课程教学大纲
(理论课)
课程名称：实变函数
适用专业：数学与应用数学
课程类别：学科知识深化课程
制订时间：2006年8月
数学与计算机科学学院制
《实变函数》课程教学大纲
（2000年制订，2006年修订）
一、课程代码：0501142001
二、课程类别：学科知识深化课程（必修）
三、预修课程：数学分析、解析几何
四、学分：4学分
五、学时：72学时
六、课程概述：
实变函数是高等师范院校数学系的一门重要的必修课。实变函数论的重点是建立Lebesque测度及积分理论，它是数学分析课程中微积分理论的进一步深入，同时实变函数论的内容也为进一步学习数学的其他专门理论如：一般测度理论、函数论、泛函分析、概率论、微分方程等提供必要的测度和积分论基础,本课程着重培养学生的思维能力和逻辑推理能力，为进一步钻研现代数学理论打下基础。
七、教学目的：
使学生系统掌握集合论的初步知识；掌握n维欧几里得空中的点集理论；可测函数的性质；可测函数与连续函数之间的关系；各种收敛之间的关系以及测度与(L)积分的基本理论。使学生进一步加深对数学分析的相关知识的理解与认识。提高学生的数学思维能力，分析问题、论证问题的能力，进一步提高学生的数学修养及其师范生的素质。为有志
于深造的学生提供一个雄厚而坚实的理论基础。
八、学时分配表
九、教学基本内容：
第一章集合 (12学时)
教学要求：
熟练掌握集合的各种运算，正确地运用De.Morgan公式，熟悉上下极限集的并交表达式，掌握单调集列的极限集。掌握一一映射、对等和集合势的概念。深刻理解有限集和无限集的特征。能运用Bernstein定理确定某些集合的势(主要指可列集和连续统的势，Bernstein定理的证明不作要求)。
教学内容：
一、集合概念与运算(1学时)
基本内容：集合、子集及包含关系的概念和性质。
重点内容：集合的包含关系
基本要求：1、能用列举法和分析法表示集合
2、掌握集合的子集或包含关系的性质，以及验证方法。
二、集合的运算(3学时)
基本内容：集合的并、交、差及极限集的概念及其性质。
重点内容：集合的并、交、差的概念与性质。
难点：极限集的概念及性质
基本要求：1、熟练运用集合的并、交、差的概念和性质；
2、掌握集合等式的证明方法；
3、了解极限集的定义，并记住单调集列极限集的结论。
处理意见：1、讲清楚一个元素属于或不属于若干集合的并集或交集或差集的表示方法。
2．掌握由函数所确定的一些集合等式的证明是很有用的可增加这一方面的例子。
三、对等与基数(2学时)
基本内容：集合的对等关系及集合的基数概念，伯恩斯坦定理。
重点：集合对等的判别方法。
难点：基数的概念
基本要求：
1、理解两个集合对等就是在两个集合之间存在一一映射。
2、能对某些集合对之间利用已知的函数，映射知识建立起一一对
应关系，特别是一些数集对，欧氏空间中的点集对建立一一对应关系。
3、能熟练地用两列集合{A n}与{B n}，({A n}、{B n}中集合两两不交)，
A n~
B n(n=1,2,…)则 m
n
n A
1=~ m
n
n
B
1=
及 ∞
=1
n
n
A~ ∞
=1
n
n
B，证明集合之间的对等
关系。
4．在适当的场合利用伯因斯坦定理证明集合间的对等关系。5．准确理解集合的基数概念。
处理意见：1、可举一些数集对等与欧氏空间点集对等的例子。
2、伯恩斯坦定理应分析其使用方法，了解它在证明两
集对等时的好处，可不证明。
四、可数集合(4学时)
基本内容：可数集合的概念、基数a，可数集合的可排性，可数集合的子集，有限个可数集之并，可数个可数集之并等，以及几个
重要的可数集合的例子。
重点：可数集合的可排性，有限个可数集之并，及可列个可数集之并。基本要求：
1、正确理解可数集的概念。
2、牢记有限个可数集之并，可数个可数集之并仍可数的结论。
3、掌握集合的元素由有限个指标确定，每一指标可独立取遍一个可
数集，这样的集合可数的定理。
4、能用可数集的定义、可排性及其他性质验证，集合的可数性。
5、记住有理数集或它的无限子集的可数性质，它在许多集合可数性
的证明中起关键的作用。
处理意见：1、首先分析处理好可数集的定义，可数集就是一个可与自然数集一一对应(对等)的集合。
2、在处理好可数集的定义的基础上，介绍一个证明集合可
数的方便适用的办法——可排性。
3、利用可数集可排，展开可数性集合性质的讨论。
五.不可数集(2学时)
基本内容：不可数集的存在性，基数c，[0，1]，R，R n等基数为c的集合，不存在最大基数。
重点：基数c及基数为c的集合。
难点：不存在最大基数的证明。
基本要求：1、了解数集[0，1]不可数
2、记住[0，1]，R，R n等集合具有基数c，并能利用基数为c
的集合结合对等关系的知识证明其他与之对等的集合仍
具有基数c。
3、知道不存在最大基数的结论。
处理意见：
1、从[0，1]不可数中引出确实存在比可数集的元素要多得多的集合。
2、应得到如下的结论，虽然[0，1]中的元素比任何一个可数集的
元素要多得多，但它不是具有最多元素的集合，即c不是最大
的基数，没有最大的基数。
第二章点集(14学时)
教学要求：
一、熟练掌握距离、收敛、极限、内点、聚点、边界点、孤立点、外点、区间、有界集、导集、闭包、开集、闭集、F型集、G型集、Borel型集等概念。
二、深刻理解并能熟练运用开集和闭集的基本性质，它们是本章的重点内容
三、掌握康托集的构造
四、掌握康托集的性质，了解稠密和疏朗的概念。
教学内容：
一、度量空间，n维欧氏空间(3学时)
基本内容：度量空间的概念；度量空间的例子——n维欧几里得空间R n，n维欧几里得空间中的一些基本概念——邻域，点列的极限，
点集的直径，点集间的距离、有界集、区间。
重点与难点：度量空间的概念、度量空间的例子。
基本要求：1．牢固掌握度量空间，n维欧几里得空间，邻域，点集的直径，点列的极限，点间的距离等基本概念。
2．熟练掌握n维欧几里得空间R n，连续函数空间C[a,b]，l2空间及其距离的引进方式。
二、聚点、内点、界点(3学时)
基本内容：内点、内域、界点、边界、接触点、孤立点、聚点、导集、闭包；聚点、导集、内域、闭包的性质；聚点的存性定理。重点：点集理论中的基本概念；聚点、导集、内域、闭包的基本性质。难点：聚点存在性定理的证明。
处理意见：讲清内点、界点、孤立点、接触点、聚点之间的关系；详细分析聚点存在性定理的证明思路及方法。
基本要求：
