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多元函数极值问题探究--0932098--李开

中央民族大学学士论文

Bachelor Thesis of Minzu University of China

多元函数极值问题探究

An Extremum Exploration of Multivariate Function

姓名:李开

学号:0932098年级:09级

院系:理学院

专业:信息与计算科学

指导老师:李成岳

日期:2013/4/24

摘要

本文首先介绍了二元函数极值的定义，并运用二元函数的泰勒公式和连续性定理证明了二元函数取极值的必要条件和充分条件，着重讨论了临界条件下判别式等于零的情况，并给出了进一步讨论的方法，之后利用曲面理论引进了二元函数极值问题的几何意义并结合坐标平移法给出了求一些无稳定点的二元函数的极值的方法。本文接着将二元函数推广至多元函数，又结合高等代数中二次型理论及微分几何中曲面第二基本形式理论给出了多元函数极值的定义，必要条件，充分条件和几何意义并予以了证明。本文还介绍了多元函数条件极值的定义，必要条件和充分条件，并引入了拉格朗日乘数法这一求条件极值的有力工具。本文最后给出了多元函数极值理论的一些应用，如最小二乘法，空间距离和不等式的证明以及在实际运用多元函数极值理论求解时的一些注意事项和技巧策略。

关键词：泰勒公式二次型曲面基本形式II拉格朗日乘数法

Abstract

Firstly this thesis introduces the definition of binary function extremum, proves the necessary and sufficient conditions of the binary function at its extremal point using T aylor’s formula and continuity theorem, offers a method of further exploration on critical condition where the discriminant equals to zero, explains the geometrical meaning of binary functionextremum based on curved surface theory, and puts forward a method of seeking the extremal point ofsome binary functions without stationary points using coordinate translation. Secondly this thesis extends binary function extremum to multivariate, introduces its definition, proves its necessary and sufficient conditions at its extremal point, and explains its geometrical meaning combined with the quadraticformtheory of advanced algebra and the second fundamental formtheory of curved surface of differential geometry. Besides this thesis describes the definition of multivariate function conditional extremum, and introduces Lagrange multiplier method, a useful tool solving conditional extremum problems, when proving its necessary and sufficient conditions. Finally this thesis introduces some applications of multivariate function extremum theory, such as least square method, problems concerning spatial distance and inequality proof, and some precautions and strategies when solving problems involved using multivariate function extremum theory.

Key words:T aylor’s Formula, QuadraticForm, the Second Fundamental Form of Curved Surface, Lagrange Multiplier Method

正文

一、二元函数极值

1.二元函数极值的定义

设二元函数(,)f x y 在点(,)P a b 的邻域G 内有定义。若(,)a h b k G ?++∈，有

(,)(,)f a h b k f a b ++≤（(,)(,)f a h b k f a b ++≥），则称点(,)P a b 为函数(,)f x y 的

极大点（极小点），极大点（极小点）的函数值(,)f a b 称为函数(,)f x y 的极大值（极小值）。极大点与极小点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值。 2.二元函数极值存在的必要条件

若二元函数(,)f x y 在点(,)P a b 存在两个偏导数，且(,)P a b 是函数(,)f x y 的极值点，

则'

(,)0x f a b =与'(,)0y f a b =。

而由方程组''(,)0

(,)0

x y f a b f a b ?=??=??确定的解（坐标平面上的某些点）称为函数(,)f x y 的稳

定点。需要指出的是二元函数的极值点一定是稳定点，但稳定点不一定是极值点。 3.二元函数极值存在的充分条件

设二元函数(,)f x y 有稳定点(,)P a b ，且在点(,)P a b 的邻域G 内存在二阶连续偏

导数，令''

(,)xx A f a b =，''(,)xy B f a b =，''(,)yy C f a b =.2

B A

C ?=- .

1) 若0?<，则点(,)P a b 是函数(,)f x y 的极值点： i)0(0)A C >>或，点(,)P a b 是函数(,)f x y 的极小点； ii)0(0)A C <<或，点(,)P a b 是函数(,)f x y 的极大点。 2) 若0?>，则点(,)P a b 不是函数(,)f x y 的极值点。 3) 若0?=，需作进一步的讨论。

证明：已知点(,)P a b 是函数(,)f x y 的稳定点，则有

'(,)0x f a b =与'(,)0y f a b =

当h 与k 充分小时，讨论(,)(,)f a h b k f a b ++-的符号，由二元函数泰勒公式

2111(,)(,)()(,)()(,)+1!2!11()(,)()(,),(01)!(1)!n n f a h b k f a b h k f a b h k f a b x y x y

h k f a b h k f a h b k n x y n x y θθθ+????

++=+

++++????????+++++<

当1n =时，有

''''2''''21(,)(,)(,)(,)[(,)22(,)(,)],01

x y xx xy yy f a h b k f a b f a b h f a b k f a h b k h f a h b k hk f a h b k k θθθθθθθ++-=+++++

+++++<<

由本题中的''

(,)(,)0x y f a b f a b ==，则

''2''

''21(,)(,)[(,)2(,)2(,)],01

xx xy yy f a h b k f a b f a h b k h f a h b k hk f a h b k k θθθθθθθ++-=++++++

++<<

又已知二阶偏导数在点(,)P a b 连续，当0h →与0k →时，有

''''(,)(,),0xx xx f a h b k f a b A θθααα++=+=+→ ''''(,)(,),0xy xy f a h b k f a b B θθβββ++=+=+→ ''''(,)(,),0yy yy f a h b k f a b C θθγγγ++=+=+→

于是

222211

(,)(,)(2)(2)22

f a h b k f a b Ah Bhk Ck h hk k αβγ++-=+++++

其中222h hk k αβγ++比222

h k ρρ=+（）是高阶无穷小，因此当h 与k 充分小时，

(,)(,)f a h b k f a b ++-的符号由222Ah Bhk Ck ++决定。因为h 和k 不能同时为零，不妨设0k ≠（当0,0k h =≠时，可得得到相同的结论）

22222=[()2]h h

Ah Bhk Ck k A B C k k

++++

令h

t k

=，则(,)(,)f a h b k f a

b ++-的符号由22D At Bt C =++的符号决定。由一元二次方程根的判别式，有

1）若判别式22(2)40B AC B AC ?=-=-<，对任意实数t ，D 与()A C 或有相同的符号，即点(,)P a b 是函数(,)f x y 的极值点：

i ）0(0)A C >>或，有(,)(,)0f a h b k f a b ++->恒成立，即点(,)P a b 是函数

(,)f x y 的极小点；

ii ）0(0)A C <<或，有(,)(,)0f a h b k f a b ++-<恒成立，即点(,)P a b 是函数

(,)f x y 的极大点。

2）若判别式20B AC ?=->，方程0D =有两个不同的实根1t 与2t ，设12t t <，D 在区间12(,)t t 内与在12(,)t t 外有相反的符号，即点(,)P a b 不是函数(,)f x y 的极值点。

3）若判别式2

0B AC ?=-=，不妨设0A ≠，则2B C A

=，得

222

22()()B B B B D At Bt A t t A t A A A A

=++=++=+

I ）0A >，有(,)(

,)0f a h b k f a b ++-≥恒成立，即点(,)P a b 是函数(,)f x y 的极小点；

ii ）0A <，有(,

)(,)0f a h b k f a b ++-≤恒成立，即点(,)P a b 是函数(,)f x y 的极

大点；

III ）=0A ，由判别式20B AC ?=-=知0B =，则2D At Bt C C =++=，需对

C 进一步讨论：

⑴0C >，有(,)(,)0f a h b k f a b ++-≥恒成立，即点(,)P a b 是函数(,)f x y 的极小点；

⑵0C <，有(,)(,)0f a h b k f a b ++-≤恒成立，即点(,)P a b 是函数(,)f x y 的极大点；

⑶0C =，有0A B C ===，此时可令二元函数泰勒公式中的2n =，得

2311(,)(,)()(,)()(,)+1!2!1()(,),(01)3!f a h b k f a b h k f a b h k f a b x y x y

h k f a h b k x y

θθθ????

