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弹簧典型例题剖析

1. 弹簧的弹力不能突变，它的变化要经历一个过程，这是由弹簧形变的改变要逐渐进行决定的。在瞬间内形变量可以认为不变，因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。

2、弹簧上的弹力是变力，弹力的大小随弹簧的形变量发生变化，求弹力的冲量和弹力做功时，不能直接用冲量和功的定义式，一般要用动量定理和动能定理计算。如果弹簧被作为系统内的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机械能。

3对于只有一端有关联物体，另一端固定的弹簧，其运动过程可结合弹簧振子的运动规律去认识，突出过程的周期性、对称性及特殊点的应用。如当弹簧伸长到最长或压缩到最短时，物体的速度最小（为零），弹簧的弹性势能最大，此时，也是关联物的速度方向发生改变的时刻。若关联物与接触面间光滑，当弹簧恢复原长时，物体速度最大，弹性势能为零。若关联物与接触面间粗糙，物体速度最大时弹力与摩擦力平衡，此时弹簧并没有恢复原长，弹性势能也不为零。

4、两端联物的弹簧，弹簧伸长到最长或压缩到最短时，相关联物体的速度一定相同，弹簧具有最大的弹性势能；当弹簧恢复原长时，相关联物体的速度相差最大，弹簧对关联物体的作用力为零。若物体再受阻力时，弹力与阻力相等时，物体速度最大。针对此类问题，要立足运动和受力分析，在解题方法上以动量定理、动量守恒定律和动能定理等为首选。

1at x =

时间，加速度，位移。三者联系枢纽。弹簧串联2

111k k k +=，弹簧并联k=k 1+k 2

1、一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定,下端系一质量为m 的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。。现让木板由静止开始以加速度a(a ＜g ＝匀加速向下移动。

求经过多长时间木板开始与物体分离。

解：设物体与平板一起向下运动的距离为x 时，物体受重力mg ，弹簧的弹力F=kx 和平板的支持力N 作用。据牛顿第二定律有： mg-kx-N=ma 得N=mg-kx-ma

当N=0时，物体与平板分离，所以此时k

a g m x )

(-=

因为22

1at x =

，所以ka

a g m t )

(2-=

。

2、如图所示，在重力场中，将一只轻质弹簧的上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量为M 的木板，木板下面再挂一个质量为m 的物体．当剪掉m 后发现：当木板的速率再次为零时，弹簧恰好能恢复到原长，(不考虑剪断后m 、M 间的相互作用)则M 与m 之间的关系必定为 ( Ｂ )

A.M>m

B.M=m

C.M

D.不能确定

解：M 在最高点的合外力是Ｍｇ，所以在最低点的合外力一定也是M Ｇ，而当剪断m 的时候，合外力为mg ，所以Ｍ＝ｍ

3、如图所示，质量为m1的框架顶部悬挂着质量分别为m2、m3的两物体（m2＞m3）．物体开始处于静止状态，现剪断两物体间的连线取走m3，当物体m2向上运动到最高点时，弹簧对框架的作用力大小等于（m2－m3）g ，框架对地面的压力等于（m1＋m2－m3）g .

4、如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P 处于静止，P 的质量m=12kg ，弹簧的劲度系数k=300N/m 。现在给P 施加一个竖直向上的力F ，使P 从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s 内F 是变力，在0.2s 以后F 是恒力，g=10m/s 2

,则F 的最小值是，F 的最大值是。

解：因为在t=0.2s 内F 是变力，在t=0.2s 以后F 是恒力，所以在t=0.2s 时，P 离开秤盘。此时P 受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。在0_____

0.2s

这段时间内P 向上运动的距离： x=mg/k=0.4m

m2 m3

因为22

1at x =

，所以P 在这段时间的加速度22

/202s m t

x a ==

当P 开始运动时拉力最小，此时对物体P 有N-mg+F min =ma,又因此时N=mg ，所以有F min =ma=240N. 当P 与盘分离时拉力F 最大，F max =m(a+g)=360N.

5、如图9所示，一劲度系数为k =800N/m 的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m =12kg 的物体

A 、

B 。物体A 、B 和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F 在上面物体A 上，

使物体A 开始向上做匀加速运动，经0.4s 物体B 刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g =10m/s 2

，求：

（1）此过程中所加外力F 的最大值和最小值。（2）此过程中外力F 所做的功。

解：(1)A 原来静止时：kx 1=mg ①

当物体A 开始做匀加速运动时，拉力F 最小，设为F 1，对物体A 有：

F 1＋kx 1－mg =ma ②

当物体B 刚要离开地面时，拉力F 最大，设为F 2，对物体A 有：

F 2－kx 2－mg =ma ③

对物体B 有：kx 2=mg ④ 对物体A 有：x 1＋x 2＝

1at ⑤

由①、④两式解得 a =3.75m/s 2

，分别由②、③得F 1＝45N ，F 2＝285N (2)在力F 作用的0.4s 内，初末状态的弹性势能相等，由功能关系得：

W F =mg (x 1＋x 2)+

=2)(2

1at m 49.5J

6、如图所示，两个质量均为m 的重物A 、B 用劲度系数为k 的轻弹簧连结后，竖直放到水平地面上，B 与地面接触，开始A 、B 均静止。今用竖直向上拉力F 作用在A 上，且F

= mg ，下列说法正确的是（AB ）

A ．A 上升最大高度为

mg 2 B ．A 上升时间为 k

m π

C ．A 上升过程中，该系统机械能守恒

D ．A 上升过程中，弹簧对A 弹力冲量为 k

m F π?

解：AB 。

开始时，受F 力作用时，弹性势能转变成弹簧恢复原长时物体的动能，物体再上升时，物体的动能又转变成弹性势能，物体增加的重力势能由外力F 做功提供，上升时机械能不守恒。开始弹簧被压缩，设压缩量为x ，则kx = mg ，x = mg/k ，物体再上升的高度仍为x ，故物体上升的最大高度为2x ，则2x=2mg/k 。物体做简谐振动的周期k

m T π

2=，而物体

从受F 力作用开始，上升到最大高度这段时间为

m T π

。在上升过程中，弹簧对A 的

作用力在前

T 内方向向上，后

T 内对A 的作用力方向向下，其大小不断变化，但总冲量为

零。

7、物块A1、A2、B1和B2的质量均为m ，A1、A2用刚性轻杆连接，Bl 、B2用轻质弹黄连结，两个装置都放在水平的支托物上，处于平衡状态，如图所示.今突然撤去支托物，让物块下落，在除去支托物的瞬间，A1、A2受到的合力分别为FA1和FA2，B1、B2受到的合力分别为FB1和FB2，则B

A ．FA1=0．FA2=2mg ，FB1=0，FB2=mg

B ．FA1=mg ，FA2=mg ，FB1=0，FB2=2mg

C ．FA1=mg ，FA2=2mg ，FB1=mg ，FB2=mg

D ．FA1=mg ，FA2=mg ，FB1=mg ，FB2=mg

8、如图所示，物块B 和C 分别连接在轻弹簧的两端，将其静置

于吊篮A 的水平底板上，已知A 、B 、C 三者质量相等且为m ，则将

挂吊篮的轻绳烧断的瞬间，吊篮A 、物块B 和C 的瞬时加速度分别为：（ C ）

A.g 、g 、g

B.g 、g 、0

C.1.5g 、1.5g 、0

D.g 、2g 、0

[解析] 此问题应用到弹簧的弹力不能突变的性质。未烧断绳子之前，C 受到一个重力mg 和弹簧的弹力F 弹，两者平衡。绳烧断瞬间，F 弹不能突变，大小仍为mg ，所以物块C 在轻绳烧断的瞬间，瞬时加速度a C =0。

若物体A 和B 之间没弹力，则a A =g ，而B 的合外力则为mg+F 弹=2mg ，所以a B =2g ，显然这种情况是不可能的。

A 1 A 2 B

B 1

当绳被烧断后，A 和B 的加速度应该相等，AB 可看成一个整体来分析，绳子未断之前，它们受重力2mg ，弹簧向下的弹力F′弹=mg ，绳子向上的拉力T=3mg ，处于平衡状态。绳子断的瞬间，拉力T 消失，而弹簧的弹力不能突变，所以它们受到的合力向下，大小为3mg ，由牛顿第二定律可得：3mg=2ma AB ，则a A =a B =1.5g 。

因此本题的正确选项为C 。

对B 作受力分析可知：吊篮A 和物块B 之间的弹力N=0.5mg 。

注：要注意两物体“刚性接触” 和“弹性接触” 的区别。对于吊篮A 和物块B ，由于它们是刚性接触，它们之间的相互作用力可发生突变，因此在轻绳烧断的瞬间A 和B 的加速度相等。 9、如图所示,开始时只有乙弹簧发生形变,甲弹簧处于原长,劲度系数乙甲k k 2=,当在物体上再叠加上一个同样的物体后,那么两弹簧的情况是( C )

A. 甲和乙弹簧受力相等

B. 甲弹簧受力是乙的2倍

C. 乙弹簧将承担

mg 3

4的压力

D. 甲伸长量是乙压缩量的

解:叠上另一个物体后,甲的伸长量与乙压缩量的增加量相同.

