与园和二次函数有关的数学经典中考压轴题解析

数学中考压轴题解析（一）

1..如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC △三个顶点的坐标分别为()60A -，，()60B ，，

()

043C ，，延长AC 到点D ，使CD =12

AC ，过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ．

1）求D 点的坐标；

（2）作C 点关于直线DE 的对称点F ，分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短．（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）．

2. （满分14分）

如图10，已知直线:l y x m =-+（0m ≠）交x 轴、y 轴于A 、B 两点，点C 、M 分别在线段OA 、AB 上，且OC =2CA ，AM =2MB ，连接MC ，将△ACM 绕点M 旋转180°，得到△FEM ，显然点E 在y 轴上， 点F 在直线l 上；取线段EO 中点N ，将△ACM 沿MN 所在直线翻折，得到△PMG ，其中P 与A 为对称点．记：过点F 的反比例函数图象为1C ，过点M 且以B 为顶点的二次函数图象为2C ，过点P 且以M 为顶点的二次函数图象为3C ． （1）当m =6时，①直接写出点M 、F 的坐标，

②求1C 、2C 的函数解析式；

（2）当m 发生变化时，

①在1C 的每一支上，y 随x 的增大如何变化？请说明理由． ②若2C 、3C 中的y 都随着x 的增大而减小，写出x 的取值范围．

y

D E C B O A x

1

1 y x

O

A

E F l M C N B 图10

3. （14分）如图，抛物线n mx x y ++=

2

2

1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，四边形OBHC 为矩形，CH 的延长线交抛物线于点D （5，2），连结BC 、AD ． （1）求C 点的坐标及抛物线的解析式；

（2）将△BCH 绕点B 按顺时针旋转90°后再沿x 轴对折得到△BEF （点C 与点E 对应），

判断点E 是否落在抛物线上，并说明理由；

（3）设过点E 的直线交AB 边于点P ，交CD 边于点Q ． 问是否存在点P ，使直线PQ

分梯形ABCD 的面积为1∶3两部分？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．

4. （14分）已知抛物线：x x y 22

12

1+-

=． （1）求抛物线1y 的顶点坐标．

（2）将抛物线1y 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y ，求抛物线

2y 的解析式．

（3）如下图，抛物线2y 的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在1y 、2y 这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形，若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．

【提示：抛物线c bx ax y ++=2（0a ≠）的对称轴是，a

b

x 2-

=顶点坐标是2424b ac b a

a ??-- ???，】

D A

B C F

E

H

O y x

（第26题图）

5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7

8

9

1- 1- 2-

3- 4-

P

y x

1y

2y

O

5. （本题满分13分）如图，已知抛物线C 1：()522

-+=x a y 的顶点为P ，与x 轴相

交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．

（1）求P 点坐标及a 的值；（4分）

（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的解析式；（4分）

（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．（5分）

6. （14分）已知，如图1，过点()01E -，作平行于x 轴的直线l ，抛物线2

14

y x =

上的两点A B 、的横坐标分别为-1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A B 、分别作

y

x

A

O B

P M

图1 C 1

C 2

C 3

y

x

A

O B P

N

图2 C 1

C 4

Q

E

F

直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF DF 、． （1）求点A B F 、、的坐标； （2）求证：CF DF ⊥； （3）点P 是抛物线2

14

y x =

对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ，是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

7. （本题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

12

y x bx c =-

++与x 轴交于A （1，0）、 B （5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（4分）

（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，将∠DCB 绕点C 按顺时针方向旋转，角的两边

CD 和CB 与x 轴分别交于点P 、Q ，设旋转角为α（090α< ≤）． ①当α等于多少度时，△CPQ 是等腰三角形？（5分） ②设BP t AQ s ==，，求s 与t 之间的函数关系式．（5分）

8. （本题满分12分）

如图，在直角梯形OABD 中，DB OA ∥，90OAB ∠=

，点O 为坐标原点，点A 在x 轴

E

D C A

F B x

O

y l E D

C O F

x

y

（图1） 备用图

（第25题图）

的正半轴上，对角线OB AD ，相交于点M ．223OA AB ==，，:1:2BM MO =． （1）求OB 和OM 的值；

（2）求直线OD 所对应的函数关系式； （3）已知点P 在线段OB 上（P 不与点O B ，重合），经过点A 和点P 的直线交梯形OABD 的边于点E （E 异于点A ），设OP t =，梯形OABD 被夹在OAE ∠内的部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．

