2.1 圆的对称性
【知识与技能】
1.通过观察实验操作,使学生理解圆的定义.
2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念.
3.圆既是轴对称图形又是中心对称图形.
4.点与圆的位置关系.
【过程与方法】
通过举出生活中常见圆的例子,经历观察画图的过程多角度体会和认识圆.
【情感态度】
结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.
【教学重点】
圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解.
【教学难点】
圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系.
一、情境导入，初步认识圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象.
1.观察以上图形，体验圆的和谐与美丽.请大家说说生活中还有哪些圆形.
2.请同学们在草稿纸上用圆规画圆,体验画圆的过程,想想圆是怎样形成的.
【教学说明】学生很容易找出生活中关于圆的例子,通过画圆,有利于学生从直观形象认识上升到抽象理性认识.
二、思考探究，获取新知
1.圆的定义
问题如教材P43图所示，通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
【教学说明】由于学生通过操作已经得出圆的定义，教师加以规范，有利于加深印象.
如右图:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另
一个端点A所形成的圆形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做
半径.以点O为圆心的圆,记作“⊙O”，读作“圆O”.
注意:圆指的是圆周,不是圆面.
【教学说明】使学生能准确地理解并掌握圆的定义.
2.点与圆的位置关系
一般地,设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d,则有
（1）点P在⊙O内d＜r
（2）点P在⊙O上d=r
（3）点P在⊙O外d＞r
3.与圆有关的概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(如:线段AB、AC)
直径：经过圆心的弦(如AB)叫做直径.
注:直径是特殊的弦,但弦不一定是直径.
弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
如图,以A、B为端点的弧记作,AB,读作:弧AB.
注:①圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都
叫做半圆.
②大于半圆的弧,用三个点表示,如图中的ABC,叫做优弧.
小于半圆的弧,用两个点表示,如图中的AC,叫做劣弧.
等圆:能够重合的两个圆叫做等圆.
注:半径相等的两个圆是等圆,反过来,同圆或等圆的半径相等.
等弧:在等圆或同圆中,能够互相重合的弧叫等弧.
注:①等弧是全等的，不仅是弧的长度相等.
②等弧只存在于同圆或等圆中.
【教学说明】结合图形,使学生准确地掌握与圆有关的概念,为后面的学习打下基础.
4.圆的对称性
（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
（2）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
【教学说明】上述两个结论是通过教材P44探究1、2而得出来的，教师应
引导学生仔细体会，必要时可通过画图或折叠圆心纸片演示.
思考车轮为什么做成圆形的?如果车轮不是圆的(如椭圆或正方形等),坐车人会是什么感觉?
【分析】把车轮做成圆形,车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离都等于车轮的半径,当车轮在平面滚动时,车轮中心与平面的距离保持不变.因此,车辆在平路上行驶时,坐车的人会感到非常平稳.
如果车轮不是圆的,车辆在行驶时,坐车人会感觉到上下颠簸,不舒服.
三、运用新知，深化理解
1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=3cm,BC=2cm,以点A为圆心，2cm长为半径作圆，则点C（）
A.在⊙A内
B.在⊙A上
C.在⊙A外
D.可能在⊙A上也可能在⊙A外
2.（1）以点A为圆心，可以画____个圆.
(2)以已知线段AB的长为半径,可以画____个圆.
(3)以A为圆心AB长为半径,可以画___个圆.
3.如图,半圆的直径AB=________.
第3题图第4题图
4.如图，图中共有____条弦.
【教学说明】学生自主完成,加深对新学知识的理解和检测对圆的有关概念的掌握情况,对学生的疑惑教师及时指导,并进行强化.
【答案】1.C 2.(1)无数(2)无数 (3)1 3. 4.2
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点.
2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.
【教学说明】教师引导学生回顾知识点,让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳,对于某些概念性的知识,要结合图形加以区别和理解.
