2019安徽中考数学 规律探索题 专题训练 类型一 数式规律探索 1.观察下列等式，按照等式排列的规律填空： ① 121 1222=--， ② 221 2322=--， ③ 32 1 3422=--， … （1）根据上述规律，请写出第4个等式； （2）写出第n 个等式（用含n 的代数式表示），并证明等式成立. 解：（1）由题中等式的变化规律可得，第4个等式为 421 4522=--； （2）第n 个等式是 n n n =--+2 1 )1(22. 证明：∵左边=21)1(22--+n n =21 1222--++n n n =n ，右边=n ， ∴第n 个等式是 n n n =--+2 1 )1(22成立. 2.观察下列等式： 第一个等式：2 212 21 2112213?-?=??= a ； 第二个等式：3 232231 2212324?-?=??=a ； 第三个等式：4 343241 2312435?- ?=??=a ； 第四个等式：5 454251 2412546?- ?=??=a ； … 按上述规律，回答以下问题： （1）猜想并写出第n 个等式；
（2）证明你写出的等式的正确性. 解：（1）根据上述规律可得，第n 个等式：1 12)1(1 -212)1(2++?+?=?++=n n n n n n n n n a ； （2）证明：∵右边=12)1(1-21+?+?n n n n =12)1(-1)2(+?++n n n n n =1 2 )1(2 +?++n n n n =左边， ∴等式成立. 类型二 图形规律探索 3.如图，用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个. 第3题图 （1）求第四个图案中正三角形的个数； （2）求第n 个图案中正三角形的个数（用含n 的代数式表示）. 解：（1）∵第一个图案中正三角形的个数为6=2+4×1； 第二个图案中正三角形的个数为10=2+2×4； 第三个图案中正三角形的个数为14=2+3×4； … ∴第四个图案中正三角形的个数为18=2+4×4； （2）由（1）可得，第n 个图案中正三角形的个数为4n +2. 4.如图，是由m ×m （m 为奇数）个小正方形组成的图形，我们把图中所有的x ，y 相加得到的多项式称为“正方形多项式”.
初中数学规律题解题基本方法 （一）数列的找规律 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索： 一、基本方法——看增幅 （一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n 位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。 例：4、10、16、22、28……，求第n位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2 （二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。 举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。 分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为： ［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1 所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1 此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。 （三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。 二、基本技巧 （一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是。解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较： 给出的数：0，3，8，15，24，……。 序列号： 1，2，3， 4， 5，……。 容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。 （二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关。 例如：1，9，25，49，（），（），的第n为（2n-1）2 （三）看例题： A： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且............即：n3+1 B：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：2n （四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。 例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24……， 序列号：1、2、3、4、5
初中数学规律题解题基本方法------图形找规律 1.探索常见图形的规律，用火柴棒按下图的方式搭三角形 ⑴填写下表： ⑵照这样的规律搭建下去，搭n 个这样的三角形需要多少根火柴棒？ 2.若按图2方式摆放桌子和椅子 ⑴一张桌子可坐6人，2张桌子可坐 人。 ⑵按照上图方式继续排列桌子，完成下表： 3.如果按图3的方式将桌子拼在一起 ⑴2张桌子拼在一起可坐多少人？3张呢？n 张呢？ ⑵教室有40张这样的桌子，按上图方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐 人。 ⑶在⑵中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐 人。 4．如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为2 1 的矩形，接着把面积为2 1的矩形等分成两个面积为41的正方形，再把面积为41的矩形等分成两个面积为8 1的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律计算： =+++++++256 11281641321161814121 5．把棱长为a 的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个……按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是 例8.观察下列图形并填表。 个数 1 2 3 4 5 6 7… n 32 1 2 1 41 81 161 1 1 2
