专题分类突破
类型一逻辑推理
1．(2019·江西)逻辑推理是学习化学常用的思维方法，下列推理正确的是( )
A．原子是不带电的粒子，所以不带电的粒子一定是原子
B．溶液是均一稳定的，所以均一稳定的混合物一定是溶液
C．单质只含一种元素，所以含一种元素的物质一定是单质
D．碱中含有氢元素和氧元素，所以含有氢元素和氧元素的物质一定是碱2．(2018·江西)逻辑推理是学习化学常用的思维方法，下列推理正确的是( )
A．有机物都含有碳元素，所以含有碳元素的化合物一定是有机物
B．一氧化碳能从氧化铁中还原出铁，所以冶炼金属一定要用一氧化碳
C．铁在潮湿的空气中容易生锈，所以隔绝氧气和水一定可以防止铁生锈D．化学反应通常伴有能量变化，所以人类利用的能量都是由化学反应提供3．(2017·江西)根据反应事实能推导影响化学反应的因素，以下推理中错误的是( )
选项化学反应事实影响化学反应的因素
铁能与硫酸铜溶液反应，银不能与
反应物的性质A
硫酸铜溶液反应
通常木炭充分燃烧生成二氧化碳，
B
反应温度
不充分燃烧生成一氧化碳
C 硫在氧气中比在空气中燃烧更剧烈反应物的浓度
分别将等浓度的稀盐酸加入锌片和
D
反应物的接触面积
锌粉中，锌粉反应更剧烈
4.(2019·上饶广丰区一模)推理与归纳是学习化学常用的方法。下列说法正确的是( )
A．催化剂在化学反应前后质量不变，所以化学反应前后质量不变的物质一定是催化剂
B．分子可以构成物质，所以氧气和氯化钠都是由分子构成
C．酸中一定含有氢元素，所以含有氢元素的物质一定是酸
D．化学反应伴随能量变化，所以缓慢氧化一定伴随能量变化
5．(2019·江西名校联盟)逻辑推理是化学学习常用的思维方法。下列推理正确的是( )
A．物质燃烧会放出热量，故放出热量的反应都是燃烧
B．蒸馏能降低水的硬度，故静置沉淀也能降低水的硬度
C．稀有气体可作保护气，则可作保护气的一定是稀有气体
D．氢气点燃前需验纯，则点燃任何可燃性气体前都需验纯
6．推理是一种重要的研究和学习方法。下列推理正确的是( )
A．碱溶液显碱性，所以碱性溶液一定是碱溶液
B．碱中含有氢氧根，所以碱中一定含有氢元素
C．木炭、活性炭可用于净化空气，所以碳单质都能净化空气
D．酸、碱、盐的溶液能导电，所以酸、碱、盐的溶液中一定含有自由移动的电子
7．(2019·吉安吉州区模拟)推理是化学学习的重要方法。根据下列事实推出的实验结论正确的是( )
专题四：分类讨论思想在解题中的应用 一．知识探究： 分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的 结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。 1．有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类 讨论的原因大致可归纳为如下几种： （1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 （2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等 比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可 以称为性质型。 （3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性； （4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 （5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解 决的。 2．分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不 同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同时要有利于问题研究； 3．分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级； 4．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求； 5．讨论的基本步骤：（1）确定讨论的对象和讨论的范围（全域）（2）确定分类的标准，进行合理的分类（3）逐步讨论（必要时还得进行多级分类）
2016年北京中考专题突破几何综合 在北京中考试卷中，几何综合题通常出现在后两题，分值为8分或7分．几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律． 求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算． 1．[2015·北京] 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上(与点C，D 不重合)，连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH. (1)若点P在线段CD上，如图Z9－1(a)． ①依题意补全图(a)； ②判断AH与PH的数量关系与位置关系，并加以证明． (2)若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．(可以不写出计算结果 ．．．．．．．．．) 图Z9－1 2．[2014·北京] 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F. (1)依题意补全图Z9－2①； (2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数； (3)如图②，若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．
图Z9－2 3．[2013·北京] 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B 逆时针旋转60°得到线段B D. (1)如图Z9－3①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)； (2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明； (3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值． 图Z9－3 4．[2012·北京] 在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ. (1)若α＝60°且点P与点M重合(如图Z9－4①)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数； (2)在图②中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明； (3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝DQ，请直接写出α的范围． 图Z9－4