1.布置作业:从教材“习题
2.1”中选取.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课是从学生感受生活中圆的应用开始,到通过学生动手画圆,培养学生动手、动脑习惯,在操作过程中观察圆的特点,加深对所学知识的认识,并运用所学知识解决实际问题,体验应用知识的成就感,激发他们学习的兴趣.
3．2圆的对称性学案 学习目标： 1．理解圆的轴对称性； 2．理解垂径定理及逆定理的的推导过程，并能初步应用。 一、课前预习 自学课本P96，回答下列问题： 1.平面上，到的距离等于的所有点组成的图形叫做。 2.点与圆的位置关系有三种：点在、点在、点在。 3.连接圆上任意两点间的线段叫做__________,经过圆心的弦叫做_________。 4.圆上任意两点间的部分叫做 ,简称 .如图，以A、B为端点的弧记作，读作“”或“”。 5.弧包括和，大于半圆的弧称为，小于半圆的弧称为。半圆既不是，也不是。优弧一般用个大写字母来表示，劣弧一般用个大写字母来表示，如图，以A、D为端点的弧有两条，优弧ACD(记作 )劣弧ABD(记作 )。 二、合作探究 【自主学习】 1．圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 2．你是用什么方法解决上述问题的? 3．右图还是轴对称图形吗？如果是你能找出它的对称轴吗？ 【小组讨论】 4．如图，AB是⊙O的一条弦.作直径CD, CD⊥AB,垂足为M. (1)此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些等量关系吗？说一说你的理由。 垂径定理：。 用几何语言表达：∵∴ 在下列图形中，哪些符合垂径定理的条件？ 三、典型例题
E O B A E O B A E O B A E O B A D O B A 例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。 例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，（即图中 CD，点O是CD的圆心），其中CD =600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m。求这段弯路的半径。 四．练习： 1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是。 2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是。 3．半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是。 （1）题（2）题（3）题（4）题（5）题 4.如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E， 且AB=8cm,AC=6cm,那么的⊙O的半径OA长为。 5.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为 _____ 6．已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD 五．小结感悟 学了本节课你有哪些收获？ 六．作业《分层作业B本》第21-22面，17题选做
课题：27.1圆的认识 第二课时圆的对称性（一） ＆.教学目标： 1、理解并掌握圆的对称性，并能运用其特有的性质推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦心距之间的关系。 2、能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学方法。 ＆.教学重点、难点： 重点：由实验得到在同一个圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系。 难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系解决问题。 ＆.教学过程： 一、情景导入 1、我们中国的建筑最讲究的是对称美，能举出我们所学过的轴对称、中心对称和旋转对称的例子吗？ 2、轴对称图形、中心对称图形、旋转对称图形是怎样定义的？ 3、圆是否为对称图形？是哪种对称图形，又有哪些性质呢？ 二、探究新知 §.探究圆的对称性 问题1：请同学们思考并解答下列各题： （1）圆是对称图形吗？它有哪些对称性？
图 1 ′ 图 2 图 3 （2）能否用手中的圆演示出它的各种对称性呢？ （3）圆的对称轴在哪里？对称中心和旋转中心在哪里？ 活动1：让学生画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆是互相重合的.如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。 ＆.圆的对称性： 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，也是旋转对称图形。对称轴是过圆心的任意一条直线，对称中心和旋转中心都是圆心，旋转角度可以是任意角度。 思考：如何将圆两等分？四等分？八等分？还可以将圆多少等分？ §.探究：同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系（圆心角定理）. 问题2：将图1中的扇形AOB （阴影部分）绕点O 逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？ 活动2：将图1中的扇形AOB （阴影部分）绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图2中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现 B O A AOB ''∠=∠，⌒ ⌒B A AB ''=，B A AB ''=.实质上，AOB ∠确定了扇形AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，
圆的对称性 【典型例题】 例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。 分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。 解： 例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。 分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。 解： 例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。 分析：略 解： 【模拟试题】一. 选择题。 1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（） A. B. 1 C. D. 2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果，则AE的长为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（） 第5题
