第8讲 二项分布及其应用
,[学生用书P198])
1．条件概率及其性质
(1)条件概率的定义：设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P （AB ）
P （A ）
为在事件A
发生的条件下，事件B 发生的条件概率．
(2)条件概率的性质：①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．
2．事件的相互独立性
(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )·P (B )．
②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －
也都相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，A i (i ＝1，2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．
(2)二项分布
在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率，在n 次独
立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )
n －k
(k ＝0，1，2，…，n )．
1．辨明两个易误点
(1)两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．
(2)P (B |A )是在A 发生的条件下B 发生的概率，而P (A |B )是在B 发生的条件下A 发生的概率．
2．理解事件中常见词语的含义
(1)A ，B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； (2)A ，B 都发生的事件为AB ；
(3)A ，B 都不发生的事件为A － B －
；
(4)A ，B 恰有一个发生的事件为A B －∪A －
B ；
(5)A ，B 至多一个发生的事件为A B －∪A －B ∪A － B －
.
1．若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝1
4，则P (EF )的值等于( )
A ．0
B ．1
16
C.14 D ．12 答案：B
2．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝3
8
，则P (A )等于( )
A.316 B ．1316 C.34 D ．14
解析：选C.由P (AB )＝P (A )P (B |A )，可得P (A )＝3
4
.
3．(2015·高考全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A ．0.648
B ．0.432
C ．0.36
D ．0.312
解析：选A.3次投篮投中2次的概率为P (X ＝2)＝C 23×0.62
×(1－0.6)，投中3次的概率
为P (X ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 2
3×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.
4．设袋中有大小相同的4个红球与2个白球，若从中有放回地依次取出一个球，则6次取球中取出2个红球的概率为________．
解析：由题意得红球个数X 服从二项分布，即X ～B ????6，23，所以P (X ＝2)＝C 26????232
·???
?134
＝20243
. 答案：20
243
5．(选修2-3P55练习T3改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为1
3
，乙去北京旅游的
概率为1
4
，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概
率为________．
解析：记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，又P (A －
B －)＝P (A －)·P (B －
)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝????1－13????1－14＝12
， 甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概
率为1－P (A － B －
)＝1－12＝12
.
答案：12
考点一 条件概率[学生用书P199]
从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶
数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )
A.18 B ．14 C.25 D ．12
[解析] P (A )＝C 23＋C 2
2C 2
5＝410＝25，P (AB )＝C 22
C 25＝110，由条件概率公式，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1
10410
＝14. [答案]
B
若将本例中的事件B ：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数
均为奇数”，则结果如何？
解：P (A )＝C 23＋C 2
2C 2
5＝25，P (AB )＝C 23
C 25＝310，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝34
.
条件概率的两种求解方法
(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P （AB ）
P （A ）
求P (B |A )．
(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事
件AB 包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）
n （A ）
.
1.
如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________．
解析：依题意得，P (A )＝2×2π＝2π，P (AB )＝1
2×1×1π＝1
2π
，则由条件概率公式可知，
P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1
4.
答案：14
考点二 相互独立事件的概率[学生用书P199]
(2016·唐山统考)某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时
间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计11月份30天内的拥堵天数．东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18，15，9，15.假设每个入口发生拥堵现象互相独立，视频率为概率．
(1)求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；
(2)设X 表示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求X 的分布列． [解] (1)设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A ，B ，C ，D .
则P (A )＝1830＝35，P (B )＝1530＝12，P (C )＝930＝3
10，
P (D )＝1530＝12
.
设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M ，则 M ＝ABCD ＋ABCD ＋ABCD ＋ABCD .
则P (M )＝25×12×310×12＋35×12×310×12＋35×12×710×12＋35×12×310×12＝45200＝9
40
.
(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4.
P (X ＝0)＝14200＝7100，P (X ＝1)＝55200＝11
40，
P (X ＝2)＝77200，P (X ＝3)＝45200＝9
40，
P (X ＝4)＝9
200
.
X 的分布列为：
相互独立事件的概率的求法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
(2)正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
2.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为1
2
与p ，
且乙投球2次均未命中的概率为1
16
.
(1)求乙投球的命中率p ；
(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率． 解：(1)设“甲投一次球命中”为事件A ，“乙投一次球命中”为事件B .
由题意得：P (B －)P (B －
)＝116，
于是P (B －)＝14或P (B －
)＝－14(舍去)．
故p ＝1－P (B －)＝3
4
.
(2)法一：由题设知，P (A )＝12，P (A －)＝1
2
.
故甲投球2次，至少命中1次的概率为1－P (A －·A －)＝3
4
.
法二：由题设知，P (A )＝12，P (A －)＝1
2
.
故甲投球2次，至少命中1次的概率为
C 1
2P (A )P (A －)＋P (A )P (A )＝34
.