分类与整理 教学内容：教科书第27页例1及相关练习。 教学目标： 1．从解决问题的角度出发，让学生初步理解分类的含义，掌握简单的分类计数的方法，体验分类结果在单一标准下的一致性和不同标准下的多样性。 2．经历简单的数据整理过程，能够用自己的方式（文字，图画，表格等）呈现分类的结果，初步体会统计的完整过程。。 3．养成爱整理，爱劳动的好习惯。 教学重点：让学生经历完整的分类和收集、整理、描述数据的过程。 教学难点：体验分类标准的多样化，会自己定标准对物体进行分类。 教学准备：多媒体，气球卡片。 教学过程： 一、创设情境 1、师：同学们，老师今天接到了动物王国的一个担任评委的邀请，他们准备动物森林里开展一个有“我是勤劳小少年”的比赛，比比看谁是爱劳动，爱干净的。想跟老师一起去看看吗？你们也来担一下评委，谁会赢？ 学生回答，教师进行引导让孩子进行房间的整理。 2、揭示课题：分类与整理。 二、出示课本情境图 师：我准备了一些气球想送给大家，，它们太乱了，我想知道这每种气球都有多少个，我可以用什么方法又快又准确的知道呀！ 引导孩子对其进分类标准进行思考。 三、操作探究，充分交流 （一）操作活动1：按给定标准分类计数
1．说明活动要求 要求：先分一分，再数一数，然后把数出的结果记录在学习单上。2．开展操作活动 教师巡视指导，了解学生活动情况。 3. 教师把学生分类的结果有选择性的呈现在黑板上。 学生的分类结果可能有： 学生呈现分类计数的结果的方式可能有：图画式、简单的统计图式（纵向或横向）、图文并茂式、表格式等。 4．在充分观察的基础上开展对比与交流活动 （1）引导学生充分观察，并评价所展示的不同作品。 （2）教师适时修正或调整学生作品中的一些问题，例如纵向或横向排列不整齐，排列时没有一一对应，图文结合时没有表格等，使之更接近于较为标准的实物统计图，象形统计图或统计表的形式。 （3）表扬优秀的作品。
高三数学第二轮专题复习：分类讨论思想 高考要求 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论” 重难点归纳 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是 1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论 典型题例示范讲解
例1已知{a n }是首项为2，公比为2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和 （1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立 命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质 错解分析 第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案 解 （1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *） 因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥2 3S 1–2=1 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3 当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不
专题一 图表信息 专题提升演练 1.如图,根据程序计算函数值,若输入的x值为,则输出的函数值为( ) A. B. C. D. 2.如图,AB为半圆的直径,点P为AB上一动点,动点P从点A出发,沿AB匀速运动到点B,运动时间为t,分别以AP和PB为直径作半圆,则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为( ) 3.如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.在点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB=1.2 m, BP=1.8 m,PD=12 m,则该古城墙的高度是( ) B.8 m C.18 m D.24 m 4.某种蓄电池的电压为定值,使用此电源时,电流I(单位:A)与可变电阻R(单位:Ω)之间的函数关系如图,当用电器的电流为10 A时,用电器的可变电阻阻值为 Ω. .6 5.为鼓励居民节约用电,某省试行阶梯电价收费制,具体执行方案如下: 档次每户每月用电数/度执行电价/(元/度) 第一档小于等于2000.55 第二档大于200小于4000.6
第三档大于等于4000.85 例如:一户居民七月用电420度,则需缴电费420×0.85=357(元). 某户居民五月、六月共用电500度,缴电费290.5元.已知该用户六月用电量大于五月,且五月、六月的用电量均小于400度.问该户居民五月、六月各用电多少度? 500度,所以每个月用电量不可能都在第一档. 假设该用户五月、六月每月用电均超过200度, 此时的电费共计:500×0.6=300(元), 而300>290.5,不符合题意. 又因为六月用电量大于五月,所以五月用电量在第一档,六月用电量在第二档. 设五月用电x度,六月用电y度, 根据题意,得 故该户居民五月、六月各用电190度、310度. 6.在一次中学生田径运动会上,根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩(单位:m),绘制出如下的统计图 ①和图②.请根据相关信息,解答下列问题: 图① 图② (1)图①中a的值为 ; . (2)∵ =1.61, ∴这组数据的平均数是1.61. ∵在这组数据中,1.65出现了6次,出现的次数最多, ∴这组数据的众数为1.65. ∵将这组数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是1.60,又=1.60, ∴这组数据的中位数为1.60.