10、如图所示，两个木块质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态，现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面的弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为：

起初的压缩量为1212

m +m )g

X k =

（

后来的压缩量为

222

m g x k =

所以木块移动的距离为：

1122

m g X X X k ?=-=

11 如图，劲度系数为k 1的轻弹簧两端分别与质量为m l 、m 2的物块1、2拴接。劲度系数为k 2的轻弹簧上端与物体2拴接，下端压在桌面上(不拴接)

，整个系统处于平衡状态。现施力将

物块1缓慢竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。在此过程中物块2的重力势能增加了，物块1的重力势能增加了。

解析要求物块的重力势能变化ΔEp=mg.Δh ，关键是求两物块各自上升的高度Δh 1、Δh 2。

系统最初静止，下部弹簧压缩量为 ΔL 2=（m 1+m 2）g/k 2 ①

最后下部弹簧恢复原长，物块2上升高度 Δh 2＝ΔL 2 ② 故物块2重力势能增加

ΔEp 2＝m 2g ·Δh 2＝m 2·(m 1十m 2)g 2

／k 2 上部弹簧最初的压缩量为

ΔL 1＝m 1g ／k l ③

最后上部弹簧还要提住物块2，变为伸长态，伸长量为图4 ΔL 1’＝m 2g ／k l ④ 因此，物块1上升的高度为

Δh 1＝ΔL l 十ΔL 2十ΔL l ’＝(m l 十m 2)g 2

(1／k l 十1／k 2) 物块1重力势能增加了

ΔEp 1＝m 1g ·Δh 1＝m l (m l 十m 2)g 2

(1／k l 十1／k 2)

12、如图所示，质量分别为m 和M 的A 、B 两重物用劲度系数为k 的轻质弹簧竖直地连接起来，使弹簧为原长时，两物从静止开始自由下落，下落过程中弹簧始终保持竖直状态。当重物A 下降距离h 时，重物B 刚好与地面相碰，假定碰后的瞬间重物B 不离开地面（B 与地面作完全非弹性碰撞）但不粘连。为使重物A 反弹时能将重物B 提离地面，试问下落高度h 至少应为多少？（提示：弹簧形变量为x 时的弹性势能为E P =

1kx ）

解：B 触地时，弹簧为原长，A 的速度为：gh v 2=

A 压缩

A 继续向上运动拉伸弹簧，设法V A =0时弹簧伸长量为x ，则要使此时

B 能被提前离地面，应有：kx=Mg

而在此弹簧被拉伸的过程对A 和弹簧有：22

1kx mgx mV

由上几式可解得：m

M K Mg h 22+?=

13、如图5所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B 相连，木

块A 放在木块B 上，两木块质量均为m ，在木块A 上施有竖直向下的力F ，

整个装置处于静止状态．

（1）突然将力F 撤去，若运动中A 、B 不分离，则A 、B 共同运动到最高点时，B 对A 的弹力有多大？

（2）要使A 、B 不分离，力F 应满足什么条件？

B A

（1）最高点与最低点有相同大小的回复力，只有方向相反，这里回复力是合外力．在最低点，即原来平衡的系统在撤去力F 的瞬间，受到的合外力应为F /2，方向竖直向上；当到达最高点时，A 受到的合外力也为F /2，但方向向下，考虑到重力的存在，所以B 对A 的弹力为2

F mg

．

（2）力F 越大越容易分离，讨论临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性．最高点时，A 、B 间虽接触但无弹力，A 只受重力，故此时恢复力向下，大小位mg ．那么，在最低点时，即刚撤去力F 时，A 受的回复力也应等于m g ，但根据前一小题的分析，此时回复力为F /2，这就是说F /2=mg ．则F =2mg ．因此，使A 、B 不分离的条件是F ≤2mg ．

14、A 、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图2-6所示，已知木块A 、B 质量分别为0.42 kg 和0.40 kg ，弹簧的劲度系数k =100 N/m ，若在木块A 上作用一个竖直向上的力F ，使A 由静止开始以0.5 m/s 2的加速度竖直向上做匀加速运动（g =10 m/s 2）.

（1）使木块A 竖直做匀加速运动的过程中，力F 的最大值；（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A 、B 分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J ，求这一过程F 对木块做的功. 解:

当F =0（即不加竖直向上F 力时），设A 、B 叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x ，有

kx =（m A +m B ）g x =（m A +m B ）g /k

①

对A 施加F 力，分析A 、B 受力如图2-7 对A F +N -m A g =m A a

② 对B kx ′-N -m B g =m B a ′

③

图2-6

可知，当N ≠0时，AB 有共同加速度a =a ′，由②式知欲使A 匀加速运动，随N 减小F 增大.当N =0时，F 取得了最大值F m ,

即F m =m A （g +a ）=4.41 N

又当N =0时，A 、B 开始分离，由③式知，此时，弹簧压缩量kx ′=m B （a +g ） x ′=m B （a +g ）/k

④ AB 共同速度 v 2=2a （x -x ′）

⑤

由题知，此过程弹性势能减少了W P =E P =0.248 J 设F 力功W F ，对这一过程应用动能定理或功能原理 W F +E P -（m A +m B ）g （x -x ′）=

1（m A +m B ）v 2

⑥

联立①④⑤⑥，且注意到E P =0.248 J 可知，W F =9.64×10-2 J

15、如图所示，将质量为g m A 100=的平台A 连结在劲度系数m N k /200=的弹簧上端，

弹簧下端固定在地上，形成竖直方向的弹簧振子，在A 的上方放置A B m m =的物块B ，使A 、B 一起上下振动，弹簧原子为5cm.A 的厚度可忽略不计，g 取10./2

s m 求：

（1）当系统做小振幅简谐振动时，A 的平衡位置离地面C 多高？

（2）当振幅为0.5cm 时，B 对A 的最大压力有多大？

（3）为使B 在振动中始终与A 接触，振幅不能超过多大？ (4)分析B 的运动过程解：（1）振幅很小时，A 、B 间不会分离，将A 和B 整体作为振子，当它们处于平衡位置时，根据平衡条件得g m m kx B A )(0+=（1分）

得形变量cm m m k

m m x B A 101.0200

)1.01.0()(0==?+=

（2分）

平衡位置距地面高度cm cm x l h 4)15(00=-=-=（2分）

（2）当A 、B 运动到最低点，有向上的最大加速度，此时A 、B 间相互作用力最大，设振幅为A

最大加速度220/5/1

.01.0005.0200)()(s m s m m m kA m m g

m m x A k a B

A B

A B A m =??=

++-+=

（3分）

取B 为研究对象，有m B B a m g m N =-（2分）

得A 、B 间相互作用力N N a g m a m g m N m B m B B 5.1)510(1.0)(=+?=+=+=（2分）由牛顿第三定律知，B 对A 的最大压力大小为N N N 5.1=='（1分）

（3）为使B 在振动中始终与A 接触，在最高点时相互作用力应满足：0≥N （2分）

取B 为研究对象，a m N g m B B =-，当N=0时，B 振动的加速度达到最大值，且最大

值2/10s m g a m =='（方向竖直向下）（1分）

因g a a mB mA ='='，表明A 、B 仅受重力作用，此刻弹簧的弹力为零，弹簧处于原长（1分）

cm x A 10==' 振幅不能大于1cm （2分）

（4）B 在整个运动过程中受到重力和弹簧弹力的作用．刚放手时，弹力大于重力，合力向上，B 向上加速运动，但随着B 上移，弹簧形变量变小，弹力随之变小，合力减小，加速度减小；当弹力减至与重力相等的瞬间，合力为零，加速度为零，此时B 的速度最大；此后，弹力继续减小，B 受到的合力向下，B 做减速运动，当弹簧恢复原长时，二者分离．即在弹射过程中(B 与弹簧脱离之前)B 的运动情况是先加速运动后减速运动

16．两块质量分别为m 1和m 2的木块，用一根劲度系数为k 的轻弹簧连在一起，现在m 1上施加压力F ，如图14所示．为了使撤去F 后m 1跳起时能带起m 2，则所加压力F 应多大？

g m m F )(21+>（对称法）

17、如图所示，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中：（ CD ） A. 升降机的速度不断减小 B. 升降机的加速度不断变大

C. 先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功

D. 到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值

[解析]升降机从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动可以转化为熟悉的弹簧振子，其平衡位置是重力与弹力相平衡的时刻。升降机的弹簧从触地到平衡位置之前，加速度是在不断减小，速度不断增大，故选项A、B不正确。

弹簧下端触地后，升降机先加速后减速，加速度先减小后增大。达到平衡位置之前，重力大于弹力，所以重力做正功大于弹力做的负功；过了平衡位置，弹力大于重力，所以重力做正功小于弹力做的负功。选项C正确。