考点三 独立重复试验与二项分布(高频考点)[学生用书P200]
独立重复试验与二项分布是高中数学的重要内容，也是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度较大，多为中高档题目．
高考对独立重复试验与二项分布的考查主要有以下两个命题角度： (1)已知二项分布，求二项分布列；
(2)已知随机变量服从二项分布，求某种情况下的概率．
(2014·高考四川卷节选)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，
每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即
获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为1
2
，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列．
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ [解] (1)X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有
P (X ＝10)＝C 13×????121×????1－122＝38
，
P (X ＝20)＝C 23×????122×????1－121＝38
，
P (X ＝100)＝C 33
×????123×????1－120
＝18， P (X ＝－200)＝C 03×????120×????1－123＝18
.
所以X 的分布列为
(2)设“第i i P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝1
8
.
所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为
1－P (A 1A 2A 3)＝1－????183＝1－1512＝511512
.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511
512
.
(1)独立重复试验满足的条件
独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)二项分布满足的条件
①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．
③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．
3.(2016·唐山第一次模拟)小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、
丙随机发放红包，每次发放1个．
(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；
(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列．
解：(1)设“甲恰得1个红包”为事件A ，
则P (A )＝C 1
2×13×23＝49
.
(2)X 的所有可能取值为0，5，10，15，20.
P (X ＝0)＝????233
＝8
27，
P (X ＝5)＝C 1
2×13×????232＝827，
P (X ＝10)＝????132×23＋????232
×13＝6
27，
P (X ＝15)＝C 12×????132×23＝427
，
P (X ＝20)＝????133＝1
27. X
,[学生用书P200])
规范解答——离散型随机变量的综合问题
(本题满分12分)(2015·高考湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金
额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．
(1)条件―→列出事件――→事件独立求出事件A 1、A 2、B 1、B 2
的概率――→B 1、B 2
互斥
结果 (2)条件―→次数X 服从二项分布 ―→P （X ）的值―→分布列―→期望
(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}， B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．
由题意知A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2
＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.
因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝1
2
，(2分)
所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝1
5
，
(3分)
P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)
＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2)
＝2
5×????1－12＋????1－25×12＝12
.(5分) 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝7
10
.(6分)
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为1
5
，
所以X ～B ????3，15. (7分)
于是P (X ＝0)＝C 03????150????453
＝64125
， P (X ＝1)＝C 13????151????452
＝48125， P (X ＝2)＝C 23????152????451＝12125， P (X ＝3)＝C 33????153????450
＝1125
.(10分) 故X 的分布列为
(11分)
X 的数学期望为E (X )＝3×15＝3
5
.(12分)
(1)解答此类问题，应注意答题要求，严格按照题目及相关知识的要求答
题．
(2)注意分布列要用表格的形式列出来，不要认为求出各个相应的概率就结束了．
1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率是( )
A.512 B ．12 C.712 D ．34
解析：选C.依题意，得P (A )＝12，P (B )＝1
6
，且事件A ，B 相互独立，则事件A ，B 中至
少有一个发生的概率为1－P (A －·B －)＝1－P (A －)·P (B －
)＝1－12×56＝712，故选C.
2．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝5
9
，则P (Y ≥2)的值为( )
A.3281 B ．1127
C.6581 D ．1681
解析：选B.因为随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，又P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－(1
－p )2＝59，解得p ＝13，所以Y ～B ????4，13，则P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1127
. 3．将三颗骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不同”，B 为“至少出现一个3点”，则P (A |B )＝( )
A.6091 B ．12 C.712 D ．81125
解析：选A.P (A |B )表示在B 发生的情况下，A 发生的概率，即在“至少出现一个3点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个3点”的情况数目为6×6×6－5×5×5＝91，“三个点数都不相同”则只有一个3点，共C 13×5×4＝60种情况，故P (A |B )＝6091
. 4．如果X ～B ?
???15，1
4，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．3或4 解析：选D.观察选项，采用特殊值法．
因为P (X ＝3)＝C 315????143????3412
， P (X ＝4)＝C 415????144????3411
，
P (X ＝5)＝C 515????145????3410
，
经比较，P (X ＝3)＝P (X ＝4)＞P (X ＝5)，故使P (X ＝k )取最大值时k ＝3或4.
5．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗的成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．
解析：设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B (发芽又成活为幼苗)． 依题意P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9. 根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
答案：0.72
6．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5
个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率都为1
3
，用X 表示5位乘客在第20层
下电梯的人数，则P (X ＝4)＝________．
解析：考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X ～
B ????5，13，即有P (X ＝k )＝
C k 5????13k ×???
?235－k
，k ＝0，1，2，3，4，5. 故P (X ＝4)＝C 45????134
×????231＝10243
.
答案：10
243
7．(2015·高考福建卷节选)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列．
解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A ，
则P (A )＝56×45×34＝1
2
.
(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3.
又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝2
3
.
所以X 的分布列为
8．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．
(1)求P (A )，P (B )，P (AB )；
(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．
解：(1)P (A )＝26＝1
3
.
因为两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．
所以P (B )＝1036＝5
18
.
当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P (AB )＝536
. (2)由(1)知P (B |A )＝P （AB ）P （A ）
＝5
3613
＝5
12.
9．(2016·沈阳质量监测)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一
类票的概率都为1
3
，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决
定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．
(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；
(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望． 解：(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A ，则事件A 包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票．
因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为1
3
，且三人投票相互没有影响， 所以P (A )＝C 23????132????231＋C 33????133
＝727
. (2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的可能取值为0，1，2，3.