9. （本题满分9分）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点， 当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；

（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；

（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．

10. （本小题满分12分）

如图15，在Rt ABC △中，90C ∠=

，50AB =，30AC =，D E F ，，分别是

A C A

B B

C ，，的中点．点P 从点

D 出发沿折线D

E E

F FC CD ---以每秒7个单位长的

速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线BC CA -于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ；

（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，

y x A

B D M O （第26题） D M A B

C 第22题图 N

说明理由；

（3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值．

11. （12分）如图，直线4

43

y x =-

+和x 轴，y 轴的交点分别为B C ，，点A 的坐标是(20)-，．

（1）试说明ABC △是等腰三角形；

（2）动点M 从点A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动．设点M 运动t 秒时，MON △的面积为S ． ①求S 与t 的函数关系式；

②当点M 在线段OB 上运动时，是否存在4S =的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在，说明理由；

③在运动过程中，当MON △为直角三角形时，求t 的值．

O A C

B

x

y

12. 如图所示，将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F 处，以CF 为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ，使C M C E E O =-，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO ．

（1）试比较EO 、EC 的大小，并说明理由． （2）令CFGH

CMNO

S m S =

四边形四边形，请问m 是否为定值？若是，请求出m 的值；若不是，请说明理

A

E C D F

G B Q

K

图15

P

由．

（3）在（2）的条件下，若113CO CE Q ==，，为AE 上一点且2

3

QF =

，抛物线2y mx bx c =++经过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式．

（4）在（3）的条件下，若抛物线2y mx bx c =++与线段AB 交于点P ，试问在直线BC

上是否存在点K ，使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与AEF △相似？若存在，请求直线KP

与y 轴的交点T 的坐标；若不存在，请说明理由．

13. （满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线214

10189

y x x =

--与x 轴的交点为点A 与y 轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连结AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA

向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动，线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线

y x

A

N O

M

C H G F

B

Q

E

第27题

QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t （单位:秒） （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；

（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程； （3）当0＜t ＜

9

2

时，△PQ F 的面积是否总为定值?若是，求出此定值，若不是，请说明理由；

（4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程．

14. （本小题满分10分）

正方形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在x 轴正半轴上，D 在y 轴的负半轴上，

AB 交y 轴正半轴于E BC ，交x 轴负半轴于F ，1OE =，抛物线24y ax bx =+-过

A D F 、、三点．

（1）求抛物线的解析式；（3分）

（2）Q 是抛物线上D F 、间的一点，过Q 点作平行于x 轴的直线交边AD 于M ，交BC 所

在直线于N ，若3

2

FQN AFQM S S =△四边形，则判断四边形AFQM 的形状；（3分） （3）在射线DB 上是否存在动点P ，在射线CB 上是否存在动点H ，使得AP PH ⊥且AP PH =，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．（4分）

15. （本题满分12分）一开口向上的抛物线与x 轴交于A （2m -，0），B （m ＋2，0）两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ． （1）若m 为常数，求抛物线的解析式；

（2）若m 为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标

y

x

O

P

A

E D Q

C

B

（第20题图）

F （第25题图）

O y x

B E A

D C

F

原点？

（3）设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．

16（本题满分12分） 如图①，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA =5，OC =4．

（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标； （2）如图②，若AE 上有一动点P （不与A 、E 重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒)50(<

（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A 、M 、E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M 的坐标．

17. （12分）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （－3，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三

O B A C

D x y 第25题图 图①

y x

E

O

D

C

B

A 图②

O

A

y

E

D

C

B

P M

N

x

·

角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．

18. （本题满分12分）

如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(1

0)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐

标．

19. 本题（1）～（3）小题满分12分，（4）小题为附加题另外附加2分）

如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．

(1) 当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数

y C A M O B x 第25题图① y C A

O B x 第25题图②

y x

O A B

C

图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； （2） 求正方形边长及顶点C 的坐标；

（3） 在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标． (1) 附加题：（如果有时间，还可以继续 解答下面问题，祝你成功！）

如果点P 、Q 保持原速度速度不

变，当点P 沿A →B →C →D 匀 速运动时，OP 与PQ 能否相等，

若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．

20. （本小题满分13分）

如图13，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．

（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；

（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =?∠保持不变．设

PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式；

（3）在（2）中：①当动点P 、Q 运动到何处时，以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中 的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数； ②当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．

21. （本题满分12分）

(第24题图①) A B C D

P Q O

x y （第24题图②）

O

x t

11

101

A

D

C

B

P M

Q

60°

图13

如图，点P 是双曲线1

k y x

=

（10k x <<，0）上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线()221k

y x k k x

=<<于E 、F 两点．

（1）图1中，四边形PEOF 的面积1S = （用含1k 、2k 的式子表示）； （2）图2中，设P 点坐标为()43-，．

①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；（4分）

②记22PEF DEF S S S S =-△△，是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明

理由．（5分）

22. 如图，六边形ABCDEF 内接于半径为r （常数）的⊙O ，其中AD 为直径，且

AB=CD=DE=FA .