++=+

++++??????

+++<

由'

(,)0x f a b =，'(,)0y f a b =及0A B C ===，上式可化为

3332

233

3231(,)(,)[(,)3(,)3!3(,)(,)],01f a h b k f a b h f a h b k h k f a h b k x x y

hk f a h b k k f a h b k x y y

θθθθθθθθθ??++-=++++++?????+++++<

二元函数(,)z f x y =在三维空间坐标系中表示的是一张曲面，而函数(,)f x y 在点(,)P a b 邻域内的曲面可以看成是过点(,)P a b 的所有平行于z 轴的平面与在点(,)P a b 邻域内的曲面(,)z f x y =相交产生的平面曲线的集合，所以曲面

(,)z f x y =在点(,)P a b 邻域内的点也可以看成是在点(,)P a b 邻域内的生成的平面曲线上的点。至于函数(,)f x y 在点(,)P a b 能否取得极值，是由点(,)P a b 与其邻域内的点的函数值相比较而决定的。

I ）当所有过点(,)P a b 的生成平面曲线（可看成一元函数）在点(,)P a b 都取得极大值时，则函数(,)f x y 在点(,)P a b 取得极大值；

II ）当所有过点(,)P a b 的生成平面曲线在点(,)P a b 都取得极小值时，则函数(,)f x y 在点(,)P a b 取得极小值；

III ）当所有过点(,)P a b 的生成平面曲线中，有的在点(,)P a b 取得极大值，有的在点(,)P a b 取得极小值，或在点(,)P a b 不取极值时，则函数(,)f x y 在点(,)P a b 不取极值。

可以得出用该方法求二元函数(,)f x y 极值的步骤：

1）由''(,)0(,)0

x y f x y f x y ?=??=??求出驻点或偏导不存在的点(,),0,1,2i i x y i =…；

2）作坐标平移变换i

i x X x y Y y z Z =+??

=+??=?，其中(,,)X Y Z 为新坐标系中的点，新坐标系中的

原点为原坐标系中的点(,,0)i i x y ，记为O ，则原二元函数变为(,)i i Z f X x Y y =++； 3）设Y kX =（k 为任意常数），此方程在原坐标系中表示经过点(,,0)i i x y 且平行

于z 轴的平面簇，而在新坐标系中表示过z 轴的平面簇，进而得到平面簇的函数表达式：

(,)

i i Z f X x Y y Y kX =++??

得(,)i i Z f X x kX y =++，即自变量为X 的一元函数，利用一元函数求极值的方法求出极值，由于在坐标平移中z Z =，即得出原函数的极值。

二、多元函数极值

1. 多元函数极值的定义

设函数:f E → 定义在集合m E ? 上，如果对于E 的内点0x ，存在邻域

0()U x E ?，对于任意0()x U x ∈时，有0()()f x f x ≤（0()()f x f x ≥），则称函数f 在E 的内点0x 有局部极大值（局部极小值）。

如果对于任意00()\x U x x ∈有严格不等式0()()f x f x <（0()()f x f x <），则称函数

f 在点0x 有严格局部极大值（严格局部极小值）。

函数的局部极大值与局部极小值统称为函数的极值。 2.多元函数极值存在的必要条件

设函数0:()f U x → 定义在点1000(,,)m

x x x = 的邻域0()m U x ? 上，并且它

在点0x 关于每个变量100,,m

x x 存在偏导数。如果函数f 在点0x 有局部极值，则有

001()0,,()0m

f x f x x x

??==?? 证明：考虑仅一个变量的函数11200()(,,,)m

x f x x x ?= ，由定理条件知，它在

实轴上的点10x 上的某个邻域内有定义，并且在点1

0x 上有局部极值，因此

1200001()(,,,)0m

x f x x x x ??=

类似地可以证明其余等式。

称向量001((),,())m f x f x x

???? 为函数f 在点0x 的梯度，记为0()gradf x ，

若该点的梯度为零（0()0gradf x =）则点0x 为函数f 的稳定点。

需要指出的是函数的极值点一定是稳定点，但稳定点不一定是极值点。

3. 多元函数极值存在的充分条件

我们首先说明一下多元函数的泰勒公式，如果函数:()f U x → 在点m

x ∈

的邻域()m U x ? 上有定义，并且属于函数类(1)(();)n C U x + ，而[,]()xx h Ux +?，

则有

1111111111(,,)(,,)()(,,)!

1()(,,),01(1)!n

m k m m k m n m m m f x h x h f x x h h f x x k x x h h f x h x h n x x

θθθ=+??

++=++++????

++++<<+??∑

证明：从单变量函数的泰勒公式入手，考虑辅助函数()()t f x th ?=+，由已知条件知其定义在闭区间01t ≤≤上并且属于(1)[0,1]n C +，则其在0t =点的泰勒公式为

()(1)11

()(0)(0)(),01!

(1)!

k n k t t k n ????θθ+==++

<<+∑ 又由归纳法可知()1

1()()()n m n

m t h h f x th x x

???=+++?? 则令0t =时得()111(0)()(,,)n m n m m h h f x x x

???=++??

令1t =时，得()(1)111

(1)()(0)(0)(),01!(1)!n

k n k f x h k n ????θθ+==+=++

<<+∑ 将函数()t ?用函数()f x th +替换即可得证。

再来设0:()f U x → 是定义在点1000(,,)m

x x x = 的邻域0()m U x ? 上且属于

(2)0(();)C U x 的函数，点0x 是函数f 的稳定点，称矩阵

1112121222120011,,,,,,(),,,m m m m m m x x x x x x m m x x x x x x i j i j x x x x x x x f f f f f f H f x x x f f f ==?????????==????

??????

????∑∑ 为函数f 在点0x 的Hesse 矩阵，则

1）当H 为正定矩阵时，点0x 是函数f 的局部极小值点； 2）当H 为负定矩阵时，点0x 是函数f 的局部极大值点； 3）当H 为不定矩阵时，需进一步讨论。

证明：设12(,,,)0m h h h h =≠ 且00()x h U x +∈，讨论00()()f x h f x +-的符号，

由多元函数的泰勒公式

1111111111(,,)(,,)()(,,)!

1()(,,),01(1)!n

m k m m k m n m m m f x h x h f x x h h f x x k x x h h f x h x h n x x θθθ=+??