P (X ＝0)＝????133＝127；P (X ＝1)＝C 13????231????132
＝627＝29；
P (X ＝2)＝C 23????232????131
＝1227＝49；P (X ＝3)＝????233＝827
.
因此X
所以X 的数学期望为E (X )＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×8
27
＝2.
1．(2016·陕西省质量监测)某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有A ，B 两个定点投篮位置，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分．规则是：每
人投篮三次按先A 后B 再A 的顺序各投篮一次，教师甲在A 和B 点投中的概率分别是12和1
3
，
且在A ，B 两点投中与否相互独立．
(1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分X 的分布列和数学期望； (2)若教师乙与教师甲在A ，B 投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率． 解：(1)根据题意知X 的可能取值为0，2，3，4，5，7，
P (X ＝0)＝????1－122×????1－13＝16
，
P (X ＝2)＝C 12×12×?
???1－13×????1－12＝1
3， P (X ＝3)＝????1－12×13×????1－12＝112
， P (X ＝4)＝1
2×????1－13×12＝16， P (X ＝5)＝C 12
×12×????1－12×13＝1
6， P (X ＝7)＝12×13×12＝1
12
，
所以教师甲投篮得分X 的分布列为：
E (X )＝0×16＋2×13＋3×112＋4×16＋5×16＋7×1
12
＝3.
(2)教师甲胜教师乙包括：甲得2分，3分，4分，5分，7分五种情形．这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率为
P ＝13×16＋112×????16＋13＋16×????16＋13＋112＋16×????16＋13＋112＋16＋112×????1－112＝1948
. 2．(2016·武汉调研)某次飞镖比赛中，规定每人至多发射三镖．在M 处每射中一镖得3分，在N 处每射中一镖得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止发射，否则发射第三镖．某选手在M 处的命中率q 1＝0.25，在N 处的命中率为q 2.该选手选择先在M 处发射一镖，以后都在N 处发射，用X 表示该选手比赛结束后所得的总分，其分布列为
(1)求随机变量X (2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率的大小．
解：(1)设该选手在M 处射中为事件A ，在N 处射中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，
且P (A )＝0.25，P (A －)＝0.75，P (B )＝q 2，P (B －
)＝1－q 2.
根据分布列知：当X ＝0时， P (A － B － B －)＝P (A －)P (B －)P (B －
)＝0.75(1－q 2)2＝0.03， 所以1－q 2＝0.2，q 2＝0.8.
当X ＝2时，P 1＝P (A － B B －＋A － B － B )＝P (A －)P (B )P (B －)＋P (A －)P (B －
)P (B )＝0.75q 2(1－
q 2)×2＝0.24，
当X ＝3时，
P 2＝P (A B －B －)＝P (A )P (B －)P (B －
) ＝0.25(1－q 2)2＝0.01， 当X ＝4时，
P 3＝P (A －BB )＝P (A －
)P (B )P (B )＝0.75q 22＝0.48，
当X ＝5时，P 4＝P (A B －B ＋AB )＝P (A B －
B )＋P (AB )
＝P (A )P (B －
)P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.25q 2(1－q 2)＋0.25q 2＝0.24. 所以随机变量X 的分布列为：
(2)＝0.72. 该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率为 P (B －BB ＋B B －B ＋BB )＝P (B －BB )＋P (B B －
B )＋P (BB )
＝2(1－q 2)q 2
2＋q 22＝0.896.
所以该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率大．
2.2.3 独立重复试验与二项分布 一、教学目标 知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。 过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值。 二、重难点 教学重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题 教学难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算 三、教学过程 复习引入： 1. 事件的定义： 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。 2.随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记
作()P A 。 3. 概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率。 4．概率的性质：必然事件的概率为1 ，不可能事件的概率为0 ，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形。 5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。 讲授新课： 1 独立重复试验的定义： 指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验。 2 独立重复试验的概率公式： 一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中 这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(。 它是 [](1)n P P -+展开式的第1k +项。 3离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0，1，2，…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
二项分布知识在日常生活中的应用分析 二项分布是在n 次独立重复试验中引入的一个概念，它是一种常见的、重要的离散型随机变量的概率分布，引入他们实际上是对独立重复试验从概率分布角度的进一步研究。然而我们在利用二项分布原理解决实际问题时只注意到两点，即解释为什么可以看成二项分布模型，其次是考虑到它的计算，却往往忽视对计算结果进行解释，造成初学者无法摆脱知识上的种种困惑。鉴于此，我们选取几个典型案例进行剖析，供参考。 例1. 将一枚均匀硬币随机掷100次，相当于重复做了100次试验，每次有两个可能的结果（出现正面，不出现正面），出现正面的概率为1/2。 分析：如果令X 为硬币正面出现的次数，则X 服从2 1,100==p n 的二项分布，那么100100100100)2 1(C )211()21(C )(k k k k k X =-==-P 。 由此可以得到：“随机掷100次硬币正好出现50次正面”的概率为 080)2 1(C )50(10050100?≈==X P 。 在学习概率时我们会有一种误解，认为既然出现正面的概率为1/2，那么掷100次硬币出现50次正面是必然的，或者这个事件发生的概率应该很大。但计算表明这概率只有8%左右。 它说的是，许多人都投100次均匀硬币，其中大约有8%的人恰投出50次正面。另外有些人投出的正面次数可能是47次、48次、51次、52次等。总起来看，正面出现的次数约占二分之一，这和均匀硬币出现正面的概率是二分之一是一致的。 例2. 设某保险公司有10000人参加人身意外保险。该公司规定:每人每年付公司120元，若逢意外死亡，公司将赔偿10000元。若每人每年死亡率为0.006，试讨论该公司是否会赔本，其利润状况如何。 分析：在这个问题中，公司的收入是完全确定的，10000个投保人每人付给公司120元，公司的年收入为120万元。公司的支出取决于投保人中意外死亡的人数（这里略去有关公司日常性开支的讨论，如公司职工工资，行政开支等等），而这是完全随机的，公司无法在事前知道其确切人数。但公司可以知道死亡人数的分布。设X 表示这10000人中意外死亡的人数，由于每个人的死亡率为0.006，则X 服从n=10000，p=0.006的二项分布: k k k C k X P --==1000010000)006.01(006.0)( 死亡X 人时，公司要赔偿X 万元，此时公司的利润为（120-X ）万元。尽管我们无法