对于选项D，可以设想有一轻弹簧竖直在水平地面上，将一小球无初速度放于弹簧上，可以证明小球的运动为简谐运动。由简谐运动的对称性知小球在最低点加速度的值等于在最高点的值。若小球以一定速度落在弹簧上，在最低点加速度的值必大于重力加速度的值。故选项D正确。

18、如图所示，A、B两滑环分别套在间距为1m的光滑细杆上，A和B的质量之比为1∶3，用一自然长度为1m的轻弹簧将两环相连，在 A环上作用一沿杆方向的、大小为20N的拉力F，当两环都沿杆以相同的加速度a运动时，弹簧与杆夹角为53°。（cos53°=0.6）

求：（1）弹簧的劲度系数为多少？

（2）若突然撤去拉力F，在撤去拉力F的瞬间，A的加速度为a/，a/

与a之间比为多少？

解：（1）先取A +B 和弹簧整体为研究对象，弹簧弹力为内力，杆对A 、B 支持力与加速度方向垂直，在沿F 方向应用牛顿第二定律F =(m A +m B )a ① 再取B 为研究对象F 弹cos53°=m B a ② ①②联立求解得，F 弹=25N

由几何关系得，弹簧的伸长量⊿x =l (1/sin53°－1)=0.25m 所以弹簧的劲度系数k =100N/m

（2）撤去F 力瞬间，弹簧弹力不变，A 的加速度a /

= F 弹cos53°/m A 所以a /

：a =3∶1。

19、如图所示，质量M =3.5kg 的小车静止于光滑水平面上靠近桌子处，其上表面与水平桌面相平，小车长L =1.2m ，其左端放有一质量为0.5kg 的滑块Q 。水平放置的轻弹簧左端固定，质量为1kg 的小物块P 置于桌面上的A 点并与弹簧的右端接触。此时弹簧处于原长，现用水平向左的推力将P 缓慢推至B 点（弹簧仍在弹性限度内）时，推力做的功为W F =6J ，撤去推力后，P 沿桌面滑到小车上并与Q 相碰，最后Q 停在小车的右端，P 停在距小车左端0.5m 处。已知AB 间距L 1=5cm ，A 点离桌子边沿C 点距离L 2=90cm ，P 与桌面间动摩擦因数4.01=μ，P 、

Q 与小车表面间动摩擦因数1.02=μ。（g =10m/s 2）求：

（1）P 到达C 点时的速度 V C 。（2）P 与Q 碰撞后瞬间Q 的速度大小。

解：

（1）对P 由A →B →C 应用动能定理，得2

121112

1)2(C F v m L L g m W =+-μ

s m V C /2=∴

（2）设P 、Q 碰后速度分别为v 1、v 2，小车最后速度为v ，由动量守恒定律得，

22111v m v m v m C += v M m m v m C )(211++= 由能量守恒得，

()2212

222

1122122

1v m m M

v m v m gL m gS m ++-

+μμ

解得，s m v /22= s m v /3

22=

当s m v /3

22=

时，'

21/3

5v s m v 不合题意，舍去。

即P 与Q 碰撞后瞬间Q 的速度大小为s m v /22=

20、如图所示，质量为m 的物体A 放置在质量为M 的物体B 上，B 与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上作简谐振动，振动过程中A 、B 之间无相对运动。设弹簧的劲度系数为k ，当物体离开平衡的位移为x 时，A 、B 间磨擦力的大小等于（D ）

分析和解：此题属于简谐振动。当物体位移为x 时，根据题意将M 、m 视为整体，由胡克定律和牛顿第二定律，得：

再选A 为研究对象，使A 随B 振动的回复力只能是B 振动的回复力只能是B 对A 的静磨擦力，由f=ma ③

联立①②③得，

21、如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A 、B ，它们的质量分别为m A 、m B ，弹簧的劲度系数为k,C 为一固定挡板。系统处一静止状态，现开始用一恒力F 沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，求物块B 刚要离开C 时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位移d ，重力加速度为g 。

解：令x 1表示未加F 时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知

kx g m A =θsin ①

令x 2表示B 刚要离开C 时弹簧的伸长量， a 表示此时A 的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知：

k x 2=m B gsin θ ② F －m A gsin θ－k x 2=m A a ③

由②③式可得A

B A m g m m F a θ

sin )(+-=

④

由题意 d=x 1+x 2 ⑤ 由①②⑤式可得k

g m m d B A θ

sin )(+= ⑥

F 当两物块与地面间的动摩擦因数相同

Ｆ时，绳或弹簧的弹力总满足Ｔ＝

212

M F M M +,与有无摩擦力及动摩

擦因数无关

22、质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接,弹簧下端固定在地上.平衡时,弹簧的压缩量为x 0,如图所示.一物块从钢板正上方距离为3x 0的A 处自由落下,打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动,但不粘连.它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量也为m 时,它们恰能回到O 点.若物块质量为2m ,仍从A 处自由落下,则物块与钢板回到O 点时,还具有向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与O 点的距离.

分析：物体m 落到钢板以前是自由落体运动故机械能守恒.物体m 与钢板相作用的过程中由于作用时间较短故动量守恒.物体m 与钢板共同向下运动压缩弹簧到最低点然后共同向上运动到O 点的过

程中，物体m 、钢板、弹簧组成的系统机械能守恒.质量为2 m 的物体与钢板的作用过程完全相同，当2m 的物体和钢板回到O 点的时速度不为零，然后他们分离，物体继续向上运动，只要求出分离时的速度就能求出继续上升的高度.

解:物块与钢板碰撞时的速度006gx υ= ①

1 2 2 1

设1υ表示质量为m 的物块与钢板碰撞后一起开始向下运动的速度,因碰撞时间极短,动量守恒, 012m m υυ= ②

刚碰完时弹簧的弹性势能为E P .当它们一起回到O 点时,弹簧无形变,弹性势能为零,根

据题给条件,这时物块与钢板的速度为零,由机械能守恒,

2101(2)22

P E m mgx υ+

= ③

设2υ表示质量为2m 的物块与钢板碰撞后开始一起向下运动的速度,则有

0223m m υυ= ④

刚碰完时弹簧的弹性势能为E P （因为此时弹簧的压缩量与上次相同），它们回到O 点时候弹簧的弹性势能为零，但是它们将继续向上运动,设此时速度为υ则有

22011(3)3(3)2

P E m mgx m υυ+

⑤

当质量为2m 的物块与钢板一起回到O 点后2m 的物体就与钢板分离以速度υ向上做竖直

上抛运动则有

22l =

υ ⑦

联合以上7个方程可得012

l =

23、在原子核物理中，研究核子与核关联的最有效途径是“双电荷交换反应”.这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似.两个小球A 和B 用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态.在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P ，右边有一小球C 沿轨道以速度0υ射向B 球，如图所示.C 与B 发生碰撞并立即结成一个整体D .在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变.然后，A 球与挡板P 发生碰撞，碰后A 、D 都静止不动，A 与P 接触而不粘连.过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除定均无机械能损失）.已知A 、B 、C 三球的质量均为m . （1）求弹簧长度刚被锁定后A 球的速度.

（2）求在A 球离开挡板P 之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能.

分析：小球C 与小球B 作用的过程中两个小球组成的系统动量守恒.B 与C 结合成D 与小球A 弹簧组成的系统，当A 、D 速度相同的时候弹簧的压缩量最大，这个过程中系统动量守恒，两个小球减少的动能转化为弹簧的弹性势能.在A 球没有离开P 以前弹簧的弹性势能转化为小球D 的动能，当弹簧恢复到原长时D 小球的动能最大然后在弹簧被拉长的过程中小球D 减速运动，小球A 加速运动，当他们的速度相同的时候弹簧的伸长量最大.从A 离开P 到A 、D 共速的过程中系统动量守恒，系统减少的动能转化为弹簧的弹性势能. 解：（1）设C 球与B 球粘结成D 时，D 的速度为1υ，由动量守恒，有

012m m υυ= ①

当弹簧压至最短时，D 与A 的速度相等，设此速度为2υ，由动量守恒，有 1223m m υυ= ② 由①、②两式得A 的速度

201

υυ= ③

（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为P E ，由能量守恒，有

1211(2)(3)2

P m m E υυ=

+ ④

撞击P 后，A 与D 的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变成D 的动能，设D 的速度为3υ，则有 231(2)2

P E m υ=

⑤

当弹簧伸长，A 球离开挡板P ，并获得速度.当A 、D 的速度相等时，弹簧伸至最长.设此时的速度为4υ，由动量守恒，有

3423m m υυ= ⑥

当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为'

p E ，由能量守恒，有

22'

3411(2)32

m m E υυ=

?+ ⑦ 解以上各式得 '

20136

p E m υ=

⑧

24.如图所示，质量均为m 的A 、B 两球间有压缩的处于锁定状态的轻、短弹簧（两球的大小

尺寸和弹簧尺寸都可忽略，它们整体可视为质点）．若将它们放置在水平面上竖直光滑的发射管内，解除锁定时.A 球能上升的最大高度为H.现在让两球包括锁定的弹簧从水平面出发，沿半径为R 的光滑半圆槽从右侧由静止开始下滑，至最低点时，瞬间锁定解除，求A 球离开圆槽后能上升的最大高度．