第8题 A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 圆只有一条对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于弦的直径平分这条弦 D. 相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（ ） A. AB ＞CD B. AB ＝CD C. AB ＜CD D. 不能确定 二. 填空题。 6. 半径为6cm 的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm 。 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米． 8. 如图，∠A ＝30°，则B ＝___________。 9. 过⊙O 内一点M 的最长的弦为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长为___________。 10. ⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝12cm ，CD ＝16cm ，则AB 和CD 的距离为___________。 11. ⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝ 5cm ，∠DEB ＝60°， 则CD ＝___________。 三. 解答题。 12. 如图，⊙O 的直径为4cm ，弦AB 的长为，你能求出∠OAB 的度数吗？写出你的计算过程。 13. 已知，⊙O 的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA ＝EC 。 求证： 14. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A 、B 重合），过点O 作OC⊥AP 于点C ，OD⊥PB 于点D ，则CD 的长是怎么变化的？请说明理由。 15. 如图，⊙O 上有三点A 、B 、C 且AB ＝AC ＝6，∠BAC ＝120°，求⊙O 的半径。 第11题
北师大版小学数学三年级下册教学设计 第2课时 教学内容：轴对称(二)（教材第25、26页内容） 学习目标 1.结合操作活动，经历得到轴对称图形的过程，加深对轴对称图形特点的体会。 2.给出简单轴对称图形的一半和对称轴，能够直观地描述（或剪出）它的另一半，进一步体会轴对称图形的特点并发展空间想象能力。 教学重点：给出简单轴对称图形的一半和对称轴，能够直观地描述（或剪出）它的另一半。 教学难点：给出简单轴对称图形的一半和对称轴，能够直观地描述（或剪出）它的另一半。 教具准备：课件 教学过程 一、复习导学 轴对称图形的特征是什么？ 沿对称轴对折，左右或上下两边是一样的。 二、展示新知 1．拿出课前准备的一张正方形或长方形，按照下面的做法，做一做，你有什么发现。 思考：得到对称图案的关键是什么？ （1）：先把纸对折。 （2）：对折后只做出图形的一半就可以了。 2.下面是轴对称图形的一半，想一想，整个图形是什么？
明确：轴对称图形对折后，对称轴的左右两边应该完全重合，所以右边的半个图形应该和左边相同。 实际操作： 沿对称轴对折后，再沿给定图形的边线剪下、打开，验证。 3.将一张纸对折后剪去两个圆，展开后是哪一个？ 学生独立思考，然后和同伴交流自己的想法，充分地说一说自己是如何进行判断和选择的。 生：观察洞和对称轴间的距离。 三、精讲点拨： 下面的圆距离对称轴近，那么和它对称的那个圆也应该是靠近对称轴的一边的。反之则远。 四、巩固练习 1、完成课本练一练第1题。 2.完成课本练一练第3题。
五、课堂小结 这节课你学到了什么？ 六、布置作业 1.课堂作业：教材“练一练”的5题。 2.课后作业：练习册 七、板书设计 对称轴（二） 对称点到对称轴的距离是相等的。 教学反思：学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现的，因为这种发现理解最深，也是最容易掌握其中的规律、性质、和联系。
本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 圆的对称性 教学目标 (一)教学知识点(二) 1．圆的旋转不变性． 2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理． (二)能力训练要求 1．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力． 2．利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理． (三)情感与价值观要求 培养学生积极探索数学问题的态度及方法． 教学重点 圆心角、弧、弦之间关系定理． 教学难点 “圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 教学方法 指导探索法． 教具准备 投影片两张 第一张：做一做(记作§3．2．2A) 第二张：举反例图(记作§3．2．2B) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？哪位同学知道？
[生]用旋转的方法．中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心． [师]圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗？下面我们继续来探讨． Ⅱ．讲授新课 [师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点？ [生]大小一样． [师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗？ [生]重合． [师]通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心． [师]我们一起来做一做．(出示投影片§3．2．2A) 按下面的步骤做一做： 1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下． 2．在⊙O和⊙O＇上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A＇O＇B＇(如下图示)，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A＇O＇B＇时，要使OB相对于OA的方向与O＇B＇相对于O＇A＇的方向一致，否则当OA与OA＇重合时，OB与O＇B＇不能重合． 3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O＇A＇重合．
北师大版初中数学九年级下册《圆的对称性》教案设计