++=++++????

++++<<+??∑

当1n =时

1111

1000000112111

001(,,)(,,)()(,,)1()(,,),012!m m m m m

m m m m f x h x h f x x h h f x x x x

h h f x h x h x x

θθθ??++=++++????++++<

又知点0x 是函数f 的稳定点，则0()0gradf x =，即

1100001(,,)=(,,)=0m m m

m h f x x h f x x x x

??=?? 可得

111121110000001211100111(,,)(,,)()(,,)2!1=(,,),012!m m m m m

m m m i j m

i j i j f x h x h f x x h h f x h x h x x

h h f x h x h x x

θθθθθ==??++-=

++++???++<

221

112

200111(,,)(,,)=()()2!1()(1),lim (1)02!m m m m

m i j i j

i j i

i j h i j f x h x h f x x h h f x o h x x h h h f x o o h h x x ==→==?++-+?????

+= ? ?????

∑∑∑∑

可看出当0h →时，00()()f x h f x +-符号完全由二次型2

011

()

i j m

i j

i j h h f x h h x x ==???∑∑

的符号决定，我们对它进行研究

令函数12

011()(,,)()m i j m m

i j

i j h h h h h g g f x h h h h

h x x ==?==??∑∑ ，它是定义在单位球面 {}(0;1)|1m S x x =∈= 上的连续有界函数，又因为球面S 是m 中的有界闭集，

于是函数()g x 上可以取得最小值m 和最大值M 。

1）如果H 为正定矩阵，那么有0m M <≤，即()g x 恒为正，00()()0f x h f x +->恒成立，点0x 是函数f 的局部极小值点；

2）如果H 为负定矩阵，那么有0m M ≤<，即()g x 恒为负，00()()0f x h f x +-<恒成立，点0x 是函数f 的局部极大值点； 3）如果H 为不定矩阵，不妨设0H ≠

I ）当有0m M <<时，设m e ，M e 是单位球面上的点，()m g e m =，()M g e M =。令

1m h t e =，其中10t >充分小，使得00()x h U x +∈，从而

2001111()()(()(1))((1))2!2

m m f x h f x t e g e o t m o +-=

+=+ 其中，当10t →时，0h →，则(1)0o →，于是00()()f x h f x +-的符号与m 的符号相同，为负；类似地，亦可令2M h t e =，其中20t >充分小，使得00()x h U x +∈，从而2

200221

()()(()(1))((1))2!

M M f x h f x t e g e o t M o +-=

+=+

其中，当20t →时，0h →，则(1)0o →，于是00()()f x h f x +-的符号与M 的符号相同，为正。即函数f 在点0x 的任意小邻域内既可以找到函数值大于0()f x 的点，又可以找到函数值小于0()f x 的点，故点0x 不是函数f 的局部极值点。 II ）当有0=m M <，设e ξ是单位球面上的任意点，()0g e ξξ=≤。令h te ξ=，其中0t >充分小，使得00()x h U x +∈，从而

0011()()(()(1))((1))2!

f x h f x te

g e o t o ξξξ+-=

+ 其中，当10t →时，0h →，则(1)0o →，于是00()()f x h f x +-的符号与ξ的符号相同，为非正，即00()()0f x h f x +-≤恒成立，点0x 是函数f 的局部极大值点；

III ）当有0m M =<，设e ζ是单位球面上的任意点，()0g e ζζ=≥。令h te ζ=，其中0t >充分小，使得00()x h U x +∈，从而

2001

()()(()(1))((1))2!

f x h f x te

g e o t o ζ

ζζ+-=+=+

其中，当10t →时，0h →，则(1)0o →，于是00()()f x h f x +-的符号与ζ的符号相同，为非负，即00()()0f x h f x +-≥恒成立，点0x 是函数f 的局部极小值点；

IV ）当有0m M ==时，()0g x ≡，即=0H 。再次考虑多元函数的泰勒公式，当2

n =时，有

1111

11000000112113111

000011(,,)(,,)()(,,)(21)(,,)()(,,),01

3!m m m

m m

m m m m m m m f x h x h f x x h h f x x h x x x

h f x x h h f x h x h x x x

θθθ???++=+++++??????++++++<

2001113

111

1()()()()2!(),01m

m m i j k i j

k i j m m m

i j k

i j k f x h f x f x h h f x x

x x h h h f x h x x x

θθ======??+-=++????

又知0()0gradf x =，及=0H 得

111

()()(),01m

i j k

i j k f x h f x h h h f x h x x x θθ===?+-=+<

首先说明一下曲面的第二基本形式，设曲面:(,)S r r u v =，在点(,)P u v 的切平面为p T ，单位法向量为

n 。现在我们计算曲面上点(,)P u v 附近一点

(,)Q u u v v +?+?到p T 的有向距离δ

[(,)(,)]PQ n r u u v v r u v n δ??==++-

由向量函数的泰勒公式

.111(,)(,)()(,)()!

(1)!(,),(01)n

k n k r u u v v r u v u v r u v u v k u v n u v r u u v v ??????θ?θ?θ+=????++=++++??+??++<<∑当2n =时

222

22221(,)(,)()(,)(2)2!(,),(01)

r u u v v r u v u v r u v u u v v u v u u v v

r u u v v ?????θ?θ?θ?????++=+++?+??+??????++<<可知

2222222

221[()(,)(2)2!1(,)](2)(),

uu uv vv PQ n u v r u v u u v v u v u u v v r u u v v n=r n u r n u v r n v o r δ???θ?θ??????==++?+??+??????++??+???+??+

令22II =2uu uv vv r n u r n u v r n v ??+???+??，则近似的可有2II =δ，即给定点的曲面的第二基本形式近似地等于曲面上该点的邻域内的点到该点的切平面的有向距离的两倍。

为了探究函数12(,,,)m z z x x x = 的极值问题，考虑1m + 中超曲面

{}121212(,,,),,,,(,,,)m m m r x x x x x x z x x x = 的第二基本形式 12212II ()m x x m x n x r x r x r ???=+++

其中1212m m

x x x x x x r r r n r r r ???=

??? ，{}

0,0,,1,,0,i i x x r z =

122121211100

010

(1){,,,,1}001m m m

m m x m x x x x x x x x e e e e z r r r =z z z z z ++???=--

其中121,,,,m m e e e e + 是1m + 中的一组标准正交基则{}

12111(1),,,,11m i

m x x x m

x i n z z z z +==

--+∑ ，又知{}

0,0,,0,i j i j x x x x r z =

则

{}

1211112

11111

1(1),,,,1110,0,,0,(1I )I 1i j m i

i j i j i

m i j x x x x x m

i j x i m

m x x x x m i j i j i j i j x i =n x x r z z z z z z d d d d x x x x z +========??=

--?

+??????