6．用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案： （1）第4个图案中有白色地面砖 块； （2）第n 个图案中有白色地面砖 块。 …… 7．下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有)2(≥n n 个棋子，每个图案棋子总数为S ，按下图的排列规律推断，S 与n 之间的关系可以用式子 来表示。 …… 8．观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。 ①5，9，13，17， ， 。 ②4，5，7，11，19， ， 。 ③10，20，21，42，43， ， ，174，175。 ④4，9，19，34，54， ， ，144。 ⑤45，1，43，3，41，5， ， ，37，9。 ⑥6，1，8，3，10，5，12，7， ， 。 ⑦0，1，1，2，3，5， ， 。 ⑧180，155，131，108， ， 。 ⑨5，15，45，135， ， 。 ⑩60，63，68，75， ， 。 9．（2010年山东省青岛市）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要 19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n 个图案需要 枚棋子． 【关键词】规律 第三个 第一个 第二个 4 2 ==s n 8 3 ==s n 12 4 ==s n 16 5 ==s n … 第13题图
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 5 10 a 10 找规律问题 1. 阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台级数为一级、二级、三级、……逐步增加时，楼梯的上法依次为：1，2，3，5，8，13，21，……（这 就是著名的斐波拉契数列）.请你仔细观察这列数的规律后回答：上10级台阶共有 种上法. 2.把若干个棱长为a 的立方体摆成如图形状：从上向下数,摆一层有1个立方体,摆二层共有4个立方体, 摆三层共有10个立方体，那么摆五层共有 个立方体. 3.下面由“*”拼出的一列形如正方形的图案，每条边上（包括两个顶点）有n （n>1）个“*”,每个图形“*”的总数是S ： n=2,S=4 n=3,S=8 n=4,S=12 n=5,S=16 通过观察规律可以推断出：当n=8时，S= . 4.下面由火柴杆拼出的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成： …… n=1 n=2 n=3 n=4 …… 通过观察发现：第n 个图形中，火柴杆有 根. 5.已知P 为△ABC 的边BC 上一点，△ABC 的面积为a ， B 1、 C 1分别为AB 、AC 的中点，则△PB 1C 1的面积为 4a ， B 2、C 2分别为BB 1、CC 1的中点，则△PB 2C 2的面积为163a ， B 3、 C 3分别为B 1B 2、C 1C 2的中点，则△PB 3C 3的面积为64 7a ， 按此规律……可知：△PB 5C 5的面积为 . 6.如图的三角形数组是我国古代数学家辉发现的， 称为辉三角形.根据图中的数构成的规律可得： 图中a 所表示的数是 . 7.观察下列等式：13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102 ……； 根据前面各式规律可得：13+23+33+43+53+63+73+83 = . 8.如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第 1个图案需 7根火柴，第 2 个图案需 13 根火柴，…，依此规律，第 11 个图案需( )根火柴. A. 156 B. 157 C. 158 D. 159 9.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M 与m 、n 的关系是 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
中考数学试复习专题——找规律 1、如图所示，观察小圆圈的摆放规律，第一个图中有5个小圆圈，第二个图中有8个小圆圈，第100个图中有__________ 个小圆圈． （1） （2） （3） 2、 找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形， 则第4幅图中有 个菱形,第n 幅图中有 个菱形． 3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子 枚（用 含n 的代数式表示）. 4、观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a 、b 、c 的值分别为______________． 5、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22?的正方形图案（如图②），其中完整的圆共 有5个，如果铺成一个33?的正方形图案（如图③），其 中完整的圆共有13个，如果铺成一个44?的正方形图案（如图④），其中完整的圆共 有25个．若这样铺成一个1010?的正方形图案， 则其中完整的圆共有 个． 1 2 3 n … … 第1个图 第2个图 第3个图 …