1.牢固掌握内点、聚点、界点、内域、导集、闭包这些基本概念。 2．能准确求出所给点集的内域、导集、闭包、边界。
3.熟练掌握聚点、导集、内域、闭包的基本性质及聚点的存在性定理。
三、开集、闭集、完备集(3学时)
基本内容：开集与闭集的概念；开集与闭集的性质；Borel有限覆盖定理。重点：开集与闭集的概念及其性质。
难点：Borel有限覆盖定理的证明。
处理意见： 1．注意总结开集与闭集的证明方法。
2．详细分析Borel有限覆盖定理的证明思路及步骤。
3．注意强调Borel有限覆盖定理中条件的重要性并举例予以说明以加深学生对Borel有限覆盖定理的理解与掌握，
从而达到能熟练而正确地应用Borel有限覆盖定理。
基本要求：1、牢固掌握开、闭集的性质及开、闭集之间的关系。
2、熟练掌握开、闭集的证明方法。
3、掌握Bolzano—Weierstrass定理及Borel有限覆盖定理
及其应用。
四、直线上开集、闭集及完备集的构造(5学时)
基本内容：直线上开集、闭集的结构；完备集的概念；直线上完备集的结构；Cantor完备集及Cantor完备集的性质；稠密集与疏
朗集的概念；n维欧几里得空间R n(n≥2)中开集的结构。重点：直线上开集、闭集及完备集的结构，Cantor完备集，R n(n≥2)中开集的结构。
难点：直线上开集的结构，R n(n≥2)中开集的结构。
基本要求：1、牢记直线上开集、闭集及完备集的结构。
2、掌握Cantor完备集的构造方法及性质。
3、掌握完备集、稠密集与疏朗集的概念。
第三章测度论(12学时)
教学要求：
一、牢固掌握Lebesgue外测度，Lebesgue测度，Lebesgue可测集的概念。
二、熟练掌握Lebesgue测度的性质，和常见的Lebesgue可测集，它们
是本章的重点内容
三、掌握Lebesgue可测集与Borel集的关系
四、了解Lebesgue内、外测度相等与Carath odory条件是等价的，了
解 Lebesgue不可测集的存在性。
教学内容：
一、外测度(2学时)
基本内容：点集的勒贝格外测度的概念，基本性质及区间的外测度为其
体积。
基本要求：1、记住勒贝格外测度的定义。
2、记住勒贝格外测度的三条性质。
3、记住区间I 的外测度为其体积|I|。
处理意见：判别α=m*E 的方法，由定义转化为如下形式：对?ε>0，区间
列{I n }，使 ∞=?1n n I E ∑∞=≤1n n I α，且εα+≤∑∞
=1n n I ，以便深入讨论外测度的性质。
二、可测集(4学时)
基本内容：可测集的并、交、差的可测性；可测集列的并、交的可测性；
单调可测集列的极限集的可测性。
重点：可测集的运算性质。
难点：可测集的定义及两个可测集之并可测的性质。
基本要求：1、了解勒贝格可测集定义，特别是卡拉泰渥独利的定义。
2、记住可测集的并、交、差集仍可测的结论。
3、记住可测集的可列并，可列交仍可测的结论。
4、牢记可测集的有限可加性和可列可加性。
5、记住单调可测集列极限集的测度与集列的测度之间的关
系，特别注意单减可测集列交的测度等于集列测度的极
限，要求集列中至少有一个测度有限。
处理意见：利用勒贝格可测集应具有可加性的要求理解点集的勒贝格可
测的概念，由此引出卡拉泰渥利的可测集定义。
三、可测集类 (4学时)
基本内容：零测度集、开集、闭集、Fσ型集，Gδ型集、Borel集的可测性；勒贝格可测集的结构。
重点：各种特殊可测集
难点：可测集的结构
基本要求：1、记住零测度集(零集)的定义及基本性质，并能利用定义和性质验证零集。
2、记住开集、闭集、Fσ型集，Gδ型集以及Borel集的可测性。
3、了解勒贝格可测集的结构及表示法。
4、知道任一外测度为正的点集均存在不可测子集的结论。第四章可测函数(14学时)
教学要求：
一、牢固掌握Lebesgue可测函数的定义及其等价描述，熟悉可测函数
的性质。这是本章的重点内容
二、正确掌握可测函数列几中不同的收敛概念，搞清它们的相互关系，
这是本章的难点内容
三、掌握运用Lebesgue定理与Riesz定理
四、了解叶果洛夫定理和鲁金定理。
教学内容：
一、可测函数及其性质(5学时)
基本内容：通过集合的可测性定义函数的可测性，以及利用此定义及集合等式建立起函数可测的若干等价条件；可测函数的四则运
算性质；可测函数作为可测函数列的极限等性质。
重点：可测函数的定义及等价条件。
难点：可测函数是简单函数列的极限函数。
基本要求：1、准确理解可测函数的概念。
2、牢记函数可测的几个充要条件，并能熟练地应用这些充要条件。
3、熟记可测函数的运算性质。
4、掌握可测函数与简单函数之间的关系。
处理意见：在本节教学中，特别注意由函数表示的一些集合等式的重要作用，它们在函数可测等价命题的证明，可测函数列极限函
数可测的证明等方面起到了主要作用。
二.叶果洛夫定理(3学时)
基本内容：叶果洛夫定理
重点：叶果洛夫定理
难点：叶果洛夫定理
基本要求：
1、记住叶果洛夫定理成立的条件和结论，特别是集合测度有限的条
件。
2、利用叶果洛夫定理，弄清可测函数列a.e收敛与一致收敛的关系。
三.可测函数的构造(3学时)
基本内容：可测函数与连续函数的关系，鲁金定理的两种表述形式。
重点：鲁金定理
难点：鲁金定理的证明。
基本要求：1、正确理解一般点集上函数连续的概念。
2、清楚地表述鲁金定理的两种形式。
处理意见：分析函数在一般集合上连续的概念，对鲁金定理的理解有很大帮助。一个函数在一个集合上可以处处不连续，但限制在一个子集上却可以处处连续，如狄立克莱函数D(x)。
四.依测度收敛(3学时)
基本内容：函数列依测度收敛的定义；依测度收敛而非a.e收敛的例；
黎斯定理，勒贝格定理。
重点：依测度收敛的概念和黎斯定理。
难点：黎斯定理的证明。
基本要求：
1、理解并记住函数列依测度收敛的定义。
2、记住存在依测度收敛而处处不收敛的例子。
3、准确把握依测度收敛的表述方法，并熟练地运用这些表述方法。
4、牢记黎斯定理的条件和结论。
5、牢记勒贝格定理的条件和结论。
6、弄清a.e收敛与依测度收敛的关系。
处理意见：利用叶果洛夫定理，黎斯定理，勒贝格定理，整理出一致收敛，处处收敛，a.e收敛和依测度收敛之间的关系。
第五章积分论(14学时)
教学要求：
一、熟练掌握Lebesgue积分的定义和基本性质，这是本章的重点内容
二、掌握Lebesgue积分的三个极限定理，注意分析这些定理的条件,并理解证明思路,这是本章的难点内容
