第1章 （之1）
第1次作业
教学内容: §1.1 实数集 区间 §1. 2 函数的概念 §1.3 初等函数
1.选择题:
*（1）上是，
在其定义域)()3(cos )(2
∞+-∞=x x f ( ) ）
答（
非周期函数的周期函数； 最小正周期为
的周期函数；
最小正周期为的周期函数； 最小正周期为B D C B A .)(3
2)(3
)(3)(πππ
**（2）
)
()()(x f x x x f ，则，，设∞+-∞= ( )
） 答（
内单调增，内单调减，而在，在内单调减；，内单调增，而在，在单调增；，在单调减；，在B D C B A .
)0()0()()0()0()()()()()(∞+-∞∞+-∞∞+-∞∞+-∞
**（3）的是下列函数中为非偶函数
( )
).
1lg(1)(4343)(arccos )(1
212sin )(2
2
2
2
x x x
x y D x x x x y C x y B x y A x
x
+++=
++++-=
=+-?=；
； ；
答（ B ）
**2.设一球的半径为r ，作外切于球的圆锥，试将圆锥体积V 表示为高h 的函数，并指
出其定义域。
解：如图，
R r AC
AD ABC
AOD =∴??～因，
2
2
)
(r
r h rh R --=
故，
]
)
[( 3 2
2
3
2r r h h r V --=
π体积， )
2(+∞< **3.设对一切不等于0及1-的实数x 恒有 1 2)1()(22 2 ++= +x x x x f x x f ， （1）证明 1 2)1 (2)(2 2 ++= +x x x x f x x f ；（2）)(x f 求. 解：（1）以x 1 代入式 1 2)1 ()(22 2++= +x x x x f x x f 中的x ，可得 , 1 2)()1 (2,)1(1 2)(1 )1 (22 2 2++= +?++=+x x x x f x f x x x x x f x x f （2）在上式与所给之式中: )1 (得消去x f 1 31 242)(32 2 += +--+= x x x x x x x x f 就可以得到 1)(+= x x x f . ***4.设函数 ()?? ??? -≥-<-=1,1 ,1x x x x x x f 和 ()? ?? ??>+≤-=1,1 1, x x x x x x g 求()()()x g x f x F =的表达式，并求 ()0F 及 ()2F . 解： - 12 +-=??? ??-?-=?=x x x x x f x g x F ； 11≤≤-x 时，()()()()2 x x x x g x f x F -=-?=?=； 1>x 时，()()()1 12 +=??? ??+?=?=x x x x x g x f x F ， ()?????>+≤≤---<+-=∴,1,1, 11,,1,12 2 2x x x x x x x F ()00=∴F ，()51222=+=F . ***5.设0≥x 时，()12-+=x x f x . ()1若()x f 是()+∞∞-,上的奇函数，试写出0 --+=-∴ -x x f x ， ()x f 是奇函数，()()x f x f -=-∴， ()1 2 1)(++- =--=∴x x f x f x ()0 ()2 0 ()()12 --+=-∴-x x f x ， ()x f 是偶函数，()()x f x f =-∴， ()1 2 1--= ∴x x f x ()0 **6.()1设函数()x f 在[]l l ,-上有定义，试证明()()() 2 x f x f x -+= ?是[]l l ,-上的偶函 数， 而 ()()() 2 x f x f x --= ψ是[]l l ,-上的奇函数； ()2 试证明在区间[]l l ,-上有定义的函数()x f ，总能分解为一个奇函数与一个偶函数的和； ()3 试将函数()3 1x x f += 表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 解：()1对于 ()()() 2 x f x f x -+= ?， 显然有 ()()() () x x f x f x ??=+-= -2 ，所以()x ?是[]l l ,-上的偶函数。 而对于 ()()() 2 x f x f x --= ψ， 显然有 ()()() () x x f x f x ψψ-=--= -2 ，所以 ()x ψ是[]l l ,-上的奇函数. ()2因为()()() ()() 2 2 x f x f x f x f x f --+ -+= ，而由()1知 ()() 2 )(x f x f x -+= ?和 ()() 2 )(x f x f x --=ψ分别为[]l l ,-上的偶函数和奇函数， 这样就证明了所需证之结论. () 3()()() ()() 2 2 13 x f x f x f x f x f x --+ -+= =+ 2 112 113 3 3 3 x x x x -- ++ -+ += . **7.数的定义域。的反函数，并指出反函 求函数)1(12 -≤-= x x y 解： 得，由 时，当1012 -= +∞<≤-≤x y y x x y =- +2 1 ， )0(1)(2 +∞<≤+-=x x x ?故所求的反函数为 . **8.已知)(x f 是二次多项式，且38)()1(+=-+x x f x f ，0)0(=f ，求)(x f . 解：c bx ax x f ++=2 )(设, 因为，0)0(=f 所以0=c , 而)()1()1()()1(2 2 bx ax x b x a x f x f +-+++=-+ b a ax ++=2 据题意有 382+=++x b a ax , ?? ?-==???=+=,1,4,3,82b a b a a 解得故 x x x f -=∴2 4)(. *9.求常数c b a ,,，使2 2 ) 1(1 )1(3 -+ -+ = -+x c x b x a x x x . 解: 2 2 2 2 2 ) 1()2()() 1()1()1() 1(1 -+--++= -+-+-= -+ -+ x x a x b a c x b a x x cx x bx x a x c x b x a 比较系数可知有 3,12,0==--=+a b a c b a . 解得 4,3,3=-==c b a . **10.根据下列给定的表达式，求 ()()[]{} x f f f x f n =（n 重复合）的表达式： ()()211x x f + = ； ()()() 0122 ≥+=x x x x f . 解：()1 ()21x x f + =， 2=n 时， ()[]2221121211x x x f f ++ =??? ??++ =， 3=n 时， ()[]{}3222212112211211x x x f f f +++=??? ??+++ =， ， ()()[]{}n n n n n x x x f f f x f 22 122 2 12 12 111 1 2 + - =+ + ++ + ==∴ -- . ()2 ()2 1x x x f += ， 2=n 时， ()[]2 2 2221111x x x x x x x f f += ++ += ， 3=n 时， ()[]{}2 31x x x f f f += ， 用数学归纳法可得()2 1nx x x f n += . ***11. ， ．， ； ， ；， 设)21()(21210010)(x f x F x x x x x x f -=??? ??<≤-<≤<≤-= 的图形画出的表达式和定义域； 求)()2()()1(x F x F . 解：? ?? ?? ? ???≤<≤<-≤<-+=．， ； ，；，12102102102121)()1(x x x x x x F ??? ??-121)(，的定义域为x F . (2) ***12.设 ()x x f 17cos 2sin =??? ??，求 ? ?? ? ? 2cos x f . 解：()x x x f x f 17cos 17cos 2sin 2cos -=-=??? ?? -=??? ??ππ. ***13.