第二讲：分式与分式方程，一元二次方程及应用
二：分式经典考题剖析】
1. 已知分式
25,45
x x x ---当x ≠______时，分式有意 义；当x=______时，分式的值为0．
2. 若分式2
21
x x x --+的值为0，则x 的值为（ ）
A ．x=－1或x=2
B 、x=0
C ．x=2
D ．x=－1
3.（1） 先化简，再求值：231
()11x x x x x x
---+
，其中2x =. （2）先将221
(1)1x x x x
-?++化简，然后请你自选一个合理的x 值，求原式的值。
（3）已知0346x y z
==≠，求x y z x y z
+--+的值
4.计算:（1）()241222a a a a -÷-?+-； （2）222x x x ---； （3）2
214122x x x x x x
++??+-÷ ?--??
（4）x y x y x x y x y x x -÷
?????
???? ??--++-3232； （5）4214121111x x x x ++++++-
5. 阅读下面题目的计算过程：
2
3211x x x ---+＝()()()()()
213
1111x x x x x x ---+-+- ① ＝()()321x x --- ②
＝322x x --+ ③ ＝1x -- ④
（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。 （2）错误原因是 。 （3）本题的正确结论是 。
（二）：一元一次方程
一：知识梳理：
1.方程的分类
???????
?整式方程有理方程方程分式方程
无理方程
2.方程的有关概念
（1）方程：含有 的等式叫方程。
（2）有理方程：_________________________________________统称为有理方程。 （3）无理方程：__________ 叫做无理方程。 （4）整式方程：___________________________________________叫做整式方程。 （5）分式方程：___________________________________________叫做分式方程。 （6）方程的解： 叫做方程的解。 （7）解方程： _叫做解方程。 （8）一元一次方程：___________________________________叫做一元一次方程。 （9）二元一次方程：___________________________________叫做二元一次方程 3．①解方程的理论根据是：_________________________
②解方程（组）的基本思想是：多元方程要_________,高次方程要__________. ③在解_____方程，必须验根.要把所求得的解代入______进行检验；
5. 二元一次方程组的解法．
（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一个方程
中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．
（2）减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做
加减消元法，简称加减法．
6．整体思想解方程组． （1）整体代入．如解方程组3(1) 5 5(1)3(5) x y y x -=+??
-=+?①②
，方程①的左边可化为3(x+5)－18=y+5③，把②中的3（x+5）看
作一个整体代入③中，可简化计算过程，求得y ．然后求出方程组的解．
（2）整体加减，如1
+3y 19 3
13x+y 11 3x ?=???
?=??
①
②因为方程①和②的未知数x 、y 的系数正好对调，所以可采用两个方程整体相加减求解．利用①+②，得x+y=9③，利用②－①
得x －y=3④，可使③、④组成简单的方程组求得x ，y ．
7.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系：在同一直 坐标系中，两个一次函数图象的交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点，
8.用作图象的方法解二元一次方程组：（1）将相应的二元一次方程组改写成一次函数的表达式；（2）在同一坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）观察图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解． 二．【例题讲解】 1. 解方程：12
733)1(2-=-++x
x x
2. 若关于x 的方程：(3)(2)
10354
k x k x x +--=-
与方程1252(1)3x x --+=的解相同，求k 的值。
3. 在代数式ax by m ++中，当2,3,4x y m ===时，它的值是零；当3,6,x y =-=-4m =时，它的值是4；求a b 、的值。
4. 要把面值为10元的人民币换成2元或1元的零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共有换法（ ）A. 5种；B. 6种；C. 8种；D. 10种
5. 如图是某风景区的旅游路线示意图，其中B 、C 、D 为风景点，E 为两条路的交叉点，图中数据为相应两点的路程（单位：千米）。一学生从A 处出发以2千米／小时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5小时。
（1）当他沿着路线A →D →C →E →A 游览回到A 处时，共用了3小时，求CE 的长；
（2）若此学生打算从A 处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A 处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由（不考虑其它因素）。
（二）一元二次方程
一：【知识梳理】
1. 一元二次方程：只含有一个 ，且未知数的指数为 的整式方程叫一元二次方程。它的一般
形式是 （其中 、 ）
它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有 实数；当△=0时，方程有 数
根；当△＜0时，方程有 实数根；
一元二次方程根的求根公式是 、（其中 ） 2．一元二次方程的解法：
⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一
元二次方程：ax 2
＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上 的绝对
值一半的平方；④化原方程为2
(x+m)=n 的形式；⑤如果n 0≥就可以用两边开平方来求出方程的解；如果
n=＜0，则原方程无解．
⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是 2
(40)b ac -≥ 注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为 。 ⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做 ．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
3．一元二次方程的注意事项：
⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如