6、 如下图,用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要用白色棋子 枚（用含有n 的代数式表示，并写成最简形式）. ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○ ○ ● ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ 7、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第334个图形 需 根火柴棒。 8、将正整数按如图5所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是 ． 9、如图 ２ ，用n 表示等边三角形边上的小圆圈，f(n)表示这个三角形中小圆圈的总数，那么f(n)和n 的关系是 10、观察图4的三角形数阵，则第50行的最后一个数是 （ ） 1 -2 3 -4 5 -6 7 -8 9 -10 。。。。。。 11、 下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n 个图案中白色正方形的个数为___________． 12、 观察下列各式： 3211= 332 123+= 33221236++= 33332123410+++= …… 猜想：333312310+++ += ． 第一个 第二个 第三个 …… 第n 个 第一排 第二排 第三排 第四排 6 ┅┅ 10 9 8 7 3 2 1 5 4
中考数学复习专题——规律探索 一.选择题 1. （2018·湖北随州·3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3， 6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，16…），在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m ，最大的 “正方形数”为 n ，则 m +n 的值为（ ） A ．33 B ．301 C ．386 D ．571 2.（2018?山东烟台市?3 分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆 下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（ ） 3.（2018?山东济宁市?3 分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片， 适合填补图 中空白处的是（ ） A ． B ． B. C ． D ． 4. （2018 湖南张家界 3.00 分）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28 =256…， 则 2+22+23+24+25+…+21018 的末位数字是（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．0 二、填空题 1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分）如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2， △P 3A 2A 3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P （13， 3），P 2，P 3，…均在直线 y =﹣13 x+4 上．设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…的面积分别为 S 1，S 2，S 3，…，依据图形所反映的规律，S 2018
中考数学专题找规律 1、如图，一串有趣的图案按一定规律排列，请仔细观察，按此规律第2015个图案是（） A B C D 2、如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△ 3、△4…，则△2015的直角顶点的坐标为 3、(2014 广东省梅州市) 如图3，弹性小球从点P(0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，……第n次碰到矩形的边时的点为P n。则点P2的坐标是，点P2014的坐标是 . 4、已知， ， =8， =16，2=32，……， 观察上面规律，试猜想的末位数是 . 5、观察下列算式： ……
用你所发现的规律写出的末位数字是__________. 6、（2015?四川巴中）a是不为1的数，我们把 称为a的差倒数，如：2的差倒数为=﹣1；﹣1的差倒数是 = ；已知a1=3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数．a4是a3差倒数，…依此类推，则a2015= ． 心得体会： （二）函数表达式型 1、用同样大小的黑色棋子按图6所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子 枚（用含n的代数式表示）. 2、(2014 湖南省娄底市) 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由个▲组成. 3、观察下列等式： ，……则第n个等式可以表示为。 4、“”代表甲种植物，“”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植。按此规律，第六个图案中应种植乙种植物株。
类型一 数式规律 1. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为1 4尺，…，第n 天折断一半后得到的木棍长应为________尺． 12n 2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是________． 第2题图 41【解析】由图形可知，第n 行最后一个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1） 2，∴第8行最后一个数为8×9 2＝36＝6， 则第9行从左至右第5个数是36＋5＝41. 3. 观察下列关于自然数的式子： 第一个式子：4× 12－12 ①