教学内容：
一、Riemann积分(2学时)
基本内容：(R)积分的确界式定义，Darboux定理，振幅的概念，函数在一点连续的一个充要条件，函数的不连续点所成之集的结
构，函数(R)可积的充要条件。
重点：函数(R)可积的充要条件
难点：函数(R)可积的第三个充要条件。
基本要求：1、正确理解(R)积分的确界式定义。
2、正确理解(R)积分的Darboux定理。
3、牢固掌握函数(R)可积的第三个充要条件及其应用。
二.Lebesgue积分的定义(4学时)
基本内容：可测集的分划及其性质，大和小和及其性质，Lebesgue上积分与下积分及其性质，Lebesgue积分，有界函数f(x)在E(mE<+∞)
上(L)可积的充要条件，则度有限的集合上有界可积函数的性质，
(R)积分与(L)积分的关系。
重点：(L)积分的概念、有界函数f(x)在E(mE<+∞)上(L)可积的充要条件，则度有限的集合上有界可积函数的性质。
难点：有界函数f(x)在E(mE<+∞)上(L)可积? f(x)在E上可测。
处理意见：定理：有界函数f(x)在E(mE<+∞)上(L)可积? f(x)在E上可测，其必要性的证明较难，要着重分析清楚证明的思路及步骤。
要特别提醒学生在理解(R)积分与(L)积分之间的关系时所应注意的事项。
基本要求：
1、正确理解与掌握测度有限的集合上有界函数的(L)积分的定义。
2、牢固掌握有界函数f(x)在E(mE<+∞)上(L)可积的充要条件及其应
用。
3、熟练掌握测度有限的集合上有界可积函数的性质。
4、掌握(R)积分与(L)积分之间的关系。
三、Lebesgue积分的性质(2学时)
基本内容：测度有限的集合上有界函数的(L)积分的性质。一共两个定理，共给出了(L)积分的七条常用性质。
重点：(L)积分的性质。
难点：(L)积分部分性质的证明。
处理意见：在介绍(L)积分的性质时要注意同(R)积分的类似性质作比较以加深学生的理解与认识。对于(L)积分的性质，只须证明
其中的一部分，另一部分性质的证明可作为课外练习留给学
生。
基本要求：熟练掌握(L)积分的性质。
四、一般可积函数(2学时)
基本内容：本节主要讨论一般可测集上一般函数的(L)积分，其主要内容有：
1.一般可测集上非负函数的(L)积分的定义。
2.一般可测集上一般函数的(L)积分的定义。
3.一般可测集上一般函数的(L)积分的性质。
重点：一般可测集上非负函数与一般函数的(L)积分的定义，一般可测集上一般函数的(L)积分的性质。
难点：一般可测集非负函数与一般函数的(L)积分的概念及部分性质。处理意见：讲授(L)积分的性质时特别注意(L)积分与(R)积分在其性质上的相似处与不同处。
基本要求：
1、掌握一般可测集上非负函数的(L)积分的定义。
2、掌握一般可测集上一般函数的(L)积分的定义。
3、在理解一般可测集上一般函数的(L)积分的定义时必须注意：
1)f(x)在E上可测，f(x)在E上不一定有积分值。
2)f(x)在E上有积分值≠f(x)在E上可积。
3)f(x)在E上可积? f +(x)与f—(x)在E上可积。
4、牢固掌握一般可测集上一般函数的(L)积分的性质。
5、熟练掌握以下性质的应用：
1)若f(x)在E上可积，则mE{x│| f(x)|= +∞}=0
2)(L)积分的绝对连续性。
3) 若f(x)在E 上可积，且?=E dx x f 0)(，则f(x)=0 p ?p 于E 。
五、积分的极限定理(4学时)
基本内容： Lebesgue 控制收敛定理：Levi 定理、Lebesgue 逐项积分定
理， Fatou 引理，积分的可列可加性(完全可加性)。
重点与难点：Lebesgue 控制收敛定理。
处理意见：
1、Lebesgue 控制收敛定理的证明较为艰难，所用的知识也较多，一般情况下学生不易掌握该定理的证明，因此讲授该定理的证明时，应注意分析清楚该定理的证明思路及具体方法。
2、在讲授该节内容时应注意与(R)理论相联系，使之明白(R)积分理论的缺陷与(L)积分理论的优越性。
基本要求：
1、掌握Lebesgue 控制收敛定理，Lebesgue 逐项积分定理，Levi 定理，Fat 引理的证明。
2、熟练掌握Lebesgue 控制收敛定理与有界收敛定理、Levi 定理，Fatou
引理以及积分的完全可加性的应用。
第六章 微分与不定积分(6学时)
教学要求：
一、掌握单调函数性质，了解单调函数可微性的证明。
二、掌握有界变差函数概念和性质，
三、掌握绝对连续函数概念和性质，
教学内容：
一、单调函数的可微性
二、有界变差函数
基本内容：有界变差函数的概念，有界变差函数类，有界变差函数的性质，单调函数几乎处处存在有限导数，Vitali覆盖定理。重点：有界变差函数的概念及其性质，常见的有界变差函数。
难点：单调函数几乎处处存在有限导数的定理，Vitali覆盖定理。
处理意见：关于单调函数几乎处处存在有限导数的定理，这个定理本身是重要的，但它的证明方法不管是本教材用的Vitali覆盖定
理或别的书上用的Riesz引理、Sierpinski引理等，在别的
数学分支中这套方法引用较少，已不如过去那样显出有多大
重要性，而这个定理的证明又比较复杂，所以若课时有限，
可以不必讲授这个定理的证明。Vitali覆盖定理也可以不必
讲授它的证明。
基本要求：1、掌握有界变差函数的概念及其性质。
2、记住一些常见的有界变差函数。
3、掌握单调函数几乎处处存在有限导数这一定理。
三、不定积分
基本内容：绝对连续函数的概念及其性质，Lebesgue不定积分。
重点：绝对连续函数的概念及其性质，Lebesgue不定积分。
难点：1、设f(x)是[a,b]上的绝对连续函数且f'(x)=0 p?p于[a,b]，则f(x)=const。
2、若f(x)在[a,b]上(L)可积，则存在绝对连续函数F(x)，使
得F'(x)=f(x)p?p于[a,b]。
基本要求：1、掌握绝对连续函数的概念及其性质。
2、掌握不定积分与绝对连续函数之间的关系。
十、实验部分：无
十一、教材及主要教学参考书
教材：程其襄、张奠宙等，实变函数与泛函分析基础，北京：高等教育出版社(第二版)，2003 主要教学参考书：
1. 夏道行，严绍宗等，实变函数论与泛函分析（上册），北京：高等教育出版社(第二版)，1985
2. 江泽坚、吴智泉，实变函数论，北京：人民教育出版社，1961.