专题三 5大数学思想方法 第一节 分类讨论思想 类型一 由概念内涵分类 (2018·山东潍坊中考)如图1，抛物线y 1＝ax 2 －12x ＋c 与x 轴交于点A 和点B(1，0)，与y 轴交于 点C(0，3 4)，抛物线y 1的顶点为G ，GM⊥x 轴于点M.将抛物线y 1平移后得到顶点为B 且对称轴为直线l 的 抛物线y 2. (1)求抛物线y 2的表达式； (2)如图2，在直线l 上是否存在点T ，使△TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点T 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P 为抛物线y 1上一动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线y 2于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R.若以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，求直线PR 的表达式． 【分析】(1)应用待定系数法求表达式； (2)设出点T 坐标，表示出△TAC 三边，进行分类讨论； (3)设出点P 坐标，表示出Q ，R 坐标及PQ ，QR ，根据以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，分类讨论对应边相等的可能性即可． 【自主解答】
此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等(没有明确哪两条边相等)、直角三角形有一个角是直角(没有明确哪个角是直角)等，解决这类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论后还要判断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)． 1．(2018·安徽中考改编)若一个数的绝对值是8，则这个数是( ) A ．－8 B ．8 C ．±8 D ．－18 类型二 由公式条件分类 (2018·浙江嘉兴中考)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫
第三单元分类与整理 第一课时单一标准 总课时数：2 授课时间：第五周 【教材分析：】 本节课教材安排了一个学生熟悉的玩具——气球的情景图，让学生按照不同的形状给气球进行分类。这是一个用单一标准进行分类的例子，通过让学生自己按不同形状的标准进行分类，并记录每种气球的数量，学会单一标准下分类的方法以及用简单的条形统计图进行整理分类的结果。例题除了让学生选择以不同形状为分类标准外，还让学生思考还可以按其他标准给气球进行分类的方法。教师在教学中要注意引导学生在实践活动的过程中，先找出分类的标准，再按照这个标准对物体进行分类，培养学生的自主探索意识和动手操作能力。 【学情分析：】 分类这个单元的知识，对学生来说看起来像是一个全新的一块知识，但在上一册教材的有关容中，已经渗透看分类的思想。在认识物体和图形时，要求学生把形状相同的放在一起，就是要学生运用分类的方法，把“形状”作为分类的标准，把不同形状的物体划归为不同的类。在实际生活中，分类思维也有着广泛的应用。例如，商店里的物品要分类摆放，便于顾客很快找到想买的东西；学生也要学会对自己的学习用品和生活用品进行分类整理，是自己的学习和生活有规律。 因此在教学中，教师要注重将知识与实际生活联系起来；注重培养学生的实际操作，让学生在实际活动中找出分类的标准，掌握分类的方法。 【教学目标：】 知识目标：1、培养学生能按照给定的标准或者选择某个标准对物体进行分类，能选择不同的分类标准对物体进行不同的分类。 2、填写分类结果，培养学生收集数据的能力。 1、让学生通过给不同事物进行分类，体验不同的的分类标准，分出的结果也不一样。 能力目标： 2、通过在统计表中填写分类的结果，积累收集数据的经验。
八年级数学分类讨论专题 （每题5分，满分100分） 姓名 1、一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为 2．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是 3．已知四条直线y ＝kx －3，y ＝－1，y ＝3和x ＝1所围成的四边形的面积是12，则k 的值为 4.等腰三角形的一个内角为70°，那么一腰上的高与底边所成的角等于___ __． 5.在一直线上有A 、B 、C 三点，AB=5，BC=8，则AC=____ ____． 6.∣x ∣=3，∣y ∣=2，则x-y 的值为____ ____． 7.若23 +a 表示一个整数，则整数a 可以取的值是____ ____． 8.如果三条长分别为3、x 、5的线段恰好能组成一个直角三角形，那么x 等于__ ___． 9. 已知x 5-x =1，且x 为整数，则x 可以取___ _____． 10．在等腰三角形ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，则△ABC 的面积为_____ ___． 11．三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是 ． 