（1）当∠BAD=75?时，求BC ⌒的长； （2）求证：BC ∥AD ∥FE ；

（3）设AB=x ，求六边形ABCDEF 的周长L 关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，L 取得最大值.

23. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，

△AMN 是等边三角形．

（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，

（第25题图）

y

x

O P A

F

B

E

图1

y x

O

P A

F

B

E

图2

A B C D E F O

·

若不成立请说明理由；（4分）

（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）

24. 如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1-），且P （1-，

－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，P A 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图12，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．

25（本题满分10分）

如图12，在直角梯形OABC 中， OA ∥CB ，A 、B 两点的坐标分别为A （15，0），B （10，12），动点P 、Q 分别从O 、B 两点出发，点P 以每秒2个单位的速度沿OA 向终点A 运动，

图9 图10 图11

图11

x y

B

()

A

O

M Q

P

图12

x y ()

B C A

O

M

P Q

点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 向C 运动，当点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OB 、PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交AB 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P 、Q 运动时间为t （单位：秒）．

（1）当t 为何值时，四边形P ABQ 是等腰梯形，请写出推理过程； （2）当t =2秒时，求梯形OFBC 的面积；

（3）当t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？请写出推理过程．

数学中考压轴题解析（一）答案

1. 解：（1）∵(60)A -，，(043)C ，，

∴643OA OC ==，． 设DE 与y 轴交于点M ．

由DE AB ∥可得DMC AOC △∽△．

又1

2

CD AC =

， ∴

1

2

MD CM CD OA CO CA ===． ∴23CM =，3MD =． 同理可得3EM =． ∴63OM =．

∴D 点的坐标为(363)，．

（2）由（1）可得点M 的坐标为(063)，． 由DE AB EM MD =∥，，

可得y 轴所在直线是线段ED 的垂直平分线．

y D

E

S M T

F

∴点C 关于直线DE 的对称点F 在y 轴上．

∴ED 与CF 互相垂直平分． ∴CD DF FE EC ===．

∴四边形CDFE 为菱形，且点M 为其对称中心． 作直线BM ．

设BM 与CD EF 、分别交于点S 、点T ．可证FTM CSM △≌△． ∴FT CS =． ∵FE CD =， ∴TE SD =． ∵EC DF =，

∴TE EC CS ST SD DF FT TS +++=+++．

∴直线BM 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形．

由点(60)B ，，点(063)M ，在直线y kx b =+上，

可得直线BM 的解析式为363y x =-+．

（3）确定G 点位置的方法：过A 点作AH BM ⊥于点H ．则AH 与y 轴的交点为所求的

G 点．

由663OB OM ==，， 可得60OBM ∠=°，

∴30BAH ∠=°．

在Rt OAG △中，tan 23OG AO BAH =∠= ．

∴G 点的坐标为(023)，．

（或G 点的位置为线段OC 的中点） 2.解：（1）①点M 的坐标为（2，4），点F 的坐标为（－2，8）． ······································ 2分

② 设1C 的函数解析式为x

k

y =

（)0≠k ． ∵1C 过点F （－2，8）

∴82

k -

= ∴16k =-．

∴1C 的函数解析式为x

y 16-

=． ∵2C 的顶点B 坐标为（0，6）

∴设2C 的函数解析式为2

6y ax =+． ∵2C 过点M （2，4）

y x

O

A

C B

E F

P

G

M

N

∴464=+a

2

1-=a ．

∴2C 的函数解析式为62

12

+-

=x y ． ······························································· 6分 （2）依题意得，A （m ，0），B （0，m ）， ∴点M 坐标为（1

233

m m ，），点F 坐标为（m 31-，m 3

4

）． ①设1C 的函数解析式为k

y x

=（)0≠k ． ∵1C 过点F （m 31-

，m 3

4

） 14

33

k m m ??∴=- ???