解析：当弹簧竖直放置时，解除锁定后弹簧将弹性势能全部转化为A 的机械能，则弹簧弹性势能为： E 弹＝mgH

当AB 系统水平放置时.AB 系统由水平位滑到圆轨道最低点时速度为v0．弹簧解除锁定后．A 、B 的速度分别为vA 、vB . 则有：2mgR=2×?mv02

2mv0=mvA ＋mvB

2×?mv02＋E 弹=?mA2＋?mvB2

联立得到2A V gR gH

相对水平面上升最大高度22A V h R g +=

解得

H h RH

25、两个带同种电荷的小球A 和B ，A 、B 的质量分别为m 和2m 。开始时将它们固定在绝缘的光滑水平面上保持静止，A 、B 相距为d.A 、B 间的相互作用为遵守牛顿第三定律。现同时释放A 、B ，经过一段时间，A 、B 相距2d ，此时B 的速度大小为v 。求：（1）此时A 的速度大小。（2）此过程中B 对A 做的功。（3）此过程中A 球移动的距离。解：（1）以A 、B 为研究对象，由动量守恒定律 m A v A =m B v 求出v A =2v

（2）对A ，由动能定理22

1mv v m W A A ==

（3）

A B

A v v s s s A +s

B =d 求出s A =2d/3

26、（1）如图1，在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等. 现突然给左端小球一个向右的速度0u ,求弹簧第一次恢复到自然长度时,每个小球的速度.

（2）如图2，将N 个这样的振子放在该轨道上，最左边的振子1被压缩至弹簧为某一长度后锁定，静止在适当位置上，这时它的弹性势能为E 0，其余各振子间都有一定的距离，现解除对振子1的锁定，任其自由运动，当它第一次恢复到自然长度时，刚好与振子2碰撞，此后，继续发生一系列碰撞，每个振子被碰后刚好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰.求所有可能的碰撞都发生后，每个振子弹性势能的最大值. 已知本题中两球发生碰撞时,速度交换,即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度.

解：（1）设每个小球质量为m ，以1u 、2u 分别表示弹簧恢复到自然长度时左右两端小球

的速度. 由动量守恒和能量守恒定律有 021mu mu mu =+（以向右为速度正方向）

202

2212

121mu mu mu =

解得021201,00,u u u u u u ====或

由于振子从初始状态到弹簧恢复到自然长度的过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使

左端小球持续减速，使右端小球持续加速，因此应该取解：021,0u u u ==

（2）以1v 、'

1v 分别表示振子1解除锁定后弹簧恢复到自然长度时左右两小球的速度，

规定向右为速度的正方向，由动量守恒和能量守恒定律，011='

+mv mv

021

212

1E v m mv ='+

解得.,,0101010

E v m E v m E v m E v ='-=-='

=或

在这一过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故应取解：m

E v m

E v 0101,='-= 振子1与振子2碰撞后，由于交换速度，振子1右端小球速

度变为0，左端小球速度仍为1v ，此后两小球都向左运动，当它们向左的速度相同时，弹簧被拉伸至最长，弹性势能最大，设此速度为10v ，根据动量守恒定律：1102mv mv =

用E 1表示最大弹性势能，由能量守恒有2112

102102

12121mv E mv mv =++

解得014

E E =

27、如图所示，A 、B 是两相同的小物块，C 是轻弹簧，用一根细线连接A 、B 使弹簧C 处于压缩状态，然后放置在光滑的水平桌面上。提供的测量器材有天平和刻度尺。试设计一个测定弹簧此时弹性势能E p 的实验方案，写出实验中应测定的物理量

（同时用相应的字母表示），并写出计算弹簧弹性势能E p 的表达式（用测得物理量的字母表示）。

解：应测量的数据有 : ①小物块的质量m

②两小物块的落地点之间的距离s ③桌面的高度h ④桌面的宽度d

d s mg E p 8)(2-=

28、如图所示，两物体原来静止，质量m 1=2m 2，两物体与水平面的摩擦因数为μ2=2μ1，当烧断细线后，弹簧恢复到原长时，两物体脱离弹簧时的速度均不为零，则（BCD ） A ．两物体在脱离弹簧时速率最大 B ．两物体在刚脱离弹簧时速度之比v 1 / v 2=1 / 2 C ．两物体的速率同时达到最大值 D ．两物体在弹开后同时达到静止

解： m 1物体受到的摩擦力f 1=μ1m 1g ，m 2物体受到的摩擦力f 2=μ2m 2g ，所以：

m 1和m 2组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，即： m 1v 1－m 2v 2=0，

∴，即在运动中的任何时刻，二者的速度比都是

，并且同时达到最大

值，故BC 正确。

当弹力大于摩擦力时，物体做加速运动，弹力小于摩擦力时，物体做减速运动，所以弹力等于摩擦力时，速率最大，故A 错。

离开弹簧后，物体只受摩擦力，据动量定理得：－μmgt=0－mv

所以 t∞

所以：

1122

21121.211

t v t v μμ=

=?=，同时静止，故D 项正确。 29、轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B 相连，B 静止在水平导轨上，弹簧处在原长状态.另一质量与B 相同滑块A ，从导轨上的P 点以某一初速度向B 滑行，当A 滑过距离1l 时，与B 相碰，碰撞时间极短，碰后A 、B 紧贴在一起运动，但互不粘连.已知最后A 恰好返回出发点P 并停止.滑块A 和B 与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程中弹簧最大形变量为2l ，求A 从P 出发时的初速度0v .

分析：物体A 减速运动距离l 1后与物体B 相碰，A 、B 碰得过程中动量守恒，然后一起压缩弹簧作减速运动，速度减到零后又向右加速运动，当弹簧恢复原长的时候A 、B 两个物体分离，在这个过程中两个物体因摩擦力做功使动能减少.分离后A 物体作减运动回到开始的位置速度为零.

解：令A 、B 质量皆为m ，A 刚接触B 时速度为1υ（碰前），由功能关系，有

2011112

m m mgl υυμ-

= ①

A 、

B 碰撞过程中动量守恒，令碰后A 、B 共同运动的速度为2υ有

122m m υυ= ②

碰后A 、B 先一起向左运动，接着A 、B 一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A 、B 的共同速度为3υ，在这过程中，弹簧势能始末两态都为零，利用功能关系，有

211()()()(2)2

232m υ-

2m υ2m g l μ= ③

此后A 、B 开始分离，A 单独向右滑到P 点停下，由功能关系有

112

23m υmgl μ= ④

由以上各式，解得 01(1016)2υg l l μ=+

30、所示装置中，木块B 与水平桌面间的接触是光滑的，子弹沿水平方向射入木块并留在木

块内，将弹簧压缩到最短。现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，则此系统在子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中：B (A)动量和机械能都守恒、

(B)动量和机械能都不守恒 (C)动量守恒，机械能不守恒

(D)动量不守恒，机械能守恒解析本题研究对象是整个系统，研究过程是从子弹开始射入到弹簧压缩到最短的整个过程。此过程中，竖直墙对系统有向右的力，故系统水平方向合外力不为零，动量不守恒。子弹打入木块的过程中，要克服摩擦阻力做功，且做功有一部分机械能变为内能，故系统的机械能不守恒。

31、如图所示，光滑水平面上放有A 、B 、C 三个物块，其质量分别为m A =2.0gk ，m B =m C =1.0kg ，用一轻弹簧连接A 、B 两物块，现用力压缩弹簧使三物块靠近，此过程外力做功72J ，然后释放，求：

（1）释放后物块B 对物块C 一共做了多少功？

（2）弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能为多大？解：（1）释放后，在弹簧恢复原长的过程中B 和C 和一起向左运动，当弹簧恢复原长后B 和C 的分离，所以此过程B 对C 做功。

选取A 、B 、C 为一个系统，在弹簧恢复原长的过程中动量守恒（取向右为正向）：

0)(=+-C C B A A v m m v m ①

系统能量守恒：

J W v m m v m C C B A A 72)(2

==++

②

∴B 对C 做的功：22

1C C v m W =

' ③ 联立①②③并代入数据得：J W 18='

（2）B 和C 分离后，选取A 、B 为一个系统，当弹簧被压缩至最短时，弹簧的弹性势能最

大，此时A 、B 具有共同速度v ，取向右为正向,

由动量守恒：)()(C B B A B B A A v v v m m v m v m =+=-④

弹簧的最大弹性势能：22

)(2

1v m m v m v m E B A B B A A P +-

⑤

联立①②④⑤并代入数据得：E p =48J

32、如图所示，半径分别为R 和r （R>r ）的甲乙两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD 相连，在水平轨道

CD 上一轻弹簧a 、b 被两小球夹住，同时释放两小球，a 、b 球恰好能通过各自的圆轨道的最高点，求：

（1）两小球的质量比.