若()()()x h x g x f ,,都是单调增加函数，且对一切 x 都有 ()()()x h x g x f ≤≤， 试证明 ()[]()[]()[]x h h x g g x f f ≤≤。 证明：()()x g x f ≤ ， ()[]()[]x g g x f g ≤∴， 由于对一切 x 都有 ()()x g x f ≤ 可知： ()[]()[]x f g x f f ≤， ()[]()[]x g g x f f ≤∴ 。 同理，()[]()[]x h h x g g ≤， ()[]()[]()[]x h h x g g x f f ≤≤∴. ***14.)()()()(y f x f y x f y x x f +=+满足关系式： 、对任意实数 设函数 的奇偶性。判定函数； 求)()2()0()1(x f f 解： )0()0()0(0)1(f f f y x +===时，有 取，0)0(=f 故. ， ，，即 ， ，于是，有取)()()(0)()()()()0()2(∞+-∞∈-=-=-+-+=-=x x f x f x f x f x f x f f x y 是奇函数 因此)(x f . 第2章 （之1）第2次作业 教学内容: §2.1 导数概念 **1. 设 x x x f 2)(3 +=，试用导数定义求)(x f '. 解： lim ()() lim ()()???????x x f x x f x x x x x x x x x →→+-=+++--0 3 3 22 =+322 x . **2. 试用导数定义计算下列函数的导数： （1） x x f 1 )(= ， 求)1(f '； （2）()3 8t t g -=，求()2g '； （3）()t t t -=2 3?，求()1-' ?. 解：（1） x f x f f x ?-?+='→?) 1()1(lim )1(0 =+-→lim ???x x x 01 11 =-+=-→lim ??x x 111 . （2） ()()() t t g t t g t g t ?-?+='→?0 lim ()[][]() ( ) t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ??+?+?+-=??+-=?--?+-=→?→?→?3 2 233 3 3 3 3 33lim lim 88lim ( )2 2 33lim t t t t t ?-?--=→?2 3t -=， 即 ()2 3t t g -='， ()122-='∴ g . （3） ()()() t t t t t t ?-?+='→????0 lim () ()[][ ] t t t t t t t t ?--?+-?+=→?2 2 33lim t t t t t t ??-?+?=→?2 36lim ()1 6136lim 0-=-?+=→?t t t t ， ()16-='∴t t ?， ()71-=-' ?. **3. 求曲线2 2x y =在点 ()2,1=P 处的切线方程. 解：曲线在点P 处切线的斜率为 4 12 2lim 2 1 =--→x x x ， 所以切线方程为 ()214+-=x y . **4. 化学反应速率通常是以单位时间内反应物浓度的减少或生成物浓度的增加来表征。 设有一化学反应，反应物浓度C 与反应开始后的时间 t 之间有如下关系：()t f C =. ()1 试表出时刻 0t 到时刻 ()0t t t ≠ 这段时间内的平均反应速率； ()2 表出在时刻 0t 的瞬间化学反应速率。 解：()1 ()()0 0t t t f t f v --= ； ()2 ()()0 000 lim lim t t t f t f v v t t t t --==→→. **5. 已知沿直线运动物体的运动方程为： t s 1 = ，求物体在时刻20=t 的（瞬时）速度。 解： t t t s 11-?+= ?， () ()t t t t t t t t t s ?+- =??+?-= ??1 ， ()2 001 1lim lim t t t t t s v t t -=?+-=??=∴→?→?， ∴ 物体在时刻 20=t 的（瞬时）速度 4 112 0- =- =t v . **6. 在作等速旋转时，角速度是旋转角度与所花时间之比，已知非匀速旋转时，旋转角θ与 时间 t 有如下关系：()t θθ=。试导出非匀速旋转时的（瞬时）角速度)(t ω表达式. 解： ()()t t t θθθ-?+=?， ()() t t t t t ?-?+= ??θθθ ， ()() () t t t t t t t t t θθθθω'=?-?+=??=∴→?→?0 lim lim )(. **7.在时间段t ?流经导线某个截面的电量为q ?,则称t q ??为时间段t ?上的平均电流强度，记为I , 现已知时间段],0[t 内流经导线这个截面的电量为)(t q ,试求在时刻t 导线于该截面上的电流强度)(t I . 解: ()()t q t t q q -?+=?, ()() t t q t t q t q I ?-?+= ??= , ) () ()(lim lim lim 0 t q t t q t t q t q I I t t t '=?-?+=??==→?→?→?. 第2章 （之2）第3次作业 教学内容：§2.1.1数列极限的定义 1．选择题： ***（1）若, lim a a n n =∞→则0>?ε，在a 的ε邻域之外，数列}{n a 中的点 ( ) （A ）必不存在； （B ）至多只有有限多个； （C ）必定有无穷多个； （D ）可以有有限个，也可以有无穷多个. 解答：（B ）. *（2）设1 )1(+-=n n a ，数列}{n a 的前n 项值之和记为n S ，则=+++∞→)(1lim 21n n S S S n （ ） （A ） 0； （B ）1； （C ）1/2； （D ）1/3. 解答：（C ）. 提示: , ,,0,1,,0,1232121221k S S S S S S S S k k k =++++====- 112321+=+++++k S S S S k ． *（3）下面哪个数列是有界数列 （ ） （A ）{}n ;(B) {sin }2n n π; (C) 23{}3n n -+; (D) {2}n . 解答：（C ）. ***2．用极限定义证明： lim 1 2 n n n →∞ =+。 证明：0>?ε，要使ε <-+12 n n ，只要ε<+22 n ，即2 2 -> ε n 。 所以，0>?ε，取 2 2 ]2 [-> =ε εN ，当N n >时有ε <-+12 n n ，因此 lim 1 2 n n n →∞ =+。 ***3．用极限定义证明：lim 0 n →∞ - =。 证明：0>?ε，要使ε <-+n n 1，由于n n n n n 21111< + += -+只要 ε 2 41 ε>n 。 所以，0>?ε，取]41 [2 ε=N ，当N n >时有 ε <-+n n 1， 因此 lim 0 n →∞ - =。 ***4．若a a n n =∞ →lim ，试证明lim |||| n n a a →∞=，反之如何？ 证明： a a n n =∞ →lim ，则+ ∈?>?N N ，0ε，当N n >，有：ε <-a a n ， 而 ε <-≤-||||||a a a a n n ， a a n n =∴ ∞ →lim 。 若0≠a ，不能由 a a a n n n =?=∞→∞→lim a lim n ， 反例为 n n a ) 1(-=，1 a lim n =∞ →n 但n n a ∞→lim 不存在． 若0=a ，则0lim 0lim =?=∞→∞→n n n n a a 这由极限定义可得. 第2章 （之3） 第4次作业 教学内容:§2.2.1 函数极限的定义 **1. 试证： cos cos lim 0 x x x x =→. 证明：0>?ε，取x ?=,εδ满足条件ε <-<00x x ，有 ε <-≤-≤-+=-00 02 sin 22 sin 2 sin 2cos cos x x x x x x x x x x ， cos cos lim 0 x x x x =∴ →. **2. 试证：(1) 2 1 31lim 3 =-+-→x x x ； (2) 2 lim 4 =→x x . 证明：(1) 0>?