课题：第三章第2节圆的对称性（1） 课型：新授课 教学目标： 1.理解圆的对称性（轴对称）及有关性质.（重点） 2．理解垂径定理及推论，并会运用其解决有关问题．(难点) 教法与学法指导： 这节课主要通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，经历“操作实践—大胆猜测---综合证明----灵活应用”的课堂模式，在探究垂径定理过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，勇于探索的精神. 课前准备：制作课件，学生预习学案. 教学过程： 一、情景导入明确目标 组织教学：准备，给每一位同学发放圆形纸片（用化学滤纸）；并提出问题，(问题1) 通过上节课《车轮为什么是圆形》的学习，认识了圆的基本概念,这是一张圆形纸片,你有什么办法找出它的圆心呢？ 学生活动：学生凭借经验很容易想到用两次折叠的方法，找到圆心. [师]：同学们上一节课,我们学习了圆的基本概念，知道，半径定圆的大小，圆心定圆的位置.下面，请一位同学到前面演示自己找圆心的过程. 学生演示： [师]：（问题2）在折叠的过程中，你从中还知道圆具有什么性质? [生1]：老师，圆是对称图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形. [师]：很好，同学们观察的很认真，这节课，我们重点研究圆的轴对称性，那么，圆的对称轴是怎样的直线，有多少条对称轴？
[生2]：老师，圆的对称轴是直径，它有无数条对称轴. [师]：同学们，这位同学回答的对吗？ [生3]：不正确，对称轴应该是直线，而直径是线段，应该说，对称轴是直径所在的直线，或者是过圆心的直线. 教师活动：进行鼓励表扬并板书，3.2 圆的对称性（1） 圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线. 设计意图：问题可以激发学生学习数学的兴趣，而兴趣又是最好的老师.通过设 计一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又探索到圆的对称性. 二、自主学习 合作探究： 探究活动一：圆的基本概念 （让学生注意观察动画课件） 学案(问题3)： （1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？ （2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？ 学情预设：可能出现的 情形一：学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如： 弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． 情形二：学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律. 情形三：优弧的表示方法. 以上若学生不能讨论总结得出，则需要老师引导得出结论. 学生活动：学生在预习的前提下边观察图形演示边独立思考，再在四人小组间交流讨论. 教师活动：参与学生的讨论，注意收集信息，以便及时补充，然后提问. C
圆的对称性—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系； 2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系； 3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 要点一、圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． 圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 要点诠释： 圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 证明：连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2.弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧 AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
圆的对称性 主要内容： 1. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。 经过圆心的直线是对称轴。 圆心是它的对称中心。 2. 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 如图，用几何语言表示如下：⊙O中， （1）∵∠AOB＝∠A'OB' （3）∵AB＝A'B' 5. 直径垂直于弦的性质（垂径定理） 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图：几何语言 【典型例题】 例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。 分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。 解： 例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA ＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。 分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形， 利用勾股定理求解。 解：
第8题 例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。 分析：略 解： 【模拟试题】一. 选择题。 1. ⊙O 中，弦AB 所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB 的距离OC 为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果，则AE 的 长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，⊙O 的弦AB 垂直于直径MN ，C 为垂足，若OA ＝5cm ，下面四个结论中可能成 立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 圆只有一条对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于弦的直径平分这条弦 D. 相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（ ） A. AB ＞CD B. AB ＝CD C. AB ＜CD D. 不能确定 二. 填空题。 6. 半径为6cm 的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm 。 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米． 第5题 第11题