（2）若m m m b a ==，要求a b 都能通过各自的最高点，弹簧释放前至少具有多少弹性势能.

解.（1）a 、b 球恰好能通过各自的圆轨道的最高点的速度分别为gR v a =' ①

gr v b =' ②1分由动量守恒定律b b a a v m v m =③

机械能守恒定律R g m v m v m a a a a a 22

12+'= ④ r g m v m v m b b b b b 22

12+'= ⑤

联立①②③④⑤得

r v v m m a

b b

a =

（2）若m m m b a ==，由动量守恒定律得v v v b a ==。

当a 球恰好能通过圆轨道的最高点时，E 弹最小， mgR R mg mgR E 52)22

1(=?+=弹

33、用一根轻质弹簧悬吊一物体A ，弹簧伸长了L ，现该弹簧一端固定在墙上，另一端系

一三棱体，先将弹簧压缩

然后将物体A 从三棱体的斜面上由静止释放，则当A 下滑过程中三棱体保持静止。若水平地面光滑，三棱体斜面与水

平地面成30°角，如图所示。求：

（1）物块A 的下滑加速度a ；（2）物块A 与斜面之间的动摩擦因数μ。解：（1）当弹簧竖直悬挂物体时：KL=mg ①

在A 从三棱体上下滑时，对A 和三棱体组成的系统，在水平方向上，应用牛顿规律：

30cos 4

ma L K =?

②

由①、②可得g g a 6

330

cos 4=

（2）对物块A ：ma mg mg =-

30cos 30sin μ ③

cos 30tan g a -

=μ244.03

13=-=

34、如图13所示，光滑轨道上，小车A 、B 用轻弹簧连接，将弹簧压缩后用细绳系在A 、B 上.然后使A 、B 以速度v 0沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，A 的速度刚好为0，已知A 、B 的质量分别为m A 、

m B ，且m A

（1）被压缩的弹簧具有的弹性势能E p .

（2）试定量分析、讨论在以后的运动过程中，小车B 有无速度为0的时刻？

解：（1）设弹簧第一次恢复自然长度时B 的速度为 v B

组合典型例题解析讲解学习

组合典型例题解析【例1】判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数. （1）10个人相互各写一封信，共写了多少封信？（2）10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？（3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次？（4）10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠亚军获得者有多少种可能？（5）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？（6）从10个人里选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？解：（1）是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的.排列数为A2 10 =90（种）. （2）是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别.组合数为C2 10 =45（种）. （3）是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别. 组合数为C2 10 =45（种）. （4）是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的.排列数为A2 10 =90（种）. （5）是组合问题.因为三个代表之间没有顺序的区别.组合数为C3 10 =120（种）. （6）是排列问题.因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的.排列数为A310=720（种）. 点评：排列、组合是不同的两个事件，区分的办法是首先弄清楚事件是什么？区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题. 【例2】写出从五个元素a，b，c，d，e中任取三个元素的所有组合，并求出其组合数. 解：考虑画出如下树形图，按给出字母从左到右的顺序来考虑. a b b c c c d d d d d e e e 根据树形图，所有组合为abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde. 组合数为C3 5 =10（个）. 点评：排列的树形图与组合的树形图是有区别的.排列的树形图中其元素不能重复出现但可任意排列，而组合的树形图中其元素也不能重复出现，但元素出现的次序必须按照从左到右的顺序（如元素b后面不能出现a，元素c后面不能出现a、b等）来考虑，否则就会出现重复或遗漏.

功典型例题剖析教案

功典型题剖析例1某人用300N的水平推力，把一个质量为50kg的木箱沿水平路面加速推动10m，后来又把它匀速举高2m，这个人对木箱共做功多少？分析整个做功过程分为两个阶段：在水平路面上用力F1=300N，位移s1=10m；在竖直方向上用力F2，位移s2=2m．全过程中做功为这两个阶段中做功之和．解答沿水平路面推行时，人对木箱做功为 W1=F1s1=300×10J=3×103J．匀速举高时，人对木箱的托力F2=mg，人对木箱做功为 W2=F2s2=mgs2=50×10×2J=1×103J．所以全过程中人对木箱做的功为 W=W1+W2=4×103J．说明（1）计算每个过程中做功的时候，要注意力和位移要相应．（2）第一个过程中，木箱作什么运动跟功的计算无关；第二个过程中，指明木箱匀速上举，目的是可以由此求出对木箱的托力．（3）功是标量，全过程中的功等于两次做功的数量相加．例2质量m=20kg的物体，与水平地面间的动摩擦因数μ=0.4．求下列两种情况下需对它做多少功：（1）使物体沿水平地面以加速度a=1m／s2移动10m；（2）使物体竖直向上以加速度a=1m／s2升高10m．取g=10m／s2．分析物体沿水平面和竖直向上运动时，物体的受力情况分别如图4-3中（a）、（b）所示．根据牛顿第二定律，分别求出两种情况中对它的作用力F1、F2即可用功的公式算出功．解答（1）设使物体沿水平面加速运动的作用力为F1，由牛顿第二定律有：

水平方向F1-f=ma，竖直方向N-mg=0．又f=μN．联立三式，得 F1=μmg+ma=0.4×20×10N+20×1N =100N．所以对物体作功为 W1=F1s1=100×10J=103J．（2）设使物体竖直向上加速运动的作用力为F2，同理由牛顿第二定律： F2-mg=ma，得F2=mg+ma=m（g+a）=20（10+1）N =220N．所以对物体作功为 W2=F2s2=220×10J=2.2×103J．说明不能认为两种情况下物体的加速度相同，位移也相同，因此做功相同，其值为 W=Fs=mas=20×1×10J=200J．因为与ma相当的力F，不是我们所研究的某一个特定的力，而是作用在物体的合外力．所以在功的计算中必须注意是哪一个力做功，对谁做功．例3一个质量为m的木块，放在倾角θ的斜面体上，当斜面体与木块保持相对静止沿水平方向匀速向右移动距离s的过程中，作用在木块上的各个力分别做功多少？分析木块发生水平位移的过程中，作用在木块上共有三个力：重力mg、支待力N、静摩擦力f（图4-4）．根据木块的平衡条件，由这三个力的大小、物体的位移及力与位移间的夹角，即可用功的计算公式算出它们的功．解答斜面对木块的支持力N和静摩擦力f分别为 N=mgcosθ，f=mgsinθ．根据功的公式，分别得重力、支持力、摩擦力的功为

高中物理中的弹簧问题归类(教师版)

有关弹簧的题目在高考中几乎年年出现，由于弹簧弹力是变力，学生往往对弹力大小和方向的变化过程缺乏清晰的认识，不能建立与之相关的物理模型并进行分类，导致解题思路不清、效率低下、错误率较高.在具体实际问题中，由于弹簧特性使得与其相连物体所组成系统的运动状态具有很强的综合性和隐蔽性，加之弹簧在伸缩过程中涉及力和加速度、功和能、冲量和动量等多个物理概念和规律，所以弹簧试题也就成为高考中的重、难、热点，一、“轻弹簧”类问题在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为“轻弹簧”，是一种常见的理想化物理模型.由于“轻弹簧”质量不计，选取任意小段弹簧，其两端所受张力一定平衡，否则，这小段弹簧的加速度会无限大.故轻弹簧中各部分间的张力处处相等，均等于弹簧两端的受力.弹簧一端受力为F ，另一端受力一定也为F ,若是弹簧秤，则弹簧秤示数为F . 【例1】如图3-7-1所示，一个弹簧秤放在光滑的水平面上，外壳质量m 不能忽略，弹簧及挂钩质量不计，施加水平方向的力1F 、2F ，且12F F >，则弹簧秤沿水平方向的加速度为，弹簧秤的读数为 . 【解析】以整个弹簧秤为研究对象，利用牛顿运动定律得： 12F F ma -=，即12 F F a m -= 仅以轻质弹簧为研究对象，则弹簧两端的受力都1F ，所以弹簧秤的读数为1F . 说明:2F 作用在弹簧秤外壳上，并没有作用在弹簧左端，弹簧左端的受力是由外壳内侧提供的. 【答案】12 F F a m -= 1F 二、质量不可忽略的弹簧【例2】如图3-7-2所示，一质量为M 、长为L 的均质弹簧平放在光滑的水平面,在弹簧右端施加一水平力F 使弹簧向右做加速运动.试分析弹簧上各部分的受力情况. 【解析】弹簧在水平力作用下向右加速运动，据牛顿第二定律得其加速度F a M = ,取弹簧左部任意长度x 为研究对象，设其质量为m 得弹簧上的弹力为： x x F x T ma M F L M L == = 【答案】x x T F L = 三、弹簧的弹力不能突变(弹簧弹力瞬时)问题弹簧(尤其是软质弹簧)弹力与弹簧的形变量有关，由于弹簧两端一般与物体连接，因弹簧形变过程需要一段时间，其长度变化不能在瞬间完成，因此弹簧的弹力不能在瞬间发生突变. 即可以认为弹力大小和方向不变，与弹簧相比较，轻绳和轻杆的弹力可以突变. 【例3】如图3-7-3所示，木块A 与B 用轻弹簧相连，竖直放在木块C 上，三者静置于地面，A B C 、、的质量之比是1:2:3.设所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出木块C 的瞬时，木块A 和B 的加速度分别是A a = 与B a = 图 3-7-2 图 3-7-1 高中物理中的弹簧问题归类