=-??????????+∑∑∑∑∑∑∑∑

考虑点000012

(,,,)m p x x x 是函数12(,,,)m z x x x 的稳定点，即有 120m x x x z z z ==== ，

则{}1(1)0,0,,0,1m n +=-- ，与1(0,0,,0,1)m e +=

共线，即超曲面12(,,,)m r x x x 过

点{}000

0120,,,,()m P x x x z p 的超切面平行于超曲面12m Ox x x 。

可以令1m n e +=，并规定1m e +的方向为正方向，即超曲面12(,,,)m r x x x 上点

{}0000120,,,,()m P x x x z p 附近点与过{}0000120,,,,()m P x x x z p 的超切面的有向距离

在超曲面12(,,,)m r x x x 向1m e +正侧弯曲时为正，反之为负。

则在点{}0000120,,,,()m P x x x z p 处超曲面12(,,,)m r x x x 的第二基本形式为

0211111II i j i j m

m i j x x x x P i j i j i j

z e x x r r d d x x +====?=??=??∑∑∑∑

由曲面第二基本形式的几何意义可知，超曲面在点{}000

0120,,,,()m P x x x z p 邻域内

的点到过{}0000120,,,,()m P x x x z p 的超切面的距离为0

I 12

I P δ=，可对函数z 在点

0p 的Hesse 矩阵1112121222120

011,,,,,,(),,,m m m m m m x x x x x x m m x x x x x x i j i j x x x x x x p z z z z z z H z p x x z z z ==??

???

??==????

??????

????∑∑ 进行讨论 1）当0H ≠且为半正定时，0II 0P ≥，即存在点0P 的某个邻域0()U P 使超曲面

12(,,,)m r x x x 在过点0P 的超切面的上方，即超曲面12(,,,)m r x x x 在点0P 取得极小值，点0p 亦是函数z 的极小值点；

2）当0H ≠且为半负定时，0II 0P ≤，即存在点0P 的某个邻域0()U P 使超曲面

12(,,,)m r x x x 在过点0P 的超切面的下方，即超曲面12(,,,)m r x x x 在点0P 取得极大值，点0p 亦是函数z 的极大值点；

3）当H 为不定时，0II P 的符号亦不定，即在点0P 的任意小邻域0()U P 内，超曲面12(,,,)m r x x x 有一部分点在过点0P 的超切面的上方，有一部分点在过点0

的超切面的下方，即超曲面12(,,,)m r x x x 在点0P 不取极值，则点0p 亦不是函数z 的极值点；

4）当0H =时，即超曲面12(,,,)m r x x x 在点0P 有122

12()0m x x m x n x r x r x r ???+++≡ ，

此时可取超曲面12(,,,)m r x x x 的第二基本形式为

123

12111

31111()1(1II )1m i j k

m m m

x x m x i j k x x x i j k m

m i j k

i j k i j k

x i n x r x r x r n x x x r r r z

dx dx dx x x x z ???========+++=????=

-???+∑∑∑∑∑∑∑

而013!

II P δ=

，可仿照122

12I ()I m x x m x n x r x r x r ???=+++ 的方法作进一步的讨论。三、有约束条件下的多元函数极值问题

1. 条件极值的定义

设:f D → 是定义在开集n

D ? 上且属于(2)(;)C D 类的函数，S 是用变

量方程组100()0()0

m F x F x ?=???=?

表示的D 中的约束条件，其中(2)

(;)(1,,)i F C D i m ∈= ，

如果存在D 上满足变量方程组S 的约束条件下的内点0x 的任意小邻域，即

00()()S U x S U x = （其中0()U x 是0x 在n D ∈ 中的任意小邻域），如果对于任意0()S x U x ∈时有0()()f x f x ≤（0()()f x f x ≥），则称函数f 在D 的内点0x 有满足约束条件S 的局部极大值（局部极小值）；如果对于任意00()\S x U x x ∈有严格不等式0()()f x f x <（0()()f x f x >），则称函数f 在点0x 有满足约束条件S 的严格局部极大值（严格局部极小值）。

从几何观点来看就是函数f 在曲面S 上的极值，更精确些说，就是函数f 在曲面S 的限制下的函数S

的极值。

2. 条件极值的必要条件

首先说明一个定理，设:f D → 是定义在开集n D ? 上且属于(1)

(;)C D 类

的函数，S 是D 中的光滑曲面且0x S ∈是f 的非极值点，如果0x 是函数S

的

局部极值点，则有00x x TS TN ?，其中0x TS 是曲面S 在0x 的切空间，而0x TN 是曲面

{}0()()N x D f x f x =∈=在0x 的切空间。

证明：取任意向量0x TS ξ∈及曲面S 上的一条光滑曲线()x x t =且满足

0(0)x x =和(0)dx dt

ξ=。如果0x 是函数S

的极值点，则光滑函数(())f x t 当0t =时

应当有极值，由极值必要条件知它在0t =时的导数为零，即满足条件'0()0f x ξ?=，

其中'000(),,()n f f f x x x

x ????= ????? ，1(,,)n

ξξξ= ，由于0x 是函数f 的非极值点，上式即为切空间0x TN 的方程，可知0x TN ξ∈，得证00x x TS TN ?。

如果曲面S 在点0x 的邻域内用方程组100()0

:()0

m F x S F x ?=?

??=?

来表示，那么空间0x TS

可以用线性方程组1110011001()()0()()0

n m m

n n F F x x x x F F x x x

x ξξξξ???++=?????

?????++=???? 来表示，而空间0x TN 可以用方

程1001()()0m m n

n f f x x x x

ξξ??++=?? 来表示，则与关系式00x x TS TN ?等价的解析写法是：向量0()gradf x 是向量0()(1,,)i

gradF x i m = 的线性组合，即

001

()()m

i i i gradf x gradF x λ==∑，该公式即为函数S

在点0x 取极值的必要条件。

拉格朗日在寻求条件极值时，引入了n m +个变量1

1(,)(,,,,,)

m x x x λλλ= 的辅助函数1(,)()()m

i i L x f x F x λλ==-∑，把求函数S

极值的必要条件转化为了

对函数(,)L x λ求极值的必要条件

1(,)()()0(1,,)(,)()0(1,,)i

i j j j

i i i

L f F x x x j n x x x L x F x i m λλλλ=????=-==??????

??===???∑ 当向量组(),(1,,)i

gradF x i m = 在任意的点x S ∈上均线性无关且函数S

的极值

点为1000(,,)n

x x x = 时，由上述方程可知变量1(,,)m =λλλ 的值唯一确定，即得

求条件极值的拉格朗日乘数法。 3.条件极值的充分条件

设:f D → 是定义在开集n D ? 上且属于(2)(;)C D 类的函数，

S 是用方程组100()0

()0

m F x F x ?=???=?