∴2

9

4m k -

=． ∵0≠m ∴0k <

∴在1C 的每一支上，y 随着x 的增大而增大． ··················································· 10分 ②答：当m ＞0时，满足题意的x 的取值范围为 0＜x ＜m 3

1

； 当m ＜0时，满足题意的x 的取值范围为

m 3

1

＜x ＜0． ································· 14分 （注：答案中的x 取到端点值不扣分）

3. （14分）

解：（1）∵四边形OBHC 为矩形，∴CD ∥AB ， 又D （5，2）， ∴C （0，2），OC =2 ． ······························· 2分

∴???

??=+?+?=2552

122n m n 解得????

?=-=225n m ∴抛物线的解析式为：22

5

212+-=

x x y ·

······················································ 4分 （2）点E 落在抛物线上． 理由如下： ································································· 5分 由y = 0，得

022

5

212=+-x x ． 解得x 1=1，x 2=4． ∴A （4，0），B （1，0）． ············································ 6分 ∴OA =4，OB =1．

由矩形性质知：CH =OB =1，BH =OC =2，∠BHC =90°， 由旋转、轴对称性质知：EF =1，BF =2，∠EFB =90°， ∴点E 的坐标为（3，－1）． ········································································ 7分 D A B

C

F

E

H O y x

Q

G

P

把x =3代入225212+-=

x x y ，得1232

5

3212-=+?-?=y ， ∴点E 在抛物线上． ························································································ 8分

（3）法一：存在点P （a ，0），延长EF 交CD 于点G ，

易求OF =CG =3，PB =a －1．

S 梯形BCGF = 5，S 梯形ADGF = 3，记S 梯形BCQP = S 1，S 梯形ADQP = S 2， 下面分两种情形：

①当S 1∶S 2 =1∶3时，52)35(4

1

1<=+=S ，

此时点P 在点F （3，0）的左侧，则PF = 3－a ，

由△EPF ∽△EQG ，得

3

1

==EG EF QG PF ，则QG =9－3a ， ∴CQ =3－(9－3a ) =3a －6

由S 1=2，得22)163(2

1=?-+-a a ，解得49

=a ； ······························· 11分

②当S 1∶S 2=3∶1时，56)35(4

3

1>=+=

S 此时点P 在点F （3，0）的右侧，则PF = a －3， 由△EPF ∽△EQG ，得QG = 3a －9，∴CQ = 3 +（3 a －9）= 3 a －6， 由S 1= 6，得62)163(2

1=?-+-a a ，解得413=a ．

综上所述：所求点P 的坐标为（

49，0）或（4

13

，0） ···························· 14分 法二：存在点P （a ，0）． 记S 梯形BCQP = S 1，S 梯形ADQP = S 2，易求S 梯形ABCD = 8．

当PQ 经过点F （3，0）时，易求S 1=5，S 2 = 3， 此时S 1∶S 2不符合条件，故a ≠3．

设直线PQ 的解析式为y = kx +b （k ≠0），则???=+-=+013b ak b k ，解得???

????

--

=-=33

1a a b a k ，

∴331--

-=

a a

x a y ． 由y = 2得x = 3a －6， ∴Q （3a －6，2） ························································································ 10分 ∴CQ = 3a －6，BP = a －1，742)163(2

1

1-=?-+-=a a a S ． 下面分两种情形：

①当S 1∶S 2 = 1∶3时，841

S 41ABCD 1?==梯形S = 2；

∴4a －7 = 2，解得4

9

=

a ； ······································································ 12分 ②当S 1∶S 2 = 3∶1时，6843

S 43ABCD 1=?==梯形S ；

∴4a －7 = 6，解得4

13=

a ；

综上所述：所求点P 的坐标为（

49，0）或（4

13

，0） ·························· 14分 [说明：对于第（3）小题，只要考生能求出49=

a 或4

13=a 两个答案，就给6分． ] 4. 解：（1）依题意 1

202

a b c =-==，， ······································································ 1分

∴2)

2

1(22

2=-?-

=-a

b ，

2)21(420442

2=-?-=-a

b a

c ······································· 3分 ∴顶点坐标是（2，2） ··························································································· 4分

（2）根据题意可知

2y 解析式中的二次项系数为2

1-

············································································· 5分 且2y 的顶点坐标是（4，3） ····················································································· 6分 ∴2y ＝－

3)4(212+-x ，即：2y ＝542

1

2-+-x x ············································· 8分 （3）符合条件的N 点存在 ························································································· 9分