高数典型例题解析

第一章函数及其图形例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设

解：在令t=cosx-1，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。 5：例 f(2)没有定义。注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有。因此，所给函数是有界的，即应选择B。例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

典型例题剖析(力和运动)

典型例题剖析(力和运动) 例1 （市中考试题）坐在行驶汽车上的一位乘客，欲估测前方隧道的长度．在进出隧道口时，分别看了一下手表，如图1—2—1（甲）、（乙）所示，汽车通过隧道时的平均速度是30km /h ，由此可计算出此隧道长约________km ．图1—2—1 精析（1）通过图中的“手表”，可计算出时间．（2）通过速度和时间可计算路程．解图甲时间t l ＝1点20分图乙时间t 2＝1点25分汽车通过隧道的时间为t ＝t 2－t 1＝5 min ＝121h 隧道长：s ＝vt ＝30km /h × 12 1h ＝2.5km 答案隧道长约2.5km ．例2 （市中考试题）一辆汽车在到的高速公路上行驶，汽车上的速度表指针在如图1—2—2所示的位置左右摆动，则汽车从图中位置行驶到还需________h ．图1—2—2 精析（1）通过“路标”图，判断出路程长短，通过速度计判断出汽车行驶的速度．（2）通过路程和速度计算时间．解汽车需行驶的路程s ＝120km 汽车的速度为v ＝100km /h 计算汽车用的时间：

t ＝v s ＝h km km /100120＝1.2h 答案到达还需1.2h ．例3 （市中考试题）关于力、力和运动的关系，下列说法中正确的是（） A ．施力物体不一定是受力物体 B ．只有相互接触的物体之间才有力的作用 C ．物体不受力，一定处于静止状态 D ．物体运动状态改变，一定是受到了力的作用精析 A ．因为力的作用是相互的，所以施力物体同时也是受力物体．A 选项不正确． B ．只要物体之间有相互作用，就会产生力．力可以是两个物体相互接触而产生的，如：力、拉力、支持力．而有的力可以产生于相互不接触的物体之间，如：在空中运动的乒乓球，仍受到重力作用，施力物体是地球，乒乓球和地球之间不接触，也产生了力．B 选项不正确． C ．根据前面复习的力和运动的关系，当物体不受力时，可以处于静止状态，还可以处于匀速直线运动状态．C 选项不正确．答案 D 例4 （市中考试题）关于运动和力，下列说法中正确的是（） A ．力是使物体保持静止的原因 B ．力是使物体运动状态改变的原因 C ．力是维持物体运动的原因 D ．物体受到力的作用就一定运动精析这道题考查学生对力的作用的理解，学生头脑中仍存在一些错误的概念，如：“物体运动必须有力维持，运动的物体失去力的作用，就会静止下来．”为纠正这些错误概念，就必须建立正确的概念：力是使物体运动状态改变的原因，而不是使物体运动的原因．解 A ．当物体不受任何力或受的合力为零时，它也可以保持静止状态，所以说，力不是使物体保持静止的原因．A 选项是错误的． B ．力可以使物体速度大小改变，也可以使物体运动方向改变，所以力是使物体运动状态改变的原因．B 选项正确． C ．当一个物体处于运动状态时，如果它不受任何力或所受合力为零时，仍可保持运动状态，所以说力不是维持物体运动的原因． D ．物体受平衡力时，可以保持静止状态，而不一定运动．例如：人用水平力F 推动一

弹簧问题专项复习及练习题(含详细解答)

高三物理第二轮专题复习（一）弹簧类问题轻弹簧是一理想模型，涉及它的知识点有①形变和弹力，胡克定律②弹性势能弹簧振子等。问题类型： 1、弹簧的瞬时问题弹簧的两端若有其他物体或力的约束，使其发生形变时，弹力不能由某一值突变为零或由零突变为某一值。弹簧的弹力不能突变是由弹簧形变的改变要逐渐进行决定的。 2、弹簧的平衡问题这类题常以单一的问题出现，通常用胡克定律F=Kx和平衡条件来求解，列方程时注意研究对象的选取，注意整体法和隔离法的运用。 3、弹簧的非平衡问题这类题主要指弹簧在相对位置发生变化时，所引起的合外力加速度速度动能和其它物理量发生变化的情况。弹簧的弹力与形变量成正比例变化，而它引起的物体的加速度速度动量动能等变化不是简单的单调关系，往往有临界值或极值。有些问题要结合简谐运动的特点求解。 4、弹力做功与动量能量的综合问题弹力是变力，求弹力的冲量和弹力做的功时，不能直接用冲量和功的定义式，一般要用动量定理和动能定理计算。如果弹簧被作为系统内的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机械能。在弹力做功的过程中弹力是个变力，并与动量能量联系，一般以综合题出现。它有机地将动量守恒机械能守恒功能关系和能量转化结合在一起，以考察综合应用能力。分析解决这类问题时，要细致分析弹簧的动态过程，利用动能定理动量定理和功能关系等知识解题。规律：在弹簧-物体系统中，当弹簧处于自然长度时，系统具有最大动能；系统运动中弹簧从自然长度开始到再次恢复自然长度的过程相当于弹性碰撞过程。当弹簧具有最大形变量时，两端物体具有相同的速度，系统具有最大的弹性势能。系统运动中，从任意状态到弹簧形变量最大的状态的过程相当于完全非弹性碰撞的过程。(实际上应为机械能守恒) 典型试题 1、如图所示，轻弹簧下端固定在水平地面上，弹簧位于竖直方向，另一端静止于B点。在B点正上方A点处，有一质量为m的物块，物块从静止开始自由下落。物块落在弹簧上，压缩弹簧，到达C点时，物块的速度为零。如果弹簧的形变始终未超过弹性限度，不计空气阻力，下列判断正确的是（ B ） A、物块在B点时动能最大 B、从A经B到C，再由C经B到A的全过程中，物块的加速度的最大值大于g C、从A经B到C，再由C经B到A的全过程中，物块做简谐运动 D、如果将物块从B点由静止释放，物块仍能到达C点 2、如图所示，弹簧上端固定在天花板上，下端系一铜球，铜球下端放有通电线圈。今把铜球拉离平衡位置后释放，此后关于小球的运动情况（不计空气阻力）是（） A．做等幅振动B．做阻尼振动 C．振幅不断增大 D．无法判断 3、如图所示，质量相同的木块AB用轻弹簧相连，静止在光滑水平面上。弹簧处于自然状态。现用水平恒力F向右推A，则从开始推A到弹簧第一次被压缩到最短的过程中，下列

一次函数经典例题大全

一.定义型例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。解：由一次函数定义知，，故一次函数的解析式为y=-6x+3。注意：利用定义求一次函数y=kx+b解析式时，要保证k≠0。如本例中应保证m-3≠0。二. 点斜型例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2, -1)，求这个函数的解析式。解：一次函数的图像过点(2, -1)，，即k=1。故这个一次函数的解析式为y=x-3。变式问法：已知一次函数y=kx-3 ，当x=2时，y=-1，求这个函数的解析式。三. 两点型例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。解：设一次函数解析式为y=kx+b，由题意得，故这个一次函数的解析式为y=2x+4 四. 图像型例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。解：设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数的图像过点(1, 0)、(0, 2) 有故这个一次函数的解析式为y=-2x+2 五. 斜截型例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。解析：两条直线；。当k1=k2，b1≠b2时，

直线y=kx+b与直线y=-2x平行，。又直线y=kx+b在y轴上的截距为2，故直线的解析式为y=-2x+2 六. 平移型例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。解析：设函数解析式为 y=kx+b，直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行直线y=kx+b在y轴上的截距为 b=1-2=-1，故图像解析式为七. 实际应用型例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。解：由题意得Q=20-0.2t ，即Q=-0.2t+20 故所求函数的解析式为 Q=-0.2t+20（）注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。八. 面积型例8. 已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。解：易求得直线与x轴交点为，所以，所以|k|=2 ，即故直线解析式为y=2x-4或y=-2x-4 九. 对称型若直线与直线y=kx+b关于（1）x轴对称，则直线的解析式为y=-kx-b （2）y轴对称，则直线的解析式为y=-kx+b （3）直线y=x对称，则直线的解析式为（4）直线y=-x对称，则直线的解析式为（5）原点对称，则直线的解析式为y=kx-b 例9. 若直线l与直线y=2x-1关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。解：由（2）得直线l的解析式为y=-2x-1 十. 开放型例10. 已知函数的图像过点A(1, 4)，B(2, 2)两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。解：（1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得y=-2x+6 （2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图像还可以是双曲线，解析式为（3）其它（略）

