第二章 导数与微分 教学内容与基本要求
1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用。
3.了解高阶导数的概念，会求简单的n 阶导数。
4.会求分段函数的一阶、二阶导数。
5.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 第一节 导数的概念 ㈠．本课的基本要求
理解导数的定义、几何、物理意义及可导与连续的关系并运用，会用导数描述一些物理量 ㈡．本课的重点、难点
导数的定义为重点，其几何意义为难点 ㈢．教学内容
图1是某城市的一天从早晨7时到下午7时的气温变化曲线，时间单位为小时，其中0=t 表示早晨7时，温度单位是摄氏度（℃）。从这条曲线可以看到，从早晨7时起温度逐渐上升，到下午2时（7=t ）左右达到最高温度，然后开始逐渐下降。问题：任意时刻t 时温度关于时间的变化率。这是客观存在的，例如，我们知道，中午时分太阳直射地面，此时气温上升最快。问此时的温度变化率是多少？
问题的解答──微分学的主要内容
如果温度是直线上升（或下降）的，则问题很容易回答。设时刻t 的温度是T ，时刻t t ≠1的温度是1T ，那么从时刻t 到时刻1t 的（平均）温度变化率是
t
t T
T --11它是这条直线的斜率，见图2.
但图1中的情形不同。一方面，温度变化是一条曲线，显然不能用上式来计算温度的变化率；另一方面，温度的变化率又明显与时刻t 有关。那么，如何处理这一问题呢？一个比较自然的想法是“以直代曲”。
例如考虑5=t （即中午12时）时的温度变化率。设曲线在点)3.25,5(附近的部分是一条直线或者说用直线段去近似这段曲线弧，用这条直线的斜率作为在5=t 时的温度的变化率。当然这只是一个近似值，但直观上可以想象到，随着曲线弧段取得越来越短，近似程度将越来越好，见图3。可是“直”和“曲”是一对矛盾，只要曲线弧长不是零，直线永远不能代替曲线。那么，究竟能不能得到准确值呢？这就是微分学的主要内容。温度在某个时刻的变化率，应该只与该时刻附爱的温度有关，这是一个局部性质的问题，大家可以体会到“微分”即“细细地分”的涵义。
问题的提法是：在点)3.25,5(处寻找一条直线l ，它与曲线有相当好的“接触”，它的斜率正
好等于在5=t 时的温度变化率。实际上，直线l 就是曲线在点)3.25,5(处的切线。
一般说来，给定函数)(x f y =，它的图形是平面上的一条曲线。微分学发展的第一步就是给出平面曲线的切线的精确的数学定义。函数在某点的变化率或者曲线在某点处的切线的斜率称为函数的导数，计算导数的过程称为求导。微分学的主要内容就是给出一系列规则去计算函数的导数（以及相应的微分），并利用导数来研究函数。 思考题：在学完导数后给出图1的解释。
一．导数的引进（分析几个具体实例，引出导数的概念） 1．曲线切线的斜率
微分学发展的第一步是给出平面曲线切线的准确定义。切线问题有许多实际来源。例如作圆周运动的物体在任意时刻的运动方向，就是圆在该点处的切线方向；又例如在设计光学透镜时，必须知道光线射入透镜的角度以便应用反射定律，重要的角是光线之间的夹角，而法线垂直于切线，因此问题也归结为求曲线的法线或者切线。前面关于温度的变化率的问题告诉我们，函数的变化率与曲线的切线是相通的。
以前我们把切线定义为“与曲线只有一个交点的直线”。但是这个定义并不正确。历史上，人类对切线的认识经历了漫长的岁月。在不断修正之后，现在的定义是：切线是割线的极限位置。
定义 设点0P 是曲线L 上的一个定点，点P 是动点，当P 沿曲线L →点0P 时，如割线0PP 的极限位置T P 0存在，则称T P 0为L 在0P 处的切线。 图
如何计算曲线的斜率呢？设曲线的方程为)(x f y =，在),(000y x P 处附近取一点+0(x P
),0y y x ?+?，0PP 的斜率为
x
x f x x f x y ?-?+=
??=
)
()(tan 00? 即函数的增量与自变量的增量的比，也称为差商。
如当P 沿曲线→点0P 时，0PP 的极限位置存在，
即点0P 处的切线存在，此刻Δx →0，α?→，割线斜率，即的斜率α?tan tan 0T P →
x
x f x x f x x ?-?+=
=
→?→?)
