2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（四）
理科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知某校有高一学生1000人，高二学生800人，高三学生600人，该校学生会希望调查有关本学期学生活动计划的意见，现从全体高中学生中抽取10%作为样本.若利用分层抽样，则应在高二学生中抽取（）
A. 100人
B. 80人
C. 600人
D. 240人【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合分层抽样的定义求解需要抽取的高二学生人数即可.
【详解】由分层抽样的定义可知，应在高二学生中抽取人数为：
()800
100080060010%801000800600
++??
=++.
故选：B .
【点睛】进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解： (1)
n N =
样本容量该层抽取的个体数
总体的个数该层的个体数
； (2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比． 2.已知复数21i
z i
-+=+，则z 在复平面内对应点的坐标为（ ） A. 13,22??
-
- ??? B. 13,22??
-
??
? C. 31,22??
-
??
? D. 31,22??
???
【答案】B 【解析】 【分析】
首先化简所给的复数，然后结合化简结果即可确定其所在的象限. 【详解】()()()()
2121313
111222i i i i z i i i i -+--+-+=
===-+++-， 则z 在复平面内对应的点坐标为13,22??
- ??
?， 故选：B .
【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数所对应的点的坐标的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.已知命题p ：x R ?∈，2x x e e -+>，命题q ：0x R ?∈，0ln 1x =-，则下列判断正确的是（ ）
A. ()p q ?∧是真命题
B. ()p q ∨?是真命题
C. ()p q ∧?是真命题
D. ()()p q ?∨?是假命题
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意首先确定命题p ,q 的真假，然后判定所给的复合命题的真假即可.
【详解】当0x =时，2x x e e -+=，命题p 为假命题； 当01
x e
=
时，0ln 1x =-，命题q 为真命题； 则：()p q ?∧是真命题，()p q ∨?是假命题，()p q ∧?是假命题，()()p q ?∨?是真命题. 故选：A .
【点睛】本题主要考查命题真假的判定，复合命题的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.在()()65
112x x -+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A. -100 B. -60 C. 60 D. 100
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意结合排列组合和二项式的展开式特点确定含3x 的项的系数即可. 【详解】由题意可得：含3x 的项为()()
()3
3
3
3
3
652100C x C x x +?-=-?-，
则含3x 的项的系数是100-. 故选：A .
【点睛】本题主要考查二项式展开式系数的计算，排列组合与二项式展开式的联系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5.已知直线1l ：230mx y m --+=，2l ：0x my m -+=，若12l l //，则m =（ ） A. ±1 B. 1
C. -1
D. 不存在
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意结合直线平行的充分必要条件得到关于m 的方程，解方程即可确定m 的值. 【详解】由直线平行的充分必要条件可得：()1(1)m m ?-=?-且1(23)m m m ?≠?-+， 据此可得：1m =-. 故选：C .
【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件，属于基础题.
6.已知2log a e π=，()2
log b e π=，ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a c b <<
B. a b c <<
C. b c a <<
D.
c a b <<
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意利用对数函数的性质和作差法比较所给的数的大小即可. 【详解】很明显1,0,1c a b ><<，且：
()()
222
1log log log log 2
e e e e ππππ-=-()
1
log log log log log 02
e e e e ππ
πππ??
=-=< ???
， ∴a b <，∴a b c <<， 故选：B .
【点睛】本题主要考查对数的运算性质，作差法比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7.已知双曲线()22
10x my m -=>的两条渐近线分别与抛物线2
4y x =的准线交于A ，B 点，
O 为坐标原点.若AOB ?的面积为1，则m 的值为（ ）
A. 1
C. 2
D. 【答案】A 【解析】 【分析】
由题意首先确定渐近线方程和准线方程，然后结合三角形面积公式得到关于m 的方程，解方程即可确定m 的值.
【详解】双曲线()2
2
10x my m -=>的渐近线方程为0x ±=，
抛物线2
4y x =的准线方程为l ：1x =-，
联立得1,A m ?- ??，1,B m ??-- ? ???
，则AB m =.
由1111122AOB S AB ?=?==，解得1m =， 故选：A .
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，抛物线的性质，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8.我国某省新高考将实行3+1+2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某校高一新生甲、乙分别选了历史、物理，若他们都对后面四科没有偏好且彼此选课互不影响，则他们选课恰有一科相同的概率为（ ） A.
13
B.
23
C.
16
D.
18
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意首先确定所有的选课方法种数和满足题意的选课方法数，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.
【详解】由题意可得，所有的选课方法有2
2
44C C 种，满足题意的选课方法有1
1
1
432C C C 种，
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：11143222
44242
363
C C C P C C ===， 故选：B .