北师大版九年级数学下册精编教学设计系列
圆的对称性 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：本节课是在学生了解了圆的定义与弦、弧的定义以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，也是下一节课的理论基础，因此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用. 二、教学任务分析 知识与技能 通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理. 过程与方法 通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力. 情感态度与价值观 （1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣． （2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐． （3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．
教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题． 教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 三、教学设计分析 本节课设计了七个教学环节：认识圆的对称性（轴对称图形，中心对称图形）、认识圆心角的概念、探索圆心角，弦，弧的关系、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业. 数学活动一：认识圆的对称性 提问一：我们已经学习过圆，你能说出圆的那些特征？ 提问二：圆是对称图形吗？ （1）圆是轴对称图形吗？你怎么验证 圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴） 验证方法：折叠 （2）圆是中心对称图形吗？你怎么验证？ 同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点? 现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将
3·2圆的对称性 1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)． 2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)． 3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．Array如右图。以A、B为端点的弧记作AB， 渎作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是 ⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径． 注意： ①弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor are)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的 弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作 AD)．半圆，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半 圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． ②直径是弦，但弦不一定是直径． 4.圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． 5.垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 注意：①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦． 证明此定理： 如图，连结OA、OB，则OA＝OB．在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB，OM＝OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM， ∴AM＝BM．∴点A和点墨关于CD对称．∵⊙O关于直径CD对称， ∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， 弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合.∴AC=∴BC, 弧AD与弧BD重合. 可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分 弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧． 即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为： 如图3—7，在⊙O中，
第二节圆的对称性 要点精讲 一、圆的对称性： 1.圆既是中心对称图形，又是轴对称图形. 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心，将圆周绕圆心旋转任意一角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性，是旋转对称的特例. 经圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴. 2.在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等. 二、垂径定理及推论：（由圆的轴对称性得出的） 1.定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的优、劣弧.（常见辅助线，过圆心作弦的垂线） 2.推论：平分（非直径的）弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧. 3.总结为：一条直线满足：（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧，中的任意两点，则其他三点也成立.（注：①（1）与（3）结合使用时，弦为非直径弦.②（2）与（3）结合可找圆心，即两条弦的垂直平分线的交点.）③利用垂径定理及勾股定理对于（圆半径r、弦长a、弦心距d、弓开的高h中任意已知两个量可求得另两个量. 相关链接 像窗花一样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称,这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 典型分析 1.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影部分面积占圆面积（）