关于x 的方程（k 2－1）x 2
+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．
⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a 、b 、c 的值；③求
出b 2－4ac 的值；④若b 2－4ac ≥0，则代人求根公式，求出x 1 ,x 2．若b 2
－4a ＜0，则方程无解．
⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2
=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）
⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法． 二、【例题讲解】
1. 分别用公式法和配方法解方程：2
232x x -=
2. 选择适当的方法解下列方程：
（1）27(23)28x -=； （2）223990y y --=
（3）2
21x +=； （4）2(21)3(21)20x x ++++=
3. 已知22222
()()60a b a b +-+-=，求2
2
a b +的值。
4. 解关于x 的方程：2
(1)20a x ax a --+=
5. 阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案．
已知：m 是关于x 的方程mx 2
－2x ＋m ＝0的一个根，求m 的值．
三．分式方程
一：【知识梳理】
1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程； 3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式
方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。验
根的方法是将所求的根代人 或 ，若 的值为零或 的值为零，则该根就是增根。 4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性． 5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。
6. 分式方程的解法有 和 。 二．例题讲解：
1. 解下列分式方程：25211
111 332552323
x x x x x x x x x -+=+==+---++（）； （2）； （）；
2222213(1)1142312211x x x x x x x x x x x x -++?
???+=+=+-+= ? ?--++?
???（4）； （5）； （6）
2. 解方程组：11131129
x y x y ?-=?????=
?? 分析：此题不宜去分母，可设1x ＝A ，1y -＝B 得：13
29A B A B ?+=?????=-??，用根与系数
的关系可解出A 、B ，再求x y 、，解出后仍需要检验。
3. 若关于x 的分式方程226224
m x x x x -+=+--有增根，求m 的值。
4. 某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，
而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6 m 3
，求该市今年居民用水的价格．
5. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售每吨利润涨至7500元。当地一公司收获这种蔬菜140吨，其加工厂生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。你认为哪种方案获利最多？
为什么？
（四）解应用题
一：【知识梳理】
2.列方程解应用题的步骤:
（1）审题：仔细阅读题，弄清题意；
（2）设未知数：直接设或间接设未知数；
（3）列方程：把所设未知数当作已知数，在题目中寻找等量关系，列方程；
（4）解方程；
（5）检验：所求的解是否是所列方程的解，是否符合题意；
（6）答：注意带单位．
二．例题讲解：
1.A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米，?如果甲乙二人分别从A、B两地相向而行，
甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行路程正好相等，?求甲乙二人的骑车速度．
2.某市为了进一步缓解交通拥堵现象，?决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路。为
使工程能提前3?个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？
3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库
存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
4.某音乐厅5月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，?入场券分为团体票和零售票，
其中团体票占总票数的2
3
．若提前购票，则给予不同程度的优惠，在5月份内，团体
票每张12元，共售出团体票数的3
5
，零售票每张
16元，共售出零售票数的一半．如果在6月份内，团体
票要按每张16元出售，并计划在6月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月
的票款收入持平？
5.要建一个面积为150m 2
鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为am ，另三边用 竹篱笆围成，如图，如果篱笆的长为35m ，（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中墙的长度a 对题目的解 起着怎样的作用？
A
B
D E
F
可化为一元二次方程的分式方程 【知识要点】 1. 分式方程的定义 2. 一般分式方程的解法 3. 列方程解应用题 【重难点】 分式方程的判别及其解法 【经典例题】 例1．下列方程哪些是分式方程？ （1）0152=-+x x （2）13222=+x x （3）10 15711=-++x x （4） z x y x z y -=-+-111 （5）5 41212-+-x x x 例2．解分式方程2132=+-x x 例3．解方程25311322=-+-x x x x 例4、k 为何值时，方程3 232 -=--x k x x 会产生增根？
例5．某空调厂的装配车间，原计划用若干天组装150台空调，厂家为了使空调提前上市，决定每天多组装3台，这样提前3天超额完成了任务，总共比原计划多组装6台，问原计划每天组装多少台？ 例6．某村计划开挖一条长为1500m 的水渠，渠道的断面为等腰梯形，渠道深0.8m ，下底宽 1.2m ，坡角为 45,实际开始挖渠道时，每天比原计划多挖土203m ，结果比原计划提前4天完工，求原计划每天挖土多少立方米． 例7、今年五月，某工程队（有甲、乙两组）承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．（1）已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙 两组合做能否在规定时间内完成？（2）在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的6 5后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．