【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 9.在直角三角形ABC 中，2
C π
∠=
，4AC =，取点D 、E ，使3BD DA =，4AB BE =，
那么CD CA CE CA ?+?=（ ） A. -8 B. -4
C. 4
D. 8
【答案】D 【解析】 【分析】
首先将向量,CD CE 均表示为以,CA CB 为底的线性组合形式，然后结合向量数量积的运算法则和题意整理计算即可求得最终结果.
【详解】∵3BD DA =，∴()
3CD CB CA CD -=-，化简得31
44
CD CA CB =+， 同理可得1544CE CA CB =-
+，∵2
C π
∠=，可得0CA CB ?=， ∴()
CD CA CE CA CA CD CE ?+?=?+21313
222
2CA CA CB CA CA CB
??=?+=+? ???21
82
CA ==， 故选：D .
【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，平面向量数量积的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10.若关于x 的方程()2
2ln 2ln a x x x x
=-恰有4个不相等实根，则实数a 的取值范围是（ ） A. 22,
e e -?
?
-∞ ???
B. 212,
8e e -??
- ???
C. 2
2,0e e -??
???
D. 1
,08??- ???
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意首先将所给的方程进行恒等变形，然后换元之后将其转化为二次函数根的分布的问题，最后求解关于实数a 的不等式组即可确定实数a 的取值范围. 【详解】由题可转化为()()2
2ln ln 0x x a x x x =->， 令ln t x x =，则'ln 1t x =+，则函数在区间10,e ?? ???
上单调递减，在区间1,e ??
+∞ ???上单调递增， 当1x e
=
时，1
t e =-，做出函数ln t x x =的图象如图所示，
结合题意可知：要使原方程恰有4个不相等的实数根，则1,0t e ??∈- ???
，
且关于t 的方程220t t a +-=在1,0t e ??∈- ???
有两个不相等的实数根，
即()2
2g t t t a =+-在1,0e ??- ???
有两个不同的零点，则
∴()22
001112011120444g a g a e e e g a ?
?=->????-=?-->? ???
????-=?--
?，解得2128e a e --<<，表示为区间形式即212,8e e -??- ???.
故选：B .
【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数零点个数问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.已知实数x ，y 满足条件2
2
3448x y +=，222244245
x y x x y x y +-+++-+的最大值为（ ） A. 813+ B. 1613+ C. 85 D. 825+【答案】C 【解析】 【分析】
由题意首先将问题转化为定点到两个动点之间距离的问题，然后利用椭圆的定义进行等价转
化，最后利用三点共线的结论即可确定满足题意的最值.
【详解】根据题意，点(),P x y 在椭圆22
11612
x y +=上，
=
，
表示点(),P x y 到点()2,0A 和到点()1,2B -的距离之和，即PA PB +. 其中点A 是椭圆的右焦点，左焦点为
()'2,0A -.2'2'PA PB a PA PB a PB PA +=-+=+-，
又因为''PB PA BA -≤=
于是2'8PA PB a PB PA ?+=+-∈-+?，
8+故选：C .
【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，椭圆的定义的应用，最值的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12.存在函数()f x ，满足对任意x ∈R ，都有（ ） A. ()2
f x
x =
B. ()sin 2sin f x x =
C. ()()
cos 2cos f x x = D. ()x
f e
x =
【答案】D 【解析】 【分析】
利用函数的定义，逐一考查所给的函数，不满足题意的选项给出反例，符合题意的函数给出解析式即可.
【详解】根据函数的定义可知，
A 选项：当24x =时，有()42f =-和()42f =，因此不符合函数的定义.
B 选项：当sin 20x =时，()2
k x k Z π
=
∈.于是当k 为偶数时，()00f =，当k 为奇数时，()01f =±，因此不符合函数定义.
C 选项：当cos20x =时，()24k x k Z ππ=
+∈.于是当k 为偶数时，(
)0f =，当k 为奇数时，(
)02
f =±
，因此不符合函数的定义. D 选项，由()
x
f e x =可得()ln f x x =，满足函数的定义.
故选：D .
【点睛】本题主要考查函数的定义及其应用，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1
2，乙获胜的概率是13
，则乙不输的概率是_____． 【答案】
5
6
【解析】
乙不输的概率为
115236+=，填56
. 14.有一个容量为60的样本，数据的分组及各组的频数如下图：
根据样本的频率分布估计，总体的平均数为______.（保留小数点后两位） 【答案】123.