2.2圆的对称性（1） 一.教学内容分析： 《2.2圆的对称性（1）》是“苏科版九年级数学（上）第2章第二节”的内容。本课时内容是在小学学过的一些圆的知识以及本册第2章第一节圆的有关概念的基础上，进一步探索和研究圆有关的性质（圆心角、弧、弦之间的关系定理）。圆心角、弧、弦之间的关系定理是同圆中证明弧相等、角相等、线段相等的主要依据，同时也为进行圆的计算和应用提供了方法和依据。因此，本课时内容是本章的重点也是全章的基础，更是学好本章的关键。 二.学情分析： 学生在初二已经学习过中心对称与中心对称图形，对于直线型的图形如平行四边形、矩形、菱形等中心对称图形有一定的了解，了解中心对称的概念以及相关的性质。所以对于圆是中心对称图形和圆具有旋转不变性很容易理解。但对弦、弧以及圆心角之间的关系，并且怎样利用这些关系解决一些有关的证明和计算等方面，学生缺乏亲身体验和总结。 三．教学目标： 1.知识与能力： （1）知道圆是中心对称图形，理解圆的旋转不变性。 （2）知道弧的度数概念。 （2）知道圆心角、弧、弦之间的关系和圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，并能应用它们解决一些问题。 2.过程与方法： （1）通过探究圆心角、弧、弦之间的关系，培养学生的推理总结能力，发展学生逻辑思维能力。 （2）通过相关的证明或计算题目的训练，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。 3.情感态度与价值观： 通过圆的旋转变换的实验、操作、观察、归纳、逻辑思维推理等过程，激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力。 四．教学重点、难点 教学重点：圆心角、弧、弦之间的关系定理。 教学难点：“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解以及定理的应用。 五.设计思路 本节课通过“复习中心对称的概念创设情境，并指出旋转变换是研究中心对称图形的常用方法”引出圆是中心对称图形，同时具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意角度后都能与原来的图形重合。圆的这个特征是研究圆心角、弧、弦之间的相等关系的基础。本节课通过操作、观察、思考、交流、探索得出圆心角、
圆的对称性教学设计与反思 一、教学内容分析：《圆的对称性》是青岛版九年数学圆的章节的第一课时，在认识了圆这种图形了解了圆的概念、表示方法和点和园的位置关系之后从本节课开始学习圆的有关性质。本节课设两课时，第一课时主要是对圆是轴对称图形的认识和圆的第一个性质定理：垂径定理（及逆定理）。作为初中阶段圆的重要的性质定理。本节课的教学策略是通过学生自己动手折叠、思考、交流等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再者通过教师演示讲解认识圆的轴对称性和垂径定理，学习定理的推导和使用。 二、学生情况分析：我所教学的两个教学班一个是一直带着的一个是新接手的，后者学生的基础差了一些。基本情况：一部分学生自主学习能力差，自习预习能力不好；一部分男生的头脑很聪明但是有懒惰的状态，课后复习巩固的不够，学点丢点，丢点学点；还有一部分女同学学习热情不高，有时依赖答案；每班都有一部分同学学习水平较高，甚至可以为其他同学答疑解惑。 三、教学目标及重难点： 学习目标 1．理解圆的对称性（轴对称）及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题. 学习重点：垂径定理及其运用. 学习难点：灵活运用垂径定理. 教学过程 一、情境创设 （1）什么是轴对称图形？ （2）如何验证一个图形是轴对称图形？ 二、探究学习 1.尝试 （1）在圆形纸片上任意画一条直径. （2）沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来： 2.探索
如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P；将圆形纸片沿AB对通过折叠活动，你发现了什么？请试一试证明！ 3.总结 垂径定理： 4.典型例题 例1.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC与B D相等吗？为什么？ 例2.如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。 （1）求的半径； （2）若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。 5.巩固练习 （1）判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心，如果是轴对称图形，指出它的对称轴。 （2）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离是3.求⊙O的半径. （3）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，OE=3，求弦CD的长. （4）如图，OA=OB，AB交⊙O与点C、D，AC与BD是否相等？为什么？ （5）在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB= 600mm，求油的最大深度. （6）设AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，若⊙O的半径为5，AB=8,CD=6，则AB与CD之间的距离为_____________（有两种情况）. 三、归纳总结 1．圆的轴对称性及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题. 【课后作业】 1．如图，∠C=90°，⊙C与AB相交于点D，AC=5，CB=12，则AD=_____。
第23章《圆》 第2课时 圆的对称性 初三（ ）班 学号： 姓名： 年 月 日 学习目标：掌握圆的对称性及垂径定理。 学习过程： 一、温故而知新 1. 圆是一个 对称图形，也是 对称图形，对称中心即为 ，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合。 二、新课学习 试一试 将图23.1.3中的扇形AOB （阴影部分）绕点O 逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？ 如图23.1.4，扇形AOB 旋转到扇形A ′OB ′的位置.我们可以发现，在旋转过 程中，∠AOB ＝ ，AB ︵ ＝ ，AB ＝ . 由于圆心角∠AOB （或孤AB ，或弦AB ）确定了扇形AOB 的大小，所以，在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧________，所对的弦_________. 同样，也可以得到： 在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角 ，所对的弦________. 在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角_______，圆心角所对的弧______. 例1图23.1.5，在⊙O 中，AC ︵＝BD ︵ ，∠1＝45°， 求∠2的度数.什么是什么 解 因为 AC ︵＝BD ︵ （已知） AC ︵－BC ︵ ＝ ， 图 23.1.4 图 23.1.5