3. 郑维行、王声望编，实变函数与泛函分析概要（上册），北京：高等教育出版社，1980
4 周民强编，实变函数论，北京：北京大学出版社，2001
执笔人：杜昌友2006年8月
审定人：贺自树2006年8月
院（系）负责人：李世宏2006年8月
中国古今26位著名数学家的故事 1.赵爽，三国时期东吴的数学家。曾注《周髀算经》，《周髀算经注》 中有一篇《勾股圆方图注》全文五百余字，并附有数幅插图（已失传），这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果，最早给出并证明了有关勾股弦三边及其和、差关系的二十多个命题，他的证明主要是依据几何图形面积的换算关系。 2.朱世杰（公元1300年前后）朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299） 和《四元玉鉴》（1303）。 3.祖暅，祖冲之之子，同其父祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问 题，得到正确的体积公式。现行教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世纪可谓祖暅对世界杰出的贡献。 4.祖冲之(429-500)，中国南北朝时代南朝数学家、天文学家、物理学 家。他的最杰出贡献是求得相当精确的圆周率。经过长期的艰苦研究，他计算出圆周率在3．1415926和3.1415927之间，成为世界上最早把圆周率数值推算到七位数字以上的科学家。 5.杨辉，字谦光，钱塘(今杭州)人，中国古代数学家和数学教育家， 生平履历不详。(一)主要著述 《详解九章算法》，《日用算法》，《乘除通变本末》，《田亩比类乘除捷法》，《续古摘奇算法》，其中后三种为杨辉后期所著，一般称之为《杨辉算法》。 6.熊庆来(1893—1969)，字迪之，云南弥勒人，他是中国近代数学研 究和教育的奠基人。 7.许宝騄(19l0.9.10一1970.12.18)是中国数学家，生卒于北京．许宝騄是中国概率统计领域内享有国际声誉的第一位数学家。他的主要工作是在数理统计和概率论两个方面。 8.徐光启（公元1562—1633年）字子先，编写了著名的《农政全书》。《几何原本》是我国最早第一部自拉丁文译来的数学著作还有《数理精蕴》。 9.吴学谋是中国数学家，生于广西柳州。 10.汪莱(1768一1813)，是中国古代数学家，《参两算经》的最早的数学作品。1796一1798年，汪莱先后与自己的同乡好友巴树谷、江玉讨论数学，完成《弧三角形》和《勾股形》两部书稿。1789年，巴树谷将此两书合为一帙刊行，取名《衡斋算学》，这就是汪莱数学著作的最早刊本。
复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新
形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，
也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i2=-1 ，x,y 分别称为 z 的实部和虚部，记作
x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π ，
Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcosθ ，
y=rsinθ,故 z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ。
z=reiθ。
1.定义法求积分：
定义：设函数 w=f(z)定义在区域 D 内，C 为区域 D 内起点为 A 终点
为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为
A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点?k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
?zk 记?zk= zk-
zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度 =
{?Sk}(k=1,2…,n),当
0 时，
不论对 c 的分发即?k 的取法如何，Sn 有唯一的极限，则称该极限值为
函数 f(z)沿曲线 C 的积分为：
=
?zk
设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作)
.当 C 为闭曲线时，f(z)
的积分记作
(C 圆周正方向为逆时针方向)
例题：计算积分
,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲
实变函数与泛函分析概要 第一章集合基本要求： 1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。 2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。 3、会求已知集合的并、交、差、余集。 4、了解对等的概念及性质。 5、掌握可数集合的概念和性质。 6、会判断己知集合是否是可数集。 7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。 8、了解半序集和Zorn引理。 第二章点集基本要求： 1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。 2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。 3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。 4、会求己知集合的开集和导集。 5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。 6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。 7、了解Peano曲线概念。 主要知识点：一、基本结论： 1、聚点性质§2 中T1聚点原则： P0是E的聚点? P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞） 2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3 T2：设A?B，则A ?B ，· Ａ? · Ｂ， － Ａ? － Ｂ。 T3：（A∪B）′=A′∪B′. 3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、 4、5） T1：对任何E?R?，?是开集，E′和― Ｅ都是闭集。（?称为开核，― Ｅ称为闭包的理由也 在于此） T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。 T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。 T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，?是一开集族{Ui}i?I 它覆盖了F（即Fс ∪ ｉ?ＩUi），则?中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们