ε，限定 1|3|<+x ，则有 24-<<-x ，315-<-<-x , 3 31 32131+< -+= --+x x x x x , 所以只要取)1,3min(εδ=,当δ <+<30x 时,就有ε <+<-+= --+3 31 321 31x x x x x . 从而也就证明了2 1 31lim 3 =-+-→x x x . (2)0>?ε，限定 4|4|<-x ，则有 80< < x ，若使 ε <-<+-= -42 12 |4|2x x x x ， 取{}4,2min εδ=. 于是0>?ε，当 δ <-<40x 时，有 ε<-|2|x . 2 lim 4 =∴ →x x . **3 写出 A x f x =-∞ →)(lim 的定义，并用定义证明 2 lim =-∞ →x x 。 解：（１） ε ε<-? -<>?>?A x f X x X )(, ,0,0， 则 A x f x =-∞ →)(lim 。 （２）0>?ε，若限制 1<ε，则可令)0(log 2>-=εX 。当 X x -< 时，必有 ε =<=--X x x 2 202， 即0 2 lim =-∞ →x x . **4. 讨论函数 ()???? ?<+>+=0 ,10, 2 2 x x x x x x f 在点 0=x 处的左、右极限. 解： ()( )0 lim lim 2 =+=++→→x x x f x x ， ()( )1 1lim lim 2 =+=--→→x x f x x . **5. 讨论下列函数在所示点处的左右极限： ()1 ()[]x x x f -= 在 x 取整数值的点； ()2 符号函数 x sgn 在点 0=x 处. 解：()10x 为整数， ()[]() x x x f x x x x -=+ →+ →00lim lim []x x x x x x + →+ →-=00lim lim 00x x -=0 =， ()[]() x x x f x x x x -=- →- →00lim lim [] x x x x x x - →- →-=00lim lim ()100--=x x 1 =。 ()2 1 1lim sgn lim 00==+→+ →x x x ， ()1 1lim sgn lim 00-=-=- →- →x x x . **6. 从极限的定义出发，证明： ) 0(ln ln lim 000 >=→x x x x x . 证明：只需证明 ε δδε<-?<-<>?>?00ln ln 0,0,0x x x x 即可。 要使 ε <=-0 0ln ln ln x x x x 成立， 即ε ε<<-0 ln x x ， ε ε e x x e <<-0 ， ) 1()1(000-<-<-ε εe x x x e x ， 则,0>?ε取 {}0,min 000 >--=-x e x x e x e e εεδ， 当 δ <-<00x x 时，有 ε <-0ln ln x x 成立， 即：) 0(ln ln lim 000 >=→x x x x x . ***7. 设 A x f x x =→)(lim 0 ， 若存在 x 的某个去心邻域 ),(?0 δx N ，使当 ),(?0 δx N x ∈时，成 立0)(>x f ，试问是否必有0>A 成立，为什么？ 解：不一定。 如 2 )(x x f =在0=x 点. 第2章 （之4）第5次作业 教学内容: §2.2.2极限的性质 §2.2.3无穷小与无穷大 1.填充题： *（1） 用M-X 语言写出极限+∞ =-∞ →)(lim x f x 的定义为： 。M x f X x X M >?-?>?)(,0,0 用M-δ语言写出极限-∞ =+→)(lim 0 0x f x x 的定义为： 。 M x f x x x M -?>?)(),(,0,000δδ 用ε-X 语言写出极限A x f x =+∞→)(lim 的定义为： 。ε ε<-?>?>?>?A x f X x X )(,0,0 **（2）设 2 2 )1(1 )(+-= x x x f ，则当 →x __ 时)(x f 为无穷小； 当→x ___ 时, )(x f 为无穷大。 答案: .1,1-. 2. 选择题： **（1）设 x x x f 1 cos 1)(= ，则0→x 时，)(x f （ ） （A ）是无界量，也是无穷大量； （B ）是无界量，不是无穷大量； （C ）不是无界量，是无穷大量； （D ）不是无界量，也不是无穷大量. 答（B ） ***（2） ) (1 1)(111 2 的极限时，当---= →x e x x x f x . )( ; )(; 0)( ; 2)(不存在但不是无穷大 为等于 等于D C B A ∞ 答：（D ） **（3） ) (1arctan tan lim 0 =?→x x x . 2)(;2) (;)(;0)(π π - D C B A 不存在 答：A ***3. ． 用无穷大定义证明： +∞=-+→1 1lim 1x x 解： M x M >->1 10，令 任给, 解得：0112 <-< x M M x M x M >-<-<= 1 1,1 1012 2 恒有： 时，则当 取δ， 因此：lim x x →++=+∞ 10 11 . ***4、 ， 是无穷大，且 时，当A x g x f x x x x =→→)(lim )(0 0从定义出发证明: 也为无穷大．时，当)()(0x g x f x x +→ 证明：因为 ，A x g x x =→)(lim 0 所以由局部有界性定理可知 1 1011)(,0,0,0M x g x x M <<-<>?>?有时当δδ . 又因为， ∞=→)(lim 0 x f x x 所以 1 202)(, 0,0, 0M M x f x x M +><-<>?>?有时当δδ. 取),min(21δδδ=,当δ <-<00x x 时,有 M M M M x g x f x g x f =-+>-≥+11)()()()()(, 所以 是无穷大 时，)()(0x g x f x x +→. 第2章 （之5）第6次作业 教学内容：§2.2.4极限的运算法则 A-D 1． 选择题 *（1） 下列叙述不正确的是 （ ） ) (B D C B A 答 的乘积是无穷大量。．无穷大量与无穷大量乘积是无穷小量；．无穷小量与有界量的穷大量；．无穷小量的倒数是无穷小量；．无穷大量的倒数是无 **（2） 下列叙述不正确的是 （ ） ） 答（ 的积是无穷大量。．无穷大量与无穷大量积是无穷大量；．无穷大量与有界量的积是无穷小量；．无穷小量与有界量的的商为无穷小量；．无穷小量与无穷大量C D C B A **（3） ) ( )(lim )(0 0＂的：是无穷小＂是＂ 时，＂当A x f A x f x x x x =-→→ 要条件 既非充分条件，亦非必 充分必要条件必要但非充分条件充分但非必要条件)()()()(D C B A 答：C **（4），则 且 当 当设3)(lim 001 1)(0 =??? ??=≠-+=→x f x a x x bx x f x ( ) 可取任意实数。 ，可取任意实数； ，；，；，a b D a b C a b B a b A 6)(3)(36)(33)(====== 答：D 2．填空题： *（1） = + ++ ∞ →)2 1 ( lim 2 2 2 n n n n n . 解答： 1/2 . *（2）= --+∞ →1)3(lim n n n n . 解答： 3/2 . *（3）设 2 235 lim 2 =-++∞ →n bn an n ，则a ，b . 解答：0=a ，6=b . **(4) = ∞→n n a 1 lim . )0(>a 解答：1 . 3．计算下列极限： *（1）) 2222(lim 2 8 4 n n ? ? ∞→； 解： )2222(lim 284n n ??∞ →∑=??==∞ →∞ →n k k n n n 1 21 21 81 41 21 2lim )2222(lim 2 2 lim 2 11==- ∞ →n n . **（2） ) 3 1 1()3 11)(3 11)(3 11(lim 2 4 2 n n + + ++ ∞ → . 解： ) 3 1 1()3 11)(3 11)(3 11(lim 2 4 2 n n + + + + ∞ → 3 11) 3 1 1()3 11)(3 11)(3 11)(3 11(lim 2 4 2 - + ++ - + =∞ →n n 2 33 11) 31( 1lim 2 2 = - -=∞ →n n . 