所以 AB ︵ ＝ 根据在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，可得 ∠ ＝∠ ＝ °. 我们还知道圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称 轴，由此我们可以如图23.1.6那样十分简捷地将一个圆2等分、4等分、8等分. 图 23.1.6 试一试 如图23.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着直径CD 对折，比较AP 与PB AC ︵与CB ︵ ，你能发现什么结论？ 你的结论是：AP PB ，AC ︵ CB ︵ 即：垂直于弦的直径平分弦（当弦与直径垂直时，弦与直径互相垂直平分）。 中考链接 下列语句中正确的是（ ） （1） 相等的圆心角所对的弧相等（2）平分弦的直径垂直与弦 （3）长度相等的两条弧是等弧 （4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 分析：（1）在不等的两个圆中，相等的圆心角所对的弧 。（“相等”或“不等”）故（1） 。（正确或不正确） （2）平分弦的直径一定垂直与弦吗？ ，故（2） 。
第27章圆 27.1.2．圆的对称性 一、学情分析 学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。在上节课中，学生学习了圆的轴对称性，并利用轴对称性研究了垂径定理及其逆定理。学生具备一定的研究图形的方法，基本掌握探究问题的途径，具备合情推理的能力，并逐步发展了逻辑推理能力。 学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。同时，在平时的教学中，比较注重学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的能力。 二、教学任务分析 知识与技能： 1．理解圆的旋转不变性； 2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理． 过程与方法： 1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。 2．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生推理观念，推理能力以及概括问题的能力。 情感态度与价值观： 培养学生积极探索数学问题的态度与方法。 教学重点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理． 教学难点：理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件． 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：课前准备，创设问题情境引入新课，讲授新课，课堂小结，创新探究，课后作业。
第一环节 课前准备 活动内容：（提前一天布置） 1、每人用透明的胶片制作两个等圆。 2、预习课本P37--39内容。 第二环节 创设情境，引入新课 活动内容： 问题提出：我们研究过轴对称图形和中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它们的定义是什么？ 活动目的：为了引出圆的轴对称和旋转不变性。 第三环节 合作探究 感受新知 活动内容： （一）通过教师演示实验，探究圆的旋转不变性； 请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答： 它们重合吗？如果重合，将它们的圆心固定。将上面的圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗 ? 归纳：圆具有旋转不变性。即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆形重合。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。即圆是中心对称圆形，对称中心为圆心。 （二）通过师生共同实验，探究圆心角、弧、弦之间相等关系定理； 做一做 按下面的步骤做一做 1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片，在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角 ∠A O B 和∠A ′O ′B ′ 圆心固定。
§4.2.1 圆的对称性 设计理念 数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动.数学教学重在引导学生走向自主学习和探求知识之路，重在引导学生积极参与教学过程.重视学生的主体作用，倡导“自主、合作、探究”的学习方式，让学生经历学习的探索过程，真正成为学习的主人. 教学内容 《义务教育课程标准实验教科书数学》（鲁教版）九年级（下）第四章“圆”第二节“圆的对称性”第一课时. 教材分析 圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性.同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义.“圆的对称性”第一课时的主要内容是垂径定理及其推论，它反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据.所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习. 教学目标 1.知识与技能 理解圆的轴对称性和相关概念（弦、弧）及性质；掌握垂径定理及其推论，能运用它们进行有关的作图、计算和证明． 2.过程与方法 经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步理解研究几何图形的各种方法（折叠、平移、推理证明），用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，积累学习经验，进一步发展学生自主学习、合作学习的能力． 3.情感、态度与价值观 通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，在探究垂径定理及其推论的过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 教学重点 垂径定理及其推论的探索． 教学难点
