 并且两端都种树，问这段小道上共种多少棵？4.一根钢管长 6 米，每分钟锯下 1 米, 几分钟锯完 ?5 ．一根木头锯成４段 , 要付锯工费 1 元。

假如要把这根木头锯成１ 3 段，要付锯工费多少元?6. 小明与爸爸一起上楼。

小明上得快、爸爸上得慢, 小明上2层,爸爸上１层。

问小明上到五楼时，爸爸上到几楼？7 ．沿着跑道插着 1１面旗 , 旗与旗离得相同远，第一面旗插在起点。

运动员从起点起跑经过 6 秒钟抵达第 6 面旗 , 问运动员抵达第 11 面旗时 ,需要跑 11 秒钟吗？８. 三点钟时 , 挂钟打响三下 , 用了 12 秒。

到六点钟时 , 挂钟打响六下，要用几秒钟？二年级上册第一讲 1. 计算：（ 1) １８ +28+７２(2)8 ７＋ 1５+13(3 ）43+５6＋1７＋ 2４( ４) ２8+4４+39+62+56+212.计算 : （1) ９８+６７（2）43＋２ 8（3）７５ +2６３. 计算 :(1)8 ２-49+1 ８(2 ）8２- ５0+49(3)41 －64+２9４. 计算 : （ 1） 99+９8+97+96+95（2）9+99+９995．计算： (1 ）5＋6+７ +8+9（ 2)5+10+15+20+2５+3０ +３5(3)9+18+2 ７＋ 36+45+54（4)12+１ 4+1６+1８ +20+２ 2+24+266.计算：（ 1)5 ３+49＋51+４ 8+52+50（2)8 ７+7４＋ 85＋８ 3+７5+77＋80+７ 8＋81＋８ 47.计算 :1+2 ＋3+4＋ 5+6+１ +2+3＋ 4＋ 5+6＋1+2+３ +４ +5+6+1+2+3+４+5二年级下册第三讲习题三计算以下各题：1.4 ×135×25２. ３ 8×２５×6 3．12４× 254.132476 ×1１15.3 ５× 5３ +4７×３ 5６.53 ×4６ +７ 1× 54+82×54７．① 11× 11② 111×111③1１1１×１１ 11 ④11111×1111１⑤111111111×１ 11１111118.① 1２× 14 ②１３× 1７③1５× 17 ④１ 7×１ 8⑤1９× 15 ⑥１ 6×12９．①１ 1×1１②１ 2×１ 2③13×13 ④14×１ 4⑤1５×１ 5 ⑥ 16×16⑦１ 7×17⑧ 18×１8⑨１９×１ 910．计算以下各题 , 并切记答案，以备后用 .①15×15 ②25×25③35× 3５④45×４ 5⑤55×55 ⑥65× 65⑦7５× 75⑧8５× 8５⑨95×9511. 求 1+２+3++（ n-1) ＋ n 之和 , 并切记结果 .12．求以下各题之和 . 把四道题联系起来看，你能发现拥有规律性的东西吗？①1＋ 2+３+ +1０②1+２ +3+ +100③1＋２ +3+＋ 100０④1+2+3＋ +1０ 000二年级下册第十四讲习题十四2.桔子和苹果共有３６ 0 个，此中桔子数是苹果数的 2 倍, 求桔子和苹果各有多少个？3．小红去文具店买了 6 支铅笔和５个笔录本，共花了 1 元 3 角 5 分钱 . 已知 3 支铅笔的价格与 2 个笔录本的价格相等 . 求 1 支铅笔和 1 个笔录本各要多少钱？４．在生物课外活动中 , 同学们栽花生比白薯多 105 棵，又知花生棵数是白薯的１ 6 倍, 求花生、白薯各多少棵？５.倘若 2０只兔子可换 2 只羊 ,9 只羊可换３头猪 ,8 头猪可换 2 头牛，那么用５头牛可换多少只兔子 ?6.商铺运来两桶油．大桶有油 120 斤，小桶有油 90 斤. 两桶油卖出相同多后 , 大桶剩的油恰巧是小桶剩的油的４倍，问两桶各剩油多少斤？7．兄弟俩各有书若干本 . 只知兄的书为弟的书的 3 倍；但若兄给弟 10 本书，则弟的书将为兄的书的 3 倍. 问兄弟二人原有书各多少？二年级下册第十五讲习题十五２. 下式中梨、苹果和香蕉各代表一个数，请你把它们算出来.梨+梨+柿子＋香蕉 =17梨+柿子 +柿子 +香蕉 =14梨＋柿子＋香蕉 +香蕉 =１ 3.3.小军家养了一只大白兔和一只小花猫．有一天，小军抱着大白兔站在体重计上称一称 , 正好是 33 斤；以后小军放下大白兔又抱起小花猫, 站在体重计上一称 , 正好是 31 斤；最后小军把大白兔和小花猫一起放在体重计上称一称是4 斤. 请你算一算，小军、大白兔和小花猫各是多少斤 ?４.已知 : ｘ+y=1８ (1 ）x－y=14 （2）求： x＝ ?ｙ＝ ?5.一盒精装的笔，连盒共值 18 元，笔比盒贵 1４元，盒和笔的价格各是多少？6.饲养场销售鸡、鸭 , 以只数计价 , 爸爸买 1 只鸡、２只鸭共付 25 元；假如买２只鸡、 1 只鸭要付 27 元 2 角. 问鸡、鸭各多少钱一只 ?7.三头牛和八只羊一天共吃青草９ 3 斤．五头牛和十五只羊一天共吃青草 1６５斤 . 问一头牛和一只羊一天共吃青草多少斤？8.加工一批部件，师徒二人合作 2 小时可加工 34 个. 已知师傅加工３小时比徒弟加工４小时多做 2 个. 问师傅每小时加工多少个？９. 有白、红、黑三色的球 . 白的和红的合在一起有 10 个 ; 红的和黑的合在一起有 7 个；黑的和白的合在一起有 5 个．问三种球合在一起共多少个？10. 百货商铺中两支圆珠笔与三支蘸水笔共值7 角8 分; 三支圆珠笔与两支蘸水笔共值7 角 2 分. 问一支圆珠笔值多少钱 ?三年级上册第一讲习题一一、直接写出计算结果 :①10 ０0-5 ４７② 100000-85426④ 78053 ００ 0000-7 ８053二、用简易方法乞降：①536+(５41+4６4）+4５ 9②５8８＋ 2６4+1４ 8③8 ９９ 6＋3458+75４6④567+558+56２+555+5６ 3三、用简易方法求差：①１ 87０-280- ５ 20②4 ９95- （９９ 5-480)③４２ 50- ２９４＋ 9４④1272-995四、用简易方法计算以下各题：①4７８ -128+１２ 2-72②4 ６4-5 ４5＋9９+34５③537－ ( ５ 4３ -16 ３)-57④９47+(372－４ 47)-57 ２五、巧算以下各题：① 996+５ 99- ４02②７４ 43+2４８ 5＋567＋245③2 ０ 00-134７ - ２５ 3＋1593④36７５ - （11＋1３＋ 1５+17+19）三年级上册第二讲习题二一、用简易方法求积：①1７×1０0②111２× 5③２ 3×9④23×99⑤1２ 345× 11⑥５ 678９×１ 1⑦３ 6×15二、速算以下各题 :①1２3×25×4② 45６× 2×１ 2５× 25× 5×４× 8③25×3２× 125三、巧算以下各题：①150０0÷1２5÷１ 5②１ 2０0÷25÷4③2７０００÷（１ 25×3）④３６ 0×40÷ 60四、巧算以下各题：①11÷3+4÷3②１9÷5-9 ÷5③2３４×１ 1＋ 23４× 88三年级下册习题五1 ．花果山上桃树多 , ６只小猴分 18０棵 . 现有小猴 72 只，如数分后还余９ 0 棵, 请算出桃树有几棵 ?2．５箱蜜蜂一年能够酿 75 千克蜂蜜，照这样计算，酿 300 千克蜂蜜要增添几箱蜜蜂？３. ４辆汽车行驶 3０0 千米需要汽油 240 公升 . 现有５辆汽车同时运货到相距 8００千米的地方 , 汽油只有 1000 公升 , 问能否够用 ?4.5 台拖沓机２ 4 天耕地１ 2000 公亩 . 要 18 天耕完 54000 公亩土地，需要增添相同拖沓机多少台 ?习题六１．某次数学考试，甲乙的成绩和是１８4 分，乙丙的成绩和是1８7分，丙丁的成绩和是 18８分，甲比丁多 1 分, 问甲、乙、丙、丁各多少分？2.求 19６ 2、１ 973、1９８ 1、 1994、2０05 的均匀数。