如图：若四边形OPMN 为符合条件的平行四边形，则OP ∥MN ，且MN OP = ∴BMN POA ∠=∠，

作x PA ⊥轴于点A ，x NB ⊥轴于点B ∴0

90=∠=∠MBN PAO ，

则有POA NMB △≌△（AAS ） ∴BN PA = ∵点P 的坐标为（4，3） ∴3==PA NB ···································· 10分 ∵点N 在抛物线1y 、2y 上，且P 点为

1y 、2y 的最高点

∴符合条件的N 点只能在x 轴下方 ①点N 在抛物线1y 上， 则有：322

12

-=+-

x x 解得：102-=x 或102+=x ··················· 11分 ②点N 在抛物线2y 上，则有：33)4(2

1

2-=+--

x 解得：324-=x 或324+=x ·········································································· 13分 ∴符合条件的N 点有四个：

5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8

9

1-

1- 2-

3- 4-

P

y x

1y

2y

O A B

N

M

12(2103)(4233)N N ----，；，；

34(2103)(4233)N N +-+-，；，． ···································································· 14分

5. （本题满分13分）

解：（1）由抛物线C 1：()522

-+=x a y 得

顶点P 的为（-2，-5） ······················· 2分 ∵点B （1，0）在抛物线C 1上 ∴()52102-+=a

解得，a ＝5

9

·········································· 4分

（2）连接PM ，作PH ⊥x 轴于H ，作MG ⊥x 轴于G

∵点P 、M 关于点B 成中心对称 ∴PM 过点B ，且PB ＝MB ∴△PBH ≌△MBG ∴MG ＝PH ＝5，BG ＝BH ＝3 ∴顶点M 的坐标为（4，5） ············································································ 6分

抛物线C 2由C 1关于x 轴对称得到，抛物线C 3由C 2平移得到

∴抛物线C 3的表达式为()549

5

2+--

=x y ·

··············································· 8分 （3）∵抛物线C 4由C 1绕点x 轴上的点Q 旋转180°得到

∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称 由（2）得点N 的纵坐标为5

设点N 坐标为（m ，5） ··············································································· 9分 作PH ⊥x 轴于H ，作NG ⊥x 轴于G

作PK ⊥NG 于K

∵旋转中心Q 在x 轴上

∴EF ＝AB ＝2BH ＝6 ∴FG ＝3，点F 坐标为（m +3，0） H 坐标为（2，0），K 坐标为（m ，-5），

根据勾股定理得

PN 2＝NK 2+PK 2＝m 2+4m +104

PF 2＝PH 2+HF 2＝m 2+10m +50 NF 2＝52+32

＝34 ························································································ 10分

①当∠PNF ＝90o时，PN 2+ NF 2＝PF 2，解得m ＝443，∴Q 点坐标为（19

3，0）

②当∠PFN ＝90o时，PF 2+ NF 2＝PN 2，解得m ＝103，∴Q 点坐标为（2

3

，0）

③∵PN ＞NK ＝10＞NF ，∴∠NPF ≠90o

综上所得，当Q 点坐标为（193，0）或（2

3

，0）时，以点P 、N 、F 为顶点

的三角形是直角三角形． ············································································ 13分

6. （1）解:方法一，如图1，当1x =-时,1

4

y = 当4x =时,4y =

y x A O B P

N

图(2)

C 1 C 4 Q E F H G K

∴1A ?

?- ???

1，4 ····················································································· 1分 ()44B ，······························································································ 2分 设直线AB 的解析式为y kx b =+ ··················································· 3分

则1444k b k b ?-+=???+=? 解得341

k b ?

=???=? ∴直线AB 的解析式为3

14

y x =+ ·················································· 4分 当0x =时,1y =

()01F ∴， ······································································································································ 5分 方法二:求A B 、两点坐标同方法一,如图2,作FG BD ⊥,AH BD ⊥,垂足分别为G 、H ,交y 轴于点N ,则四边形FOMG 和四边形

NOMH 均为矩形,设FO x = ························································· 3分

BGF BHA △∽△

BG FG BH AH ∴= 44

1544x -∴=-·

································································································································· 4分 解得1x =

()0F ∴，1 ·

·································································································································· 5分 (2)证明：方法一：在Rt CEF △中，1,2CE EF ==

22222125CF CE EF ∴=+=+=

5CF ∴= ·

·································································································································· 6分 在Rt DEF △中，42DE EF ==，