表示的D 中的曲面，其中(2)

(;)(1,,)i F C D i m ∈= 且函数组{}1

,,m

F F 在区域D 中的任意一点的秩等于m 。设拉格朗日函数

()(,)(,,)(,,)m

i m i i L x L x f x x F x x λλ===-∑

其中参数1,,m λλ 已根据函数S

在点0x S ∈取极值的必要条件而选定。

令211n

i j i j i j L H x x

ξξ==?=??∑∑，其中01(,,)n

x TS ξξξ=∈

1）如果H 对任意向量0x TS ξ∈是半正定的，则点0x 是函数S

f 的局部极小值点； 2）如果H 对任意向量0x TS ξ∈是半负定的，则点0x 是函数S

f 的局部极大值点；

3）如果H 对任意向量0x TS ξ∈是不定的，则点0x 不是函数S

f 的局部极值点；

4）如果0H ≡，需作进一步讨论

证明：首先注意到对于x S ∈，()()L x f x ≡，因此要证明点0x S ∈是函数S

f 的极

值点，需证明点0x S ∈是函数S

的极值点。由于函数S

在点0x S ∈满足取极

值的必要条件，即有0()0gradL x =，这意味着函数()L x 在点1

000(,,)n

x x x = 邻域内的泰勒公式为

0222000000111()()()()()(),(lim ()0)2!n n i i j j i j x x i j L L x L x x x x x x o x x o x x x x

→==?-=--+--=??∑∑

又由空间n 中曲面理论知存在光滑映射

11(,,)(,,)k n t t t x x x == 其中11(,,),(,,)()k k n n t t x x k n m ∈∈=- 可以将该映射写为()x x t =，它把点0(0,,0)k =∈ 的邻域双方单值地映成点

1000(,,)n

n x x x S =∈∈ 的某个邻域且0(0)x x =，则有关系式

()(0)(0)(),(lim ()0)t x t x x t o t o t →-=+=

等价于()(0)(0)()i i i

x x t x t o t t ???-=+?其中1,,i n = ，1(0)(0)i i k

j j j x x t t t t

?=??=??∑

则有

01(())((0))((0))(0)(0)(),lim ()02!

i j ij t L x t L x L x x x t t o t o t αβαβ→-=

???+=

而对于向量0x TS ξ∈，可设'

(0)=x t ξ，由此知向量ξ在点0x 与S 相切，记

1n =ξξξ （,,），1()(,,)()n x t x x t = ，1(,,)k

t t t =

则(0)i i x t α

αξ=?，(0)j j x t ββξ=?

可知二次型20011()(0)(0)()n n

i j

ij i j i j L L x x x t t =x H x x

αβ

αβξξ==????=??∑∑

1)如果0H ≠对任意向量0x TS ξ∈是半正定的，则(())((0))0L x t L x -≥恒成立，点

0t =是函数(())L x t 的局部极小值点，由于映射()t x t 把点(0,,0)k t =∈ 的某

个邻域变到曲面S 上点1000(0)(,,)n n

x x x x ==∈ 的某个邻域，可知点0x 是函数

S L 的局部极小值点，进而是函数S

的局部极小值点；

2)如果0H ≠对任意向量0x TS ξ∈是半负定的，则(())((0))0L x t L x -≤恒成立，点

0t =是函数(())L x t 的局部极大值点，同理可知点0x 是函数S L 的局部极大值点，

进而是函数S

的局部极大值点；

3)如果H 为不定的，则(())((0)Lxt

Lx -的符号无法确定，点0t =不是函数(())

L x t 的局部极值点，同理可知点0x 亦不是函数S

的局部极值点，进而也不是函数

的局部极值点；

4)如果0H ≡，即2011()0n

i j i j i j L x x x

ξξ==?≡??∑∑，此时函数()L x 在点1000(,,)n

x x x = 邻域

内的泰勒公式为

03330000000,,11()()()()()()(),(lim ()0)

3!n i i

j j k k i j k x x i j k L L x L x x x x x x x x o x x o x x x x x →=?-=---+--=???∑

可考虑30111()n

i j k i j k i j k L

x x x x

ξξξ===????∑∑∑的符号，仿照以上证明方法作进一步的讨论。

四、函数极值问题的应用

1. 最小二乘法

二元函数极值理论最经典的应用当属于最小二乘法，我们对最小二乘法予以说明。经过实测得到n 个数对(,),1,2,,i i x y i n = ，其中i y 是在i x 测得的值。在坐标平面上这n 个数对对应n 个点，设它们大体分布在一条直线附近。求一条直线

y ax b =+，使其在总体上与这n 个点的接近程度最好。

将点(,)i i x y 的坐标代入直线方程y ax b =+中，设i i i ax b y ε=+-，称i ε是点

(,)i i x y 到直线y ax b =+的偏差。易知若点(,)i i x y 在直线y ax b =+上，则偏差

0ε=；若点(,)i i x y 不在直线y ax b =+上，则偏差0ε≠。此时i ε可能是正数也可能是负数。为了消除符号影响，考虑2i ε。于是偏差平方和的大小，即

()n

i i i i ax b y ε

===+-∑∑

的大小在总体上刻画了这n 个点与直线y ax b =+的接近程度。为了使其接近程度最好，也就是求以a 与b 为自变量的函数

21(,)()n

i i i f a b ax b y ==+-∑

的最小值。求函数(,)f a b 最小值确定a 与b （从而确定直线方程y ax b =+）的方法叫做最小二乘法。

解：函数(,)f a b 的定义域是2 ，解方程组

1'1(,)2()0(,)2()0n a i i i i i n b i i i f a b ax bx y x f a b ax b y ==?=+-=????=+-=??∑∑即2111

1n n n

i i i i i i i n n

i i i i a x b x x y a x bn y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑ 得唯一稳定点00(,)a b ：

111

02211

2111102211()()()()()()()()n n n i i i i i i i n

i i i i n n n n

i i i i i i i i i n n i i i i n x y x y a n x x x y x y x b n x x ===========?

?=?-????-?=??-??

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 根据问题的实际意义，二元函数(,)f a b 在2 内必存在最小值，又知其只有一个稳定点。因此二元函数(,)f a b 必在该稳定点00(,)a b 取得最小值，得欲求直线方程00y a x b =+。

亦可采用本文已经说明的二元函数极值存在的充分条件理论予以验证：

2001(,)2n

i i f a b x ==∑，''001

(,)2n

i i f a b x ==∑，''

00(,)2bb

f a b n = 则2

''''2200000011(,)(,)(,)4()0n n

i i i i =f a b f a b f a b x n x ?==????-?=-

???

∑∑ 即0?<，''

00(,)0aa f a b >，

从而，唯一的稳定点00(,)a b 是函数(,)f a b 的极小值点。于是函数(,)f a b 在稳定点00(,)a b 取最小值，即欲求直线方程是00y a x b =+。 2. 二元函数极值的几何探讨

应用二元函数极值理论求极值的关键是求得这个二元函数的极值点，而针对一些不存在极值点的二元函数，该理论就束手无策了，此时我们可以考虑用本文已经讨论过的求二元函数极值的几何方法，笔者举了一个简单的例子以说明该方法是行之有效的，希望读者可以在具体的求解过程中将此方法应用并推广。

例如求二元函数22(1)(1)z x y =-+-在2 中的极值解：解方程组

'221(1)(1)1(1)(1)x y

x z x y y z x y -?=?-+-?

-?=

?-+-?

得出偏导不存在的点(1,1)，作坐标变换

11x X y Y z Z =+??

=+??=?

则原函数变为22Z X Y =+，原函数(,,)0f x y z =中的点(1,1,0)变为新函数(,,)0F X Y Z =中的点(0,0,0) 设方程Y kX =（k 为任意常数）表示过z 轴的平面，代入方程22Z X Y =

+中

得

22221Z X k X k X =+=+ 当0X >时，

0dZ dX >；当0X <时，0dZ

< 由一元函数极值判定定理知点0X =是函数21Z k X =+的局部极小值点，且极小值为0，即函数22Z X Y =+在点(0,0)取得极小值0，故函数

22(1)(1)z x y =-+-在点(1,1)取得极小值0。

函数极值的几何意义有很多应用，笔者举一例以说明用它可以求得空间中点到直

线的距离公式。

求三维欧式空间3 的一点(,,)a b c 到平面0Ax By Cz D +++=的距离.