中国有哪些著名的数学家有 张丘建、朱世杰、贾宪、秦九韶、李冶、刘徽、祖冲之、胡明复、冯祖荀、姜立夫、陈建功、熊庆来、苏步青、江泽涵、许宝騄、华罗庚、陈省身、林家翘、吴文俊、陈景润、丘成桐、冯康、周伟良、萧荫堂、钟开莱、项武忠、项武义、龚升、王湘浩、伍鸿熙、严志达、陆家羲、苏家驹、王菊珍、谷超豪、王元、潘承洞、魏宝社、高扬芝、徐瑞云、王见定、吕晗等等。1.祖冲之 祖冲之（429-500），字文远。出生于建康（今南京），祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县），中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。 祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。直到16世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西才打破了这一纪录。 由他撰写的《大明历》是当时最科学最进步的历法，对后世的天文研究提供了正确的方法。其主要著作有《安边论》《缀术》《述异记》《历议》等。 2.华罗庚 华罗庚（1910.11.12—1985.6.12），出生于江苏常州金坛区，祖籍江苏丹阳。数学家，中国科学院院士，美国国家科学院外籍院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士。中国第一至第六届全国人大常委会委员。 他是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论与多元复变函数论等多方面研究的创始人和开拓者，并被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一。国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华—王方法”等。 向左转|向右转
长春理工大学数学研究生入学加试 《实变函数与泛函分析》考试大纲 一、总体要求 考生应按本大纲的要求，掌握Lebesgue的测度论，实变量的可测函数理论，Lebesgue 积分理论与微分理论，掌握度量空间和赋范线性空间的概念和例子，有界线性算子和连续线性泛函的概念和例子，掌握Hilbert空间的基本性质。较好的掌握测度论与抽象积分理论，并且在一定程度上掌握集合的分析方法。 二、教材 《实变函数与泛函分析基础(第二版）》，程其襄等，高等教育出版社,2003. 三、考试内容 （一）集合 1. 掌握集合的概念，集合的包含和相等的关系和判定方法； 2. 熟练掌握集合的和、交、差、余的运算，掌握上限集、下限集和收敛集的定义 3. 会求集合的和、交、差、余，会求集合族的上限集、下限集，会判定集合列是否收敛； 4. 理解集合基数的概念，对等的概念，掌握Bernstein定理，会用Bernstein定理判定集合对等； 5. 掌握可数集合与具有连续基数的不可数集合的概念、例子和运算性质，能够利用已知的例子和运算性质去确定集合为哪类无限集合； 6. 知道不存在具有最大基数的集合。 （二）点集 1. 理解距离和距离空间的概念，懂得Euclid空间是距离空间； 2. 掌握邻域的概念与性质，掌握点列收敛、点集距离、有界集和区间的概念； 3．深入理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的定义，理解并掌握集合的开核、导集、边界、闭包的概念及相关的性质； 4. 熟练掌握开集、闭集的概念和相关性质，掌握紧集的概念，完备集的概念，掌握有限覆盖定理； 5. 理解直线上开集、闭集的构造定理，掌握Cantor集的性质。 （三）测度论 1.深入理解并熟练掌握外测度，L-可测集的定义和基本性质，并掌握典型的例子 2.理解σ代数的定义，掌握Borel集、G δ 型集、Fσ型集的定义，明确可测集和Borel 集、Gδ型集、Fσ型集之间的关系，掌握L-可测集类； （四）可测函数 1. 理解并掌握可测函数的定义与等价条件，掌握简单函数的概念，几乎处处收敛的概念，理解简单函数与可测函数的关系； 2. 理解Egorov定理，Lusin定理； 3. 理解并掌握依测度收敛的定义，理解Riesz定理，Lebesgue定理，会利用这两个定理去解决实际问题。
第一章习题参考解答 3．等式)()(C B A C B A --=?-成立的的充要条件是什么？ 解： 若)()(C B A C B A --=?-，则 A C B A C B A C ?--=?-?)()(. 即，A C ?. 反过来, 假设A C ?, 因为B C B ?-. 所以, )(C B A B A --?-. 故, C B A ?-)(?)(C B A --. 最后证，C B A C B A ?-?--)()( 事实上，)(C B A x --∈?, 则A x ∈且C B x -?。若C x ∈，则C B A x ?-∈)(；若C x ?，则B x ?，故C B A B A x ?-?-∈)(. 从而,C B A C B A ?-?--)()(. A A C B A C B A C =?-?--=?-?)()(. 即 A C ?. 反过来，若A C ?，则 因为B C B ?-所以)(C B A B A --?- 又因为A C ?，所以)(C B A C --?故 )()(C B A C B A --??- 另一方面，A x C B A x ∈?--∈?)(且C B x -?，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ?因为C B x -?，所以B x ?故B A x -∈. 则 C B A x ?-∈)(. 从而 C B A C B A ?-?--)()( 于是，)()(C B A C B A --=?- 4．对于集合A ，定义A 的特征函数为????∈=A x A x x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是 一集列 ，证明： （i ）)(inf lim )(inf lim x x n n A n n A χχ= （ii ）)(sup lim )(sup lim x x n n A n n A χχ= 证明：（i ）)(inf lim n n m N n n n A A x ≥∈??=∈?，N ∈?0n ，0n m ≥?时，m A x ∈. 所以1)(=x m A χ，所以1)(inf =≥x m A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m n A n m N b A n χχ