222224220DF DE EF ∴=+=+=

25DF ∴=

由（1）得()()1141C D ---，，，

5CD ∴=

E

D C A F B

x

O y

l

（图1）

E

D C A F B

x O

y

l （图2）

G

H

M

中考二次函数压轴题经典题型

中考二次函数压轴题经典题型 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM 有最大面积，求矩形PNDM的面积最大值？ 2、如图，二次函数的图象经过点D(0， 3 9 7 )，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（1 2 ， 5 2 ）和B（4，m），点P是线段AB 上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

4、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）． （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB 的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。 5、如图1，对称轴x=为直线的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与轴的另一交点为A．（1）求抛物线的解析式； （2）若点P为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，若M是线段BC上一动点，在轴上是否存在这样有点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

精选中考二次函数压轴题[附答案解析]

精选中考二次函数压轴题（含答案） 1．如图，二次函数c x y +-=2 21的图象经过点D ??? ? ?-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值； ⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用） 2．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ． （1）求证：AH AD ＝EF BC ； （2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值； （3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式． 3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16 x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由 4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC =23．设直线AC (第2(图1) (图

中考数学二次函数压轴题(含答案)

中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得；

故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 解答：

解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ，解得：即M（2，﹣3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．

《二次函数热点压轴题》

第一部分：以“增减性”为主导的综合问题 【典型例题1】 在平面直角坐标系xOy 中.已知抛物线22y ax bx a =++-的对称轴是直线x =1. （1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标； （2）已知点()0,4A -，()2,3B -，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象， 求a 的取值范围； （3）若抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是 m ≤y ≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m ，n 的值 . 二次函数热点压轴题

【变式与拓展】 1.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222++-=a ax x y 2的顶点C ，过点B （0，t ）作与y 轴垂直的直线l ，分别交抛物线于E ，F 两点，设点E （x 1，y 1），点F （x 2，y 2）（x 1＜x 2）． （1）求抛物线顶点C 的坐标； （2）当点C 到直线l 的距离为2时，求线段EF 的长； （3）若存在实数m ，使得x 1≥m -1且x 2≤m +5成立，直接写出t 的取值范围．

2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线223 y x bx =-+-的对称轴为直线x=2． （1）求b的值； （2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2）， 其中 12 x x<． ①当 213 x x-=时，结合函数图象，求出m的值； ②把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，44 y -≤≤，求m的取值范围．

二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C

人教版中考数学压轴题型24道：二次函数专题含答案解析

人教版中考数学压轴题24道：二次函数专题 1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当＝时，求t的值； （3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标； （3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积； （3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位

置时，PC+PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． 4．已知函数y ＝（n 为常数） （1）当n ＝5， ①点P （4，b ）在此函数图象上，求b 的值； ②求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为A （2，2）、B （4，2），当此函数的图象与线段 AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围． （3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于 4，求n 的取值范围． 5．在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y ＝x 2 ﹣2x ，其顶点为A ． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ． ①试求抛物线y ＝x 2 ﹣2x 的“不动点”的坐标； ②平移抛物线y ＝x 2﹣2x ，使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴 与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式．

2019年中考二次函数压轴题整理

中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 平行四边形类 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．

（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式． （2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积． （3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O． （1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式； （2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质． 5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上． （1）求抛物线顶点A的坐标； （2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；

全国中考二次函数压轴题集锦(附详细答案)

1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4， 抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于 点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标； （3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，关于x的二次函数y=x2+b x+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点 C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 3．如图，已知二次函数y=ax2+b x+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2） 三点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标； （3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值． 4．如图1，已知二次函数y=ax2+b x+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A （4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．

中考二次函数压轴题及答案

二次函数压轴题精讲 1．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

例1. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴的交点分 别为A、B，将∠对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线的交点为T，Q为线段上一点，直接写出﹣的取值范围．

2．如图，直线2与抛物线26（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线 段上异于A、B的动点，过点P作⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△为直角三角形时点P的坐标．

2019中考二次函数压轴题专题分类训练

中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一：面积问题 【例1】（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ； （3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式练习】 1.（2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． 图2

2.（2010绵阳）如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标； （2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积． 3．(2012铜仁)如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型二：构造直角三角形 【例2】（2010山东聊城）如图，已知抛物线y ＝ax 2 +bx +c （a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （－1，0）、C （0，－3）两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，C E D G A x y O B F