4． 求下列极限： * () 131 3lim 11 -+→x x x ； * () 39 lim 22 3 --→x x x ； ** () ()1 21cos 12lim 32 1--→ x x x ； **（4）352 lim 4-+-→x x x ； **() 51 111lim 2 -++- +→x x x x ； ***() 6． 2 2 2 222) 1()1() 2()2(lim -++--+∞ →n n n n x x x x x 是正整数）（n 解：()1()() 2 2 413lim 13lim 1 313lim 1 1 1 == -+= -+→→→x x x x x x x . ()2 ()6 3lim 3 9lim 3 2 3 =+=--→→x x x x x . ()3 ()0 12lim 2 1=-→ x x ， 121 cos -x 有界， ()0 1 21cos 12lim 2 1=--∴→ x x x . ()4 ( )( ) )2)( 2(3 5) 2(lim 9 53 5) 2(lim 3 52lim 4 4 4 +-++-=-+++-=-+-→→→x x x x x x x x x x x x 234 62 35lim 4 = = +++=→x x x . ()5 ) 1 11 11 111( lim 2 -+-+- -+-+=→x x x x x 原式 11) 11(lim 12 ++++-=→x x x x 1=. () 6原式=+→∞ lim ()x n n x x 82122 =+ →∞ 41112lim x n x =4. **5. ， ，的某去心邻域内 ，且在若A x g x f x g x x g x x x x =≠=→→) ()(lim 0)(0)(lim 0 ，为什么？ 必等于则0)(lim 0 x f x x → 解：)(lim 0 x f x x →) () ()(lim 0 x g x g x f x x ??=→=?=A 00. **6. 之值 ，，试确定设b a x b x ax x x 31lim 22 31 =-+++→. 解：3 1 lim 22 3 1 =-+++→x b x ax x x 因, 0 22 1 )1(lim 2 2 3 1 =++= -+++? -→b a x b x ax x x x 故 。 2--=a b 即 ， )1 11 1( lim 1 lim 2 2 31 2 2 3 1 --+ +--=-+++→→x x a x x x b x ax x x x 则=++ =+=32 12 23 a a ∴==-a b 13，. ***7. ．处可导，求极限 在设 0 000) ()(lim )(0 x x x f x x xf x x x f x x --=→ 解： ??? ???--+--→0 000)()()()(lim 0 x x x f x x xf x x x xf x xf x x 原式＝ ) (lim ) ()(lim 0 0x f x x x f x f x x x x x →→+---= ) ()(000x f x x f '-=. ***8．利用夹逼定理计算 ) 0,0(, )(lim 1 >>+∞ →b a b a n n n n . 解：记},max{b a A =，n n n n b a x 1 )(+=则 A A x A n n n n 1 12) 2(=≤≤ ， 用夹逼定理，并注意到1 2lim 1 =∞ →n n 知： A x n n =∞→lim , 即 n n n n b a 1 )(lim +∞ →},max{b a A ==. 第2章 （之6）第7次作业 教学内容：§2.2.4极限的运算法则E §2.2.5无穷小的比较 **1．试求下列极限： （1）x x x 1 0211lim ??? ??+→； （2）11 1)313(lim -→++x x x x ； （3）x x x sin 2 0)31(lim +→; （4）n n n x 2 sin 2lim ∞ →（x 为不等于零的常数）. 解：（1） x x x 1 0211lim ??? ??+→=222101])21[(lim 1e x x x =+→ （2） 2 1 321 32)1(2311 1 1 e lim 3221lim )313( lim ==?? ? ?? +-+=+++→+? -+→-→x x x x x x x x e x x x x . （3）x x x sin 2 )31(lim +→6 e =. (4) 原式= x x n n n =? ∞ →2 2lim . **2．试求()x x f cos =的导数。 解：()()x x x x x f x ?-?+='→?cos cos lim 0x x x x x ????? ? ? ?+-=→?2sin 2sin 2lim 0 2 2 sin 2sin lim 0x x x x x ????? ? ?? ?+-=→? 2 2 sin lim 2sin lim 0 0x x x x x x ?????? ?? ???? ?? ?+-=→?→?x sin -=， ()()x x x f sin cos -=' ='∴. **3。 的存在性 研究极限)0(cos 22lim >-→a x ax x . 解： x ax x 2 sin 2lim →=原式 a x ax x ax x x ==+ + →→2sin 2lim 2sin 2lim a x ax x ax x x -=-=- - →→2sin 2lim 2 sin 2lim ，所以原极限不存在 由于左、右极限不相等. 4．选择题 **（1） 时（ ） ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα . )()()(; )()()(; )()()(; )()()(高阶的无穷小 是比高阶的无穷小 是比是等价无穷小与等价无穷小是同阶无穷小，但不是 与x x D x x C x x B x x A αββαβαβα 答：A **(2) 在点 ，则曲线为可导函数且满足设 )(12) ()(lim )(0 x f y x x a f a f x f x =-=--→ 处的切线斜率为 ， 2)(1)(1)(2)() ( ))((--D C B A a f a 分析： 1 )(2 1) ()(lim 2 12) ()(lim -='= ---=--→→a f x a f x a f x x a f a f x x ， 2)(-='∴a f . )(D 答 **(3)设 x x x f sin )2()(+=，则)(x f 在0=x 处 ( ) （A ）2)0(='f （B ）0)0(='f （C ）1)0(='f （D ）不可导 ???? ??=+=-→→2)2(sin lim ) 0()(lim 00x x x x f x f x x ) (A 答 ***5．适当选取A 、k 的值，使下式成立：k Ax x x ~sin 1tan 1+-+（当0→x ）. 解： x x x x x x x x x x x sin 1tan 1) cos cos 1(sin sin 1tan 1sin tan sin 1tan 1+++-=+++-=+-+ x x x x x cos )sin 1tan 1(2 sin 2sin 2 ?++ +?= ， 0→x 时，x x ~sin ， ∴ 上式等价于 411)2(23 2 x x x =+??， 3 ,41 ==∴ k A . 6．当 0→x 时，试确定下列各无穷小对x 的阶数. *（1）2 310000x x +； **（2）3 1) 1(x x x + +. 解：（1） 10000 10000lim 2 2 30 =+→x x x x ， ∴ 阶数为2。 （2）1 11lim )1()1(lim 3 3 =+ +=?+ +→→x x x x x x x x ， ∴ 阶数为1. **7. ) 0.()(0001cos )()(→????? =≠=x x x x x x x x f 的高阶无穷小为其中， ， ， ， 设αα， 试证明函数)(x f 在0=x 点处可导. 