高二文科数学培优教程函数与导数

高二文科数学培优

函数与导数

一、例题选讲：

例1．设函数2

()2()g x x x R =-∈，()4,(),

(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是

（A ）9,0(1,)4??-

?+∞???? （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4??

-?+∞????

例2．已知函数3

2

()f x ax x bx =++(其中常数a,b ∈R),()()()g x f x f x '=+是奇函数.

(Ⅰ)求()f x 的表达式;

(Ⅱ)讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间[1,2]上的最大值和最小值.

例3．已知函数1()ln 1()a

f x x ax a R x

-=-+-∈

（I ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （II ）当1

2

a ≤

时，讨论()f x 的单调性.

例4．已知函数f （x ）=3

2

31()2

ax x x R -

+∈，其中a>0. （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间11,22??

-????

上，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围.

二、巩固练习：

1．函数y =的值域是（ ）

（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4)

2．给定函数①12

y x =，②12

log (1)y x =+，③|1|y x =-，④1

2x y +=，期中在区间（0，

1）上单调递减的函数序号是（ ）

（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④

3．若曲线2

y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（ ） （A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-

4．已知函数21,0

()1,

0x x f x x ?+≥=?的x 的范围是__ ___。

5．将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

2

(S =梯形的周长）梯形的面积

,则S 的最小值是____ ____。

6．设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02

x π

<<，求函数()f x 的单调区间与极值。

7．讨论下列函数的单调性：

（1）b ax x x x f +++=

23

31)(； （2）x a a x x x f )2(3

1)(2

3-++=；

（3）x x a ax x f --+=2

3)1(2

131)(。

8．设函数3

2

()63(2)2f x x a x ax =+++.

（1）若()f x 的两个极值点为12,x x ，且121x x =，求实数a 的值；

（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数？若存在,求出a 的值；若不存在，说明理由.

9．已知函数f （x ）=

3

213

x x ax b -++的图像在点P （0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2 (Ⅰ)求实数a,b 的值； (Ⅱ)设g （x ）=f(x)+

1

m

x -是[2,+∞]上的增函数，求实数m 的最大值。

参考答案： 例1．【答案】D

【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。

依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ?-++<-??--≥-??，222,12

()2,12

x x x f x x x x ?+<->??---≤≤??或

例2．

例3．

（Ⅱ）因为 11ln )(--+

-=x

a

ax x x f ， 所以 21

1)('x

a a x x f -+-=221x a x ax -+--= ),0(+∞∈x ，

令 ,1)(2

a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x

③ 当a<0时，由于1/a-1<0,

x ∈(0,1)时，g(x)>0,此时f ,

(x)<0函数f(x)单调递减；

x ∈（1 ，∞）时，g(x)<0此时函数f ,

(x)<0单调递增。 综上所述：

当a ≤ 0 时，函数f(x)在（0,1）上单调递减;

函数f(x)在 (1, +∞) 上单调递增

当a=1/2时,函数f(x)在(0, + ∞)上单调递减

当0

函数 f(x)在（1,1/a -1）上单调递增；

函数f(x)在（1/a,+ ∞）上单调递减。 例4．【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.

（Ⅰ）解：当a=1时，f （x ）=3

2

3x x 12

-

+，f （2）=3；f ’(x)=233x x -,

f ’(2)=6.所以曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.

（Ⅱ）解：f ’(x)=2

333(1)ax x x ax -=-.令f ’(x)=0，解得x=0或x=1a

. 以下分两种情况讨论： （1） 若11

0a 2a 2

<≤≥，则

，当x 变化时，f ’(x)，f （x ）的变化情况如下表： X

102??

- ???

， 0

12?? ???

0， f ’(x) + 0 -

f(x)

极大值

当11x f x 22??∈-????，时，（）>0等价于5a 10,()0,82

15a ()0,0.28

f f -??

>->??????+??>>????即

解不等式组得-5

（2） 若a>2，则11

<

<.当x 变化时，f ’(x),f （x ）的变化情况如下表：

当11x 22??

∈-????，时，f （x ）>0等价于1

f(-)21f()>0,a ?

??????>0,即2

5811->0.2a a -???????>0,

解不等式组得

52a <<

或2

a <-.

因此2

1．C 解析：

[)40,0164160,4x x >∴≤-<

3．【解析】

A ：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 ∵

2x y x a

a

='=+=，∴ 1a =，(0,

)b 在切线10x y -+=，∴ 1b =

4．[解析] 考查分段函数的单调性。2

2

12(1)10x x x x ?->??

∈-?->

??

5．[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。 设剪成的小正三角形的边长为x ，则：22

2

(3)(01)1x S x x -=

=<<- （方法一）利用导数求函数最小值。

22(3)()1x S x x -=-，2222

(26)(1)(3)(2)

()(1)x x x x S x x -?---?-'=- 222222

(26)(1)(3)(2)2(31)(3)

(1)(1)x x x x x x x x -?---?----==-- 1

()0,01,3

S x x x '=<<=，

当

1

(0,]

3

x∈时，()0,

S x

'<递减；当

1

[,1)

3

x∈时，(

)0,

S x

'>递增；

故当

1

3

x=时，S的最小值是

323

3

。

（方法二）利用函数的方法求最小值。

令

111

3,(2,3),(,)

32

x t t

t

-=∈∈，则：

2

2

2

1

86

68

331

t

S

t t

t t

=?=?

-+--+-

故当

131

,

83

x

t

==时，S的最小值是

323

3

。

6．

,

,

,

()12().

4

23

()0()

42

()

x x

x x x x

x x

π

π

ππ

π

=++

=+===

解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0

令f，从面sin，得，或，

当变化时，f，f(x)变化情况如下表：

3

2

2

333

2

222

π

ππ

πππ

πππ+因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，）与（，），

单调递增区间是（，），极小值为f()=，极大值为f()= 8．【解析】考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识

解：2

()186(2)2

f x x a x a

'=+++

（1）由已知有

12

()()0

f x f x

''

==，从而

12

2

1

18

a

x x==，所以9

a=；

（2）由22

36(2)418236(4)0

a a a

?=+-??=+>，

所以不存在实数a，使得()

f x是R上的单调函数.

9．