21.5一元二次方程的应用（5） 学习目标：1.掌握分式方程的计算方法； 2.进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能； 学习重点：分式方程转化为一元二次方程 学习难点：用换元法解分式方程 一． 学前准备 1. 分式方程的定义：_________________________________________________; 2. 解分式方程的思想是______________,步骤有__________________________ 3. 解下列分式方程 6710(1);453x x -=-+ 221(2);11x x =--- 1(3)0;22y y y y --=+- 2233(4)111x x x x +-=-+- 二． 探究活动 （一） 师生互动·合作交流 1. 某校组织学生春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元。问原来这组学生的人数是多少？ 本题的等量关系是：原来这组学生每人分摊的费用-加人后该组学生每人分摊的费用=3元，由此可得方程。
2. 印刷一张矩形的张贴广告，如图。它的印刷面积是322 dm ，上下空白各1dm ，两边空白 各0.5dm 。当要求四周空白处的面积是182dm 时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽。 思路分析：根据图形知： 广告纸的面积=印刷面积+四周空白处的面积=____+____=____ 广告纸的长=印刷部分的长+____dm 广告纸的宽=印刷部分的宽+_____dm 由印刷部分和广告纸都是矩形，且面积已知。因而，可确定它们的长和宽的关系，再借助图形的面积关系就可列出方程。 （二） 步步高升·解决问题 请同学们思考一下下面的这个分式方程我 们该如何去解决呢？ 221512 x x x x ++=+ 思路分析：本方程在求解时如直接去分母，就会得到一个次数高于二次的整式方程，不易求解。这时，可考虑如下面所采用的换元的方法求解：用一个未知数y 替换方程中某个含原未知数x 的式子，然后，先解出y ，再去解x,这种方法叫做换元法。 解： 三． 自我测试 1. 解方程22315132x x x x +-+=-+时，设231 x y x +=-，则原方程化成整式方程就是_____________________； 2. 方程241x x x =+的解是__________. 3. 如果用换元法解分式方程2214301x x x x +-+=+，并设21x y x +=,那么原方程可化为____________________; 4. 用换元法解方程2( )2()8011 x x x x +-=++ 5. 用换元法解方程223433x x x x +-=+
一元二次方程及其应用 一、选择题 1（2015?酒泉）今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（） A．2500x2=3500 B．2500（1+x）2=3500 C．2500（1+x%）2=3500 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500 2．（2015?安徽）我省2013年的快递业务量为亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．（1+x）= B．（1+2x）= C．（1+x）2= D．（1+x）+（1+x）2= 3．（2015?日照）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20% B．40% C．-220% D．30% ( 1. （2016·湖北随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（） A．20（1+2x）= B．（1+x）2=20 C．20（1+x）2= D．20+20（1+x）+20（1+x）2= 2. （2016·江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（） A．2B．1C．﹣2D．﹣1 3. （2016·辽宁丹东）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为． 4.（2016·四川攀枝花）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（）A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4 5．（2016·广西桂林）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 ] 6.（2016·贵州安顺）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（） A．b=﹣3B．b=﹣2C．b=﹣1D．b=2 8. （2016·云南省昆明市）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．无法确定 9.(2016河北3分）a，b，c为常数，且（a-c）2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为0
一元二次方程的特殊解法举例 解一元二次方程并不是中考单独考查的重点，但它是解题的工具，许多题目都要用到它。熟练掌握解一元二次方程的方法，做到解题快速、准确，是提高成绩必不可少的。常规的公式法等这里不再赘述，只对有些特殊方程特殊解法做一些介绍。 一、当方程含未知数的项与完全平方式相近并且系数较大时，常采用配方法解这个方程。 例1 解方程x 2－12x=9964。 分析：此题常数项绝对值较大，因数较多，采用因式分解法、公式法都不简便，应考虑配方法。 解：原方程即x 2－12x ＋36=10000，(x －6)2=1002。 两边开方，得x －6=±100，即x 1=106，x 2=－94。 二、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的系数满足a ±b ＋c=0时，x=±1是方程的根，这时可先将方程左端分解出因式x=±1。 例2 解方程9406x 2－8289x －1117=0。 分析：这个方程各项系数的绝对值都比较大，用公式法解计算量很大。仔细观察原方程，发现各项系数的和为零，故方程有一根为1。因此方程左边可分解为(x －1)(9406x ＋1117)，则另一根为x=－9406 1117。 解：观察可知方程有一根为1，则。 ∴ x 1=1，x 2=－ 94061117。 三、当二次项系数比较复杂时，常将二次项系数化为1或化为完全平方数。 例3 解方程169x 2－39x －2=0。 分析：这个方程的二次项169x 2=(13x)2，一次项－39x=－3(13x)，故可将13x 整体解出。 解：原方程即 (13x)2－3·(13x)－2=0。 解得 13x=2173+或13x=2 173-。 ∴ x 1=26173+，x 2=26 173-。 例4 解方程6x 2＋19x ＋10=0。 解：将原方程两边同乘以6，得到 (6x)2＋19·(6x)＋60=0。 解得 6x=－15或6x=－4。 ∴ x 1=－25，x 2=－3 2。 四、对于广义的“一元二次方程”，可采用换元法求解。 例5 解方程x x x ++2226＋62422++x x x =3。 解：令x x x ++2226=t ，则原方程转化为t ＋t 2=3，即t 2－3t ＋2=0。解得t 1=2，t 2=1。