证明：由于0→x 时， x x )(α是无穷小量， x 1 cos 是有界量，所以 lim ()()lim () cos x x f x f x x x x →→-=0 01α=0， 处可导在0)(=∴x x f . ***8. 之值 ，，试确定 设b a a x b x a x x )0(2 1) cos (lim 2 2 2 >=-+→. 解： 因lim (cos ) x x a x b x →+-=0 2 2 2 1 2 ， 则 lim (cos ) x a x b x x →+-=0 2 2 2 2 ， 特别提示：请诚信应考,考试违纪或作弊将带来严重后果！ 《高等数学》期末试卷A （工本） 注意事项：1. 考前请将密封线内的各项内容填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共9道大题，满分100分， 考试时间120分钟。 一 , 填空题 (每题3分,共15题,计45分) 1 函数y x z -= 的定义域为 . 2 =+-→xy xy y x 93lim )0,0(),( . 3 方程033=-xyz z 确定了一个二元函数),(y x z z =，求 =dz . 4 )(x y f z =具有二阶导数，求 =???y x z 2 . 5 曲面32=+-xy e z z 在点)0,2,1(P 处的切平面方程为 . 6 函数x z z y y x u 2 22++=在点)1,1,1(M 处沿方向)1,2,1(-=l 的方向导数是 . 7 求以向量)1,2,2(),1,4,8(-==b a 为邻边的三角形的面积是 8 直线0 2121: +=-=z y x l 与平面32:=++z y x π的夹角为 9 把直角坐标系下的二重积分转换成极坐标系下的二重积分 =+? ? -dx y x f dy a y ay 20 20 222)( 10 设Ω为曲面)(2542 2 2 y x z +=与曲面5=z 所围成的空间有界闭区域,则用柱面坐标表示三重积分=+=???Ω dv y x f I )(2 2 11 =-+-?dy x x dx y xy L )4()22(2 其中L 为922=+y x 的边界曲线,按逆时针方向绕行. 12 ∑是由3,1,12 2===+z z y x 所围成的空间有界闭区域的边界曲面,指向外侧.则??∑ =-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x )()()( 13 常数项级数 ∑ ∞ =+12 3 ) 1(sin n n n α(绝对还是条件) 收敛. 14 判断常数项级数∑∞ =+113n n n e 的敛散性 . 15 设)(x f 是周期为π2的函数,且它在(]ππ,-上的表达式是 ππ≤<≤<-? ??=x x x x f 00,0)(则由收敛定理,)(x f 的傅立叶级数在π3=x 处收敛 于 . 二 利用朗格朗日乘数法求旋转抛物面22y x z +=与平面22=-+z y x 之间的最 x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2 《高等数学》2 期末复习题 一、填空题： 1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦ X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y , 则 ?z = ?y (1+ x ) y ln(1+ x ) . 3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1 dx + 2 dy (1,2) 3 3 4．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) = . 设 f (x + y , y ) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = . x 5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ?z = ?y e xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )] 6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2， 2 + ）的方向 导数是 1+ 2 2 2 y 1 7. 改换积分次序 ?0 dy ? y 2 f (x , y )dx = ； ?0 dy ? y -1 f (x , y )dx = . 8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则? xydx = L 9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为 . 二、选择题： 1. lim ( x , y )→(2,0) tan(xy ) y 等于 （ ）（上下求导） A ．2， B. 1 2 C.0 D.不存在 2. 函 数 z = 的定义域是（ D ） A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y } B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y } 3 x - y 《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 一、填空题 1．设)(x P 是x 的多项式，且26)(lim 23=-∞→x x x P x ，3) (lim 0=→x x P x ，则=)(x P 2．=-++∞ →))(arcsin(lim 2 x x x x 6 π x x x 3262 3++↑ 3．=?? ? ??-∞ →3 21lim x x x 32 -e 4．设A x x ax x x =-+--→1 4 lim 31，则有=a ，=A 4，－2 5．设x x x x x f sin 2sin )(+=，则=∞→)(lim x f x 2 6．=?+→2 32031 sin sin lim x x x x x 31 7．函数) 2)(1(1+-+=x x x y 的间断点是 1=x 8．为使函数()x x x f tan 1 ?=在点0=x 处连续，应补充定义()=0f 1 9．设函数?????=≠-=00)1(3 x K x x y x 在0=x 处连续，则参数=K 3-e 10．函数???>+≤+=0 10 )(x e x a x x f x 在点0=x 处连续，则=a 2 二、单项选择题 1．设0>n x ，且n n x ∞→lim 存在，则n n x ∞ →lim ② ①0> ②0≥ ③0= ④0< 2．极限=-→1 11 lim x e x ③ ①∞ ②1 ③不存在 ④0 3．=++∞→- →x x x x x x 1 sin lim ) 1(lim 10 ④ ①e ； ②1e -； ③1e +； ④1 1e -+ 4．()() 213 ++-= x x x y 的连续区间是__________________ ② ①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3 ③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11, 5．函数1 2 111 11+----=x x x x y 的不连续点有 ③ ①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上 6．下列函数中，.当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，② ①x cos 1- ②2 x x + ③x ④x 2sin 1 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分） （本小题5分） 3 求极限 lim 一3x - x 2 2x 3 （本小题5分） 求 X 2 2 dx. （1 x ） （本小题5分） （本小题5分） 设函数y y （x ）由方程y 5 in y 2 x 6 所确定，求鱼. dx （本小题5分） 求函数y 2e x e x 的极值 （本小题5分） 2 2 2 2 求极限lim & ° （2x ° （3x ° 辿」 x （10x 1）（11x 1） （本小题5分） cos2x d x. sin xcosx 二、解答下列各题 （本大题共2小题，总计14分） 3 . ---------- 求 x . 