《复变函数与积分变换》 教师：××× 院系：××× 复变函数与积分变换是数学专业的一门学科基础课，是数学分析在复数域内的推广，因此它需要扎实的数学分析基础知识做铺垫。通过本门课程的学习，学生不仅能够学到复变函数与积分变换的基本理论和数学物理及工程技术中常勇的数学方法，同时还可以巩固和复习数学分析的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。下面我从以下几个方面谈谈如何讲授复变函数与积分变换这门课程。 一、教材 1、教学用教材： 《复变函数与积分变换》：教育科学“十五”国家规划课题研究成果 主编：苏变萍、陈东立编 高等教育出版社 这本教材从工程实际应用的角度出发，注重基础性、系统性和实用性，较深入地介绍了复变函数的导数，积分，级数，留数及傅立叶变换和Laplace变换等。全书共九章（具体内容在教学设计过程中进行详细介绍），每一章后面都给出了相应的习题，并在书中提供了部分习题参考答案供学生参考、对照。 本书具有体系严谨，逻辑性强，内容组织由浅入深，理论联系实际，讲授方式比较灵活。 2、辅助教材：《复变函数》（第三版），钟玉泉，高教出版社 3、先修后续课： 先修：《数学分析》 二、教学方法与教学设计过程 （一）课程的简要介绍 1、复变函数与积分变换课程是数学专业的一门主要的专业必修课，是数学分析的后续课程。它的理论和方法，对于数学的其他学科，对于物理、力学、工程技术中的一些问题，有许多重要的应用。通过本课程的教学，使得学生掌握复变函数的基本理论和
方法，获得独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力，从而为充实教学、科研及其他实际工作打好基础。 2、学好本门课程需要扎实的数学分析的基础知识，尤其要熟练掌握函数的导数与积分的计算，除了应该具备的数学基础外，还需有融会贯通能力及较强的理解能力。比如理解复变函数的解析性与可导性的区别，解析函数的双边幂级数的展开等。 （说到这里，对于那些数学分析基础好的学生心里暗喜，但是对那些基础较差的同学来说可能是一个打击，这部分同学可能就存在不想学的心理了，所以还得把话拉回来，基础好固然好，但是基础差的同学也不要灰心，咱们在上课的过程中，遇到和以前的学科有关的地方，如果大家忘记了或不懂，会详细讲解。因此，复变函数的学习本身也是对数学分析的复习和巩固。） 3、学习复变函数与积分变换，要熟练掌握复变函数的求导和积分计算的各种方法，能够区分复变函数与实变量的函数在导数和积分运算上的联系与区别。 4、要珍惜每次做练习题的机会。题目不在多、在精，一般把书本上每章后面的习题全部掌握（第一次做不来不要紧，关键是要弄懂），你就算达到基本掌握的程度了。 （二）教学内容的组织 1、复数无序，也即是说，复数无法比较大小。讲好这一点很重要，它能让学生区分实数与复数的本质区别。这是建立复变函数理论的基础。 2、极限是建立复变函数导数与积分的重要工具。因此，要从极限的定义出发讲清楚复变函数的极限与实变量函数极限之间的联系和区别。重点理解复变函数解析的含义，区分复变函数的可导性和解析性，会利用柯西黎曼条件判定函数的解析性。在此可以让学生模仿实变量的导数的定义，类似的给出复变函数的导数的概念，这可以帮助学生加深对导数这一概念的理解；此外，通过对复变函数求导的练习，进一步巩固实变量函数的导数运算。但是特别要注意复变函数在一点处可导和解析的区别。 3、积分在复变函数的研究中极其重要，它的理论简明，证明简练，应用广泛。在此可以引导学生利用已有的实变量下的积分概念，来模仿定义复变函数的积分。重点讲解单连通区域上解析函数的柯西积分定理及复连通区域上的柯西积分
中国量子化学之父 唐敖庆(Tang Aoqing, 1915.11.18—)，1915年11月18日生于江苏省宜兴县。初中毕业后，考取江苏第三师范学校（现无锡师范学校）。1936年，他以优异的成绩考入北京大学化学系。“七七”事变后，随校南迁，1938年临时大学迁到昆明，改名西南联大。他在化学系继续学习，1940年毕业，留校任教并从事科学研究。1946年赴美，在哥伦比亚大学化学研究所做研究生，1949年11月在哥伦比亚大学以优异的成绩获得物理化学博士学位。1950年1月他辞谢了导师和其他老师真挚的挽留，回到刚刚解放的新中国，在北京大学任教。1952年院系调整时，到吉林大学的前身——东北人民大学去艰苦创业，先后担任副校长、校长、理论化学研究所所长、名誉所长。1955年受聘为中国科学院数学物理学化学部学部委员。1981年当选为中国科学院学部主席团成员，同年当选为国际量子分子科学研究院院士。1982年当选为中国化学会第21届理事会理事长，还任第三届中国科协副主席。1986年唐敖庆教授任国家自然科学基金委员会主任名誉主任，国际人才交流协会副会长。历任北京大学教授，吉林大学名誉校长，中国科学院主席团成员，国务院学位委员会委员兼第一届化学学科评议组组长，《高等学校化学学报》主编，国际量子和分子科学研究学会成员。1994年7月当选为中国学位与研究生教育学会会长。１９９７年９月任国家基
础科学人才培养基金管委会主任。是中共第十至十二大代表，第二、三届全国人大代表，第六届全国政协委员，第七届全国政协委员、常委，第八届全国政协常委（教育界）。唐敖庆教授是一位德高望重、诲人不倦、功绩卓越的教育家，在吉林大学化学系培养了一批基础理论扎实、治学作风严谨的主讲教师，现在他们已经大都成为国内教学中的学术领导人。唐敖庆教授还通过指导研究生，办进修班和学术讨论班等形式，培养了更高一级的专业基础理论人才。唐敖庆教授学术造诣精深，远见卓识、抱有为国争光的雄心壮志，数十年如一日，始终及时把握住国际学术前沿的新动向、开拓新课题，不断地取得一系列的卓越成就。５０年代初提出计算复杂分子旋转能量变化规律“势能函数公式”，为从结构上改变物质性能提供了比较可*依据；１９５５年这项研究成果发表后，引起国内外学术界广泛重视，于５０年代后期解决国家建设急需的高分子合成和改性问题，转入高分子反应与结构关系的研究，对高分子缩聚、交联与固化、同聚、共聚及裂解等反应逐一进行深入研究，形成的明显特色高分子反应统计理论体系。６０年代初以化学键理论的重要分支－配位场理论这一科学前沿课题研究，带领其研究集体取得了突破性成果，创造性地发展完善了配位场理论及其研究方法；此项成果被１９６６年北京国际暑期物理讨论会评为十项优秀成果之一，并于。７０年代以来与江元生共同着手分