67 【解析】 【分析】
由题意利用平均数公式计算平均数即可. 【详解】由题意可得，平均数为：
95210581151012520135161454
60
?+?+?+?+?+?123.67≈.
故答案为：123.67．
【点睛】本题主要考查频率分布表的应用，平均数的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15.已知圆1C ：()2
2
2
244004x y mx y m n n +--+-+=<<与圆2C ：()2
214x y +-=相
内切，则2m n +的最小值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】
首先确定两圆的圆心和半径，然后结合两圆内切的条件得到关于m ,n 的等量关系，最后利用基本不等式即可确定2m n +的最小值.
【详解】1C ：()()()2
2
204x m y n n -+-=<<，圆心()m,2
，r =
2C ：()2
214x y +-=，圆心()0,1，2r
，
圆1C ，2C
2=
2=，
∴22=
≤1≥?，即21m n +≥，
当且仅当即21m n +=时等号成立，因此2m n +
最小值为1.
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查圆的方程的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16.2019年1月1日新修订的个税法正式实施，规定：公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算（预扣）：
国家在实施新个税时，考虑到纳税人的实际情况，实施了《个人所得税税前专项附加扣税暂行办法》，具体如下表：
老李本人为独生子女，家里有70岁的老人需要赡养，有一个女儿正读高三，他每月还需缴纳住房贷款2734元.若2019年11月老李工资，薪金所得为20000元，按照《个人所得税税前专项附加扣税暂行办法》，则老李应缴纳税款（预扣）为______元.
【答案】890
【解析】
【分析】
由题意首先确定老李需要纳税的钱数，然后结合税率计算需要缴纳的个人所得税即可.
---=元，【详解】根据题意，老李应纳税的工资、薪金为2000020001000100016000
-=.
其中应纳税额所得额为16000500011000
?+?=元，
缴纳的个人所得税（预扣）为30003%800010%890
故答案为：890．
【点睛】本题主要考查信息处理题的解法，实际问题的数学建模等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 和n S 满足：()()2
*128
n n S a n N =+∈. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设数列61
42
n n n a b +=
?，求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）()
*
42n a n n N =-∈（2）332
n n n T +=-
【解析】 【分析】
(1)首先求得1a 的值，然后结合递推关系式整理可得数列{}n a 为等差数列，结合等差数列通项公式可得数列{}n a 的通项公式；
(2)结合(1)的结论首先求得数列{}n b 的通项公式，然后错位相减求解其前n 项和即可. 【详解】（1）当1n =时，()2
111128
a S a ==+，解得：12a =， 当2n ≥且*n N ∈时，()2
11128
n n S a --=
+， ∴()()22
11112288
n n n n n a S S a a --=-=+-+，
整理可得：()()()1114n n n n n n a a a a a a ---+-=+， ∵0n a >，∴10n n a a ->+，∴14n n a a --=， ∴数列{}n a 以2为首项，4为公差的等差数列， ∴()(
)*
24142n a n n n N =+-=-∈.
（2）由（1）知，
614261412
242n n n n n n b n a +-+?=+=
?=， 则1212231
222
n n n n T b b b +=+++=+++①
则2311231
2222n n n T ++=+++，② 由①-②得1
23
1111114211111
133111222
22222
12
n n n n n n n n n T -+++????
-?? ???+++???
?
=+++
+-=+-
=--
化简得3
32n n
n T +=-
. 【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．
18.已知向量()2,sin 2m x =-，(2
cos n x =，且函数()f x m n =?.
（1）求()f x 的最小正周期及对称中心；
（2）在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A 为锐角，a =
1
1sin 2
123f A C π??++= ???，且ABC ?的面积为
2.求ABC ?的周长.
【答案】（1）最小正周期为π，对称中心为,1122k ππ??
+- ???
，k Z ∈.（2）5 【解析】 【分析】
(1)首先将函数的解析式化简为sin ωφf x A x B 的形式，然后确定其最小正周期和
对称中心即可；
(2)由题意首先求得a 的值，然后利用正弦定理求得∠A 的大小，最后结合余弦定理求得b +c 的值即可求得三角形的周长. 【详解】（1）
()
22cos 2f x m x x n ==-?1cos 222sin 216x x x π?
?=--+=-- ??
?，
由222T π
π
πω=
=
=，故最小正周期为π.
由26x k ππ-=，∴122
k x ππ
=+，k Z ∈，
∴()f x 的对称中心为,1122k ππ??
+-
???
，k Z ∈. （2）由于112sin 112sin 21266f A A A πππ???
?++=+--+=
? ????