1 xdx . 5 sin x , 2—dx. 0 8 sin 2 x （本小题5分） 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 x 2的单调区间 设 x(t) e kt (3cos 4sin t), 求 dx . 12x 16 9x 2 12x .1 arcs in x 求极限 limarctan x x （本小题5分） 求—^dx. 1 x （本小题5分） 求—x .1 t 2 dt . dx 0 （本小题5分） 求 cot 6 x esc 4 xdx. （本小题5分） 求-1 1 , 求 cos dx. x x 5分） ［曲2确定了函数y es int 5分） （本小题 设 x y （本小 y(x),求乎 dx （本大题6分） 设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根 一学期期末高数考试（答案） 、解答下列各题 （本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分） lim 」^ x 2 12x 18 2、（本小题3分） (1 2 1 d(1 x ) 2 (1 x 2)2 1 1 2 1 x 2 3、（本小题3分） 故 limarctan x 4、（本小题3分） dx dx 」 dx dx 1 x x In 1 x c. 5、 (本小题3分) 原式 2x 1 x 4 6、 (本小题4分) .6 4 cot x csc xdx cot 6 x(1 cot 2 x)d(cot x) 1、（本小题7分） 某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿 2、（本小题7分） 2 求由曲线y -和y 2 三、解答下列各题 ，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省? 3 —所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 8 沿， 体积. 解:原式 lim x 2 6x 3x 2~ 2 12 18x 12 c. 因为 arctanx —而 limarcsin 2 x .1 x arcs in x 高等数学（二）答案 二. 填空题：(每小题4分,共40分) (1). 1, (2). 41, (3). 2, (4). 2, (5). x 1, (6). x e , (7). ()x f -, (8).1, (9). 33 2π, (10). 1。 三．计算题：（每小题6分，共60分） 1.解. ()()()()( )()()()()()()()() x b x a x b x a x b x a x b x a x b x a x b x a x x --+++---++=---+++∞→+∞ →(lim lim ….3分 () b a x b x a x b x a b a x +=? ? ? ??-??? ??-+??? ??+??? ??++=+∞ →11112lim . ……….6分 2.解.()17517372lim 75732lim +?? ? ??-+??? ??+??? ??=+-++∞ →∞→n n n n n n n n n n . ……..3分 =1. ……6分 3.解法一.() dx e dy b ax ' sin += ……..3分 dx e b ax a b ax )sin()cos(++= ………6分 解法二.() ()()b ax d e dy b ax +=+sin sin ………3分 dx e b ax a b ax )sin()cos(++=. ………6分 4.解.,2,22 x x x x xe e dx y d xe e dx dy +=+= …….4分 所以 20 2 2==x dx y d . ……….6分 5.解.（1） ()11sin 0 0=-- ==x x x y xy ,故10-==x y , …..3分 （2）()()01 cos 2=--+?? ? ??+x y dx dy xy dx dy x y ， ……..4分 于是()() 01cos 0 20=--+?? ? ?? +==x x x y dx dy xy dx dy x y ，即 20 ==x dx dy . ……..6分 6．解.() ?? ++= +113 113 332 x d x dx x x ……3分 () C x ++=233 19 2 . ……6分 7.解. ()()()?????+=+=2 1 10 2 21 10 20 2xdx dx x dx x f dx x f dx x f ……….3分 3 10 3313 21 2 1 3=+= +=x x . ……….6分 8.解.x e e x dt e e x x x x t t x sin 2lim cos 1)2(lim 00 -+=--+-→-→? ………3分 0cos lim 0=-=-→x e e x x x . …….6分 9解.特征方程02 =+k k ,特征值为1,021-==k k , 2分 故通解为 x e c c y -+=21,其中21,c c 为任意数. ………6分 10.解. 因为()())11(114321ln 1432≤<-++-++-+-=++x n x x x x x x n n ΛΛ, ……3分 所以,()2 2 1ln x x x =+())1 1432(1 432ΛΛ++-++-+-+n x x x x x n n =())11(114323 6543 ≤<-++-++-+-+x n x x x x x n n ΛΛ …….6分 期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：??--012 1),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x -121?? 6．级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??（ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 （ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的 （ B ） A 、充要条件 B 、 必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是 三、已知1=a ?，3=b ?，b a ??⊥，求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7 大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 考试时间 ………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。……………… 一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e 1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ． (3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-? 10211dx x 2π . (5) =?