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第2课时 映射与函数
课时目标 1.了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射.2.知道函数与映射的关系．
1．映射的概念
设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中____________________元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的______．这时，称y 是x 在映射f 作用下的____，记作______，x 称作y 的______．
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2．一一映射
如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的______________，在集合A 中都__________，这时我们说这两个集合的元素之间存在______________，并把这个映射叫做从集合A 到集合B 的___________________________________________． 3．映射与函数
由映射的定义可以看出，映射是______概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是__________．
一、选择题
1．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是( ) A ．A 中的每一个元素在B 中必有象
"
B ．B 中每一个元素在A 中必有原象
C ．A 中的一个元素在B 中可以有多个象
D ．A 中不同元素的象必不同
2．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )
3．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( )
A ．f ：x →y ＝12x
B ．f ：x →y ＝1
3
x
^
C ．f ：x →y ＝2
3
x D ．f ：x →y ＝x
4．设集合A 、B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，象(2,1)的原象是( )
A．(3,1)
D．(1,3)
5．给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：
①A＝{你们班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；
②M＝{1,2,3,4}，N＝{2,4,6,8}，f：n＝2m，n∈N，m∈M；
③M＝R，N＝{x|x≥0}，f：y＝x4；
，
④A＝{中国，日本，美国，英国}，B＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f：对于集合A 中的每一个国家，在集合B中都有一个首都与它对应．
上述四个对应中是映射的有______，是函数的有______，是一一映射的有________．( )
A．3个2个1个B．3个3个2个
C．4个2个2个D．2个2个1个
6．集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有( ) A．3个B．4个C．5个
二、填空题
7．设A＝Z，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，C＝R，且从A到B的映射是x→2x－1，从B到
C的映射是y→1
2y＋1
，则经过两次映射，A中元素1在C中的象为________．8．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表：
映射f
映射g
则f[g(1)]的值为
9．根据下列所给的对应关系，回答问题．
①A＝N*，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；
【
②A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－1|，x∈A，y∈B；
③A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；
④A＝R，B＝R，f：x→y＝1
x＋|x|
，x∈A，y∈B.
上述四个对应关系中，是映射的是________，是函数的是________．
三、解答题
10．设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中A＝{正实数}，B＝R，f：x→x2－2x－1，求A中元素1＋2的象和B中元素－1的原象．
*
？
11．下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数(
(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝
1
x＋1
；
(2)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,64}，
f：a→b＝(a－1)2.
(3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x；
(4)A＝{x|x是平面M内的矩形}，B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆．
-
能力提升
|
12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是( ) A．?B．?或{1}
C．{1}D．?
13．已知A＝{a，b，c}，B＝{－2,0,2}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)．求满足条件的映射的个数．
，
*
。
1．映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向
的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往是不一样的．
2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．
3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A 中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，至于B 中的每一个元素是否都有原象，则不作要求．
4．对映射认识的拓展
映射f ：A →B ，可理解为以下三点： `
(1)A 中每个元素在B 中必有唯一的元素与之对应；
(2)对A 中不同的元素，在B 中可以有相同的元素与之对应；
(3)A 中元素与B 中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多．
第2课时 映射与函数
知识梳理
1．有一个且仅有一个 映射 象 f(x) 原象 2.任意一个元素 有且只有一个原象 一一对应关系 一一映射 3.函数 非空数集 作业设计 @
1．A [由映射的定义知只要集合A 中的任意一个元素在B 中有且只有一个元素与之对应，就能构成一个映射，故B 、C 、D 都错，只有A 对．]
2．D [选项A 中元素1在B 中有2个象，故A 错；选项B 中元素2没有象对应，故B 错；选项C 的错与选项A 相同；只有D 符合映射的定义．]
3．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对
应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝8
3
?Q ，故选
C .] 4．B
6．B [由于要求f(3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能．]
解析 A 中元素1在B 中象为2×1－1＝1，
！
而1在C 中象为12×1＋1＝1
3
.
8．1
解析 g(1)＝4，∴f[g(1)]＝f(4)＝1. 9．①③ ①
解析 ①对x∈A ，在f ：x→y＝3x ＋1作用下在B 中都有唯一的象，因此能构成映射，又A 、B 均为数集，因而能构成函数；
②当x ＝1时，y ＝|x －1|＝|1－1|＝0?B ，即A 中的元素1在B 中无象，因而不能构成映射，从而不能构成函数．
③对高一(2)班的每一个同学都对应着自己的身高，因而能构成映射，但由于高一(2)班的同学不是数集，从而不能构成函数．
④当x≤0时，|x|＋x ＝0，从而1
|x|＋x 无意义，因而在x≤0时，
~
A 中元素在
B 中无象，所以不能构成映射．
10．解当x＝1＋2时，x2－2x－1＝(1＋2)2－2×(1＋2)－1＝0，所以1＋2的象是0.
当x2－2x－1＝－1时，x＝0或x＝2.
因为0?A，所以－1的原象是2.
11．解(1)当x＝－1时，y的值不存在，
∴不是映射，更不是函数．
(2)在f的作用下，A中的0,1,2,9分别对应到B中的1,0,1,64，∴是映射，也是函数．
(3)∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，
∴不是映射，更不是函数．
(4)是映射，但不是函数，因为A，B不是数集．
12．B[由题意可知，集合A中可能含有的元素为：当x2＝1时，x＝1，－1；当x2＝2时，x＝2，－ 2.
所以集合A可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．
无论含有几个元素，A∩B＝?或{1}．故选B.]
13．解(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有一个映射；
(2)当A中三个元素对应B中两个时，
满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，
分别为2＋0＝2,0＋2＝2，
(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.
(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有两个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0.
因此满足条件中的映射共有7个．