()(tan tan 000
lim
lim
?α
2．变速直线运动的（瞬时）速度 再举一个运动学方面的问题，典型的例子是自由落体。设物体以初速度零从高度h 的位置落下。在下落过程中的任意时刻t ，物体都具有向下的速度，这是大家熟知的，而且中学物理告诉我们：gt t v =)(，其中的g 是重力加速度。这个公式是怎么得到的呢？
问题的一般提法是 一质点作变速直线运动，其位移s 与时间t 的函数关系为
],[),(βα∈=t t s s ，求质点在),(0βα∈t 时的瞬时速度。
把复杂问题简单化，这是处理问题的一般手法。首先考虑最简单的情形：如果物体作匀速运
动，则答案很简单：速度＝位移÷时间：α
βαβ--≡)
()()(0s s t v 。
对于变速运动，这个公式显然不能应用。这时，称上式等右边的商为物体在时间],[βα中的平均速度，记为v 。现在，我们来体会处理这种问题的常用手法─“以直代曲”在运动问题中的形式：“以匀速代变速”。质点从t t t ?+00到的时间间隔内平均速度为
t
t s t t s t s ?-?+=
??)
()(00 若质点作匀速运动，v 不变，即等于
t s ??为常量。在变速运动中，当t ?很小时，t
s
??与0t 时刻的速度相近似，且t ?越小，它的近似程度也越好。如当t ?趋近于0时，t
s
??极限存在，
我们把这个极限值叫做物体在时刻0t 时的瞬时速度，即
t
t s t t s v t v t t ?-?+=
=
→?→?)
()()(000
0lim
lim
上述问题归纳起来，步骤有以下4步：
⑴给自变量x 一个增量x ?，计算函数f 在x x ?+0处的值)(0x x f ?+。 ⑵计算函数的增量)()(00x f x x f y -?+=?。
⑶构造函数的增量y ?与自变量的增量x ?的比，即差商x y ??/。 ⑷计算差商的极限
x
y x ??→?lim
。 上面有关物理问题和几何问题，它们的实际意义不同，但从数量关系分析却是相同的（即解决问题的数学方法同）都是研究函数的改变量与自变量的改变量比的极限问题，这一从0≠?x 到0→?x 的过程使数学真正地描述了运动和变化，量虽然最终消失了，但两个变量之间的依赖关系在0→?x 的过程中依然存在。在没有清晰的极限概念之前，这一过程曾被称为“逝去了量的鬼魂”。类似的问题是很多的，它们的共同本质都是求函数在一个点的变化率。我们把它们抽象成导数的定义。在提炼普遍适用的数学概念之前，我们再审视一下其中反映的思想：一方面，事物不是孤立的。因此在研究函数在一个点的动态时，必须同时考虑函数在与该点相联系的周围点的状态。平均变化率，例如割线的斜率、平均速度等就体现了这一思想。但另一方面，它们又不能完全替代该点的状态，极限最终完成了这一过程。从某种意义上说，人类是无法真正感知运动的。任何测量仪器没到的都只能是平均量，甚至我们的眼睛所见到的也不是真正的运动，因为图像在视网膜上要有停留的时间。数学用“静止”刻画“运动”。首先给自变量以增量，最后又让增量趋于零，似乎什么也没有做，但却得到了所需要的东西，这真是奇妙。 二．导数的定义
定义 设0)(x x f y 在=的某邻域内有定义，在0x 处给自变量x 一个改变量x ?（点x x ?+0仍在该邻域内），相应地y 有)()(00x f x x f y -?+=?，如极限
x
x f x x f x
y
x x ?-?+=??→?→?)
()(000
lim
lim
⑴
存在，则称0)(x x f 在处可导，并称这个极限为函数0)(x x f 在处的导数，记为0
x x y ='，也可
记为0
)(),
(0x x x x dx
dy dx
x df x f =='或
即 x
x f x x f x f x ?-?+=
'→?)