数学分析与复变函数的比较 姓名:*** 学号:*** 复变函数在数学分析中的教学中具有非常重要的意义,复变函数与数学分析具有很多共同点,但是也有较多的不同,虽有不同,但复变函数中的很多知识点都是数学分析的推广,是数学分析的加深. 数学分析与复变函数的相同点: 1.二者的定义相同，都是由一个对应法则从一个区域到另一个区域映射； 实数域上的函数与复变函数在进行加、减、乘、除及复合时具有相同的 性质；都具的基本初等函数，如指数函数，对数函数，幂函数等； 2.二者都具有极限和连续性，对数学分析中的一些比较重要的定理，如维 尔斯特拉斯定理，区间套定理，有限覆盖定理在复数集也成立； 3.二者都具有积分，并且积分定义形式类似，都可用类似黎曼积分定义的 形式来表述，在此就不详细说明了，实函数与复变函数中积分都有相同 的运算法则； 4.二者都有数项级数和函数项级数，并且结构类似，函数项级数的收敛性 都可用柯西一致收敛原理，魏尔斯特拉斯判别法来判断，函数都可以有 泰勒展式，并且形式一致。 数学分析与复变函数的不同点: 数学分析和复变函数研究的是定义在数域上的函数，数学分析研究实数上的函数，复变函数研究复数领域的函数。由于定义域的不同，而导致了数学分析和复变函数有很多的差异。 1. 极限 复变函数研究定义域上自变量趋近于其一个聚点的极限，数学分析中可研究自变量趋近于某一点的极限，也可研究趋近于无穷大的极限，也可以研究单侧极限，研究范围比复变函数要广。 2. 求导与微分 数学分析中求导与求微分是非常重要的一部分，可以算作是积分学的逆运算，在现实生活中有举足轻重的作用，而复变函数中虽提到导数与微分，但并未展开来讲。数学分析中的微分学提出了微分中值定理，函数的升降、凸性及极值理论，还提出了待定型求极限的方法。
主要内容 本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型. 学习本章时应注意以下几点. 1、本章的基本概念较多，且有些概念（如内点、聚点、边界点等）相互联系，形式上也常有类似之处，因而容易混淆. 学习这些概念时要细心认真，注意准确牢固地掌握每一个概念的实质，学习时可同其类似的概念对照，注意区别概念间的异同点. 尤其要注意的是，本章对有些概念（如聚点），给出了多种等价（充要）条件，这将有利于理解概念的本质，特别是在讨论某些具体问题时，如能恰当地选用某种条件，常常会给问题的解决带来方便. 所以对等价条件必须深刻理解，熟练灵活地运用. 2、在开集、闭集和完备集的性质的讨论中，开集是基础，因为闭集是开集的补集，完备集是一种特殊的闭集，所以弄清了开集的性质，闭集和完备集的性质也就自然得到了. 3、本章中定理亦较多，对定理的学习，要注意弄清下述三点：一是定理的条件和要证的结论；二是定理的证明方法和推理过程；三是定理的意义和作用. 要特别注意论证思路和方法，这样才能逐步提高分问题和解决问题的能力. 同是定理， 然它们的意义和作用也会不尽相同.本章有些定理，如有限覆盖定理（定理），聚点存在定理（定理）以及直线上开集的结构定理（定理）等都是本章中的重要定理，在今后的学习中常有应用. 4、康托集是本章给出的一个重要例子. 对它的一些特殊性质，在直观上是难以想象的，比如它既是不包含任何区间的完备集，同时它还具有连续基数 ，下章中我们还将证明它的测度为零. 正是因为它的这些“奇怪”性质，使得它在许多问题的讨论中起着重要作用. 复习题 一、判断题 1、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ=?P Q =。（× ） 2、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ>。（× ） 3、设123,,n P P P R ∈，则121323(,)(,)(,)P P P P P P ρρρ≥+。 （× ） 4、设点P 为点集E 的内点，则P E ∈。（√ ）
实变函数和泛函分析还是很重要的 实变函数和泛函分析在经济学中的用处非常大。首先，实变函数是研究L 积分理论的，这种L积分使积分理论得以应用的函数范围大大推广了，实际上除了数学家刻意构造出来的奇异函数，一般的函数，特别是我们在分析实际问题时遇到的函数，都是L可积的。因此L积分的理论可以用于我们分析实际问题时遇到的所有函数。 L积分的理论中哪些内容是极其重要的呢？从应用的角度来讲，最有价值的就是测度理论和积分的三个相互等价控制收敛定理。测度论使的概率论变得更加威力强大，可以解决很多以前被认为是古怪的无法分析的问题。也使很多概率理论变得更加严格。比如无限可分事件的概率以及用西格玛域来阐述的条件概率等等。没有测度论就无法分析连续鞅等等。 另外，积分收敛定理解决了积分运算与极限运算互换的问题，使得很多极限问题变得可以计算。所以支持大样本统计理论的概率极限理论就建立起来了。如果搞懂了实变函数，你对统计，计量，金融工程等问题的研究就可以一枪刺到底，从基本概念的学习开始可以一路畅通的达到对前沿理论的深刻理解。没有实变函数的基础，学计量，统计和金融工程就是隔靴挠痒。 再看泛函分析，泛函分析是建立在实变函数的基础上的。为什么这么说呢？其实就分析的问题的思路来讲，泛函和实变还是有很大差别的，但是泛函研究的是函数空间，研究函数空间中的收敛和连续等拓扑概念必须依赖范数的定义，而函数空间的范数的定义依赖于积分理论，所以实变函数就成了泛函的基础。所以一般都是先学实变，再学泛函。当然，也有先学直接学泛函的，这时就只能直接的接受积分定义的范数概念，或者干脆只从抽象范数的角度来研究，不去管范数的具体形式。从理解泛函本身的理论来讲并没有什么不妥，只是在用泛函解决实际问题时就有麻烦，因为研究实际问题就要给出具体的范数定义，没有实变函数的积分理论就不行了。所以，纯粹学习泛函，而不讲究实用，可以直接学泛函，大不了在学习时补充一点范数的具体形式就可以了。泛函分析有什么用呢？无非是泛函可以让我们在更广义的层次上分析最优化问题。泛函分析不仅给出的是最优路径，而不是微积分中的最优点。当然，你也可以说最优路径就是函数空间中的最优点。一般在运筹学中用处很多。那在博弈论中有什么应用呢？我们说，理性经纪人的行为就是给定约束和目标下的最优路径。所以分析经济行为当然离不开泛函分析了。但是想把泛函分析理论用来解决经济学中的优化问题并不容易。即因为首先你要把研究的问题数学模型化，然后在定义一个恰当的函数空间，一般是线性空间，然后在这个空间中定义出恰当的范数。然后把你的优化问题转化
复变函数积分方法总结 [键入文档副标题] acer [选取日期]
复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作 x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ?θ?称为主值 -π＜θ?≤π， Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点ξk并作和式S n=ξ(z k-z k-1)=ξ?z k记?z k= z k- z k-1， 弧段z k-1 z k的长度=,n),当0时，不论对c的分发即ξk的取法如何，S n有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z) 沿曲线C的积分为： =ξ?z k 设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作 (C圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分 ,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，=0.