12. 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为____________。 13.在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为_____ ___． 14．有一直角三角形，两直角边长分别为6和8，现在要将它扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8为直角边的直角三角形，则扩充后等腰三角形的周长是 15.一次函数y=kx+b ，当－３≤x ≤１时，对应的 y 值为１≤y ≤９ ， 则此函数解析式是 16．如图，直线y=2x+3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B.过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，且使OP=2OA ， 则ΔABP 的面积是 . 17.点A 的坐标为（1，1），点B 是x 轴上一点，且△OAB 为等腰三角形，则点B 的坐标是 。 18.某超市有如下方案（1）一次性购物不超过100元不享受优惠（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律九折（3）一次性购物超过300元一律八折。王波两次购物分别付款80元，252元，如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款 元？ 19．已知是完全平方式，则的值是 。 20．矩形一个角的平分线分矩形一边为1和3两部分，则这个矩形的面积为__ ____.
高中数学专题练习：分类讨论思想 [思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”. 3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果;最后进行归纳小结，综合得出结论. 常考题型精析 题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论 例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围.
第36讲 分类讨论型问题 (建议该讲放第21讲后教学 ) 类型一 由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论
例1(2016·南通模拟)矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为() A．3cm2B．4cm2C．12cm2D．4cm2或12cm2 【解后感悟】解此题的关键是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不确定，要进行分类讨论． 1．(1)若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为____________________． (2)已知平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm. (3)若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a＋b＝() A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1 类型二在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论 例2为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案. 根据这个购房方案： (1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款； (2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式； (3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．
【解后感悟】本题是房款＝房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，由于单价随人均面积而变化，所以用分段函数的解析式来描述．同时建立不等式组求解，解答本题时求出函数解析式是关键． 2．(1)在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋2与反比例函数y ＝1 x 的图象有唯一公共点， 若直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝1 x 的图象有2个公共点，则b 的取值范围是( ) A ．b>2 B ．－2