()()(000
0lim
顺便指出，当时Newton 称变化率为“流数”，采用的符号是x 和x 等，物理上现在仍在使用，
但不方便。我们现在介绍的在微积分中普遍使用的符号体系是由Leibniz 创立的。
函数)(x f 在点0x 处可导有时也说成)(x f 在点0x 具有导数或导数存在。 导数的定义式⑴也可取不同的形式，常见的有h
x f h x f x f h )
()()(000
0lim
-+=
'→
函数y 在点0x 处的导数也称为函数y 在0x 处对自变量x 的变化率。它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。
如极限不存在，就称0)(x x f y 在=处不可导
如固定0x ，令x x x =?+0，则当0→?x 时，在0x x →，故函数在0x 的导数)(0x f '也可表为0
00)
()()(lim
x x x f x f x f x x --=
'→
上实际问题可表示为：⒈0
)(0t t dt
ds t v ==
，⒉0
tan )(0x x dx
dy x f ==
='α
例 求3x y =在任一点0x 处的导数
解：⒈求3202
0303033)(,x x x x x x x x y y ?+?+?=-?+=??
⒉求
202
033,x x x x x
y x y ?+?+=???? ⒊求极限
2
0200
3)(30lim
x x x x
y x x x ='=??=→?即
如),()(b a x f y 在=内每一点都可导，称),()(b a x f y 在=内可导；如),()(b a x f y 在=内可导，对应于(a,b)中的每一个确定的值x ，有一个确定的)(x f '与之对应，这样就确定了一个新的函数，称为)(x f y =的导函数，记作dx
x df dx dy y x f )
(,),(或
''。在不致发生混淆的情况下，导函数也简称导数。
显然，0)(x x f y 在=处导数)(0x f '就是)(x f '在0x x =处函数值，即)(0x f '=0
)(x x x f ='
三．求导举例（略讲，有些结论请同学们看书） 求导三步骤：⒈求y ?，⒉求
x y
??，⒊求极限x y x ??→?lim 0
例1．y c c y '=为常数），求
(。结论：常数导数为0 例2．2
sin
2sin
2cos cos ,cos 0
00x x x x x x y x y -+-=-'=。求 x x x x cos )(sin ,sin )(cos ='-='
例3．00log )(log ,log x x x y y x y a a a -?+=?'=。求
a
x a x x x
x x x x x
y
a
ln 1
1ln )
1ln(log 0000?→??+=??+=??
x
y e a a x y 1,,,ln 1='==
'特别地 四．单侧导数 定义 分别称极限
x
x f x x f x y
x x ?-?+=??--
→?→?)()(0000lim lim
与
x
x f x x f x y x x ?-?+=??++
→?→?)()(0000lim
lim
为函数0)(x x f 在处的左、右导数，分别以)()(00x f x f '
'+-和表示。左导数和右导数统称为单
侧导数。如果函数)(x f 在开区间),(b a 内可导，且)()(a f b f ''+-和都存在，就说)(x f 在闭区
间].[b a 上可导。
显然，0)(x x f 在处可导?0)(x x f 在处左、右导数存在且相等。这也是判断分段函数在分段点可导性常用的方法。
例4．讨论x x f =)(在0=x 处的可导性。 五．导数的物理、几何意义
物理意义 无统一说法，就事论事，随堂举例说明
几何意义 （根据导数定义及曲线的切线斜率求法）0)(x x f y 在=处的导数的几何意义是
))(,()(00x f x x f y 在点=处切线的斜率，即)(tan 0x f k '==α
由此可知：0)(P x f y 上点=处切线方程为：))((000x x x f y y -'=- 法线（过点0P 且垂直0P 的切线）方程为：)0)()(()
(1
0000≠'-'-
=-x f x x x f y y 例 在曲线3x y =上哪一点的切线平行于直线0112=--x y ，哪一点的法线平行于直线
0112=-+x y ？
由几何意义知，)(0x f '越大，曲线在该点附近越陡，)(0x f '越小，曲线在该点附近越平缓。 六．可导与连续的关系
定理 如0)(x x f y 在=处可导，则0)(x x f 在处连续（证明不讲） 证明：0)(x x f y 在=处可导，即
)(00
lim
x f x
y
x '=??→?，由函数的极限与无穷小的关系得 x x f y x x f x
y
?+'=?→?+'=??))((0()(00ααα时的无穷小），是当其中 0))((0
lim lim =?+'=?→?→?x x f y x x α，故0)(x
x f y 在=处连续。
但其逆不真，即0)(x x f 在，但未必在0x 处可导。以0==x x y 在点为例说明。 例5．函数3x y =在0=x 处连续，但不可导。
例6．试求分段函数b x a x b x a b b
x b x a a b a
x a x x f ==??????