实际问题与一元二次方程练习题 教学内容 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题． 教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题． 重难点关键 1 ．?重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题． 2 ．?难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （口述）1．直角三角形的面积公式是什么？?一般三角形的面积公式是什么呢？ 2 ．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又
是什么? 3 .梯形的面积公式是什么？ 4 .菱形的面积公式是什么？ 5 .平行四边形的面积公式是什么？ 6 .圆的面积公式是什么？ （学生口答，老师点评） 二、探索新知 现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题. 例1 .某林场计划修一条长750m断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6 m2, ?上口宽比渠深多2m渠底比渠深多0.4m. （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm, 则上口宽为x+2, ?渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模. 解：（1）设渠深为xm 则渠底为（x+0.4 ）m,上口宽为（x+2）m 依题意，得：丄（x+2+x+0.4 ）x=1.6 2 整理，得：5x2+6x-8=0 解得：X i=- =0. 8m, X2=-2 (舍) 5
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解 【考纲要求】 1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程； 2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 它的一般形式为2 0ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：把方程变成2 x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x m =m ＝0时， 方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．
（2）配方法：通过配方把一元二次方程2 0ax bx c ++=变形为2 22 424b b ac x a a -? ?+= ?? ?的形式，再利用直接开平方法求得方程的解． （3）公式法：对于一元二次方程2 0ax bx c ++=，当2 40b ac -≥时，它的解为 x =． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 要点诠释： 直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法． 易错知识辨析： （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元 二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 3．一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式为ac 4b 2 -=?． △>0?方程有两个不相等的实数根； △＝0?方程有两个相等的实数根； △<0?方程没有实数根． 上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释： △≥0?方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么a c x x a b x x 2121=?-=+，． 要点诠释： （1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． （2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法． （3）一元二次方程0c bx ax 2 =++(a ≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情况；②根据参系数的性质确定根的范围；③解与根有关的证明题． （4）一元二次方程根与系数的应用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；②已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；③已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
一、相关知识点 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02 =++c bx ax 才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 二．解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如n x =2 或)0()(2 ≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未 知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2 的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0
1.在下列命题中，正确的是（ ） A ．一组对边平行的四边形是平行四边形 B ．有一个角是直角的四边形是矩形 C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当A C ⊥B D 时，它是菱形 C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形 4.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．． 的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形 B ．如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形 C ．如果A D 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形 D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 5.（2007德州）如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =，则AF 等于（ ） A ． B ． C ． D ．8 6.（2008潍坊）如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（ ） A ．5cm B ．8cm C ．9cm D ．10cm 7.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（ ）。 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 232057 x +-= 9.下列方程中,常数项为零的是 ( ) D C B A Ａ Ｆ Ｃ Ｄ ＢＥ Ｂ Ｆ Ｃ Ｅ Ｄ Ａ A D