专题一5大数学思想方法 类型一分类讨论思想 (2018·临沂中考)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG. (1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝CD； (2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由． 【分析】 (1)先判定四边形BDFA是平行四边形，可得FD＝AB，再根据AB＝CD，即可得出FD＝CD；(2)当GC＝GB时，点G在BC的垂直平分线上，分情况讨论，即可得到旋转角α的度数． 【自主解答】 在数学中，如果一个命题的条件或结论有多种可能的情况，难以统一解答，那么就需要按可能出现的各种情况分类讨论，最后综合归纳问题的正确答案． 1．(2018·宿迁中考)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是( ) A．5 B．4 C．3 D．2 2．(2018·随州中考)为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天(1≤x≤15，且x为整数)每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：
任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y(件)与x(天)满足如下关系： 设李师傅第x天创造的产品利润为W元． (1)直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？ (3)任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？ 类型二数形结合思想 (2018·齐齐哈尔中考)某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20 min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大 客车以出发时速度的10 7 继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在 驶过景点入口6 km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s(km)和行驶时间t(min)之间的函数关系如图所示． 请结合图象解决下面问题：
教学目标： 1、学生通过分一分的活动，初步体会分类的思想，培养初步的分类能力。 2、通过操作学会分类方法，能选择一定的标准对物体进行分类，并对分好的物体进行简单的统计。初步养成有条理地思考问题、整理物品的习惯。 3、让学生体会到生活中处处有数学，养成有条理的生活习惯，能用学到的知识解决生活中的实际问题。 重难点： 学会对问题进行分类的方法，并进行简单的统计。让学生体会到生活中处处有数学。 教具准备：课件、一些铅笔、气球卡片。 学具准备：气球卡片，白纸 教学过程: 一、创设情境，导入新课。 展示礼物 师：今天老师给你们带来了一些礼物，看看一共有多少件礼物？想一想你是怎么知道的？师：谁还有不同的意见？ 师：那老师有一个疑问，同样都是为了解决一共有几个礼物的问题？为什么方法都不一样啊？ 其实不管是按大小来分，还是颜色来分，你们都是把这些礼物进行分类？ （板书：分类） 二、教学互动。 1、描述感知分类的标准。 师：你知道3月8日是什么节日？一年级的小朋友决定为我们亲爱的女老师举行一场联欢会。看他们准备了什么来布置教室。 师：仔细观察，都有哪些气球呢？（颜色和形状） 引出问题：是啊！这些各式各样的气球可真漂亮啊！可老师想知道每种气球都有几个？该怎么办呢？（分类）可以怎么分类呢？ 生答略（按形状，按颜色） 师：真了不起！你们有这么多分类的方法。（在黑板上板书：按形状分，按颜色分） 2、操作体会分类过程，尝试整理、分析数据 师：那这样吧，今天我们就按形状来给这些气球分分类。接下来你们要完成三件事，请看这是老师对你们的要求。(读要求） 师:听清楚了吗，那气球呢？现在陈老师就来变个魔术，闭上眼睛，一、二、三，它们已经在你的抽屉里的1号信封里，快动手分一分吧！（多巡视） 学生动手操作 ①展示先分再数的方法 师：老师发现很多同学都整理的特别好，现在咱们一起来看一看小朋友们都是怎么做的。生：我先把圆形的放在一起，它有5个…… 师：他是按形状把气球分成3堆，你数了吗？这样摆成一堆一堆的，好数吗？（贴出作品）②展示象形统计图的方法。 师：还有一位同学的方法和他的不太一样，请你上来给我们摆一摆，（直接在黑板上摆）老师特别想问你一个问题：刚才的同学它是分成一堆一堆的，你为什么要排成一列列的呢？生：整齐、清楚 生：这种方法（第一种）它们容易叠在一起，数的时候不是特别方便，而排成一列一列的清楚的多？