∞ +121dx x 1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 21. (2) 设x x x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B) (A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1. (4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C) (A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对. (5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D) (A) ?=')()(x f dx x f . (B) C x f dx x f dx d +=?)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x -='?. (D) )())((0x f dt t f x ='?. 三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 6 2)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x 习题11-1 对弧长的曲线积分 1.计算下列对弧长的曲线积分： （1）22()n L x y ds +??，其中L 为圆周cos x a t =，sin y a t = (02)t π≤≤； （2）L xds ??，其中L 为由直线y x =及抛物线2 y x =所围成的区域的整个边界； （3）L ??，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的 扇形的整个边界； （4） 2x yzds Γ ? ，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、 (1,0,2)、(1,3,2)； （5）2L y ds ? ，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤. 2.有一段铁丝成半圆形y =，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。 解 曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ???π==≤≤ ds ad ??= = 依题意(),x y y ρ=，所求质量220 sin 2L M yds a d a π??= ==?? 习题11-2 对坐标的曲线积分 1.计算下列对坐标的曲线积分： （1）22()L x y dx -? ，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； （2）22 ()()L x y dx x y dy x y +--+??，其中L 为圆周222 x y a +=（按逆时针方向绕行）； （3）(1)xdx ydy x y dz Γ +++-? ，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线； （4） dx dy ydz Γ -+??，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、 (0,1,0)、(0,0,1)； 2.计算 ()()L x y dx y x dy ++-?，其中L 是： （1）抛物线2 y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段； （3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线； （4）曲线2 21x t t =++，2 1y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。 3.把对坐标的曲线积分 (,)(,)L P x y dx Q x y dy +? 化成对弧长的曲线积分，其中L 为： （1）在xOy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)； （2）沿抛物线2 y x =从点(0,0)到点(1,1)； （3）沿上半圆周2 22x y x +=从点(0,0)到点(1,1). 4.设Γ为曲线x t =，2 y t =，3 z t =上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分 L Pdx Qdy Rdz ++? 化成对弧长的曲线积分。 习题11-3 格林公式及其应用 1. 利用曲线积分，求星形线3 cos x a t =，3 sin y a t =所围成的图形的面积。 高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos 《高等数学（一）》期末复习题 一、选择题 1、极限)x x →∞ 的结果是 （ C ） （A ）0 （B ） ∞ （C ） 1 2 （D ）不存在 2、方程3 310x x -+=在区间(0,1)内 （ B ） （A ）无实根 （B ）有唯一实根 （C ）有两个实根 （D ）有三个实根 3、)(x f 是连续函数, 则 ?dx x f )(是)(x f 的 （ C ） （A ）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数； 4、由曲线)0(sin π<<=x x y 和直线0=y 所围的面积是 （ C ） （A ）2/1 (B) 1 (C) 2 (D) π 5、微分方程2 x y ='满足初始条件2|0==x y 的特解是 ( D ) （A ）3 x （B ） 331x + （C ）23+x （D ）23 1 3+x 6、下列变量中，是无穷小量的为（ A ） (A) )1(ln →x x (B) )0(1ln +→x x (C) cos (0)x x → (D) )2(4 2 2→--x x x 7、极限0 11 lim(sin sin )x x x x x →- 的结果是（ C ） （A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在 8、函数arctan x y e x =+在区间[] 1,1-上 （ A ） （A ）单调增加 （B ）单调减小 （C ）无最大值 （D ）无最小值 9、不定积分 ?+dx x x 12= （ D ） (A)2 arctan x C + (B)2 ln(1)x C ++ (C)1arctan 2x C + (D) 2 1ln(1)2 x C ++ 10、由曲线)10(<<=x e y x 和直线0=y 所围的面积是 （ A ） （A ）1-e (B) 1 (C) 2 (D) e 《高等数学》2期末复习题 一、填空题： 1. 函数)3l n (12222y x y x z --+-+=的定义域是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设,)1(y x z +=则 =??y z (1)ln(1)y x x ++ . 3.函数22ln(1)z x y =++在点(1,2)的全微分(1,2) dz = 12 33 dx dy + 4．设,),(22y x xy y x f +=+则=),(y x f . 设22(,),y f x y x y x +=-则=),(y x f . 5.设v e z u sin = 而 xy u = y x v += 则 =??y z [sin()cos()]xy e x x y x y +++ 6．函数 22y x z += 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，32+）的方 向导数是 1+ 7.改换积分次序??=2 22),(y y dx y x f dy ；1 01 (,)y dy f x y dx -=? . 8．若L 是抛物线 x y =2上从点A )1,1(-到点B )1,1(的一段弧，则?L xydx = 9.微分方程22(1)0x x e dy ye dx ++=的通解为 . 二、选择题： 1． y xy y x ) tan(lim )0,2(),(→ 等于 （ ）（上下求导） A ．2， B. 2 1 C.0 D.不存在 2．