一元二次方程及其应用 ◆课前热身文档设计者： 设计时间 ： 文档类型： 文库精品文档，欢迎下载使用。Word 精品文档，可以编辑修改，放心下载 1．如果2是一元二次方程x 2 ＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ． 2.方程042=-x x 的解______________． 3．方程240x -=的根是（ ） A ．2x = B ．2x =- C ．1222x x ==-， D ．4x = 4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ． 【参考答案】1.－3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.2 16(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断， 注意一元二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接
1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如)0(2 ≥=a a x 或)0()(2 ≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用 直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二 次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2 ()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解. （3）公式法：一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 221,2 4(40)2b b ac x b ac a -±-=-≥. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程 的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. ◆典例精析 例1（湖南长沙）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程， 原方程成立，即06332 =--k 成立，解得k=1。故选A 。 例2（湖北仙桃）解方程：2 420x x ++= 【分析】根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点，可用配方法求解. 【答案】2 42x x +=-
中考数学压轴题破解策略专题1《一元二次方程的特殊根》 破解策略 1．一元二次方程的有理根 关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为有理数）存在有理根的条件 为：b 2－4ac 是一个有理数的平方． 解决一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为有理数）的有理根问题时，一般 的解题策略有： （1）利用“判别式的取值范围”解题 ①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，求出判别式； ②根据已知条件得待定系数的取值范围，再求出判别式的取值范围，筛选出其中为有理数的平方的数； ③求出待定系数的可能取值，并检验． （2）利用“判别式是一个有理数的平方”解题 ①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，将方程的系数整数化，求出判别式； ②将判别式写成△＝M 2－t 的形式（M 为关于待定系数的整式，t 为整数），设M 2－t ＝ m 2（m 为非负有理数） ③可得（Ｍ＋m ）（Ｍ－ｍ）＝t ，解此不定方程； ④求出待定系数的可能取值，并检验． ２．一元二次方程的整数根 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为有理数）而言，方程的根为整数 且必为有理数，所以有理根存在的条件是整数根存在的必要条件． 解决方程ax 2＋bx ＋c ＝0的整数根问题，除了利用“判别式的取值范围”和“判别式是 一个有理数的平方”来解题外，还可以利用“根与系数的关系”和“因式分解”来解决问题． （1）利用“根与系数的关系”解题 ①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，利用根与系数的关系求出两根的和与积； ②将两根的和与积的代数式写成一个整式与一个分式的和的形式（类似于分离常量）； ③由分式的结果一定为整数，根据整除的性质得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值； （2）利用“因式分解”解题 ①讨论二次项系数的情况，当a ≠0时，将方程化为（m 1x ＋n 1）（m 2x ＋n 2）＝0的形式； ②求出方程的两根，x 1＝11m n -和x 2＝2 2m n -； ③利用分离常量的方法，将11m n -，2 2m n -变成一个常数与一个分式的和； ④根据整除的性质，得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值； ⑤将待定系数的可能取值代入原方程检验并确定结果． 需要注意的是，要看清楚题中说的是方程有整数根还是方程的根为整数． 3．分离常量 在利用“根与系数的关系”解题和利用“因式分解”解题的过程中都提到了分离常量，所谓分离常量就是从分式中化出一个常数，例如： ①1 31131113112+-=+-++=+-+=+-m m m m m m m m ；
一元二次方程及其解法（一） 特殊的一元二次方程的解法—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想. 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点诠释： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常 数项． 要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.一元二次方程根的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.