一年级数学下册分类与整理公开课教案 教学目标： 1.能按照某一给定的标准或选择某个标准对物体进行分类,并对分好的的物体进行简单的统计和数据分析。 2.在分类活动中,体验分类结果在单一标准下的一致性和在不同标准下的多样性。 3.让学生通过操作和活动体会分类的思想,掌握选择分类标准及正确的分类方法。 4.通过学习活动,让学生体会到生活中处处有数学,并养成有条有理的生活习惯,培养他们用学到的知识解决生活中实际问题的能力。 教学重点： 学会对物体进行分类的方法,并进行简单的统计。 教学难点： 体验分类标准的多样化,会自定标准对物体进行分类。 教学准备： 课件,气球卡片,纽扣卡片。 教学设计： 一、创设情境,体会分类整理的意义。 课件出示：凌乱的书柜和整齐的书柜。（本班的书柜） 谈话：小朋友们,请看一看这两幅图,如果老师请你们在这书柜上帮我拿一本故事书. 师：你会选择在哪个书柜上拿书呢？ 生：（2号书柜） 师：为什么你们会选择2号书柜呢？ 生回答 师：哦！原来2号书柜的书分类摆放的整整齐齐的,我们很容易找到自己需要的书。是啊！像2号书柜这样把同类的东西放在一起就叫做分类。（板书：分类）在我们生活中,也有很多这样的分类现象,小朋友们你们见过吗？ 师：老师也收集了一些这样的分类现象 师：超市里货架物品也是分类摆放的整整齐齐的哦（饮料、食物）,还有哦,分类垃圾桶也是将我们的生活垃圾分类回收的。 教师课件出示：超市的货架,分类垃圾桶等等。 二、分类计数,认识象形统计图和统计表。 （一）借助情境,提出问题。 师：分类的知识在我们的生活中到处可见哦,看,它来到了游乐园,小朋友们想去看看吗？ 生：想。 课件出示动态主题图。
一年级《分类与整理》教学设计 教学内容：人教版小学数学一年级下册27页。 教学目标： 1、通过具体操作，掌握分类的方法，体会分类的标准不同分类结果也不同。 2、尝试运用自己的方式把整理数据的结果记录下来，感受图表的简洁。 3、在与实际生活的联系中，体会分类的目的和作用。 教学重点：学会对物体进行分类的方法。 教学难点：能选择不同的标准对物体进行不同的分类。 教具：多媒体课件、 教学过程： 一、激趣引入。 师：同学们，春天到了，春暖花开，是适合出游的好季节。几个小朋友和他们的爸爸、妈妈一起去游玩。去游玩的路上，打算买些气球，正好在路上看到了小咕咚超市。同学们，你们认识“小咕咚”吗？我们在什么节目里面认识的“小咕咚”呢？今天，我们就到“小咕咚”开的超市去看一看，同学们看屏幕。（课件出示：师说：小朋友们到小咕咚超市去买气球，超市里各种商品杂乱地放在柜台上，“小咕咚”东找找、西找找，忙得满头大汗。师：看到这儿，同学们，你们有什么话要对“小咕咚”说吗？生回答。（东西摆得乱） 师：同学们提醒的太对了，“小咕咚”一定会感谢你们的，那么，是不是应该按照一定的方法把这些凌乱的货物整理好呢？使“小咕咚” 能马上找到
小朋友需要的气球呢？这也就是我们今天要学习的内容——板书课题。这节课我们就和“小咕咚”一起来学习分类与整理，那我们和“小咕咚”来比一比，看谁学得好，好吗？ 二、探究新知。 1、描述感知分类的标准。 师：小咕咚在他的超市里终于找到了气球。我们一起去看一看，他们买的什么样的气球呢？（课件出示：小朋友手里拿着漂亮的气球）。这么多漂亮的气球，你能把这些气球分分类吗？可以怎么分？ 2、操作体会分类过程，尝试记录分类结果 老师给每个小组的同学都准备了跟气球一样的图片，听清老师说的要求。下面就请同学们先按照形状分一分，看看每种气球各有几个，把你分的结果用你喜欢的方法记录在你的练习本上。 3、学生汇报。 ①展示先分再数的方法，师：你分了几类？每类有几个？生：圆形一类，心形一类，糖葫芦形一类。分的很好。教师贴图片板书。 ②展示象形统计图的方法。 除了这种分法，还有其他的方法吗？刚才老师看到有的同学分类的时候是一推一堆放的，还有的同学和他们小组的不一样的吗？到前面学生板贴，你为什么要排成一列呢？生：整齐、清楚 师：你能看出谁最多吗？师：你怎么知道的？生：这一排最长 师：看来这一行他是来记录葫芦形状的气球，我们在下面画上一个葫芦形，表示这一行记录的项目。有一个葫芦形气球就画一个。另外两行是记录心
等腰三角形分类讨论专题复习 日期：第页姓名： 一、等腰三角形的分类 1、边分类 2、角分类 3、外角分类 4、一腰上的高与另一腰的夹角 5、一腰上的中线分三角形的周长为两部分 6、一腰上的中垂线与另一腰的夹角 思考：在A B C三边所在的直线上找一点D，使得A B D为等腰三角形，画图说明点D所在的位置 B B B B B B
二、练习姓名： 1、如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是． 2、已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于 3、已知等腰三角形的一边等于5，周长为12，则一边等于 4、已知△ABC的周长为24，AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABD的周长为20，则AD的长为 5、等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长 6、在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为 7、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，则顶角的度数为 8、等腰三角形中，两条边的长分别为4和9，则它的周长是． 9、若一个等腰三角形有一个角为100o，则另两个角为 10、一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，求这个等腰三角形的底边长 11、一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数 12、(1)等腰三角形的顶角和一个底角的度数的比是4:1，则这个三角形三个内角的度数分别为________，_______，______________.