二项分布应用举例
二项分布及其应用 知识归纳 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做，用符号来表 示，其公式为P(B|A)＝ . 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个 数，则P(B|A)＝ . (2)条件概率具有性质： ①； ②如果B和C是两互斥事件，则P(B＋C|A)＝． 2．相互独立事件 (1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝， P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝． (3)若A与B相互独立，则，，也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则． 3．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 (p 为事件A 发生的概率)，若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的 二项分布，简记为 ． 自我检测 1．(2011·辽宁高考，5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶 数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.25 D.12 解析：条件概率P (B |A )＝P AB P A P (A )＝C 23＋1C 25＝410＝25，P (AB )＝1C 25＝110，∴P (B |A )＝11025＝1 4. 2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直 到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( ) A ．C 1012? ????3810? ????582 B ． C 911? ????389? ????58238 C ．C 911? ????589? ????382 D ．C 911? ????389? ?? ??582 解：事件{ξ＝12}表示第12次取到红球，前11次取到9个红球，故P (ξ＝12)＝C 911? ????389·? ?? ??582·38. 3．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军， 乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.12 B.35 C.23 D.34 解析：∵甲、乙两队决赛时每队赢的概率相等，∴每场比赛甲、乙赢的概率均为12. 记甲获冠军为事件A ，则P (A )＝12＋12×12＝34 4．(2010·福建高考，13)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连 续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率
二项分布及其应用 知识归纳 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做 ，用符号 来表 示，其公式为P (B |A )＝ . 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个 数，则P (B |A )＝ . (2)条件概率具有性质： ① ； ②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ＋C |A )＝ ． 2．相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝ ， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝ ． (3)若A 与B 相互独立，则 ， ， 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则 ． 3．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 (p 为事件A 发生的概率)，若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为 ． 自我检测 1．(2011·辽宁高考，5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.25 D.12 解析：条件概率P (B |A )＝ PAB PA P (A )＝C 23＋1 C 25＝410＝25，P (AB )＝1C 25＝110，∴P (B |A )＝1 1025 ＝14 . 2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10 次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( ) A ．C 1012????3810????582 B ． C 911????389????58238 C ．C 911 ????589????382 D ．C 911????389??? ?582 解：事件{ξ＝12}表示第12次取到红球，前11次取到9个红球，故P (ξ＝12)＝C 911????389·????582·38 . 3．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢 两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
高考数学 二项分布及其应用 1.已知盒中装有3着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( ) A.310 B.29 C.78 D.79 解析：设事件A 为“第1次抽到是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝2190＝7 30.在已知第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽 到卡口灯泡的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝7 30310＝7 9 . 答案：D 2．设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为3 10，在事件A 发生的条件下， 事件B 发生的概率为1 2，则事件A 发生的概率为________________． 解析：由题意知，P (AB )＝310，P (B |A )＝1 2， ∴P (A )＝P (AB )P (B |A )＝3 1012＝3 5 . 答案：35 3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________． 解析：设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为： P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9. 根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