华罗庚学校数学课本：二年级上册第一讲速算与巧算习题一习题一解答第二讲数数与计数（一）习题二习题二解答第三讲数数与计数（二）习题三习题三解答第四讲认识简单数列习题四习题四解答第五讲自然数列趣题习题五习题五解答第六讲找规律（一）习题六习题六解答第七讲找规律（二）习题七习题七解答第八讲找规律（三）习题八习题八解答第九讲填图与拆数习题九习题九解答第十讲考虑所有可能情况（一）习题十习题十解答第十一讲考虑所有可能情况（二）习题十一习题十一解答第十二讲仔细审题习题十二习题十二解答第十三讲猜猜凑凑习题十三习题十三解答第十四讲列表尝试法习题十四习题十四解答第十五讲画图凑数法习题十五习题十五解答下册第一讲机智与顿悟习题一习题一解答第二讲数数与计数习题二习题二解答第三讲速算与巧算习题三习题三解答第四讲数与形相映习题四习题四解答第五讲一笔画问题习题五习题五解答第六讲七座桥问题习题六习题六解答第七讲数字游戏问题（一）习题七习题七解答第八讲数字游戏问题（二）习题八习题八解答第九讲整数的分拆习题九习题九题答第十讲枚举法习题十习题十解答第十一讲找规律法习题十一习题十一解答第十二讲逆序推理法习题十二习题十二解答第十三讲画图显示法习题十三习题十三解答第十四讲等量代换法习题十四习题十四解答第十五讲等式加减法习题十五习题十五解答附录第一讲重量的认识习题一习题一解答第二讲长度的认识习题二习题二解答第三讲时间的认识（上）习题三习题三解答第四讲时间的认识（下）习题四习题四解答。