(2)在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________. 13、等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰的夹角为50o，求底角为 14、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 15、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角 ∠B=____________ 16、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数； 17、在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为400，求底角B的度数。 18、等腰三角形的两边长分别为5cm和11cm，则周长。
高中数学专题复习之用分类讨论思想解题 参数广泛地存在于中学数学的各类问题中，也是近几年来高考重点考查的热点问题之一。以命题的条件和结论的结构为标准，含参数的问题可分为两种类型，。一种类型的问题是根据参数在允许值范围内的不同取值（或取值范围），去探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题的结论；另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件。本文拟就第一类问题的解题思想方法――分类与讨论作一些探讨，不妥之处，敬请斧正。 解决第一类型的参数问题，通常要用“分类讨论”的方法，即根据问题的条件和所涉及到的概念；运用的定理、公式、性质以及运算的需要，图形的位置等进行科学合理的分类，然后逐类分别加以讨论，探求出各自的结果，最后归纳出命题的结论，达到解决问题的目的。它实际上是一种化难为易，化繁为简的解题策略和方法。 一、科学合理的分类 把一个集合A 分成若干个非空真子集A i （i=1、2、3···n ）（n ≥2，n ∈N ），使集合A 中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。即 ①A 1∪A 2∪A 3∪···∪A n ＝A ②A i ∩A j ＝φ（i,j ∈N,且i ≠j ）。 则称对集A 进行了一次科学的分类（或称一次逻辑划分） 科学的分类满足两个条件：条件①保证分类不遗漏；条件②保证分类不重复。在此基础上根据问题的条件和性质，应尽可能减少分类。 二、确定分类标准 在确定讨论的对象后，最困难是确定分类的标准，一般来讲，分类标准的确定通常有三种： （1）根据数学概念来确定分类标准 例如：绝对值的定义是： ?? ? ??<-=>=)0() 0(0) 0(||a a a a a a
专题五分类讨论题 一、选择题 3.（2013?广西钦州中考）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°3. B 6.（2013?江苏淮安中考）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（） A．5 B．7 C．5或7 D．6 6. B 7.（2013?山东莱芜中考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．8 7. C 8. 9.
10.（2013?深圳中考）如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（） A．8或 B．10或 C．10或 D．8或 10. D 二、填空题 13. （2013?甘肃平凉中考）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边
为． 13.6，4或5，5． 14.（2013?四川雅安中考）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标． 14.（0，2），（0，﹣2），（﹣3，0），（3，0）． 15.（2013?浙江绍兴中考）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA 绕点O旋转，使点A与双曲线y=上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标 是． 15.2或-2 16.（2013?四川绵阳中考）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是． 16. 6或12或10． 17.（2013?江苏无锡中考）已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，﹣a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为． 17. 18.（2013?浙江丽水中考）如图，点P是反比例函数y=（k＜0）图象上的点，PA垂直x 轴于点A（﹣1，0），点C的坐标为（1，0），PC交y轴于点B，连结AB，已知AB=．（1）k的值是； （2）若M（a，b）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA＜∠ABC，则a的取值范围 是． 18.（1）﹣4 （2）0＜a＜2或＜a＜
专题训练(六) [分类讨论思想] 1.[2017·聊城] 如图ZT6-1是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连接P A,PB,那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是() 图ZT6-1 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.[2017·义乌] 如图ZT6-2,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点,若使P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是. 图ZT6-2 3.[2017·齐齐哈尔] 如图ZT6-3,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是. 图ZT6-3 4.[2017·绥化] 在等腰三角形ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=BC,则△ABC的顶角的度数为. 5.[2018·安徽] 矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是
等腰三角形,则PE的长为. 6.[2017·眉山] 如图ZT6-4,抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,已知A(3,0),且M1,-是抛物线上一点. 图ZT6-4 (1)求a,b的值; (2)连接AC,设点P是y轴上任一点,若以P,A,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,求P点的坐标; (3)若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点(不与O,A重合),过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于点H.设ON=t,△ONH的面积为S,求S与t之间的函数关系式. 7.[2017·烟台] 如图ZT6-5①,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4.矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E. 图ZT6-5 (1)求抛物线的表达式. (2)如图ZT6-5②,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH⊥EO,垂足为 H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值.