?，
故72sin sin A b C =
，于是72a bc =，又7a =，解得6bc =. 133sin 22ABC
S bc A ?==，解得3
sin 2
A =
.故3A π=或23A π=（舍去）. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，则2
2
17122
b c =+-?
化简得：2213b c +=，∴()2
213b c bc +-=，∴5b c +=， ∴三角形ABC ?的周长为57a b c ++=+.
【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.为进一步优化教育质量平台，更好的服务全体师生，七天网络从甲、乙两所学校各随机抽取100名考生的某次“四省八校”数学考试成绩进行分析，分别绘制的频率分布直方图如图所示.
为了更好的测评各个学校数学学科的教学质量，该公司依据每一位考生的数学测试分数将其划分为“A ，B ，C ”三个不同的等级，并按照不同的等级，设置相应的对学校数学学科教学质量贡献的积分，如下表所示. 测试分数m 的范围
分数对应的等级
贡献的积分 90100m <≤
C 等
1分 100130m ≤< B 等
2分 130150m ≤≤
A 等
3分
（1）用样本的频率分布估计总体的频率分布，若将甲学校考生的数学测试等级划分为“A 等”和“非A 等”两种，利用分层抽样抽取10名考生，再从这10人随机抽取3人，求3人
中至少1人数学测试为“A 等”的概率；
（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，若从乙学校全体考生．．．．中随机抽取3人，记3人中数学测试等级为“B 等”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ； （3）根据考生的
数学测试分数对学校数学学科教学质量贡献的积分规则，分别记甲乙两所学校数学学科质量的人均积分为x 甲和x 乙，用样本估计总体，求x 甲和x 乙的估计值，并以此分析，你认为哪所学校本次数学教学质量更加出色？ 【答案】（1）8
15
；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【解析】 【分析】
(1)由题意首先确定需要抽取的人数，然后结合对立事件公式即可求得满足题意的概率值. (2)由题意可知随机变量服从二项分布，结合二项分布的概率公式求得相应的概率值即可得到其分布列，然后求解数学期望即可；
(3)设x 甲和x 乙的估计值为'x 甲和'x 乙，求得其相应的值即可给出相应的结论.
【详解】（1）由题意知抽取的10人中，数学成绩为“A 等”和“非A 等”的人数分别为2人和8人.
设从这10人随机抽取3人，求3人中至少1人数学测试为“A 等”的事件为A ，
则()3
83108
115
C C P A =-=.
（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则每位考生数学测试等级为“B 等”的概率为
3
5.记3人中数学测试等级为“B 等”的人数为X ，则33,5X B ?? ???
. ()3
03238055125P X C ????=== ? ?????，()2
132336155125P X C ????=== ? ?
????， ()1
2
232325541255P X C ??
??=== ?
???
??，()0
3
33233527125
5P X C ????== ? ?
????=.
故()39355
E X =?
=. （3）由题可知，设x 甲和x 乙的估计值为'x 甲和'x 乙，
'
x 甲()()0.0051010010.0070.030.0381010020.0110.009101003
100
???+++???++???=
2.15=（分）
'
x 乙()()0.011010010.0170.020.023*******.0220.008101003
100
???+++???++???=
2.2=（分）
则''x x <甲乙，如果仅以考生的数学测试分数对学校贡献的积分来看，本次考试，我认为乙学校本次数学测试更加出色.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，分布列与数学期望的计算，实际问题中的概率统计问题决策方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20.已知抛物线C ：2
2y px =的准线经过点()1,0P -.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）设O 是原点，直线l 恒过定点()1,0，且与抛物线C 交于A ，B 两点，直线1x =与直线
OA ，OB 分别交于点M ，N .请问：是否存在以MN 为直径的圆经过x 轴上的两个定点？
若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2
4y x =（2）存在，以MN 为直径的圆经过x 轴上的两个定点分别为()1,0-和
()3,0
【解析】 【分析】
(1)由题意首先求得p 的值，然后确定抛物线方程即可；
(2)设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理即可求得圆的方程，结合圆的方程即可确定圆是否过定点.
【详解】（1）由于12
p
x =-
=-知2p =，故抛物线C ：24y x =； （2）设直线AB ：1x ty =+，且211,4y A y ?? ???，2
22,4y B y ??
???
， 联立214x ty y x
=+??=?知2
440y ty --=，由韦达定理知124y y t +=①，124y y =-②，
由于直线OA ：14y x y =
，故点141,M y ?? ???.直线OB ：2
4y x y =，故点241,N y ?? ???
， 故以MN 为直径的圆的方程为()2
124410x y y y y ????