第十六期：一元二次方程 一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。题型多样，一般分值在6－9分左右。 知识点1：一元二次方程及其解法 例1：方程0232 =+-x x 的解是（ ） A ．11=x ，22=x B ．11-=x ，22-=x C ．11=x ，22-=x D ．11-=x ，22=x 思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x －1）(x －2)=0,所以x －1=0或x －２=0，解得x １=１，x ２=２．故此题选Ａ． 例2：若2 20x x --= ） A B C D 思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知x 2－x=2, 所以原式=3 3 23 123222= +-+，选A. 练习： 1.关于x 的一元二次方程2x 2－3x －a 2 +1=0的一个根为2，则a 的值是（ ） A ．1 B C ． D ．2.如果1-是一元二次方程2 30x bx +-=的一个根，求它的另一根． 3.用配方法解一元二次方程：x 2－2x －2=0． 答案：1.D. 2.解： 1-是230x bx +-=的一个根， 2(1)(1)30b ∴-+--=．解方程得2b =-．
∴原方程为2230x x --= 分解因式，得(1)(3)0x x +-= 11x ∴=-，23x =. 3.移项，得x 2－2x=2． 配方x 2－2x+12=2+12， （x －1）2=3. 由此可得x －1=±3， x 1=1+3，x 2=1－3. 最新考题 1.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2 (3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______． 2.（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ． 3.（2009山西省太原市）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()2 29x += D ．()2 29x -= 答案：1.1； 2.答案不唯一，如2 1x = 3. B 知识点2：一元二次方程的根与系数的关系 例1：如果21,x x 是方程0122 =--x x 的两个根，那么21x x +的值为： （A ）－1 （B ）2 （C ）21- （D ）21+ 思路点拨：本题考查一元二次方程02 =++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是a b - ， 两根之积是a c ，易求出两根之和是2。答案：B 例2：设一元二次方程2 730x x -+=的两个实数根分别为1x 和2x ， 则12x x += ，x 1、·x 2 ．
一元二次方程的特殊根问题 模块一 一元二次方程的公共根 1．一元二次方程公共根问题的一般解法： （1）如果公共根可以根据其中一个方程求出，则先求出公共根，代入另外一个方程，得到某一个参数的一个方程，解得参数． （2）如果公共根不能直接求出，则先设出公共根，然后代入原方程，通过恒等变形求出参数的值和所有方程的根． 模块二 一元二次方程的整数根 1．判断整系数一元二次方程是否有整数根的思路： 判断整系数一元二次方程ax bx c 2++=0是否有整数根问题的过程中，整除的性质、求根公式、判别式与根系关系起十分重要的作用． 2．解整系数一元二次方程整数根问题的常用方法 （1）直接求根法：当一元二次方程的根很容易通过分解因式求出时，我们可以直接利用整除的性质讨论当根为整数时参数的取值（能因式分解优先考虑）． （2）利用判别式法：在一元二次方程有整数根的前提下，利用判别式△必须是完全平方式，且△≥0，利用这条性质可以确定整参数的值，但需要验证这些值是否使方程的根为整数． （3）利用韦达定理：由韦达定理（根系关系）得到用待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母得出不定方程来求解，或利用“和与积必须是整数”，结合整除性分析求解．但后者必须进行检验所求的参数值要满足判别式△≥0．（一般用于实参数） 模块一 一元二次方程的公共根 例1、已知关于x 的方程x kx 2 +-2=0的一个解与方程x x x 2+7=3-1 的解相同． （1）求k 的值 （2）求方程x kx 2+-2=0的另一个解． 【解析】（1）由题意可以得到x x x 2+7=3-1 ， 即x x 2 +4+3=0，解得x 1=-1，x 2=-3， 经检验x 1=-1，x 2=-3都是方程x x x 2+7=3-1 的解． ①当两方程相同的解为x =-1时，则得k 1--2=0，解得k =-1； ②当两方程相同的解为x =-3时，则得k 9-3-2=0，解得k 7 =3 ． 综上所述k =-1或者k 7 =3 ． （2）由（1）得x =-1或者x =-3是方程x kx 2+-2=0的一个解， 由韦达定理得方程的另外一个解为x =2或x 2 =3 ， 【点评】这是一道中考题，难度偏基础，主要是把我们前面的方程综合起来的这样一道公共解的题目，还有就是考 查孩子们对于多种情况一一进行讨论的思想，也就是强调数学学习的严谨性，希望同学们学会解决这种基础题的方法． 例2、（1）求k 的值，使得关于x 的一元二次方程x kx 2+-1=0，()x x k 2++-2=0有相同的根，并求两个方程的根． （2）已知1x 为方程x kx 2+-2=0的根，x 2为方程x kx 22+7+3=0的根，且x x 12=2，求k 的值． 【解析】（1）不妨设a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有 a ka 2+-1=0 ……①， ()a a k 2++-2=0……②．