∵f(z)=1 S n=ξ(z k-z k-1)=b-a ∴ =b-a,即 =b-a. (2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设ξk=z k-1,则 ∑1= （ ）(z k-z k-1) 有可设ξk=z k，则 ∑2= （ ）(z k-z k-1) 因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n= (∑1+∑2)==b2-a2 ∴=b2-a2 1.2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得： = - vdy + i + udy 再设z(t)=x(t)+iy(t) (≤t≤) = 参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+re iθ，(0≤θ≤2π) 例题1：积分路线是原点到3+i的直线段 解：参数方程 z=（3+i）t =′ =(3+i)3 =6+i 例题2：沿曲线y=x2计算（ ）
实变函数与泛函分析课程教学大纲
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：110047 课程名称：实变函数与泛函分析 英文名称：Real variable analysis And Functional analysis 课程类别：专业基础课 学时：50 学分：3 适用对象：信息与计算科学专业本科 考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％ 先修课程：数学分析和高等代数 二、课程简介 中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。 英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning. 三、课程性质与教学目的 本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程要求如下： 1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。
中国现代数学家 1. 华罗庚 自学成材的天才数学家，中国近代数学的开创人！！在众多数学家里华罗庚无疑是 天分最为突岀的一位!! 华罗庚通过自学而成为世界级的数学家，他是解析数论、矩阵几何学、典 型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等广泛数学领域的 中都作岀卓越贡献。在这些数学领域他或是创始人或是开拓者！从某种意义上他也 是位传奇数学家，一生最高文凭是初中，早年在美国取 得巨大成就后，闻知新中国成立后，发出"粱园随好，非久居之处”呼吁在国外的科 学家学成回去报效祖国，跟他同时代在闻讯回国的科学家，许多都 为中国做岀了巨大贡献，其中最著名的有： 导弹之父钱学森：为中国火箭，导弹做岀贡献两弹元勋邓稼先：为中国创立了原子 弹，氢弹等； 回国后华罗庚开创了中国的近代数学，并建立了中科院数学研究所，培养了大批数学家如陈景润，王元等号称华学派，后来致力于应用数学，将数学应用于工业生产，推广"优选法”和"统筹法"! 由于华罗庚的重大贡献，有许多用他的名字命名的定理，如华引理、华不等式、华算子与华方法。 另外华罗庚还被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一。 美国著名数学家贝特曼著文称：“华罗庚是中国的爱因斯坦，足够成为全世界所有著名科学院院士”。 中国最著名的五大数学家。 他的经典名言是：勤能补拙是良训，一分辛苦一分才。 天才在于积累，聪明在于勤奋。 2. 陈省身—微分几何之父 陈省身，汉族，美籍华人，国际数学大师、著名教育家、中国科 学院外籍院士，“走进美妙的数学花园”创始人，20世纪世界级 的几何学家。少年时代即显露数学才华，在其数学生涯中，几经抉择，努力 攀登，终成辉煌。他在整体微分几何上的卓越贡献，影响了整个数学的发 展，被杨振宁誉为继欧几里德、高斯、黎曼、 嘉当之后又一里程碑式的人物。曾先后主持、创办了三大数学研究所，造就 了一批世界知名的数学家。 美国国家科学院院士（1961年）， 第三世界科学院创始成员（1983年）， 英国皇家学会国外会员（1985年）， 意大利国家科学院外籍院士（1988年）， 法国科学院外籍院士（1989年）。 1994年当选为中国科学院首批外籍院士。 他是现代微分几何的开拓者，曾获数学界终身成就奖----沃尔夫奖
复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，
z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点?k并作和式S n=?(z k-z k-1)=??z k记?z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度 ={?S k}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即?k的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为： =??z k 设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，=0. ∵f(z)=1 S n=?(z k-z k-1)=b-a ∴=b-a,即=b-a. (2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设?k=z k-1,则 ∑1= （）(z k-z k-1) 有可设?k=z k，则 ∑2= （）(z k-z k-1) 因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n= (∑1+∑2)==b2-a2 ∴=b2-a2 1.2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：
第一章实数集与函数 §1实数 授课章节：第一章实数集与函数——§1实数 教学目的：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点： (1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； (2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学程序： 引 言 上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始． [问题]为什么从“实数”开始． 答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质． 一、实数及其性质 1、实数 (,q p q p ?≠??????有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q 0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示. {}|R x x =为实数--全体实数的集合． [问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 01(1)9999n n a a --0,a 则记x =表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．
例： 2.001 2.0009999→； 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？ 2、两实数大小的比较 1）定义1给定两个非负实数01.n x a a a =，01.n y b b b =. 其中00,a b 为 非负整数，,k k a b (1,2,k =为整数，09,0 k k a b ≤≤≤≤．若有,0,1,2 k k a b k ==，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,0,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）． 规定：任何非负实数大于任何负实数． 2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）． 定义2（不足近似与过剩近似）：01 .n x a a a =为非负实数，称有理数01.n n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110 n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似，0,1,2,n =. 对于负实数01 .n x a a a =-，其n 位不足近似011.10n n n x a a a =--；n 位过剩近似01.n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012x x x ≤≤≤ ； 过剩近似n x 当n 增大时不增，即有012x x x ≥≥≥． 命题：记01.n x a a a =，01.n y b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）． 命题应用 例1．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<． 3 2.99992.001 2.0099993 2.9999 →-→--→-； ；
复变函数与实变函数微积分理论的比较与 应用 众所周知复变函数论是数学中一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函数，本学期我们数学专业的学生开始学习这门课程。复变函数论历史悠久，内容丰富，理论十分完美。它在数学许多分支、力学以及工程技术科学中有着广泛的应用。 这里先略微简述一下复变函数的历史。复数起源于求代数方程的根。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 下面我将对已学的复变函数微积分的相关知识做以总结和归纳。
⒈复变函数的微积分理论 ㈠复变函数的微分性质 我们知道函数的导数是由极限来定义的，所以我先把复变函数的极限理论做以梳理。 ①复变函数极限的概念： 函数ω=f(z)定义在z0的去心邻域0＜│z-z0│＜ρ内，如果有一确定的数A存在，对于任给的ε＞0，相应的必有一个正数δ(ε)使得当0＜│z-z0│＜δ（0＜δ≤ρ)时，有│f(z) -A│＜ε。即称z→z0是的极限，记为另外复变函数的连续性叙述与实变函数中的叙述是相似的，此处不细表在实变函数时另有说明。②复变函数导数的概念：设函数ω= f(z)在包含z0的邻域D内有定义，如果极限存在，那么f(z)在z0处可导（或可微）。该极限成为f(z)在z0的导数，记做f’(z0)=│z=z。 = ③复变函数的求导法则 1，（C）’=0,C为复常数 2，（Z n）’=nZ n-1,n为正整数 3，[f(z)g(z)]’= 4,[f(z)g(z)]’=g(z)+f(z) 5,= 6,{ f[g(z)]}‘=,其中ω=
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：110047 课程名称：实变函数与泛函分析 英文名称：Real variable analysis And Functional analysis 课程类别：专业基础课 学时：50 学分：3 适用对象：信息与计算科学专业本科 考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％ 先修课程：数学分析和高等代数 二、课程简介 中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。 英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning. 三、课程性质与教学目的 本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程要求如下： 1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。