-+-
-= ???????
， 令0y =知()2
12
16
10x y y -+
=，代入②知()2140x --=解得11x =-，23x =. 故以MN 为直径的圆经过x 轴上的两个定点分别为()1,0-和()3,0.
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 21.已知函数()sin f x ax x =-，,2x ππ??∈?
???
. （1）当1a =时，求函数()y f x =在23
x π
=处的切线方程； （2）若()1cos f x x ≤-对,2x ππ??
∈?
???
恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1
）9620x y π---=（2）2
a π
≤
【解析】 【分析】
(1)首先求得切点坐标，然后利用导函数的几何意义求得切线的斜率即可确定切线方程； (2)结合函数的解析式分离参数，然后构造新函数，利用导函数研究构造的新函数的最值即可确定实数a 的取值范围.
【详解】（1）当1a =时，()sin x x x f -=，,2x ππ??
∈?
???
，则2233f ππ??= ???
， 又因为()'1cos f x x =-，则23'32
f π
??=
???.
故切线方程为2323223
y x ππ
????
--=- ? ? ???
?
?，化简得9620x y π---=. （2）若()1cos f x x ≤-对,2x ππ??
∈?
???
恒成立， 即1sin cos x x a x +-≤
对,2x ππ??
∈????
恒成立，
记()1sin cos x x x g x +-=
，则()()()2
sin cos 1sin c s 'o x x x g x x x x +-+-=
，
记()()()sin cos 1sin cos x x x x h x x =+-+-，则()()'cos sin 0h x x x x =-<恒成立， 则()y h x =在,2x ππ??
∈?
???单调递减，则()2022
h h x ππ??<=-< ???，即()'0g x <， 故函数()y g x =在,2x ππ??
∈?
???
单调递减，则()()min 2g x g ππ==，故2a π≤.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y α
α=??
=+?
（其中α为参数），曲线2C 的
参数方程为sin x y α
α
?=??=??（其中α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极
坐标系.
（1）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；
（2）射线l ：()0θ?ρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于点A ，B （且点A ，B 均异于原点O ），当02
π
?<≤
时，求22
OA OB +的最小值.
【答案】（1）
1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，2C 的极坐标方程为225
14sin ρθ
=+（2
）1
【解析】 【分析】
(1)由题意首先将参数方程化为直角坐标方程，然后再化为极坐标方程即可； (2)结合(1)中的参数方程首先求得,OA OB 的表达式，然后结合均值不等式即可求得
22
OA OB +的最小值.
【详解】（1）曲线1
C 的
普通方程为()2
211x y +-=，令cos x
ρθ=，sin y ρθ=，
可得1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，
曲线2C 的普通方程为2
21y +=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，
可得2C 的极坐标方程为2
2
5
14sin ρθ
=
+. （2）联立()0θ?ρ=≥与1C 的极坐标方程得2sin OA ?=， 联立()0θ?ρ=≥与2C 的极坐标方程得2
25
14sin OB ?
=
+，
则2
22
254sin 14sin OA OB ??=+
++2
254sin 1114sin ??
=++-+
11≥=（当且仅当sin ?=.
所以2
2
OA OB +的最小值为1-.
【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程的互化，基本不等式求最值的方法，极坐标方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 23.已知函数()2f x x =
.
（1）求不等式()1f x >的解集；
（2）若正数a ，b ，c 满足14923a b c f ??++=+ ???，求
149
a b c
++的最小值. 【答案】（1）11,3?
?- ???（2）196
3
【解析】 【分析】
(1)由题意零点分段求解绝对值不等式即可；
(2)由题意结合题中所给的式子的特点利用柯西不等式求解其最值即可. 【详解】（1）化简得()221f x x x =-->.
①当0x ≤时，()()222f x x x x =---=+，由()1f x >，即21x +>， 解得1x >-，又0x ≤，所以10x -<≤；
②当02x <<时，()23f x x =-，由()1f x >，即231x ->， 解得13
x <
，又02x <<，所以1
03x <<；
③当2x ≥时，()2f x x =--不满足()1f x >，此时不等式无解； 综上，不等式()1f x >的解集为：11,3??- ???
.
（2）由于111221333f ??=
--?= ???，故149233a b c f ??
++=+= ???
， ∴
()1491149493a b c a b c a b c ??
++=++++ ???
， ∵,,0a b c >，∴由柯西不等式：
上式
(
(
2222
2
2
13??
???
???=
++?++ ?
?????????
(
(
2
13?≥????
()2
119614933=++=.
当且仅当3
14
a b c ===时，等号成立.