一元二次方程及其应用 ◆课前热身 1．如果2是一元二次方程x 2＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ． 2.方程042=-x x 的解______________． 3．方程240x -=的根是（ ） A ．2x = B ．2x =- C ．1222x x ==-， D ．4x = 4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ． 【参考答案】1.－3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.216(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型:
考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后 再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接 1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程， 就可用直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方
一元二次方程，分式方程解应用题 1、某人用1000元人民币购买一年期的甲种债券，到期后兑换人民币并将所得利息购买一年期的乙种债券，若乙种债券的年利率比甲种债券低2个百分点，到期后某人的乙种债券可兑换人民币108元，求甲种债券的年利率。 分析：利息=本金×利率×存期 本息=本金+利息 甲种债券利息×（1+乙种债券利率）×存期=108 2、某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只需交10元用电费，如果超过A度，则这个 月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度 A 100 元交费。 （1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则超过部分应该交电费多少元（用A表示） （2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况： 月份用电量（度）交电费总数（元） 3月80 25 4月45 10 根据上表的数据，求电厂规定A度为多少？ 3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
4、某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元， 甲、丙两队合做5天完成全部工程的23 ，厂家需付甲、丙两队共5500元。 （1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ （2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。 5、甲、乙两车同时从A 地出发，经过C 地去B 地，已知Ｃ、Ｂ相距180千米，出发时，甲每小时比乙多行5千米，因此，乙经过C 地比甲晚半小时，为赶上甲，乙从C 地将车速每小时增加10千米，结果两车同时到达B ，求两车出发时速度？ 6、某商场今年一月份销售额为60万元，二月份销售额下降10%，后改进经营管理，月销售额大幅度上升，到四月份销售额已达到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少（精确到0.1%）？ 7、小明将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入少儿银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共66元，求这种存款的年利率。
分式方程与一元二次方程应用（20题） 一．分式方程 1．星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度． 2．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划平均每天生产多少个零件？ 3．黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？ 4．甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天． （1）求乙队筑路的总公里数； （2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里． 5．某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务． （1）问实际每年绿化面积多少万平方米？ （2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
二、一元二次方程 6．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽 度为多少米？ 7．巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率． 8．列方程解应用题： 某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？ 9．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品； （2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