??
?≥+--<≤--<=,10)(在处的可导性。 例7．?????=≠=0
,00
,1sin )(2
x x x
x x f ，计算)0(f '。 小结
作业：P.4,6（做在书上）,7(2)(4)(6)(7),8,12,14(1),15 书上的题目很好，没有一一布置，请同学们自己练习
导数的概念及运算 一、选择题 1.设曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析∵y＝e ax－ln(x＋1)，∴y′＝a e ax－ 1 x＋1 ，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵ 曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D. 答案 D 2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( ) A.2 B.0 C.－2 D.－4 解析∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2， ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 答案 D 3.(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( ) A.(1，3) B.(－1，3) C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3) 解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C. 答案 C 4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e B.－e C.1 e D.－ 1 e 解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1 x ，设切点为(x0，ln x0)，则 y′|x＝x 0＝ 1 x ，切线方程为y－ln x0＝ 1 x (x－x0)，因为切线过点(0，0)，所
以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1 e . 答案 C 5.(2016·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则 g ′(3)＝( ) A.－1 B.0 C.2 D.4 解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－1 3，∴f ′(3)＝－ 1 3 ，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×? ???? －13＝0. 答案 B 二、填空题 6.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数， f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________. 解析 f ′(x )＝a ? ? ???ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ， 又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 3 7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ， f ′(x )＝1 x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 答案 2x ＋y ＋1＝0
导数的概念及运算 一、填空题 1.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________. 解析 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案 e 2.设y ＝x 2e x ，则y ′＝________. 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝()2x ＋x 2 e x . 答案 (2x ＋x 2)e x 3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于________. 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 －1 4.(2015·苏北四市模拟)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 解析 由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2，解得a ＝1. 答案 1 5.(2015·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________. 解析 y ′|x ＝0＝(－2e －2x )|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1，0)，? ?? ?? 23，23，故围 成的三角形的面积为12×1×23＝1 3. 答案 13 6.(2015·长春质量检测)若函数f (x )＝ln x x ，则f ′(2)＝________. 解析 ∵f ′(x )＝1－ln x x 2，∴f ′(2)＝1－ln 2 4.
导数的概念及运算（讲案） 【教学目标】 一、平均变化率与瞬时变化率 【知识点】 1.变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率 一般地，函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121 ()() f x f x x x -- 要点诠释： ① 本质：如果函数的自变量的“增量”为x ?,且21x x x ?=-,相应的函数值的“增量”为y ?,21()()y f x f x ?=-,则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为 2121 ()()f x f x y x x x -?=?-
② 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，即递增或递减幅度的大小。 对于不同的实际问题，平均变化率赋予不同的实际意义。如位移运动中，位移S （m ）从t 1秒到t 2秒的平均变化率即为t 1秒到t 2秒这段时间的平均速度。 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。 3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出21()()y f x f x ?=-和21x x x ?=- ②作商：对所求得的差作商，即 2121 ()() f x f x y x x x -?=?-。 要点诠释： 1. x ?是1x 的一个“增量”，可用1x x +?代替2x ，同样21()()y f x f x ?=-。 2. x 是一个整体符号，而不是与x 相乘。 3. 求函数平均变化率时注意,x y ，两者都可正、可负，但x 的值不能为零，y 的 值可以为零。若函数()y f x =为常函数，则y =0. 4．函数的瞬时变化率： 设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-． 如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． 【例题讲解】
《导数的概念》说课稿 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时． 教学内容分析 1．导数的地位、作用 导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. 2．本课内容剖析 教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数． 基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．