一次函数解析式典型例题解析及部分题答案

一次函数解析式典型题型一. 定义型（一次函数即X 和Y 的次数为1）例1. 已知函数y m x m =-+-()3328 是一次函数，求其解析式。解：由一次函数定义知m m 281 30 -=-≠??? ∴=±≠?? ? m m 3 3 ∴=-m 3，故一次函数的解析式为y x =-+33 注意：利用定义求一次函数y kx b =+解析式时，要保证k ≠0。如本例中应保证m -≠30 二. 点斜型（已知斜率和经过的一点）例2. 已知一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。解：一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1）。 ∴-=-123k ，即k =1 故这个一次函数的解析式为y x =-3 变式问法：已知一次函数y kx =-3，当x =2时，y ＝－1，求这个函数的解析式。三. 两点型（已知图像经过的两点）已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为解：设一次函数解析式为y kx b =+ 由题意得024=-+=???k b b ∴==??? k b 2 4 故这个一次函数的解析式为y x =+24 四. 图像型例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为y=-2x+2。 y 2 O 1 x #

解：设一次函数解析式为y kx b =+ 由图可知一次函数y kx b =+的图像过点（1，0）、（0，2） ∴有020=+=+??? k b b ∴=-=???k b 22 故这个一次函数的解析式为y x =-+22 五. 斜截型（已知斜率k 和截距b ）两直线平行，则k1=k2；两直线垂直，则k1=-1/k2 例5. 已知直线y kx b =+与直线y x =-2平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为解析：两条直线l 1：y k x b =+11；l 2：y k x b =+22。当k k 12=，b b 12≠时，l l 12// 直线y kx b =+与直线y x =-2平行，∴=-k 2。又直线y kx b =+在y 轴上的截距为2，∴=b 2 《故直线的解析式为y x =-+22 六. 平移型(向上/右平移则截距增加；向左平移则截距减小) 例6. 把直线y x =+21向下平移2个单位得到的图像解析式为 y=2x-1。解析：设函数解析式为y kx b =+，直线y x =+21向下平移2个单位得到的直线y kx b =+与直线y x =+21平行 ∴=k 2 直线y kx b =+在y 轴上的截距为b =-=-121，故图像解析式为y x =-21 七. 实际应用型例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t （分钟）的函数关系式为 Q=+20。解：由题意得Q t =-2002.，即Q t =-+0220. Q t ≥∴≤0100，故所求函数的解析式为Q t =-+0220.（0100≤≤t ） | 注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。八. 面积型例8. 已知直线y kx =-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为 y=2x-4或y=-2x-4。

弹簧类问题分析方法专题

弹簧类问题分析方法专题江西省广丰中学周小勇高考要求轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每年高考卷面均有所见.应引起足够重视. 弹簧类命题突破要点 1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化. 2.因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变. 3.在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，

也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：W k =-（21kx 22-21kx 12 ），弹力的功等于弹性势能增量的负值.弹性势能的公式E p =21kx 2 ，高考不作定量要求，可作定性讨论.因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解. 弹簧类问题多为综合性问题，涉及的知识面广，要求的能力较高，是高考的难点之一. 在高考复习中，常常遇到有关“弹簧类”问题，由于弹簧总是与其他物体直接或间接地联系在一起，弹簧与其“关联物”之间总存在着力、运动状态、动量、能量方面的联系，因此学生普遍感到困难，本专题此类问题作一归类分析。案例探究一、最大、最小拉力问题例1. 一个劲度系数为k ＝600N/m 的轻弹簧，两端分别连接着质量均为m ＝15kg 的物体A 、B ，将它们竖直静止地放在水平地面上，

函数概念典型例题

函数概念及其表示---典例分析例1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）. 选题理由：函数三要素。 A. 1,x y y x == B. 11,y x y = += C. ,y x y == D. 2||,y x y == 点评：有利于理解函数概念，强化函数的三要素。变式： 1．函数f (x )= 2(1)x x x ??+? ,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（）. A. 1 B .2 C. 3 D. 4 例2．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ B ）. 选题理由：更好的帮助学生理解函数概念，同时也体现函数的重要表示法图像法，图形法是数形结合思想应用的前提。变式： 1．下列四个图象中，不是函数图象的是（B ）. 2．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（）. A. f ：x →y ＝ 1 2x B. f ：x →y ＝ 1 3x C. f ：x →y ＝1 4x D. f ：x →y ＝1 6 x A. B. C. D.

函数的表达式及定义域—典例分析【例1】求下列函数的定义域：（1）1 21 y x = +-；（2 ）y = . 选题理由：考查函数三要素，定义域是函数的灵魂。解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-，所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞. （2 ）由30 20 x -≥??≠，解得3x ≥且9x ≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞. 选题理由：函数的重要表示法，解析式法。变式： 1 ．函数y =的定义域为（）. A. (,1]-∞ B. (,2]-∞ C. 11(,)(,1]22-∞-- D. 1 1(,) (,1]2 2 -∞-- 2．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（）. A ．[1,2)- B ．[0,2)- C ．[0,3)- D ．[2,1)- 【例2】已知函数1( )1x f x x -=+. 求：（1）(2)f 的值；（2）()f x 的表达式解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1 (2)3f =-. （2）设11x t x -=+，解得11t x t -= +，所以1()1t f t t -=+，即1()1x f x x -=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等. 变式： 1．已知()f x ＝2x ＋x ＋1，则f ＝______；f ［(2)f ］＝______． 2．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f = . 【例 2】已知f (x )=33x x -+?? (,1) (1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值. 选题理由：分段函数生活重要函数，是考察重点。解：∵ 0(,1)∈-∞ ， ∴ f 又 ∵ >1， ∴ f )3)-3=2+ 12=52，即f [f (0)]=5 2 . 点评：体现了分类讨论思想。 2．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为 t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（）.

典型例题分析

典型例题-G-方差分析-2 某企业准备用三种方法组装一种新的产品，为确定哪种方法每小时生产的产品数量最多，随机抽取了30名工人，并指定每个人使用其中的一种方法。通过对每个工人生产的产品数进行方差分析，得到如下表所示的结果。每个工人生产产品数量的方差分析表 (2)若显著性水平为α=0.05，检验三种方法组装的产品数量之间是否有显著差异。解： (1)完成方差分析表，以表格中所标的①、②、③、④、⑤、⑥为顺序，来完成表格，具体步骤如下： ①求k -1 根据题目中“该企业准备用三种方法组装一种新的产品”可知，因素水平(总体)的个数k =3，所以第一自由度df 1=k -1=3-1=2，即SSA 的自由度。 ②求n -k 由“随机抽取了30名工人”可知，全部观测值的个数n =30，因此可以推出第二自由度df 2=n -k =30-3=27，即SSE 的自由度。 ③求组间平方和SSA 已知第一自由度df 1=k -1=3-1=2，MSA =210 根据公式 1-= = k SSA MSA 自由度组间平方和所以，SSA =MSA ×(k -1)=210×2=420 ④求总误差平方和SST 由上面③中可以知道SSA =420；此外从表格中可以知道：组内平方和SSE =3836，根据公式SST =SSA +SSE 可以得出SST =420+3836=4256，即总误差平方和SST=4256 ⑤求SSE 的均方MSE 已知组内平方和SSE =3836，SSE 的自由度n -k =30-3=27 根据公式 0741 .142273836 ==-== k n SSE MSE 自由度组内平方和所以组内均方MSE =142.0741 ⑥求检验统计量F 已知MSA =210，MSE =142.0741 根据 4781.10741.142210 === MSE MSA F 所以F=1.4781

二轮专题复习-----弹簧类综合问题训练

二轮专题复习：弹簧类综合问题训练一、考点分析轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力、胡克定律、物体的平衡、牛顿定律的应用及能的转化与守恒。从近几年高考题，可以看出弹簧类综合问题是高考的热点和重点。二、与弹簧有关的综合问题基本知识概述 1、弹簧的瞬时问题弹簧的两端都有其他物体或力的约束时，使其发生形变时，弹力不能由某一值突变为零或由零突变为某一值。及轻弹簧的弹力不能突变，其弹力与瞬间前相同。 2、弹簧与平衡问题这类题涉及到的知识是胡克定律，一般用F=kx同时结合物体的平衡条件知识求解。3、弹簧与非平衡问题这类题主要指弹簧在相对位置发生变化时，所引起的力、加速度、速度、功能和合外力等其它物理量发生变化的情况。需综合分析物体的位置变化与弹簧的长度、形变量有怎样的关系。 4、弹簧与能量的综合问题在弹力做功的过程中弹力是个变力，并与能量的转化与守恒相联系，分析解决这类问题时，要细致分析弹簧的动态过程，利用动能定理和功能关系等知识解题。三、处理弹簧问题的一般思路与方法 1、弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应. 在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原来的长位置，现在的长位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化. 2、因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变. 3、在求弹簧的弹力做功时，往往结合动能定理和功能关系以及能量转化和守恒定律求解。典型示例迁移 1、弹簧弹力瞬时问题例1、如图所示，木块A与B用一轻弹簧相连，竖直放在木块C上，三者静置于地面，A、B、C的质量之比是1∶2∶3．设所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出木块C的瞬时，木块A和B的加速度分别是 a A=____ ，a B=____ 解析;由题意可设A、B、C的质量分别为m、2m、3m 以木块A为研究对象，抽出木块C前，木块A受到重力和弹力一对平衡力，抽出木块C的瞬时，木块A受到重力和弹力的大小和方向均没变，故木块A的瞬时加速度为0 以木块AB为研究对象，由平衡条件可知，木块C对木块B的作用力F cB=3mg 以木块B为研究对象，木块B受到重力、弹力和F cB三力平衡，抽出木块C的瞬时，木块B 受到重力和弹力的大小和方向均没变，F cB瞬时变为0，故木块C的瞬时合外力为竖直向下的3mg。瞬时加速度为1.5g 变式训练1、如图（A）所示，一质量为m的物体系于长度分别为l1、l2的两根细线上，l1