一元二次方程概念及解法是九年级数学上学期第一章第一节内容，主要对一元二次方程概念和直接开平方法及因式分解法对一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是开平方法及因式分解法解特殊一元二次方程．通过本节课的学习对一元二次方程有个整体的认识，为后面的解方程打下基础. 1一元二次方程的概念 1.1 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程． 1.2 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一 元二次方程． 2一元二次方程一般式的概念 任何一个关于x的一元二次方程都可以化成() 200 ax bx c a ++=≠的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中2 ax叫做二次项，a是二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项． 3一元二次方程的解 能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根． 一元二次方程概念及解法知识结构 模块一：一元二次方程的概念 知识精讲 内容分析
【例1】 下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程． （1）20x =； （2）()()33140x x -++=； （3）()()3210x y --=； （4）4 2=0x x -； （5）21 323 x x -=； （6）20ax bx c ++=，（a b ，为已知数）； （7）2(3)(2)5x x x +-=+； （8）2(3)8(3)a x a -=≠． 【难度】★ 【答案】（1）、（2）、（5）、（8）是一元二次方程，其余不是一元二次方程． 【解析】（1）、（2）、（5）、（8）化为一般式后满足一元二次方程定义，是一元二次方 程；（3）含有两个未知数，（4）是分式方程，（6）没有强调二次项系数不为0，（7） 化成一般式后，二次项抵消，是一元一次方程．故（3）、（4）、（6）、（7）不是一 元二次方程． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念． 【例2】 当k ________时，方程2(3)60k x kx --+=一元二次方程． 【难度】★ 【答案】3k ≠． 【解析】令二次项系数不为0，即30k -≠，解得：3k ≠． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念． 【例3】 方程(1)(2)2x x ++=的一般形式是_______，二次项系数是________，常数项是 ________． 【难度】★ 【答案】230x x +=， 1， 0． 【解析】去括号，得：2322x x ++=， 移项得：230x x +=，所以二次项系数是1，常数项是0． 【总结】本题考查了一元二次方程的一般形式和各项系数的相关概念． 例题解析
——一元二次方程与分式方程 1．了解：一元二次方程的概念；一元二次方程的解；分式方程的概念. 2．理解：一元二次方程的解法；根的判别式；分式方程的增根. 3．会：识别一元二次方程；识别一个数是不是一元二次方程的解；判断一元二次方程根的情况；根与 系数的关系;识别分式方程；识别分式方程的增根；解分式方程. 4．掌握：由实际问题抽象出一元二次方程，一元二次方程的应用；分式方程的解法及其应用. 5．能：灵活选择适当的方法解一元二次方程；由实际问题抽象出分式方程. 1．从考查的题型来看，主要以解答题为主，占的分值比较大,属于中档题,少数题目以填空题或选择题的 形式考查.属于中档题. 2．从考查内容来看,涉及本知识点的重点有：一元二次方程的定义及解法；根的判别式；根与系数的关 系；分式方程与一元二次方程的实际应用 3．从考查热点来看,涉及本知识点的有:分式方程的增根问题;根与系数的关系;分式方程与一元二次方程 的解法及其实际应用. 1．一元二次方程 （1）判断方程是否是一元二次方程的方法：一元二次方程必须具备三个条件①必须是整式方程；②必须只含有1个未知数；③所含未知数的最高次数是2．（在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 当给出一个一元二次方程时，如何选取上述方法更快更好的解方程： i）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解； ii）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解； iii）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数或常数项非常大,可考虑用配方法求解； iiii）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方． 温馨提示：若只是判断方程解的情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可． 应用一元二次方程的根的判别式时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况①有两个相等的实数根；②有两个不相等的实数根． （4）一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝ b a ，x1·x2＝ c a ． 2．分式方程