教学目的 1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度； 2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念； 3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤； 4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验； 5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程． 教学重点 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念． 教学难点 使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念． 教学准备 1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法； 2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训； 3．制作《数学实验记录单》及上课课件． 教学流程框图 教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：
第三章导数及其应用 第1讲导数的概念及运算 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．设y＝x2e x，则y′＝ () A．x2e x＋2x B．2x e x C．(2x＋x2)e x D．(x＋x2)e x 解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x. 答案 C 2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于 () A．－e B．－1 C．1 D．e 解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x ， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1. 答案 B 3．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是 () A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0 C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0 解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y ＋1＝0. 答案 C 4．(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为
() A．e B．－e C.1 e D．－ 1 e 解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1 x ，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x ＝x0＝1 x0 ，切线方程为y－ln x0＝1 x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0 ＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e. 答案 C 5．(2017·昆明诊断)设曲线y＝1＋cos x sin x在点? ? ? ? ? π 2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0 平行，则实数a等于 () A．－1 B.1 2 C．－2 D．2 解析∵y′＝－1－cos x sin2x ，∴＝－1. 由条件知1 a ＝－1，∴a＝－1. 答案 A 二、填空题 6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________. 解析因为y′＝2ax－1 x ，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线 平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2. 答案1 2 7.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x) 在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ． ln 2 2 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()s i n f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x = 等于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1 ()2ln f x ax x x =-- （2）2 ()1x e f x ax =+ （3）21 ()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=-
实验探究，让数学概念自然生长 ——《导数的概念》说课 江苏省常州市第五中学张志勇 一. 教学内容与内容解析 1、教学内容：本节课的教学内容选自苏教版普通高中课程标准实验教科书数学选修2－2第一章第一节的《导数的概念》第2课时“瞬时变化率——导数”，导数的概念包括三部分教学内容，即平均变化率、瞬时变化率、导数，其中瞬时变化率包括曲线上一点处的切线和瞬时速度、瞬时加速度，本节课之前学生已完成平均变化率的学习． 2、内容解析：导数是研究现代科学技术必不可少的工具，是进一步学习数学和其他自然科学的基础，在物理学、经济学等领域都有广泛的应用．对于中学阶段而言，导数是研究函数的有力工具，在求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题时有着广泛的应用，同时对研究几何、不等式起着重要作用．从而导数在函数研究中的应用应是整个章节的重点，但不能仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习，导数的概念无疑是教学的起点也是关键，否则学生很难体会导数的思想及其内涵．事实上导数概念的建立基于“无限逼近”的过程，这与初等数学所涉及的思想方法有本质的不同．囿于学生的认知水平和可接受能力，教材中并没有引进极限概念（过多的极限知识可能会冲淡甚至干扰对导数本质的理解），而是从学生的生活经验出发，通过实例引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，直至建立起导数的数学模型． 3、教学设想：导数的本质在于从平均变化率到瞬时变化率的“无限逼近”，而无限逼近有三种方式：数值逼近、几何直观感知、解析式抽象；而达成学生极限思想形成之教学目标，需要以问题为背景，关键是设计活动让学生经历从平均变化率到瞬时变化率的过程．因此教学处理时，试图还 原知识建构的完整过 程，实现导数概念的“再 创造”，其中数学探究 环节采用数学实验的方
第三章 导数及其应用 第一节 导数的概念及运算、定积分 [考纲要求] 1．了解导数概念的实际背景． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数),y ＝x ,y ＝1 x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x 的导数． 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 5．了解复合函数求导法则,能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数． 6．了解定积分的概念,了解微积分基本定理的含义． 突破点一 导数的运算 [基本知识] 1．导数的概念 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0,即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． 2．基本初等函数的导数公式