中考数学二次函数压轴题题型归纳

中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ；

2018年中考数学二次函数压轴题汇编

1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P，N． ①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； ②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值． 2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C的函数表达式； （2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围． （3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

3．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M 的关联点． （1）当⊙O的半径为2时， ①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是． ②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B （3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C． （1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式； （2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值． 5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x 轴的垂线，垂足为E，连接BD．

中考二次函数压轴题解题技巧

中考二次函数压轴题———解题技巧 二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，我们的学生大部分都难以在有限时间内完全解答出来，最主要的原因是对解题思路以及方向上没有做到大体的定位。经多番研究比较，发现26题基本设有三小问，第一问基础为主（3到4分），多为求解析式、坐标轴上坐标、系数、顶点，第二问为中等档次（4分），多以求线段长度类、面积类、三角形形状判断、四边形形状、全等、相似，第三问区分度较大，拉开距离的小问（4到5分），多以动点类结合，构成四边形、三角形，此问涉及面广，有多种情况。压轴题出题方向多与几何图形紧密结合，出题范围广，但万变不离其宗，抓住其中关键性质，利用好代数式，80%的分值可以拿到手，现将压轴题的各种解法思路罗列出来，望各位同学有针对性的去查漏补缺，做到1得2拿3取半。 几个自定义概念： ① 三角形基本模型：有一边在X 轴或Y 上，或有一边平行于X 轴或Y 轴的三角形称为三角形基本模型。 ② 动点（或不确定点）坐标“一母示”：借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式，用一个字母把该点坐标表示出来，简称“设横表纵”。如：动点P 在y=2x+1上， 就可设 P （t, 2t+1）.若动点Ｐ在ｙ＝2 321x x -+，则可设为P （t ，2 321t t -+）当然若动点M 在X 轴上，则设为（t, 0）.若动点M 在Ｙ轴上，设为()t ，0 ③ 动三角形：至少有一边的长度是不确定的，是运动变化的。或至少有一个顶点是运动，变化的三角形称为动三角形。 ④ 动线段：其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。 ⑤ 定三角形：三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称为定三角形。 ⑥ 定直线：其函数关系式是确定的，不含参数的直线称为定直线。如：63-=x y 。 ⑦ X 标，Y 标：为了记忆和阐述某些问题的方便，我们把横坐标称为x 标，纵坐标称为y 标。 ⑧ 直接动点：相关平面图形（如三角形，四边形，梯形等）上的动点称为直接动点，与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标“表示”是针对直接动点坐标而言的。 1.求证“两线段相等”的问题： 借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来； 然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离”，还是“点线距离”，再运用两点之间的距离公式或点到x 轴（y 轴）的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进行化简，即可证得两线段相等。 ２、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题： 由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为t ），借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y 轴的线段长度计算公式 -y y 下 上或 21y y -，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t ，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的 性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。 3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：

(完整版)2017中考二次函数压轴题专题分类训练

2017中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一：面积问题 【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ； （3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝8 9 S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式练习】 1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． 图2

2.如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点 C ，顶点为 D ． E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于 F 、 G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标； （2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积． 3．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2 +bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． C E D G A x y O B F

二次函数中考压轴题附答案(整理)

中 考 压 轴 题 1、如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原 点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223 y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52 x =上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．

解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32y x m =-+ ∴225 4()32 m =?-+ ∴1 6 m =- ∴所求函数关系式为：22251210 ()432633 y x x x =--=-+ （2）在Rt △ABO 中，OA =3，OB =4， ∴5AB = ∵四边形ABCD 是菱形 ∴BC =CD =DA =AB =5 ∴C 、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． 当5x =时，2210 554433y = ?-?+= 当2x =时，2210 224033 y =?-?+= ∴点C 和点D 在所求抛物线上． （3）设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+，则 5420k b k b +=?? +=? 解得：48,33k b ==-．∴48 33y x =- ∵MN ∥y 轴，M 点的横坐标为t ， ∴N 点的横坐标也为t ． 则2210433M y t t =- +， 4833 N y t =-， ∴22248210214202734()3333333322N M l y y t t t t t t ?? =-=---+=-+-=--+ ??? ∵203-<， ∴当72t =时，32l =最大， 此时点M 的坐标为（72，12 ）

中考数学专题训练二次函数压轴题

中考数学专题训练二次函数压轴题 1. 如图①，抛物线y＝ax2＋(a＋2)x＋2(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点P(m，0)(0