答案：0.72 题组二 相互独立事件 4.(2010·抚顺模拟)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为1 3，乙、丙去北京旅游的概率分别 为14，1 5 .假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 ( ) A.5960 B.35 C.12 D.160 解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，1 5.因此，他们不去北京旅游的概 率分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝3 5. 答案：B 5．如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率 都是1 2 ，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为 ( ) A.18 B.14 C.12 D.116 解析：理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则灯亮应为事件ACB － ，且A ，C ，B 之间彼此独立，且P (A )＝P (B )＝P (C ) ＝12，所以P (AB － C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝18 . 答案：A 6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格． (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率． 解：(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则 P (A )＝413428310C C C C +213 646 310C C C C +＝23. P (B )＝213 828310 C C C C +＝14 15. (2)因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
二项分布知识在日常生活中的应用分析 山东黄丽生 二项分布是在n次独立重复试验中引入的一个概念，它是一种常见的、重要的离散型随 机变量的概率分布，引入他们实际上是对独立重复试验从概率分布角度的进一步研究。然而我们在利用二项分布原理解决实际问题时只注意到两点，即解释为什么可以看成二项分布模 型，其次是考虑到它的计算，却往往忽视对计算结果进行解释，造成初学者无法摆脱知识上 的种种困惑。鉴于此，我们选取几个典型案例进行剖析，供参考。 例1.将一枚均匀硬币随机掷100次，相当于重复做了100次试验，每次有两个可能的结果 (出现正面，不出现正面)，出现正面的概率为1/2。 1 分析：如果令X为硬币正面出现的次数，则X服从n 100 p -的二项分布，那么 2 P(X k) C k00(^k(1 1)100k Cw0(l)100。 由此可以得到：“随机掷100次硬币正好出现50次正面”的概率为 1 P(X 50) C；00(3)1000 08。 在学习概率时我们会有一种误解，认为既然出现正面的概率为1/2，那么掷100次硬 币出现50次正面是必然的，或者这个事件发生的概率应该很大。但计算表明这概率只有8% 左右。 它说的是，许多人都投100次均匀硬币，其中大约有8%的人恰投出50次正面。另外 有些人投出的正面次数可能是47次、48次、51次、52次等。总起来看，正面出现的次数 约占二分之一，这和均匀硬币出现正面的概率是二分之一是一致的。 例2.设某保险公司有10000人参加人身意外保险。该公司规定：每人每年付公司120元， 若逢意外死亡，公司将赔偿10000元。若每人每年死亡率为0.006，试讨论该公司是否会赔本，其利润状况如何。 分析：在这个问题中，公司的收入是完全确定的，10000个投保人每人付给公司120元，公司的年收入为120万元。公司的支出取决于投保人中意外死亡的人数(这里略去有关公司日 常性开支的讨论，如公司职工工资，行政开支等等) ，而这是完全随机的，公司无法在事前 知道其确切人数。但公司可以知道死亡人数的分布。设X表示这10000人中意外死亡的人数，由于每个人的死亡率为0.006，贝U X服从n=10000，p=0.006的二项分布：
教学过程 一、复习预习 1、预习条件概率 2、预习事件相互独立的概念 3、预习独立重复试验和二项分布
二、知识讲解 考点1 条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件 概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P(AB) P(A) (P(A)>0)． 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n(AB) n(A) . (2)条件概率具有的性质： ①0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．考点2
相互独立事件 (1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)， P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)． (3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立． 考点3 二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这 种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概 率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率． 三、例题精析 【例题1】 【题干】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任
作业： 一．选择题 1．甲、乙两人独立地解同一问题，甲能解决这个问题的概率是1p ，乙能解决这个问题的概率是2p ，那么其中至少有1人能解决这个问题的概率是 （ D ） A ．21p p +； B ．21p p ?； C ．211p p ?-； D ．121(1)(1)p p ---. 2．在一个盒子中有大小相同的10个球，其中6个红球，4个白球，两人无放回地各取一个球，则在第一个人摸出红球的条件下，第二个人也摸出红球的概率是 （ A ） A ．13； B ．23； C ．49； D ．59 . 【解析】设“第一个人摸出红球”为事件A ，“第二个人摸出红球”为事件B ，则()11692105490 C C P A A ?==，()11652103090C C P AB A ?==，则()()()5|9 P AB P B A P A ==。 3．两个独立事件1A 和2A 发生的概率分别为1p 和2p ，则有且只有一个发生的概率为 .()()122111p p p p -+- 4． (04年重庆) 甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5，计算： ⑴三人各向目标射击一次，求恰有两人命中目标及至少有一人命中目标的概率； ⑵若甲连续射击三次，求他恰好一次命中的概率. 解：⑴设i A (3,2,1=i )表示事件“第i 人命中目标”，显然1A 、2A 、3A 相互独立，且7.0)(1=A P ，6.0)(2=A P ，5.0)(3=A P . 三人中恰有两人命中目标的概率为 44.0)(321321321=??+??+??A A A A A A A A A P . 三人中恰有至少有一人命中目标的概率为 94.0)(1321=??-A A A P . ⑵设k A 表示“甲在第k 次命中目标”，3,2,1=k .显然1A 、2A 、3A 相互独立，且7.0)()()(321===A P A P A P . 甲连续射击三次，恰好一次命中的概率为 203.0)(321321321=??+??+??A A A A A A A A A P .