解：设平面上任意一点(,,)x y z .此题就是求函数222

()()()r=x a y b z c -+-+-在约束条件0Ax By Cz D +++=下的最小值。

由于r 和2r 的极值点相同，可以讨论函数2222()()()r =x a y b z c -+-+-的极值点，根据拉格朗日乘数法，作辅助函数

222()()()()L x a y b z c Ax By Cz D λ=-+-+-++++

多元函数极值充分条件

定理10.2(函数取得极值的充分条件) 设函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的邻域内存在二阶连续偏导数，且00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =．记00(,)xx f x y A =， 00(,)xy f x y B =，00(,)yy f x y C =，则有 (1) 当20A C B ->时，00(,)x y 是极值点．且当0A >时，000(,)P x y 为极小值点；当0A <时，000(,)P x y 是极大值点． (2) 当20A C B -<时，000(,)P x y 不是极值点． (3) 当20A C B -=时，不能判定000(,)P x y 是否为极值点，需要另外讨论．证 (1) 利用二元函数的一阶泰勒公式，因 0000(,)(,)f x h y k f x y ++- 20000001(,)(,)(,)2x y f x y h f x y k h k f x h y k x y q q 轾抖犏=+++++犏抖臌， 01q << 由已知条件，00(,)0x f x y =,00(,)0y f x y =，故 20000001(,)(,)(,)2f x h y k f x y h k f x h y k x y q q 轾抖犏++-=+++犏抖臌 220000001(,)2(,)(,)2 xx xy yy f x h y k h f x h y k hk f x h y k k q q q q q q 轾=++++++++犏臌利用矩阵记号，记h r k 骣÷?÷?=÷?÷?÷桫，(,)r h k ￠=，0()A B Hf P B C 骣÷?÷?=÷?÷?÷桫，000(,)P r x h y k q q q +=++ 0000 0()()()()()xx xy xy yy f P r f P r Hf P r f P r f P r q q q q q 骣++÷?÷?+=÷?÷++÷?桫，可改写上式为 00()()f P r f P +-000 0()()1(,)()()2xx xy xy yy f P r f P r h h k k f P r f P r q q q q 骣骣++÷÷??÷÷??=÷÷??÷÷++?÷÷?桫桫01()2r Hf P r r q ￠=+ 01q << （1）进一步，又有 00()()f P r f P +-00011()[()()]22 r Hf P r r Hf P r Hf P r q ⅱ= ++- （2）当20A C B ->且0A >时，二次型0()r Hf P r ￠正定，因此对于任何00h r k 骣骣÷÷??÷÷??= ÷÷??÷÷?麋桫桫，0()0r Hf P r ￠>。特别地，在单位圆{22(,)1}Q x y x y +=上，连续函数0()Q Hf P Q ￠取得的最小值0m >。因此，对任何00h r k 骣骣÷÷??÷÷??= ÷÷??÷÷ ?麋桫桫，我们有 22 00()(())r r r Hf P r r Hf P r m r r ⅱⅱ = ￠另一方面，由于(,)f x y 二阶偏导数在点000(,)P x y 连续，对任何:02 m e e <<，总可取0d >，使得0r d ￠<<时，有 00()()xx xx f P f P r q e -+<，00()()xy xy f P f P r q e -+<，00()()yy yy f P f P r q e -+< 从而， 220000[()()][()()]2r Hf P r Hf P r r Hf P r Hf P r r r q q e ⅱ+-Ｗ+-? 于是，

高等数学第九章多元函数极值典型问题

1 设函数2 2(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常数a ，并确定极值的类型． 2 求函数2 2 z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值． 3（04研）设(,)z z x y =是由2 226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数，求(,)z z x y =的极值点和极值． 4 求函数23 u xy z =在条件x y z a ++=（其中,,,a x y z R + ∈）下的条件极值．

1 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常数a ，并确定极值的类型．分析这是二元函数求极值的反问题，即知道(,)f x y 取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题．解因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在，因此点(1,1)-必为驻点，则有 2(1,1) (1,1) (1,1)(1,1) 40220f x a y x f xy y ----??=++=??????=+=???，因此有410a ++=，即5a =-．因为 22 (1,1) 4f A x -?==?，2(1,1) (1,1) 22f B y x y --?= ==-??， 22 (1,1)(1,1) 22f C x y --?===?， 2242(2)40AC B ?=-=?--=>，40A =>，所以，函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值． 2 求函数22z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值．分析这是多元函数求最值的问题．只需要求出函数在区域内可能的极值点及在区域边界上的最大值和最小值点，比较其函数值即可．解由 20z x y x ?=-=?，20z y x y ?=-=?解得0x =，0y =，且(0,0)0z =．在边界1,0,0x y x y +=≥≥上， 22()313(1)133z x y xy x x x x =+-=--=-+，它在[0,1]上最大值和最小值分别为1和 1 4 ；同理，在边界1,0,0x y x y +=-≤≤上有相同的结果．在边界1,0,0x y x y -=-≤≥上， 22()1(1)1z x y xy x x x x =-+=++=++，

多元函数求极值(拉格朗日乘数法)

第八节多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。教学重点：多元函数极值的求法。教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。教学内容：一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 ),(00y x 的点，如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <，则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >，则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。例1 函数2 243y x z +=在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面 2 243y x z +=的顶点。

例２函数2 2y x z +-=在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面2 2y x z +-=的顶点。例３函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： ),(,0),(0000==y x f y x f y x 证不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有 0),(00=y x f x 类似地可证 ),(00=y x f y

多元函数的极值与最值例题极其解析

多元函数的极值与最值 1.求函数z=x3+y3?3xy的极值。步骤： 1)先求驻点(另偏导数等于0，联立) 2)再求ABC A=f xx(x0, y0) B=f xy(x0, y0) C=f yy(x0, y0) 3)(1)当B2-AC<0时，f(x，y)在点(x o，y o)处取得极值，且当A<0时取得极大值f(x o，y o)，当A>0时取得极小值f(x o，y o),当A<0时取得极大值f(x o，y o); (2)当B2-AC>0时，f(x o, y o )不是极值; (3)当B2-AC=0时，f(x o,y o)是否为极值不能确定，需另做讨论. =3x2?3y=0 解：?z ?x ?z =3y2?3x=0 ?y 联立得驻点为(0,0),(1,1) A=f xx(x0, y0)=6x(对x求偏导,再对x求偏导) B=f xy(x0, y0)=-3(对x求偏导,再对y求偏导) C=f yy(x0, y0)=6y(对y求偏导,再对y求偏导) 在点(0,0)处，A=0,B=-3，C=0,由B2-AC=9>0,故在此处