计算机网络典型例题分析解答

典型例题分析解答一、填空题 1网络层/Network是OSI参考模型中的第三层介于运输/TmsPOEt/T层和数据链路层之间。 1.【解析】网络层在OSI参考模型中位于第三层,它的主要功能是实现两个端系统之间的数据透明传送,具体功能包括路由选择、阻塞控制和网际互连等。【答案】网络层/Network、运输/TmsPOEt/T 2.在虚电路操作方式中,为了进行数据传输,网络的源节点和目的节点之间要建立一条逻辑电路,称之为____。 2.【解析】虚电路不是专用的,每个节点到其它任一节点之间可能有若干条虚电路支持特定的两个端系统之间的数据传输,两个端系统之间也可以有多条虚电路为不同的进程服务,这些虚电路的实际路径可能相同也可能不同。【答案】虚电路 3.虚电路服务是OSI____层向运输层提供的一种可靠的数据传送服务,它确保所有分组按发送____到达目的地端系统。 3.【解析】在分组交换方式中,通信子网有虚电路和数据报两种操作方式,提供虚电路和数据报两种服务。虚电路操作方式中,为了进行数据传输,网络的源节点和目的节点之间要建立一条逻辑通路,称之为虚电路。虚电路服务是网络层向运输层提供的一种使所有分组按顺序到达目的端系统的可靠的数据传送方式。【答案】网络、顺序 4.在数据报服务方式中,网络节点要为每个____选择路由,在____服务方式中,网络节点只在连接建立时选择路由。 4.【解析】在数据报操作方式中,每个分组被称为一个数据报,每个数据报自身携带地址信息,若干个数据报构成一次要传送的报文或数据块.数据报服务是指端系统的网络层同网络节点中的网络层之间,一致地按照数据报操作方式交换数据。虚电路服务是面向连接的服务,数据报服务是无连接的服务。【答案】分组/数据报、虚电路

动能及动能定理典型例题剖析

动能和动能定理、重力势能·典型例题剖析例1一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，量得停止处对开始运动处的水平距离为S，如图8－27，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的摩擦因数相同．求摩擦因数μ． [思路点拨]以物体为研究对象，它从静止开始运动，最后又静止在平面上，考查全过程中物体的动能没有变化，即ΔEK=0，因此可以根据全过程中各力的合功与物体动能的变化上找出联系． [解题过程]设该面倾角为α，斜坡长为l，则物体沿斜面下滑时，物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S2，则对物体在全过程中应用动能定理：ΣW=ΔEk． mgl·sinα－μmgl·cosα－μmgS2=0 得h－μS1－μS2=0．式中S1为斜面底端与物体初位置间的水平距离．故 [小结]本题中物体的滑行明显地可分为斜面与平面两个阶段，而且运动性质也显然分别为匀加速运动和匀减速运动．依据各阶段中动力学和运动学关系也可求解本题．比较上述两种研究问题的方法，不难显现动能定理解题的优越性．用动能定理解题，只需抓住始、末两状态动能变化，不必追究从始至末的过程中运动的细节，因此不仅适用于中间过程为匀变速的，同样适用于中间过程是变加速的．不仅适用于恒力作用下的问题，同样适用于变力作用的问题．例2 质量为500t的机车以恒定的功率由静止出发，经5min行驶2.25km，速度达到最大值54km/h，设阻力恒定且取g=10m/s2．求：(1)机车的功率P=？(2)机车的速度为36km/h时机车的加速度a=？ [思路点拨]因为机车的功率恒定，由公式P=Fv可知随着速度的增加，机车的牵引力必定逐渐减小，机车做变加速运动，虽然牵引力是变力，但由W=P·t可求出牵引力做功，由动能定理结合P=f·vm，可

弹簧分离问题经典题目

弹簧分离问题经典题目 1.如图所示，光滑水平地面上，可视为质点的两滑块A、B在水平外力的作用下紧靠在一起压缩弹簧，弹簧左端固定在墙壁上，此时弹簧的压缩量为x 0，以两滑块此时的位置为坐标原点建立如图所示的一维坐标系，现将外力突然反向并使B向右做匀加速运动，下列关于外力F、两滑块间弹力F N与滑块B的位移x变化的关系图象可能正确的是() 解析:设A、B向右匀加速运动的加速度大小为a，根据牛顿第二定律，对整体有F＋k(x0－x)＝(m A＋m B)a，可得F＝kx＋(m A＋m B)a－kx0，若(m A＋m B)a＝kx0，得F＝kx，则F与x成正比，F－x图象可能是过原点的直线，对A有k(x0－x)－F N＝m A a，得F N＝－kx＋kx0－m A a，可知F N－x图象是向下倾斜的直线，当F N＝0时A、B 开始分离，此后B做匀加速运动，F不变，则A、B开始分离时有x＝x0－ m A a k

函数·典型例题精析

2．2 函数2例题解析【例1】判断下列各式，哪个能确定y 是x 的函数？为什么？ (1)x 2＋y ＝1 (2)x ＋y 2＝1 (3)y ＝11 --x x 解 (1)由x 2＋y ＝1得y ＝1－x 2，它能确定y 是x 的函数． (2)x y 1y y x 2由＋＝得＝±．它不能确定是的函数，因为对1-x 于任意的x ∈{x|x ≤1}，其函数值不是唯一的． (3)y y x ＝的定义域是，所以它不能确定是的函数．11 --?x x 【例2】下列各组式是否表示同一个函数，为什么？ (1)f(x)|x|(t)(2)f(x)g(x)(x)2＝，＝＝，＝?t x 2 2 (3)f(x)g(x)(4)f(x)g(x)＝2，＝＝2，＝x x x x x x +--+--111 11122 解 (1)中两式的定义域部是R ，对应法则相同，故两式为相同函数． (2)、(3)中两式子的定义域不同，故两式表示的是不同函数． (4)中两式的定义域都是－1≤x ≤1，对应法则也相同，故两式子是相同函数．【例3】求下列函数的定义域： (1)f(x)2 (2)f(x)(3)f(x)＝＋＋＝＝x x x x x x x --+----145 3210215 2||

(4)f(x)(4x 5)(1)x 10 4x 0 1x 4{x|1x 4}(2)3x 20x {x|x }＝＋－由－≥－≥得≤≤．∴定义域是≤≤由－＞，得＞，∴定义域是＞812323|| x -???解 (3)10x x 210 |x|503x 7x 5{x|3x 7x 5} 2由－－≥－≠得≤≤且≠，∴定义域是≤≤，且≠??? (4)10 |x|0 4x 508x 00x x 8[80)(0)()由－≥≠－≠解得－≤＜或＜＜或＜≤∴定义域是－，∪，∪，854545454 8||x ?????? ??? 【例4】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求下列函数的定义域： (1)y f (2)y f(2x)f (3)y f ＝＝＋＝()()()123 2x x x a + 解(1)01x 1x 1f(){x|x 1x 1}由＜≤，得≤－或≥，∴的定义域是≤－或≥1 122x x

三角函数典型例题剖析与规律总结

三角函数典型例题剖析与规律总结一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。分析：要求1sin 2+= y 的定义域，只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足2 1 sin -≥x 的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin - ≥x ①在一周期??????-23,2ππ上符合①的角为?? ????-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为?? ? ?? ? + - 672,6 2πππ πk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()() 1,0log ≠>= a a x f y a 的函数，则其定义域由()x f 确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。二．函数值域及最大值，最小值（1）求函数的值域例。求下列函数的值域（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2 -+= x y x 分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2） ()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 22 22 cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。（2）函数的最大值与最小值。例。求下列函数的最大值与最小值（1）x y sin 211- = （2）??? ??≤≤-??? ? ? +=6662sin 2πππx x y （3）4sin 5cos 22 -+=x x y （4）?? ? ? ??∈+-=32,31cos 4cos 32 ππx x x y 分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数 c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。