二项分布专题训练 一。选择题 1.甲、乙两人独立地解同一问题,甲能解决这个问题得概率就是,乙能解决这个问题得概率就是,那么其中至少有1人能解决这个问题得概率就是( D ) A.; Ｂ.; C.;D、. 2.在一个盒子中有大小相同得10个球,其中６个红球,４个白球,两人无放回地各取一个球,则在第一个人摸出红球得条件下,第二个人也摸出红球得概率就是( A) A.; Ｂ.; C.; D。。 【解析】设“第一个人摸出红球”为事件A,“第二个人摸出红球"为事件Ｂ,则,,则。 3.两个独立事件与发生得概率分别为与,则有且只有一个发生得概率为。 4.(０4年重庆) 甲、乙、丙三人每次射击命中目标得概率分别为０、7、0.6与０.5,计算: ⑴三人各向目标射击一次,求恰有两人命中目标及至少有一人命中目标得概率; ⑵若甲连续射击三次,求她恰好一次命中得概率、 解:⑴设()表示事件“第人命中目标”,显然、、相互独立,且,,。 三人中恰有两人命中目标得概率为 。 三人中恰有至少有一人命中目标得概率为 . ⑵设表示“甲在第次命中目标",、显然、、相互独立,且. 甲连续射击三次,恰好一次命中得概率为 . 5、已知在10只晶体管中有２只次品,从中连续抽取两件,且取出得产品不再放回,求下列事件得概率。 ⑴两只都就是正品; ⑵两只都就是次品、 解:设事件()表示第次取到正品,则表示第次取到次品、 依题意,,,,. ⑴表示第１次,第２次都取到正品,即表示两只都就是正品,根据乘法公式 、 ⑵。 另解:本题也可利用古典概型来解决。
点评:本题中由于就是两个都就是正(次)品,由于就是连续抽取且抽后不放回,故与条件概率有关。 ６、(04年福建·理)甲、乙两人参加一次英语口试,已知在备选得10道题中,甲能答对其中得6道,乙能答对其中得８道,规定每次考试都从备选题中随机地抽出3道,至少答对2道才算合格。 ⑴求甲答对试题数得概率分布分布; ⑵求甲、乙两人至少有一人考试合格得概率。 解:⑴依题意,甲答对题数得概率分布如下: ⑵方法1:甲、乙两人至少有一人考试合格得概率为 、 方法2:∵甲、乙两人考试均不合格得概率为, ∴甲、乙两人至少有一人考试合格得概率为、 7。(0７年天津·文科)已知甲盒内有大小相同得3个红球与4个黑球,乙盒内有大小相同得5个红球与４个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球。 (Ⅰ)求取出得4个球均为红球得概率; (Ⅱ)求取出得４个球中恰有1个红球得概率; 解:(Ⅰ)设“从甲盒内取出得2个球均为红球”为事件,“从乙盒内取出得２个球均为红球”为事件.由于事件相互独立,且 ,, 故取出得4个球均为红球得概率就是 。 (Ⅱ)设“从甲盒内取出得2个球中,1个就是红球,1个就是黑球;从乙盒内取出得２个红球为黑球"为事件,“从甲盒内取出得2个球均为黑球;从乙盒内取出得2个球中,1个就是红球,1个就是黑球”为事件、由于事件互斥,且 ,。 故取出得4个红球中恰有4个红球得概率为 。 8.(01年天津)如图,用、、三个不同得元件联结成两个电子系统(Ⅰ)、(Ⅱ)。当元件、、都正常工作时,系统(Ⅰ)正常工作;当元件正常工作且、至少有一个正常工作时,系统(Ⅱ)正常工作。已知元件、、正常工件得概率依次为、、,分别求系统(Ⅰ)、(Ⅱ)正常工作概率、,并说明哪个系统得稳定性好.
§12.5二项分布及其应用 会这样考 1.考查条件概率和两个事件相互独立的概念；2.考查n次独立重复试验及二项分布的概念；3.考查利用二项分布解决一些简单的实际问题． 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫作条件概率，用符号 P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P(AB) P(A) (P(A)>0)． 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n(AB) n(A) . (2)条件概率具有的性质： ①0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 2．相互独立事件 (1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)， P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)． (3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立． 3．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一 次试验只有__两__种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)(p为事件A发生的 概率)，若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．期望：EX=n p 方差：DX=n p（1-p） [难点正本疑点清源] 1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系 (1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系． (2)“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事件 的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． (3)“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件也可以互斥． 2．计算条件概率有两种方法 (1)利用定义P(B|A)＝P(AB) P(A) ；
二项分布及其应用 【知识要点】 一、条件概率及其性质 1、条件概率 一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称) ()()(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。 2、性质 （1）任何事件的条件概率都在0和1之间，即1)(0≤≤A B P . （2）如果B 和C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P ==Y 。 【例题1—1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则=)(A B P （ B ） A 、81 B 、41 C 、52 D 、21 【例题1—2】在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 2 1 。 【例题1—3】某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ A ） A 、0.8 B 、0.75 C 、0.6 D 、0.45 【例题1—4】从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为（ A ） A 、172 B 、152 C 、51 D 、10 3 【例题1—5】把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则=)(A B P （ A ）