无极值。在点(1,1)处，A=6,B=-3,C=0, B2-AC=-27<0,又因为 A>0,故在此处为极小值点，极小值为 F (1, 1) =x3+y3?3xy=?1 2.求函数f(x, y)=x2+(y?1)2的极值。解：f x’=2x=0 F y’=2y-2=0 联立得驻点为(0,1) A=f xx(x0, y0) =2 B=f xy(x0, y0) =0 C=f yy(x0, y0) =2 在点(0,1)处A=2，B=0，C=2由B2-AC=-4<0,又因为A>0,故在此处为极小值点，极小值为 F (0, 1) = 0 3.制造一个容积为a的无盖长方体，使之用料最少，则长宽高为多少？解：另长宽高分别为x, y, z 故xyz=a, z=a xy S=xy+2(x a xy +y a xy )=xy+2(a y +a x ) S x’=y+2(?a x2 )=0 S y ’= x+2(?a y )=0

二元函数的极值与最值

二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件：设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值；当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02 >-AC B 时，),(00y x 不是极值点。注意：当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值．【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232 -=??， x y y z 22-=??． x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z ．再求函数的驻点．令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 2 32．利用定理2对驻点进行讨论：

“图解法解二元函数的最值问题”

“图解法解二元函数的最值问题” 教学课例昌平区第一中学回春荣

“图解法解二元函数的最值问题”教学课例一、设计意图：在新课程背景下的教学中，课堂上我们应是以“问”的方式来启发学生深思，以“变”的方式诱导学生灵活善变，使整堂课有张有弛，真正突出了学生是教学活动的主体的原则。本节内容是在学习了不等式、直线的方程的基础上，利用不等式和直线的方程有关知识展开的，它是对二元函数的深化和再认识、再理解，是直线、圆和不等式的综合运用，同时它又对理解下一章“圆锥曲线”的相关内容有着很好的帮助作用，所以这一部分内容起到了一个巩固旧知识，熟练方法，理解新知识的承上启下的作用。图解法在解决函数求最值的问题上有着广泛的应用，这节课为学生提供了广阔的思维空间，对培养学生自主探索、合作研究、主动发现问题、分析问题，创造性地解决问题的能力有着丰富的素材。教学上通过设置问题情境、多媒体展示，学生动手操作，使学生在“做中学”，学生在实际操作中，既发展了学生的个性潜能，又培养了他们的合作精神。二、本课教学目标 1、知识与技能:通过识图、画图，学会解决有约束条件的二元函数最值问题的处理方法——图解法。 2、过程与方法:经历约束条件为二元一次不等式组，目标函数为具有截距、斜率、距离等几何意义的二元函数的最值问题的探究过程，提炼出解决这类问题的方法——以图定位，以算定量。 3、情感态度与价值观:通过对有约束条件的二元函数的最值问题的探究，培养学生科学严谨的治学态度，勇于探索、敢于创新的学习精神，同时感受合作交流的快乐。三、教学过程与教学资源设计（一）、教学内容：图解法解二元函数的最值问题（二）、教学设计流程图：

多元函数极值的判定

. .. . 目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract............................................................................................................. .. (1) Keywords.......................................................................................................... .. (1) 引言 (1) 1定理中用到的定义 (2) 2函数极值的判定定理.............................................................. .. (5) 3多元函数极值判定定理的应用 (7) 参考文献 (8)

多元函数极值的判定摘要：通过引入多元函数的导数，给出了多种方法来判定多元函数的极值. 关键词：极值；条件极值；偏导数；判定 The judgement of the extremum of the function of many variables Abstract：This paper passes to lead into the derivative of the function of many variables, and give several methods to judge the extremum of the

function of many variables and the conditional extremum of the function of many variables . Keywords : extremum; conditional ;partial derivative 引言在现行的数学分析教材中，关于多元函数的极值判定，一般只讲到二元函数的极值判定，在参考文献[1]和[3]中有关多元函数极值的判定是都是在实际情况中一定有极值的问题，本文将引入多元函数的偏导数把二元函数的极值判定推广到多元函数极值问题中去. 1 定理中用到的定义定义1.1[]1 函数f 在点000(,)P x y 的某领域0()U P 有定义.若对于任何点 0(,)()P x y U P ∈，成立不等式 0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥），则称函数f 在点0P 取得极大值（或极小值），点0P 称为f 的极大值（或极小值）点. 定义1.2[]1 设函数(,)z f x y =， (,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈,且0(,)f x y 在 0x 的某一领域有定义，则当极限 0000000(,)(,)(,) lim x xf x y f x x y f x y x x →+-= 存在时，称这个极限为函数f 在点00(,)x y 关于x 的偏导数，记作 00(,) x y f x ??. 定义1.3[]3 设n D R ?为开集，12(,, ,)n P x x x D ∈，00 0012 2(,,,)P x x x D ∈ :f D R →，若在某个矩阵A ，使当0()P U P ∈时，有 000 ()()() lim P P f P f P A P P P P →----, 则称n 元函数12(,, ,)n f x x x 在点0P 可导.称A 为在点0P 处的导数，记为

多元函数求极值(拉格朗日乘数法)

第八节多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。教学重点：多元函数极值的求法。教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。教学内容：一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <，则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >，则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从

几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面 2243y x z +=的顶点。例２函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。例３函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： 0),(,0),(0000==y x f y x f y x 证不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义，在点 ),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有 0),(00=y x f x

(整理)多元函数的极值及其求法

第六节多元函数的极值及其求法在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题. 与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系. 下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题. 内容分布图示 ★ 引例 ★ 二元函数极值的概念例1-3 ★ 极值的必要条件 ★ 极值的充分条件 ★ 求二元函数极值的一般步骤 ★ 例4 ★ 例5 ★ 求最值的一般步骤 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 条件极值的概念 ★ 拉格郎日乘数法 ★ 例12 ★ 例 13 ★ 例 14 ★ 例 15 ★ 例 16 *数学建模举例 ★ 最小二乘法 ★ 线性规划问题 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-6 ★ 返回内容提要：一、二元函数极值的概念定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x , 如果 ),,(),(00y x f y x f < 则称函数在),(00y x 有极大值；如果 ),,(),(00y x f y x f > 则称函数在),(00y x 有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 定理1 (必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数, 且在点),(00y x 处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即 .0),(,0),(0000==y x f y x f y x (6.1) 与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点. 定理2 (充分条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有直到二阶的连续偏导

多元函数的极值及其求法

第十一讲二元函数的极值要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题．一．二元函数的极值定义设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有 ),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值．函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点 )0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．例2．函数2 2 43y x z +=在点)0,0(处有极小值．因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ．从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2 2 43y x z +=的顶点，曲面在点 )0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件．定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ．几何解释若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ，那么函数所表示的曲面在点),,(000z y x 处的切平面方程为 ))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=- 是平行于xoy 坐标面的平面0z z =．类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ，0),,(000=z y x f y ，0),,(000=z y x f z