∵OP ＝m ， ∴AP ＝4－m ， ∵PM ⊥x 轴， ∴△OAB ∽△PAN ， ∴OB OA ＝PN PA ，即24＝PN 4－m ， ∴PN ＝1 2(4－m )， ∵M 在抛物线上， ∴PM ＝－12m 2＋3 2m ＋2， ∵PN ∶MN ＝1∶3， ∴PN ∶PM ＝1∶4， ∴－12m 2＋32m ＋2＝4×1 2(4－m )， 解得m ＝3或m ＝4(舍去)， 即m 的值为3； (3)如解图，在y 轴上取一点Q ，使OQ OP 2＝32 ，

第1题解图 由(2)可知P 1(3，0)，且OB ＝2， ∴OP 2OB ＝3 2 ，且∠P 2OB ＝∠QOP 2， ∴△P 2OB ∽△QOP 2， ∴QP 2BP 2＝OP 2OB ＝32 ， ∴当Q (0，92)时，QP 2＝3 2BP 2， ∴AP 2＋3 2 BP 2＝AP 2＋QP 2≥AQ ， ∴当A 、P 2、Q 三点在一条直线上时，AP 2＋QP 2有最小值， 又∵A (4，0)，Q (0，9 2)， ∴AQ ＝ 42 ＋（92）2＝1452 ， 即AP 2＋32BP 2的最小值为145 2 . 2. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于

(完整版)2017年中考数学二次函数压轴题(答案)

2017年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由． 考点：二次函数综合题． 专题：压轴题；数形结合． 分析： （1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长． （3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标． 考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题；转化思想． 分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．

中考二次函数难题压轴题中考精选

二次函数中考题精选 1、41、（2009年枣庄市）如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍； （3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由． 2、（2009年株洲市）已知ABC ?为直角三角形，90ACB ∠=?，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式； （3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结 BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()FC AC EC +为定值． y x Q P F E D C B A O y x O A B 第24题图

3、（2009年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。 （1）请建立销售价格y （元）与周次x 之间的函数关系； （2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z （元）与周次x 之间的关系为 12)8(8 1 2+--=x z ， 1≤ x ≤11，且x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每 件获得利润最大？并求最大利润为多少？ 4、（2009年重庆市江津区）抛物线c bx x y ++-=2 与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.

中考二次函数压轴题及答案

26. (彬州市）如图（1），抛物线42 y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C . b ；若 分 （2）当b ＝0时，直线为y x =，由2 4 y x y x x =??=+-?解得1122x y =??=?，222 2x y =-??=-? 所以B 、C 的坐标分别为（－2，－2），（2，2） 1 4242 ABE S =??=，1 4242 ACE S =??= 所以ABE ACE S S =当4b >-时，仍有ABE ACE S S =成立. 理由如下 由2 4y x b y x x =+??=+-?，解得11x y b ?=??=??，22x y ?=??=??所以B 、C b 作BF y ⊥轴，CG y ⊥轴，垂足分别为F 、G ，则而ABE 和ACE 是同底的两个三角形， 所以ABE ACE S S =. （3）存在这样的b . 因为90BF CG,BEF CEG,BFE CGE =∠=∠∠=∠=? 所以BEF CEG ?

所以BE CE =，即E 为BC 的中点 所以当OE =CE 时，OBC 为直角三角形 …………………..8分 因为GE b b GC =-== 所以 CE = OE b = b =，解得124, 2b b ==-， 所以当b ＝4或－2时，ΔOBC 为直角三角形.………………….10分 25.(常德）如图9，已知抛物线2 12 y x bx c x =++与轴交于点A （-4，0）和B （1，0）两点，与y 轴交于C 点. (1)求此抛物线的解析式； (2)设E 是线段AB 上的动点，作EF ∥AC 交BC 于F ，连接CE ，当CEF 的面积是BEF 面积的2倍时，求E 点的坐标； (3)若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P 点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标. 25．解：（1）由二次函数2 12 y x bx c = ++与x 轴交于(4,0)A -、(1,0)B 两点可得： 221 (4)402 1102 b c b c ?--+=??? ??++=??，． 解得： 322b c ?=???=-?，． 故所求二次函数的解析式为213 222 y x x =+-．………………3分 （2）∵S △CEF =2 S △BEF , ∴1,2BF CF =1 .3 BF BC =………………4分 ∵EF //AC , ∴B ,EF BAC BFE BCA ∠=∠∠=∠ , ∴△BEF ～△BAC , ………………5分 图9 x