专题18 圆的对称性 阅读与思考 圆是一个对称图形． 首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性． 由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用． 熟悉以下基本图形和以上基本结论． 我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印． 例题与求解 【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为_______． （黑龙江省中考试题） 解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系． 由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决． 【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧? AB ，?D C ，?EF ．如果?AB +?D C =?EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（ ） A ．A B +CD =EF B ．AB +CD >EF C ．AB +C D 课时教学设计首页 课题圆的对称性课型新授第几 课时 2课时 知识与技能（1）理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心； （2）掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题。 过程与方法（1）通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高； （2）通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧． 情感态度价值观 经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣． 教学重点与难点 重点：对圆心角、弧和弦之间的关系的理解． 难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题． 教学 方法 与 手段 自主探究和合作探究相结合． 使 用 教 材 的 构 想 圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性.同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义.“圆的对称性”是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据.所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习. 育才中学课时教学流程 教师行为学生行为课堂变化及处理 主要环节的效果 一、创设情境，导入新课 问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？ 问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？ 今天我们继续来探究圆的对称性． 二、探究交流，获取新知 知识点一：圆的对称性 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？ 生：如果一个图形沿着 某一条直线折叠后，直线两 旁的部分能够互相重合，那 么这个图形叫做轴对称图 形，这条直线叫做对称轴 生：折叠． ． 动手操作：同学们通过 折叠自己准备好的圆形纸 片的方法可以得到以下结 论： 1、圆是轴对称图形 2、它的对称轴是经过圆心 的一条折痕，这样的折痕有 无数条，所以圆的对称轴也 有无数条． 学生可能只会找 到1条、2条、3 条……让学生自 己得出结论：无 数条，对称轴是 任意一条过圆心 的直线.师出示 课题. 初中数学北师大版九年级下学期第三章 3.2 圆的对称性A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共5题；共10分) 1. （2分）在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，?则下列结论中不正确的是（） A . AB⊥CD B . ∠AOB=4∠ACD C . 弧AD=弧BD D . PO=PD 2. （2分）(2019·山西模拟) 如图，在正方形ABCD中，分别取AD、BC的中点E、F，并连接EF；以点F为圆心，FD的长为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD 的延长线于点H，则的值为（） A . C． D． 3. （2分） (2017九上·邯郸月考) 如图，∠AOB＝110°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为（） A . 55° B . 70°或125° C . 125° D . 55°或125° 4. （2分） (2018九上·康巴什期中) 下列语句中错误的有（） ①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧 A . 3个 B . 2个 C . 1个 D . 4个 5. （2分） (2020九上·北仑期末) 下列四个结论，不正确的是（） ①过三点可以作一个圆；②圆内接四边形对角相等 ③平分弦的直径垂直于弦；④相等的圆周角所对的弧也相等 A . ②③ B . ①③④ C . ①②④ D . ①②③④ 二、填空题 (共3题；共3分) 6. （1分）由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE=DE；②∠EBD=∠EDB；③DE∥AB；④BD2=2AD?FC其中正确的结论有________．（把你认为正确结论的序号全部填上） 7. （1分）(2016·湘西) 如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=70°，那么圆周角∠C=________． 8. （1分）如图，点A、B把⊙O分成两条弧，则∠AOB=________． 三、解答题 (共2题；共10分) 9. （5分）如图，是⊙D的圆周，点C在上运动，求∠BCD的取值范围． 10. （5分） (2018九上·硚口月考) 如图，⊙O的弦AB和弦CD相交于点E，AB＝CD，圆的对称性教学设计
初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.2 圆的对称性A卷
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