f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝ln x f ′(x )＝1 x 基本初等函数 导函数 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－ 1 f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0,a ≠1) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝log a x (a >0,a ≠1) f ′(x )＝ 1x ln a 3.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)???? f x g x ′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u ),u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [基本能力] 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′的计算结果相同．( ) (2)求f ′(x 0)时,可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题 1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 答案：－x sin x 2．已知f (x )＝13－8x ＋2x 2,f ′(x 0)＝4,则x 0＝________. 解析：∵f ′(x )＝－8＋4x , ∴f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4,解得x 0＝3. 答案：3 3．已知函数f (x )＝f ′????π4cos x ＋sin x ,则f ????π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′????π4sin x ＋cos x , ∴f ′????π4＝－f ′????π4×22＋22 ,
导数的概念及运算专题训练 基础巩固组 1.已知函数f(x)=+1,则--的值为() A.- B. C. D.0 2.若f(x)=2xf'(1)+x2,则f'(0)等于() A.2 B.0 C.-2 D.-4 3.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则曲线y=f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是() A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0 4.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为() A.1 B. C. D. 5.已知a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为() A.y=3x+1 B.y=-3x C.y=-3x+1 D.y=3x-3 6.设曲线y=sin x上任一点(x,y)处切线的斜率为g(x),则函数y=x2g(x)的部分图象可以为() 7.一质点做直线运动,由始点经过t s后的距离为s=t3-6t2+32t,则速度为0的时刻是() A.4 s末 B.8 s末 C.0 s末与8 s末 D.4 s末与8 s末 8.函数y=f(x)的图象在点M(2,f(2))处的切线方程是y=2x-8,则=. 9.(2018天津,文10)已知函数f(x)=e x ln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为. 10.已知函数f(x)=x++b(x≠0)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+5,则a-b=. 11.函数f(x)=x e x的图象在点(1,f(1))处的切线方程是. 12.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是. 综合提升组 13.已知函数f(x)=x ln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为() A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0 14.下面四个图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(- 1)=() A. B.- C. D.-或 15.直线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.
导数的概念与计算练习 题带答案 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点 P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ．ln 22 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等 于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1） 1 ()2ln f x ax x x =-- （2） 2 ()1x e f x ax = + （3）21()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=-
第1讲 导数的概念及其运算 1.已知函数3 2 ()32f x ax x =++,若f′(-1)=4,则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.133 D.103 【答案】 D 【解析】 f′2 ()36x ax x f =+,′(-1)=3a 10643 a -=,=. 2.设y=-2e x sinx,则y′等于( ) A.-2e x cosx B.-2e x sinx C.2e x sinx D.-2e (x sinx+cosx) 【答案】 D 【解析】 ∵y=-2e x sinx, ∴y′=(-2e )x ′sinx+(-2e )(x sinx)′ =-2e x sinx-2e x cosx =-2e (x sinx+cosx). 3.已知3 270()x m f x mx m <,=+,且f′(1)18≥-,则实数m 等于( ) A.-9 B.-3 C.3 D.9 【答案】 B 【解析】 由于f′2 27()3x mx m =+,故f′27(1)183m m ≥-?+≥ -18 , 由m<0得2 27318318270m m m m +≥-?++≤?2 3(3)m +0≤,故m=-3. 4.设曲线11 x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( ) A.2 B.12 C.12 - D.-2 【答案】 D 【解析】 因为y′22(1) x -= ,-所以切线斜率k=y′|3 x ==1 2-,而此切线与直线ax+y+1=0垂直, 故有()1k a ?-=-,因此12a k ==-. 5.已知12()f x =sin2x+sinx,则f′(x)是( ) A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 【答案】 B 【解析】 f′12()x =cos 22x ?+cosx=cos2x+cosx =2cos 21x -+cosx=2(cos 29148)x +-. 故f′(x)是既有最大值2,又有最小值98-的偶函数,选B 项.
第一节 导数概念 一、选择题 1. 设f (x )在x 0处不连续, 则f (x )在x 0处 ( ) A . 一定可导; B . 必不可导; C . 可能可导; D . 无极限. 2. 设f (x ) = x |x |, 则=')0(f ( ) A . 0; B .1; C . -1; D . 不存在. 3. 已知函数f (x ) =???>≤--0,0 ,1x e x x x ，则f (x )在x = 0处 ( ) A . 间断; B . 导数不存在; C . 导数1)0(-='f ; D . 导数1)0(='f . 4. 设函数f (x )在x 0可导，则=--+→h h x f h x f h ) 2()2(lim 000 ( ) A . )(4 1 0x f '; B . )(2 1 0x f '; C .)(0x f ' ; D . 4)(0x f '. 5. 设函数f (x ) =???? ?? ? >+≤ 4,2 24,sin ππx k x x x 在x =4π处可导，则k = ( ) A . 2 2 ; B . 4 22π-; C . )4 1(22π-; D . 任意实数. 二、填空题 1. 设?? ? ??=≠-=0,00,1)(2 x x x e x f x ，则=')0(f . 2. 过曲线y = ln x 上点(1, 0)处的法线方程是 . 3. 设函数f (x ) = x (x - 1)(x - 2)…(x - n )，则=')0(f . 4. 设f (x )为可导函数，且12) ()(lim 000 =?-?+→?x x f x x f x ，则=')(0x f . 三、解答题 1. 设函数? ??>+≤=1,, 1,)(2x b ax x x x f 在x = 1处连续且可导, 求常数a 与b . 2. 设曲线3x y =上点M 处的切线平行于直线3x - y - 1 = 0, 求点M 的坐标, 并写出曲线在该点的切线与 法线方程. 3. 证明: 双曲线2a xy =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a .