第二个式子：4× 22－32 ② 第三个式子：4×32－52 ③ … 根据上述规律，则第2019个式子的值是______． 8075 【解析】∵4×12－12＝3①，4×22－32＝7②，4×32－52＝11③，…，4n 2－(2n －1)2＝4n －1，∴第2019个式子的值是4×2019－1＝8075. 4. 将数1个1，2个12，3个13，…，n 个1 n (n 为正整数)顺次排成一列：1，12，12，13，13，13，…，1n ，1n ，…，记a 1＝1，a 2＝12，a 3＝1 2，…，S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3，…，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2019＝________． 63364 【解析】根据题意，将该数列分组，1个1的和为1，2个12的和为1，3个1 3的和为1，…；∵1＋2＋3＋…＋63＝2016个数，则第2019个数为64个164的第3个数，则此数列中，S 2019＝1×63＋3×1 64＝63364. 类型二 图形规律 5. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3， …，
初中数学找规律试题 Prepared on 24 November 2020
找规律试题练习 1.一根1m长的小棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，如此截下去，第N次后剩下的小棒的长度是（）m。 2.如图，按一定的规律用牙签搭图形： ①②③ （1）按图示的规律填表： 图形标号①②③……⑩ 牙签根数…… （2）搭第n个图形需要________________________根牙签。 3.已知1+2+3+...+31+32+33==17×33，求1-3+2-6+3-9+4-12+ (31) 93+32-96+33-99的值。 4.如图，在的内部从引出3条射线，那么图中共有___个角；如果引出5条射线，有___个角；如果引出条射线，有__个角。 5.在数1，2，3，…，50前添“+”或“－”，并求它们的和，所得结果的最小非负数是多少请列出算式解答。 6.如果有理数a,b满足∣ab－2∣+(1－b)2=0， 求+…+的值。 7．在一单位为1cm的方格纸上，依右图所示的规律，设定点A 1 、 A 2 、A 3 、A 4 …、A n ，连结点A 1 、A 2 、A 3 组成三角形，记为，连结点 A 2 、A 3 、A 4 组成三角形，记为…，连结点A n 、A n+1 、A n+2 组成三角形，记为(n为正整数)．请你推断，当的面积为100cm2时， n=． 8.请观察下列算式：（8分） ，，， 则第10个算为=，第n个算式为=
请计算+++…+ 9、x,-3x2,5x3,-7x4,9x5…… 10、如图：数出第n个图形的点数和线数。 ∣∣∣ —·——·—·— ∣∣∣…… —·—·— ∣∣ 1个“·”，4条“—”4个“·”，12条“—”……个“·”，条“—” 11、数出第n个图中三角形的个数： 一个三角形在里面内切倒三角形再切…… （1个）（5个）（9个）……（） 12、N＝2时，S＝5；N＝3时，S＝9；N＝4时，S＝13……N与S之间什么关系 13．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA 10的长；（3）求出的值．14．如图，每一个图形都是由小三角形“△”拼成的： …… ⑴⑵⑶⑷ 观察发现，第10个图形中需要个小三角形，第n个图形需要个小三角形。 15.有趣的平方和立方： 观察下列算式：23 4 5 1= + ?，24 4 6 2= + ?，25 4 7 3= + ?…请你在察规律之后并用你得到的规律填空：＝502,第n个式子呢我们还发现1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42…我能运用这个规律算出3+5+7+…+33+35＝。 135721 ++++++= ……() n______。而＝n2
数学说题比赛说题稿 ——皮山县固玛镇第三寄宿制中学陈檬檬 一、题目 人教版九年级上册教材第63页第10题 例题：如图，△ABD与△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ 二、阐述题意 (一)题目背景 1.题材背景：本题是在人教版九年级上册P63学习了23.1图形的旋转后给出的一道题目。 2.知识背景：①旋转的定义；②旋转的性质；③等边三角形的性质；④全等三角形的判定与旋转之间的联系。 3.方法背景：根据已有的经验、知识之间的内在联系，大胆猜想后验证。 4.思想背景：转化思想、数形结合思想、类比思想。 （二）学情分析 学生可能会遇到的问题有： （1）不能从图形中提取隐含条件获取有效的信息。 （2）无从下手，很难想到用旋转的性质说明三角形全等。 （三）重、难点 1.重点：利用旋转的性质来研究线段相等。 2.难点：探究和发现旋转的性质与全等三角形的判定的联系。
（四）选题意图 本题以能力立意，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力，近年的中考数学试题中，有关旋转和三角形、四边形构成的几何综合题占据相当的比例，充分体现了考查能力和提高素质教育的思想和要求，这也是《新课程标准》的要求。 二、题目解答 例题：如图，△ABD与△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ （一）知识回顾 1.等边三角形的性质是什么？ 2.旋转有哪些性质？ （二）问题分析 1.大胆猜想BE与DC有什么关系？ 2.证明线段相等的方法有哪些？ 3.如何证明线段BE=DC呢？ （三）条件分析 1.已知△ABD与△AEC都是等边三角形是共同条件。 2.等边三角形的边相等、角为60°，∠DAB、∠CAE为旋转角是图形中隐含的条件。 （四）解题方法分析 解题方法一： 1.将BE和DC分别看作是△ABE和△ADC的边。 2.利用全等三角形的判定方法证明△ABE≌△ADC，可得BE=
1 规律探索 类型一 数式规律 1. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为1 4尺，…，第n 天折断一半后 得到的木棍长应为________尺． 12n 2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是________． 第2题图 41【解析】由图形可知，第n 行最后一个数为1＋2＋3＋…＋n ＝ n （n ＋1） 2 ，∴第8行最后一个数为 8×9 2 ＝36＝6，则第9行从左至右第5个数是36＋5 ＝41. 3. 观察下列关于自然数的式子：