A 、21 B 、4 1 C 、61 D 、81 【例题1—6】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则在从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是 9 4 。 二、相互独立事件及n 次独立重复事件 1、相互独立事件同时发生的概率 (1)相互独立事件的定义：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （A ）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。 一般地，事件A 与B 相互独立，那么事件A 与B ,A 与B ，A 与B 也都是相互独立的。 (2) 相互独立事件同时发生的概率： 对于事件A 和事件B ，用A ·B 表示事件A 与B 同时发生的事件。 如果事件A 与B 相互独立，那么事件A ·B 发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P(A ·B) =P(A) ·P(B)。 一般地，如果事件n A A A ,,,21???相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即：)()()()(2121n n A P A P A P A A A P ???=???. 2、独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验的意义：做n 次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验。 (2)一般地，在n 次独立重复实验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概 率为n k p p C k X P k n k k n ,,2,1, 0,)1()(???=-==-。此时称随机变量X 服从二项分布，记作：X ～B(n ，p)，并称p 为成功概率。 【例题2—1】甲，乙两人射击的命中率分别是0.8和0.7，两人同时射击互不影响，结果都命中的概率为( A ) A 、0.56 B 、0.06 C 、0.14 D 、0.24
二项分布及其应用 ◇条件概率◇ 一、条件概率的定义与性质 如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，在知道事件A发生的条件下去研究事件B时，基本事件空间发生了变化，从而B发生的概率也随之改变，这就条件概率要研究的问题。 1.定义：一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率． 2.性质：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即． （2）如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝ 二、典型例题 1、利用定义求条件概率 例1：抛掷两颗均匀的骰子，问 （1）至少有一颗是6点的概率是多少？ （2）在已知两颗骰子点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率是多少？ 例2:抛掷红蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”。 （1）求P(A),P(B),P(AB); (2)在已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率。 2、利用缩小基本事件空间的方法求条件概率 例1：一个口袋内装有4个白球和2个黑球，若不放回地抽取3次，每次抽一个小球，求 （1）第一次摸出一个白球的情况下，第二次与第三次均是白球的概率。 （2）第一次和第二次均是白球的情况下，第三次是白球的概率。
例2：设10件产品中有4件次品，从中任取2件，那么 （1）在所取得产品中发现是一件次品，求另一件也是次品的概率。 （2）若每次取一件，在所得的产品中第一次取出的是次品，那么求第二件也是次品的概率。 3、条件概率的性质及应用 例1：在某次考试中，要从20道中随机地抽出6道题，若考试至少答对其中4道即可通过；若至少答对其中5道就获得优秀，已知某生能答对其中10道题目，且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率。 例2：把一副扑克牌（不含大小王）随机均分给赵、钱、孙、李四家，A={赵家得到6张梅花}，B={孙家得到3张梅花} （1）求P(B|A)(2)求P(AB) 三、课堂练习 1、把一颗骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率是多少？ 2、一个盒子中装有6件合格产品和4件次品，不放回地任取两次，每次取一件。若已知第一件是合格品的情况下，求第二件也是合格品的概率。
一、复习预习 教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容 二、知识讲解 考点/易错点1 条件概率 （1）定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号(/)P B A 来表示，其公式为() (/)() P A B P B A P A = （2） 条件概率具有的性质：（1）非负性：0(/)1P B A ＃；（2）可加性：如果B 和C 是两个互斥事件，则(/)(/)(/)P B C A P B A P C A =+U 考点/易错点2 相互独立事件 （1）定义：对于事件A 和B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A,B 为相互独立事件 （3） 相互独立事件的概率性质：①若A 与B 相互独立，则(/)(),()(/)()()()P B A P B P A B P B A P A P A P B ===g g ②如果事件12,,,n A A A g g g 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =鬃 g g g g g g ③若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立 考点/易错点3 独立重复试验与二项分布 ①独立重复试验：一般的，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验 ②二项分布：一般的，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1)(0,1,2)k k n k n p x k C p p k n -==-=鬃 ， 此时称随机变量X 服从二项
二项分布概念及图表 二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。 目录 1 定义 ?统计学定义 ?医学定义 2 概念 3 性质 4 图形特点 5 应用条件 6 应用实例
）。如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述： 二项分布公式 二项分布公式 P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
二项分布
以用于可靠性试验。可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时，而只允许k个式样失败，应用二项分布可以得到通过试验的概率。 ，
面向上的平均次数为5次(μ= np=)，正面向上的散布程度为√10×（1/2）×（1/2)= 1.58(次)，这是根据理论的计算，而在实际试验中，有的人可得10个正面向上，有人得9个、8个……，人数越多，正面向上的平均数越接近5，分散程度越接近1.58。 图形特点 （1）当（n+1）p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值； （2）当（n+1）p为整数时，二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。 注：[x]为不超过x的最大整数。 应用条件 1．各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。 2．已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为1-π，实际工作中要求π是从大量观察中获得比较稳定的数值。 二项分布公式 3．n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。如要求疾病无传染性、无家族性等。 应用实例 二项分布在心理与教育研究中，主要用于解决含有机遇性质的问题。所谓机遇问题，即指在实验或调查中，实验结果可能是由猜测而造成的。比如，选择题目的回答，划对划错，可能完全由猜测造成。凡此类问题，欲区分由猜测而造成的结果与真实的结果之间的界限，就要应用二项分布来解决。下面给出一个例子。 已知有正误题10题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对几题，才能认为不是出于猜测因素?