(完整版)求函数极值的几种方法

求解函数极值的几种方法 1.1函数极值的定义法说明：函数极值的定义，适用于任何函数极值的求解，但是在用起来时却比较的烦琐. 1.2导数方法定理（充分条件）设函数()f x 在0x 处可导且0()0f x '=，如果x 取0x 的左侧的值时，()0f x '>，x 取0x 的右侧的值时，()0f x '<，那么()f x 在0x 处取得极大值，类似的我们可以给出取极小值的充分条件. 例1 求函数23()(1)f x x x =-的单调区间和极值解 23()(1)f x x x =- ()x -∞<<+∞， 3222()2(1)3(1)(1)(52)f x x x x x x x x '=-+-=--. 令 ()0f x '=，得到驻点为10x =，22 5 x = ，31x =.列表讨论如下：表一：23()(1)f x x x =-单调性列表说明：导数方法适用于函数()f x 在某处是可导的，但是如果函数()f x 在某处不可导，则就不能用这样的方法来求函数的极值了.用导数方法求极值的条件是：函数()f x 在某点0x 可导. 1.3 Lagrange 乘法数方法对于问题： Min (,)z f x y = s.t (,)0x y =

如果**(,)x y 是该问题的极小值点，则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 利用这一性质求极值的方法称为Lagrange 乘法数例2 在曲线3 1(0)y x x = >上求与原点距离最近的点. 解我们将约束等式的左端乘以一个常数加到目标函数中作为新的目标函数2231 ()w x y y x λ=++- 然后，令此函数对x 的导数和对y 的导数分别为零，再与原等式约束合并得 43 320201x x y y x λλ?+=?? +=???=? 解得 x y ?=? ?= ?? 这是唯一可能取得最值的点因此 x y == . 说明：Lagrange 乘法数方法对于秋多元函数是比较方便的，方法也是比较简单的 :如果**(,)x y 是该问题的极小值点则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 这相当于一个代换数，主要是要求偏导注意，这是高等代数的内容. 1.4多元函数的极值问题由极值存在条件的必要条件和充分条件可知，在定义域内求n 元函数()f p 的极值可按下述步骤进行：①求出驻点，即满足grad 0()0f p =的点0p ；②在0 p

多元函数的极值及其应用

多元函数的极值及其应用作者：程俊指导老师：黄璇学校：井冈山大学专业：数学与应用数学

【摘要】多元函数的极值是函数微分学中的重要组成部分，本文对几种特殊的多元函数进行了简单的介绍，对多元函数的极值常见的求法进行了研究，并引入其在生活中、生产中解决实际问题的广泛应用，突显这一学术课题在生活中的重大意义。如今构建经济型节约社会慢慢成为我们共同努力的方向，而最优化问题是达到这一目标的有效途径，其常常有与多元函数的极值息息相关。对函数极值的研究不仅把理论数学推上一个高度，给经济方面，生活方面带来的益处不容小觑，本人浅谈极值问题，为了抛砖引玉，希望这一课题能有更广大额发展空间【关键词】：多元函数；极值；生活中的应用

目录 Ⅰ引言 (1) Ⅱ多元函数极值的介绍………………………………………… 2.1什么是多元函数………………………………………… 2.2函数的极值理论………………………………………… Ⅲ几种函数的极值的常见求法……………………………… 3.1高中极值求法的弊端………………………………… 3.2拉格朗日乘数法……………………………………… 3.3消元法…………………………………………………… 3.4均值不等式法…………………………………………… Ⅳ多元函数在生活中的应用……………………………………

引言历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它有助于我们提高对函数的认识。而函数的极值的作用已经蔓延到经济领域，在各种解决最优化中应用广泛，从而引发了本人对该课题的研究兴趣。编者 2014年2月

二元函数极值问题

5 0x >时， 1,z x ?=? 0x <时，1z x ?=-?. 因此在0x =时偏导数不存在. 由此可见，函数的极值点必为 f x ??及f y ??同时为零或至少有一个偏导数不存在的点. 3.2极值的充分条件设函数),(y x f z =在点的某个邻域内连续且有二阶连续偏导数,又 0),(00'=y x f x 且0),(00'=y x fy ,记二阶连续偏导数为 A y x f xx =),(00', B y x f xy =),(00', C y x f yy =),(00', AC B -=?2,则函数),(y x f z =在),(00y x 点处是否取得极值的条件如下: (1) 当0A 时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极小值; (3) 当0>?时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处不取得极值; (4) 当0=?时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处可能取得极值,也可能不取得极值. 4. 求二元函数的极值的步骤要求函数的极值，首先要求出所有使函数的偏导数等于零或偏导数不存在的点，然后讨论该点周围函数的变化情形，以进一步判断是否有极值，为此我们讨论f ?，若(,)f x y 的一切二阶导数连续，则由泰勒公式并注意到在极值点必须0x y f f ==，就有 222 000000200001(,)(,)((,)22(,)(,)) x xy y f f x x y y f x y f x x y y x f x x y y x y f x x y y y θθθθθθ?=+?+?-=+?+??++?+???++?+??. 由于(,)f x y 的一切二阶偏导数在00(,)x y 连续，记200(,)x A f x y =，00(,)xy B f x y =，200(,)y C f x y =，那就有

多元函数条件极值的几种求解方法

多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。关键词极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式 Multivariate function of several conditional extreme value solution Abstract This paper mainly discusses the multivariable function conditional extreme value problem solving, including the unconditional extreme value, conditional extreme value concept of multivariate function is introduced, and several methods of solving condition limit the wraparound, including direct generation into law, Lagrange multiplier method, methods of cauchy inequality, including Lagrange multiplier method also introduces the differential and second-order partial derivative namely Hesse matrix method, etc. This paper introduces the multivariable function about solving several methods of conditional extreme value, which can provide in solving the relevant question readers may be reference when, find the appropriate way to solve the problem. Meanwhile introducing method also has some deficiencies in its done, and further discussion. Key words Extreme; Lagrange multiplier method; Cauchy inequality

(整理)多元函数的极值.

实验六多元函数的极值【实验目的】 1．多元函数偏导数的求法。 2．多元函数自由极值的求法 3．多元函数条件极值的求法. 4．学习掌握MATLAB 软件有关的命令。【实验内容】求函数3282 4-+-=y xy x z 的极值点和极值【实验准备】 1．计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1.定义多元函数),(y x f z = 步骤2.求解正规方程0),(,0),(==y x f y x f y x ,得到驻点步骤3.对于每一个驻点),(00y x ,求出二阶偏导数,,,22222y z C y x z B x z A ??=???=??= 步骤4. 对于每一个驻点),(00y x ,计算判别式2B AC -,如果02 >-B AC ,则该驻点是极值点,当0>A 为极小值, 0

MATLAB 中主要用diff 求函数的偏导数,用jacobian 求Jacobian 矩阵。可以用help diff, help jacobian 查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练习1 求函数3282 4-+-=y xy x z 的极值点和极值.首先用diff 命令求z 关于x,y 的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果为 ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y 即.48,843y x y z y x x z +-=??-=??再求解正规方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve 命令，当方程组不存在符号解时，solve 将给出数值解。求解正规方程的MATLAB 代码为： >>clear; >>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y') 结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数： >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>A=diff(z,x,2) >>B=diff(diff(z,x),y) >>C=diff(z,y,2) 结果为 A=2*x^2 B =-8 C =4 由判别法可知)2,4(--P 和)2,4(Q 都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上，)2,4(--P 和)2,4(Q 是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。 >>clear; >>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5; >>[X,Y]=meshgrid(x,y);