高三数学一轮复习——导数的概念及运算 考试要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x ，y ＝x 的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f (ax ＋b ))的导数；6.会使用导数公式表. 知 识 梳 理 1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ?→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ?→ Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ?→Δy Δx ＝ lim x ?→f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数 如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 称为函数y ＝f (x )在开区间内的导 函数. 3.导数公式表 基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0
第三章导数及其应用 全国卷5年考情图解高考命题规律把握 1.本章内容在高考中一般是“一大一小”． 2.在选择题或填空题中考查导数的几何意义，有时与 函数的性质相结合出现在压轴小题中． 3.解答题一般都是两问的题目，第一问考查求曲线的 切线方程，求函数的单调区间，由函数的极值点或 已知曲线的切线方程求参数，属于基础问题．第二 问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参 数的取值范围，函数的零点等问题.2018年全国卷Ⅱ 和全国卷Ⅲ均以不等式的证明为载体，考查了导数 在函数单调性中的应用，总体难度偏大. 第一节导数的概念及运算、定积分
1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ? 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0) ＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x ) 的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． (2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)?处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．
第二章 导数与微分 教学内容与基本要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用。 3.了解高阶导数的概念，会求简单的n 阶导数。 4.会求分段函数的一阶、二阶导数。 5.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 第一节 导数的概念 ㈠．本课的基本要求 理解导数的定义、几何、物理意义及可导与连续的关系并运用，会用导数描述一些物理量 ㈡．本课的重点、难点 导数的定义为重点，其几何意义为难点 ㈢．教学内容 图1是某城市的一天从早晨7时到下午7时的气温变化曲线，时间单位为小时，其中0=t 表示早晨7时，温度单位是摄氏度（℃）。从这条曲线可以看到，从早晨7时起温度逐渐上升，到下午2时（7=t ）左右达到最高温度，然后开始逐渐下降。问题：任意时刻t 时温度关于时间的变化率。这是客观存在的，例如，我们知道，中午时分太阳直射地面，此时气温上升最快。问此时的温度变化率是多少？ 问题的解答──微分学的主要内容 如果温度是直线上升（或下降）的，则问题很容易回答。设时刻t 的温度是T ，时刻t t ≠1的温度是1T ，那么从时刻t 到时刻1t 的（平均）温度变化率是 t t T T --11它是这条直线的斜率，见图2. 但图1中的情形不同。一方面，温度变化是一条曲线，显然不能用上式来计算温度的变化率；另一方面，温度的变化率又明显与时刻t 有关。那么，如何处理这一问题呢？一个比较自然的想法是“以直代曲”。 例如考虑5=t （即中午12时）时的温度变化率。设曲线在点)3.25,5(附近的部分是一条直线或者说用直线段去近似这段曲线弧，用这条直线的斜率作为在5=t 时的温度的变化率。当然这只是一个近似值，但直观上可以想象到，随着曲线弧段取得越来越短，近似程度将越来越好，见图3。可是“直”和“曲”是一对矛盾，只要曲线弧长不是零，直线永远不能代替曲线。那么，究竟能不能得到准确值呢？这就是微分学的主要内容。温度在某个时刻的变化率，应该只与该时刻附爱的温度有关，这是一个局部性质的问题，大家可以体会到“微分”即“细细地分”的涵义。 问题的提法是：在点)3.25,5(处寻找一条直线l ，它与曲线有相当好的“接触”，它的斜率正
导数的概念、几何意义及其运算 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ： +-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数； ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(;)(''==； e x x x x a a log 1 )(log ;1)(ln ''== 法则1： )()()]()([' ''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u += 法则3： )0)(() ()()()()(])()([2' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾： 1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率 x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/ x f 或0/x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈， 都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/ y ，即)(/ x f ＝/ y ＝ x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数 )(x f y =在0x 处的导数0 /x x y =，就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值，即0 / x x y =＝ )(0/x f 。 2. 由导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量 )()(f x f x x f -?+=?; （2）.求平均变化率 x x f x x f x ?-?+= ??)()(f ; （3）.取极限，得导数/ y ＝x x ??→?f lim 0。 3.导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率。 基础练习： 1.曲线324y x x =-+在点(13)， 处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 2.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1 B ． 1 2 C ．1 2 - D ．1 -