中考数学专题突破训练--尺规作图 (时间40分钟满分50分) 一、选择题(每小题3分,共15分) 1．（宜昌)如图,在△AEF中,尺规作图如下：分别以点E,点F为圆心,大于1 2 EF的长为半径 作弧,两弧相交于G,H两点,作直线GH,交EF于点O,连接AO,则下列结论正确的是( C ) A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EF C．GH垂直平分EF D．GH平分AF 2．（衢州)下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线,则对应选项中作法错误的是( C ) A．①B．②C．③D．④ 3．（深圳)如图,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于1 2 AB为半径作弧,连接弧的交点得到 直线l,在直线l上取一点C,使得∠CAB＝25°,延长AC至点M,则∠BCM的度数为( B ) A．40°B．50°C．60°D．70° (导学号58824194) ,第3题图) ,第4题图) 4．（南通)已知∠AOB,作图． 步骤1：在OB上任取一点M,以点M为圆心,MO长为半径画半圆,分别交OA,OB于点P,Q；
步骤2：过点M 作PQ 的垂线交PQ ︵ 于点C ； 步骤3：画射线OC. 则下列判断：①PC ︵＝CQ ︵ ；②MC∥OA；③OP＝PQ ；④OC 平分∠AOB ,其中正确的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．（河池)如图,在?ABCD 中,用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG,若AD ＝5,DE ＝6,则AG 的长是( B ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 二、填空题(每题3分,共15分) 6．（绍兴)以Rt △ABC 的锐角顶点A 为圆心,适当长为半径作弧,与边AB,AC 各相交于一点,再分别以这两个交点为圆心,适当长为半径作弧,过两弧的交点与点A 作直线,与边BC 交于点D.若∠ADB ＝60°,点D 到AC 的距离为2,则AB 的长为_23_. 7．（济宁)如图,在平面直角坐标系中,以O 为圆心,适当长为半径画弧,交x 轴于点M,交y 轴于点N,再分别以点M,N 为圆心,大于1 2MN 的长为半径画弧,两弧在第二象限内交于点P(a,b), 则a 与b 的数量关系是_a ＋b ＝0_. ,第7题图) ,第8题图) 8．（河北)如图,依据尺规作图的痕迹,计算∠α＝_56_°. 9．如图,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,按以下步骤作图： ①以C 为圆心,以适当长为半径画弧交AC 于点E,交BC 于点F ；
专题二 分类讨论思想 1．(2012年辽宁营口)圆心距为2的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半 径为( ) A ．1 B ．3 C ．1或2 D ．1或3 2．已知线段AB ＝8 cm ，在直线AB 上画线段BC ，使BC ＝5 cm ，则线段AC 的长度为( ) A ．3 cm 或13 cm B ．3 cm C ．13 cm D ．18 cm 3．(2011年贵州贵阳)如图Z2－3，反比例函数y 1＝k 1x 和正比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A (－1，－3)，B (1,3)两点，若k 1x ＞k 2x ，则x 的取值范围是( ) 图Z2－3 A ．－1＜x ＜0 B ．－1＜x ＜1 C ．x ＜－1或0＜x ＜1 D ．－1＜x ＜0或x ＞1 4．(2012年湖南张家界)当a ≠0时，函数y ＝ax ＋1与函数y ＝a x 在同一坐标系中的图象可能是( ) A B C D 5．(2011年山东济宁)如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm 和6 cm ，那么此三角形的周长是( ) A ．15 cm B ．16 cm C ．17 cm D ．16 cm 或17 cm 6．(2012年四川泸州)为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准： (1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算； (2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部份按0.80元/度计算(未超过部份仍按每度电0.50元计算)． 现假设某户居民某月用电量是x (单位：度)，电费为y (单位：元)，则y 与x 的函数关系用图象表示正确的是( ) A B C D 7．等腰三角形ABC 的两边长分别为4和8，则第三边长为________． 8．(2011年四川南充)过反比例函数y ＝k x (k ≠0)图象上的一点A ，分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为B ，C .若△ABC 的面积为3，则k 的值为________．