二项分布及其应用 教学目标 1、知识目标：了解条件概率和两个事件互相独立的概念，理解次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 2、能力目标：在探究的过程中，培养学生使用概率知识分析和解决实际问题的能力，体会分类讨论，转化等数学思想，增强数学的应用意识，提高学习数学的兴趣。 3、情感目标：通过学生的讨论探究，主动学习，培养他们勇于探索的治学精神。 重点难点 教学重点：理解次独立重复试验及二项分布模型。 教学难点：利用互相独立事件和二项分布模型解决实际问题。 教学过程： 例1.在一个盒中有大小相同的6个红球、4个白球，现在不放回地从盒中摸出两个球，求下面事件的概率： （1）两次摸球中第一次摸到白球的概率； （2）两次摸球中都摸到白球的概率； （3）在“第一次摸到白球”的前提下，求第二次也摸到白球的概率． 引入条件概率的概念： 条件概率：设,为两个事件，且,称为事件发生的条件下，事件发生的条件概率． 问题一：在条件概率中，如果事件是否发生对事件发生的概率没有影响．可以得到什么关系式？ 推导互相独立的概率关系式：
独立概率：设,为两个事件，如果，则称事件与事件互相独立． 例2.甲、乙、丙三人将独立地参加游泳测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5， (1如果乙没能通过测试，求甲能通过测试的概率； （2）则三人都能达标的概率； （3）三人中至少有一人达标的概率． 问题二:根据例2，谈谈互斥事件与相互独立事件有何区别？ 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，计算公式为； 两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响,计算公式为 ． 一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为相互独立事件是以它们能够同时发生（如果其中没有不可能事件）为前提的． 例3：(1姚明在某一赛季罚球命中率为0.8，如果他在某场比赛中得到四个罚球机会，假设每次罚球都互不影响，那么他投中三次的概率是多少？ (2某人射击一次，每次击中目标的概率是0.7，他射击了10次，求恰好击中9次的概率？ （3）某机器生产一种零件，出现次品的概率是0.04，生产这种零件4件，求恰有一个次品的概率？ 请问画线部分有什么共同点？ 归纳出次独立重复试验的特点： 独立重复试验：在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验，若用 表示第次试验结果，则 例3的概率怎么求？这些求法又什么共同点？ 二项分布：在次独立重复试验中，事件在每次试验中发生的概率为，事件发生的次 数为随机变量，那么恰好发生次的概率为，
专题：二项分布及其应用 1． 条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P (AB )P (A ) (P (A )>0)． 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB )n (A ) . (2)条件概率具有的性质： ①0≤P (B |A )≤1； ②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2． 相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B )． (3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立． 3． 二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概 率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n － k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 1. 如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12 ， 且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_______________． 2． 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续 正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________． 3． 某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件 3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．
第4讲二项分布及其应用 A 组 一、选择题 1．某人投篮一次投进的概率为 3 2 ，现在他连续投篮6次，且每次投篮相互之间没有影响，那么他投进的次数ξ服从参数为（6，3 2 ）的二项分布，记为ξ～)32,6(B ，计 算 ==)2(ξP （ ） A. 24320 B. 2438 C. 7294 D. 27 4 【答案】A 【解析】 由题意得，根据二项分布概率的计算可得==)2(ξP 224 62220 ()(1)33243 C -= ，故选A ． 2．已知离散型随机变量X 服从二项分布X ～(,)B n p 且()12,()4E X D X ==，则n 与p 的值分别为 A ．218, 3 B ．118,3 C ．212,3 D ．112,3 【答案】A 【解析】 由二项分布的数学期望和方差公式可得???=-=4 )1(12p np np ,解之得32 ,18==p n ,故应选 A. 3．随机变量ξ服从二项分布(),B n p ξ ，且300,200E D ξξ==，则p 等于（ ） A ． 23 B ．1 3 C ．1 D ．0 【答案】B 【解析】 由题意可得()300 1200 E np D np p ξξ==???=-=??，解得1900,3n p ==，故选B. 4．若随机变量 ，且()3E X =，则()1P X =的值是（ ） A ．4 20.4? B ．5 20.4? C ．4 30.4? D ．4 30.6? 【答案】C 【解析】
由题意().063E X n ==，5n =，1 445(1)0.60.430.4P X C ==??=?．故选C ． 5．随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（ ） A. 3 2 B. 31 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 由,200,300==ξξD E 可知()1300,12003 np np p p =-=∴= 6．已知随机变量X 服从二项分布1(6,)3 X B ，则(2)P X ==（ ） A ． 316 B ．4243 C ．13243 D ．80243 【答案】D 【解析】 由题意得，随机变量X 服从二项分布1(6,)3 X B ，则 22 461180(2)( )(1)3 3243 P X C ==-=，故选D ． 二、填空题 7．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4 5 ,那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是 . （请用分数表示结果） 【答案】608 625 【解析】 由对立事件可知所求概率为0 41 3 014 44444608 1115555625P C C ????????=----= ? ? ? ??? ???? ?? 8．李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表： 请小王同学计算ξ的数学期望，尽管“？”处完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同．据此，小王给出了正确答案E ξ=________． 【答案】2 【解析】 设!,?x y ==，则21x y +=，()42222E x y x y ξ=+=+=． 9．设随机变量2~(10,)5 B ξ,则D ξ= . 【答案】 125