2 第一个式子：4×12－12 ① 第二个式子：4×22－32 ② 第三个式子：4×32－52 ③ … 根据上述规律，则第2019个式子的值是______． 8075 【解析】∵4×12－12＝3①，4×22－32＝7②，4×32－52＝11③，…，4n 2－(2n －1)2＝4n －1，∴第2019个式子的值是4×2019－1＝8075. 4. 将数1个1，2个12，3个13，…，n 个1 n (n 为正整数)顺次排成一列： 1，12，12，13，13，13，…，1n ，1n ，…，记a 1＝1，a 2＝12，a 3＝1 2，…，S 1 ＝a 1，S 2＝a 1＋a 2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3，…，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2019＝________． 63364 【解析】根据题意，将该数列分组，1个1的和为1，2个12的和为1，3个1 3的和为1，…；∵1＋2＋3＋…＋63＝2016个数，则第 2019个数为64个164的第3个数，则此数列中，S 2019＝1×63＋3× 1 64＝633 64 .
中考数学探索题训练—找规律 一 序数与数据之间的规律 1. ）先找规律，再填数： 1111111111111111,,,,12234212563307 8456 (111) +_______.2011201220112012 +-=+-=+-=+-=-=?则 2、观察下面的变形规律： 211? ＝1－12； 321?＝12－31；431 ?＝31－4 1；…… 解答下面的问题： （1）若n 为正整数，请你猜想) 1(1 +n n ＝ ； （2）证明你猜想的结论； （3）求和： 211?＋321?＋431?＋…＋2010 20091? . 3. （2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式： ① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1 ② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1 ③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ④ …… （1）请你按以上规律写出第4个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来； （3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 4．（2011广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答. （1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；
（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ， 最后一个数是 ，第n 行共有 个数； （ 3）求第n 行各数之和． 5．已知：321232 3=??= C ，1032134535=????=C ，154 32134564 6=??????=C ，…， 观察上面的计算过程，寻找规律并计算=6 10C ． 小结：多观察，分析变化与不变化 2、几何变化类 1. （2011广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ▲ ． 2. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示） 3. （2011四川绵阳18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。 第1个图形 第 2 个图形 第3个图形 第 4 个图形 第 18题图
找规律专项训练 一：数式问题 1.（湛江）已知22223322333388 + =?+=?，， 244441515+=?，……，若2 88a a b b +=?（a 、b 为正整数）则a b += ． 2.（贵阳）有一列数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，…，a n ，其中a 1＝5×2＋1，a 2＝5×3＋2，a 3＝5×4＋3，a 4＝5×5＋4，a 5＝5×6＋5，…，当a n ＝2009时，n 的值等于（ ） A ．2010 B ．2009 C ．401 D ．334 3.（沈阳）有一组单项式：a 2 ，－ a 3 2， a 4 3，－ a 5 4 ，…．观察它们构成规律，用你发现的规律写出第10个单 项式为 ． 4.（牡丹江）有一列数1234251017 --，， ，，…，那么第7个数是 ． 5.（南充）一组按规律排列的多项式：a b +，2 3 a b -，3 5 a b +，4 7 a b -，……，其中第10个式子是( ) A ．10 19 a b + B ．1019 a b - C ．1017 a b - D ．1021 a b - 6.（安徽）观察下列等式：111122? =-，222233?=-，33 3344 ?=-，…… （1）猜想并写出第n 个等式；（2）证明你写出的等式的正确性． 7.（绵阳）将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第 行第 列． 8.（台州）将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则①n = ▲ ；②第i 行第j 列的数为 ▲ （用i ，j 表示）． 第1列 第2列 第3列 … 第n 列 第1行 1 2 3 … n