导数的概念与运算知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 1、导数的概念 设函数()x f y =在0x x =附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率） 有极限，即 x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数()x f y = 在0x x =处的导数，记作()0x f '或.0 x x y =' 即 ()()()()().0 00000 0lim lim lim 0x x x f x f x x f x x f x y x f x x x x --=?-?+=??='→→?→? 2、导数的几何意义 函数()x f y =在0x 处的导数()0x f '，表示曲线()x f y =在点()()00,x f x P 处的切线PT 的斜率，即 ()0tan x f '=α，其中α为切线的倾斜角，如图3—1所示，过点P 的切线方程为()(). 000x x x f y y -'=-同样，可以定义曲线()x f y =在0x x =的法线为过点()()00,x f x P 与曲线()x f y =在0x x =的切线垂直的直线.过点P 的法线方程为=-0y y () ()()().01 0≠'-'- x f x x x f 3、导数的物理意义:设0=t 时刻一车从某点出发，在t 时刻车走了一定的距离().t S S =在10~t t 时刻，车 走了()(),01t S t S -这一段时间里车的平均速度为()() ,0 101t t t S t S --当1t 与0t 很接近时，该平均速度近似 于0t 时刻的瞬时速度.若令~1t 0t ，则可以认为 ()()0 101lim 1t t t S t S t t --→，即()0 t S '就是0t 时刻的瞬时速度.
第11节 导数的定义及导数的计算 (14) 一．知识要点： 1.导数的定义：割线1l 的斜率=00()() f x x f x y x x +?-?=??，当x ? 趋于0时得到()f x 在0x 处切线的斜率：0000()()lim lim l x x f x x f x y k x x ?→?→+?-?==??也称()f x 在0x 处的导数。 2.导函数的定义:若()f x 在区间(,)a b 上的每一点x 处都有导数，导数记为 ()f x '，则0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?，称()f x '为()f x 的导函数。 3.导数的几何意义：()f x 在0x 处的导数值等于曲线()f x 在点00(,())P x f x 处切线的斜率。即：0()l k f x '=. 4.常见导数公式：0C '= 1 ()x x α αα-'= (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- ()ln x x a a a '=()x x e e '= 1(log )ln a x x a '= 1 (ln )x x '= 5.导数运算法则： （1）.[]()()()()f x g x f x g x '''±=± （2）[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? （3）2 ()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x ''' ??-=???? 6.复合函数求导：(理) (()),(),()y f g x y f u u g x ===设，则()().y f u u x '''=? 二．考点评析 例1.利用导数定义求函数的导数 （1）2 348y x x =-+ （2）1y x x =+ y x l 1 l f(x 0) f(x 0+x) y x x 0x 0+x O y x L f(x) P(x 0,f(x 0)) o x 0
导数及其应用 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 本章内容在高考中一般是“一大一小”. 2.考查内容 (1)导数的几何意义一般在选择题或填空题中考查，有时与函数的性质相结合出现在压轴小题中. (2)解答题一般都是两问的题目，第一问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点等，属于基础问题．第二问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参数的取值范围，函数的零点等问题. 导数的概念及运算 [考试要求] 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义. 2.能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x ，y ＝x 的导数. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx
＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx . 提醒：函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 2．导数的几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 提醒：(1)瞬时速度是位移函数S (t )对时间的导数． (2)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (3)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，点P 不一定是切点，切线可能有多条． 3．基本初等函数的导数公式 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )](g (x )≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．