函数 y x z -= 的定义域是（ D ） A ．{}0,0),(≥≥y x y x B.{} y x y x ≥2),( C.{} y x y y x ≥≥2,0),( D ．{} y x y x y x ≥≥≥2,0,0),( 首页 - 我的作业列表 - 《高等数学（文）》第二次作业答案 你的得分：100.0 完成日期：2014年07月12日17点37分 说明：每道小题括号里的答案是您最高分那次所选的答案，标准答案将在本次作业结束(即2014年09月11日)后显示在题目旁边。 一、单项选择题。本大题共25个小题，每小题4.0 分，共100.0分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. ( A ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.以上均不对 2. ( B ) A. A B. B C. C D.D 3. ( C ) A. A B. B C. C D.D 4. ( B ) A.充分条件，但不是必要条件 B.必要条件，但不是充分条件 C.充分必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 5. ( B ) A.-1 B.0 C. 1 D.2 6. ( A ) A. A B. B C. C D.D 7. ( D ) A. A B. B C. C D.D 8. ( D ) A. A B. B C. C D.D 9. ( C ) A. A B. B C. C D.D 10. ( C ) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 11. ( C ) A.12 B.8 C. 4 D.0 12. ( D ) A. 3 B.0 C. 1 D.2 13. ( A ) A. A B. B C. C D.D 14. ( A ) A. A B. B C. C D.D 15. ( C ) A. A B. B C. C D.D 16. ( A ) A.(1,1) B.(1，-1) C.(-1,1) D.(-1，-1) 17. ( D ) A. A B. B C. C D.D 18. ( C ) A. A B. B C. C D.D 19. 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分 x) 1 3. 函数f (x) lnx 在x 1处的切线方程是 _______________________ 1 4. 设 f(—) x ,则 f (x) ___ ________ x 3 5. 函数 f (x) sin(cosx )，贝y f (x) ___________________ 6.设函数f(x) ln cosx ，则二阶导数f (x) 、选择题. 1.函数y A 、无定义 不连续 第二章 C 、可导 D 、连续但不可导 2.设函数f (X ) 2x 2 x , 1,x 0 ，则 f (x)在点x 0处 A 、没有极限 B 、有极限但不连续 C 、连续但不可导 D 、可导 3?设函数y f (x)可微, 则当 y dy 与x 相比，是 x 的等价无穷小 x 的同阶无穷小 C . x 的高阶无穷小 x 的低阶无穷小 4.函数 x 3的单调增区间是 中B 、(严,T 3 3 3 C 、(于 5?函数f (x) 1 (e x e x )的极小值点是 ) ) ) ) (0,+ ) ) 不存在 、填空题. 1. 已知(sin x) cosx , 利用导数定义求极限 2、 如果f (x °) 4，则 lim f(x 0 3x) x 0 f (X o ) 7. d(arctan2x) ,d In (sin 2x) 四、计算题. 六、应用题. 产品的市场需求量为 q 1000 10 p ( q 为需求量，p 为价格)?试求：(1 )成本函数，收入 函数；(2)产量为多少吨时利润最大? 8.函数f(x) x 3 ax 2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，则 a = p 9 ?设需求量q 对价格p 的函数为q(p) 100e ? ，则需求弹性E p 三、判 断题. 1. 若f(x)在点X o 处可导，则f (x)在点X o 处连续. 2. dy 是曲线y f (x)在点(x 0, f (怡))处的切线纵坐标对应于 x 的改变量. 3. 函数y f (x)在x 0点处可微的充要条件是函数在 X 。点可导. 4. 极值点一定是驻点. 5. 函数y x 在点x 0处连续且可导. 1.求函数 y arctan-. 1 x 2的导数. 2.求由方程x y e 2x e y 0所确定的隐函数 y f(x)的导数y . e 3.设 y x ，求 y . 4.求由方程y cos(x y)所确定的隐函数 y f (x)的二阶导数y . 五、求下列极限. (1) lim x x sin x x sin x (2) 4 c 2 lim X x 0 3x 2x si nx 4 ， (3) 01 x x 1 ln x (4) 1 lim( a' X 1)x (a 0), (5) (6) lim (x x 1 X \ X e)x . 1.求函数f (x) x 3 3x 2 9x 1的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点. 2.某厂生产一批产品, 其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为 60元, 对这种 《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du . 5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x . 高等数学检测试题 一 .选择题 （每题4分，共20分） 1. =? -dx x 1 1 （ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 （B ） 2，极限242 (,)(0,0)2lim x y x y x y →=+ A ，0 B ，1 C,0.5 D ，不存在 （D ） 3.积分=-? dx x 11( ) A.c x x +--1ln B. c x x +--)1ln (2 C.c x x +-+1ln D. -c x x +-+)1ln (2 （D ） 4.设f(x)的导数在x=a 处连续，又x a () lim 2f x x a →'=-，则 （ ） A.x=a 是f(x)的极小值点 B.x=a 是f(x)的极大值点 C.(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点 D.x=a 不是f(x)的极值点 (A) 5.已知F(x)的一阶导数(x)F'在Ｒ上连续，且0F(0)=， 则?=0 x (t)dt x F'd （ ） A. (x)dx xF'- B. (x)dx xF' C. (x)dx]xF'[F(x)+- D. (x)]dx xF'[F(x)+- （D ） 二．填空：（每题4分，共20分） 1. 若D 是平面区域(){}e y x y x ≤≤≤≤1 ,10|,，则二重积分= ??dxdy y x D （ 21 ） 2、2 lim()01 x x ax b x →∞--=+，则a = 1 ，b = -1 ； 3．设由方程 =-xyz e z 确定的隐函数 ()= ??=x z y x f z 则 ,,（ ()1-z x z ） 4，设{}222(,)|D x y x y a =+≤（a ＞0，常数） ，若2 3D π=，则a= (-1) 5 数列极限 lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221 L n n n n n n π π ππ . 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?《高等数学1》(下)(A 期末 09-10)及答案详解
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