第5题 第6题 中考数学专题复习——规律探索型问题 规律探索型问题是根据已知条件或问题中所提供的若干特例，通过观察，实验，归纳，类比等活动来发现或揭示所给信息中蕴含的本质规律特征的一类探究性问题，常见的规律探索型问题有数字类探究型问题，几何图形探究型问题，点的坐标变化探究型问题等。 类型一、数式递变规律： 1.（2019安徽）观察以下等式： 2.（2019云南）按一定规律排列的单项式：3x ，5x -，7x ，9x -，11x ，…，第n 个单项式为（ ） A. 121)1(---n n x B. 12)1(--n n x C. 121)1(+--n n x D. 12)1(+-n n x 3.（2018天水）按一定规律排列的一组数：21，61，121，201，…，a 1，901，b 1，（其中a ，b 为整数），则a+b 的值为--------------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ） A.182 B.172 C.242 D.200 4.（2019达州）a 是不为1的有理数，我们把a -11称为a 的差倒数，如2的差倒数为1211-=-，1-的差倒数为2 1)1(11=--，已知51=a ，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，以此类推，则2019a 的值为--------------------------------------------------------------------------------------------------（ ） A.5 B. 4 1- C. 34 D. 54 5.（2018淄博）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行第4列的数是12，则位于第45行第8列的数是 。 类型二、图形递变规律： 按照上述规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： ； （2）写出你猜想的第n 个等式： ； （用含n 的代数式表示），并证明。
规律探索 类型一 数式规律 1. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其 长为12尺，第二天再折断一半，其长为14尺，…，第n 天折断一半后得到的木棍长应为________尺． 1 2n 2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是________． 第2题图 41【解析】由图形可知，第n 行最后一个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2 ，∴第8行最后一个数为8×92＝36＝6，则第9行从 左至右第5个数是36＋5＝41. 3. 观察下列关于自然数的式子： 第一个式子：4×12－12 ①
第二个式子：4×22－32 ② 第三个式子：4×32－52 ③ … 根据上述规律，则第2019个式子的值是______． 8075 【解析】∵4×12－12＝3①，4×22－32＝7②，4×32－52＝11③，…，4n 2－(2n －1)2＝4n －1，∴第2019个式子的值是4×2019－1＝8075. 4. 将数1个1，2个12，3个13，…，n 个1n (n 为正整数)顺次排成一列： 1，12，12，13，13，13，…，1n ，1n ，…，记a 1＝1，a 2＝12，a 3＝12，…，S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3，…，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2019＝________． 63364 【解析】根据题意，将该数列分组，1个1的和为1，2个12的 和为1，3个13的和为1，…；∵1＋2＋3＋…＋63＝2016个数，则第 2019个数为64个164的第3个数，则此数列中，S 2019＝1×63＋3×164＝ 63364. 类型二 图形规律 5. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3，…，
1.我们平常用的数是十进制数，如2639=2×103+6×102+3×101+9×100 ，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1。如二进制中101=1×22 +0×21 +1×20 等于十进制的数5，10111=1×24 +0×23 ＋1×22 ＋1×21 ＋1×20 等于十进制中的数23，那么二进制中的1101等于十进制的数 。 2.任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n s t =?（s t ，是正整数，且s t ≤），如果p q ?在 n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p q ?是n 的最佳分解，并规定： ()p F n q = ．例如18可以分解成118?，29?，36?这三种，这时就有31 (18)62 F ==．给出下列关于()F n 的说法：（1）1(2)2F =；（2）3 (24)8 F =；（3）(27)3F =；（4）若n 是一个完全平方数，则()1F n =． 其中正确说法的个数是（ B ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 3.若(x 2 －x －1)x ＋2＝1，则x ＝___________．2、－1、0、－2 4.观察下面的一列单项式：x ，22x -，34x ，4 8x -，…根据你发现的规律，第7个单项式为 ； 第n 个单项式为 ．7 64x ；1 (2)n n x -- 5.已知2 1 (123...)(1)n a n n = =+，，，，记112(1)b a =-，2122(1)(1)b a a =--，…， 122(1)(1)...(1)n n b a a a =---，则通过计算推测出n b 的表达式n b ＝_______． (用含n 的代数式表示) 6.已知n 是正整数，111222(,),(,),,(,),n n n P x y P x y P x y L L 是反比例函数k y x = 图象上的一列点，其中121,2,,,n x x x n ===L L ．记112A x y =，223A x y =，1n n n A x y +=L L ，， 若1A a =（a 是非零常数），则12n A A A ???L 的值是________________________（用含a 和n 的代数式表示）．(2)1 n a n + 7.已知22223322333388 + =?+=?，，
初中数学教师基本功比赛一等奖说题稿 中考数学压轴题历来是初三师生关注的焦点，它一般有动态问题、开放性题型、探索性题型、存在性题型等类型，涉及到代数、几何多个知识点，囊括初中重要的数学思想和方法。对于考生而言，中考压轴题是一根标尺，可以比较准确的衡量学生综合解题能力以及数学素养，同时它的得失，可以直接影响到学生今后的发展。下面我就2012年德州市数学中考第23题第2问进行讲评。 中考题 如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠， 使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接 BP 、BH ． （1）求证：∠APB =∠BPH ； （2）当点P 在AD 边上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 1.审题分析 本题涉及的知识点有：折叠问题；勾股定理；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；正方形的性质。本题通过翻折将全等变换，相似构造，勾股定理运用，融进正方形，不失一道好的压轴题，很值得推敲。由于此图形是正方形，因此里面隐含着很多直角，这是学生所不注意的地方，也正是解决问题的突破口和切入点。题目的难点是学生无法将分散的条件集中到有效的图形上进行解决，总有“老虎吃天无从下口”的感觉。用好直角三角形和构造直角三角形是解决此题的关键。由于此题综合性较强，条件较分散，对学生分析问题的能力要求较高，因此难度较大，难度系数是0.19。 2.解题过程 同一个问题，从不同的角度探究与分析，可有不同的解法。一题多解，有利于沟通各知识的联系，培养学生思维的发散性和创造性。 思路与解法一：从线段AD 上有三个直角这一条件出发，运用“一线三角两相似”这一规律（见课件），可将条件集中到△EAP 与△PDH 上，通过勾股定理、相似三角形的判定与性质来解决。 解法如下： 答：PDH ?的周长不变，为定值8． 证明：设a BE =,则a AE -=4，有折叠可知a BE PE ==， P H G F E D C B A 图1
中考规律探索1 以下为全部整理类型，规律探索共两套试题，供参考学习使用?选择题 (1) , (3, 5, 7), (9, 11, 13, 15, 17), (19, 21, 23, 25, 27, A . （45, 77） B . （45, 39）C. （32, 46）D . （32, 23） 3. 下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是 12 35 8 13a 2358132134 4. 下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（ 1）个图形的面积为2cm2,第（2）个图形的面积为8 cm2, 5. 如图，动点P从（0, 3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 A、(1 , 4) B、(5, 0) C、(6, 4) D、( 8, 3) 6. 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律?根据此规律，图形中M与m、n的关系是 1.观察下列等式： 1 2 3 4 5 6 7 3 = 3, 3 = 9, 3 = 27, 3 = 81, 3 = 243, 3 = 729, 3 = 2187… 解答下列冋题： 3 + 32+ 33+ 34…+ 32013的末位数字是( ) A. 0B. 1C. 3 D. 7 29, 31）,…，现用等式A M=（i, j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数）,如A 7= ( 2 , 3),贝U A2013=() 2.把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组: 2 D. 256 cm 第（3）个图形的面积为18 cm2, ，第（10）个图形的面积为（) 2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（
初中数学考试中，在10题或15题中出现数列的找规律题 初中考试中，通常考的是两种数列，一种是一次函数的，就是增加的幅度相同，也可以说是等差数列（一次函数的形式）；增幅不同的，一般是二次函数的形式 1.等差数列：即增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n 个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。 例：4、10、16、22、28……，求第n位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2 2.二次函数的形式：即增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。 举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。 分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为： 〔3+（2n-1）〕×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1 所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1 此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。 （三）增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. （三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。 二、基本技巧 （一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是。
