点到直线的距离
人教版高二（上）第七章第三节第4课时
教学目标：
1．让学生理解点到直线距离公式的推导和掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离．
2．培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、化归（或转化）、特殊到一般的数学思想方法以及数学应用意识．
3．让学生了解和感受探索问题的方法，以及用联系的观点看问题．在探索问题的过程中体验成功的喜悦．
教学重点：点到直线距离公式及其应用．
教学难点：点到直线距离公式的推导．
教学方法：启发式讲解法、讨论法．
教学工具：电脑多媒体．
教学过程：
一、提出问题
多媒体显示实际的例子：
某电信局计划年底解决本地区最后一个小
区的电话通信问题．经过测量，若按照部门内
部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知
这个小区的坐标为P（－1，5），离它最近的只
有一条线路通过，其方程为2x+y+10=0．要完
成这项任务，至少需要多长的电缆线？
这个实际问题要解决，要转化成什么样的
数学问题？学生得出就是求点到直线的距离．
直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离．
二、解决问题
多媒体显示：已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离．
怎样求点到直线距离呢？学生应该很快能回答出，做垂线找垂足Q，求线段PQ的长度．怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？
教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．学生提出平行于x轴和y轴的特殊情况．显示图形：
板书：l
l
0)
B C By B C
y y y PQ C By l A Q +=
+=-==+=000,0:0时，当
A C
x x x PQ C Ax l B Q +
=-==+=00,0:0时，当时，当0≠AB 如何求PQ ？
学生思考回答下列想法：
思路一：过P 作l PQ ⊥于Q 点，根据点斜式
写出直线PQ 方程，由PQ 与l 联立方程组解得Q
点坐标，然后利用两点距离公式求得．
教师评价：此方法思路自然，但是运算繁琐．并多媒体展示求解过程．
解：直线PQ ：()()000,x x x x A
B
y y ≠
-=-，即00Ay Bx Ay Bx -=-
由???=++-
=-0
0C By Ax Ay Bx Ay Bx ，2
2002B A AC ABy x B x Q +--=
()()2
02
0y y x x
d Q Q
-+-=
∴
说明：本过程只展示，不在课堂推导．
教师提问：能否用其它方法，不求点Q 的坐标，求线段PQ 的长度? 学生思考：放在三角形---特殊三角形---直角三角形中． 教师提问：如何构造三角形？第三个顶点选在什么位置？
学生思考：可能在直线l 与x 轴的交点M 或与y 轴交点N ，或过P 点做x,y 轴的平行线与直线l 的交点R 、S ．
教师根据学生提出的点的位置作分析，求
解过程的繁与简，最后决定方法．下列是学生可能提到的情况：
思路二：在直角△PQM,或直角△PQN 中,求边长与角（角与直线到直线角有关）,用余弦
值．
思路三：在直角△PQR,或直角△PQS 中,)
()
0022
A Ax By C A
B -++=+2220000022Q B x ABy A
C A x B x x x A B -----=+()00Q B y y x x A -=-0022
Ax By C
B A B
++=-+=
00By C =++
但分情况）,用余弦值．
思路四：在直角△PRS 中，求线段PR 、PS 、RS ，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ 长．
学生练习求解思路四．教师巡视，根据学生情况演示过程．
解：设()00,y x P ，()Q Q y x Q ,，()0,y x R R ，()S y x S ,0 00=++C By Ax R ，A C By x R +-
=0；00=++C By Ax S ，B
C
Ax y S +-=0 A C By Ax x x RP R ++=
-=000
B
C
By Ax y y PS S ++=
-=000
由PS PR RS PQ ?=?， RS
PS PR PQ ?=
而2
2PS
RP RS +=2
22
200B
A B A C
By Ax +++= 2200B A AB
C
By Ax +++=
2
2
00B
A C
By Ax PQ +++=∴
说明：如果学生没有想到思路二、三，教师提示做课后思考作业题目． 教师提问：①上式是由条件下时当0≠AB 得出，对时，或当00==B A 成立吗？ ②点P 在直线l 上成立吗？
③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？
由此推导出点P(x 0，y 0)到直线l ：Ax+By+C=0距离公式：
2
2
00B
A C
By Ax d +++=∴
教师继续引导学生思考，不构造三角形可以求吗？（在前面学习的向量知识中，有向量的模．由于在证明两直线垂直时已经用到向量知识，且也提出过直线的法向量的概念．）能否用向量知识求解呢？
思路五：已知直线l 的法向量，则λ=，
0)
=，如何选取法向量？直线的方向
向量??? ??-B A ,1，则法向量为??
?
??A B ,1，或()B A ,，或其
它．由师生一起分析得出取＝()B A ,．
教师板演：
()00,y y x x Q Q --=，()B A n λλλ,=
{
{
A x x
B y y A x x B
y y Q Q Q Q λλλλ+=+==-=-?
0000，由于点Q 在直线上,所以满足直线方程
0)()(00=++++C B y B A x A λλ,解得2
200B A C
By Ax +++-
=∴λ
=
++++==∴222
2
00B A B
A C By Ax PQ 2
2
00B
A C
By Ax +++
教师评析：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点．而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法．
三、公式应用 练习：
1.解决课堂提出的实际问题．（学生口答）
2.求点P 0(－1,2)到下列直线的距离 ：
①3x=2 ②5y=3 ③2x ＋y=10 ④y=－4x+1
练习选择：平行坐标轴的特殊直线，直线方程的非一般形式． 练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式． 教师强调：直线方程的一般形式． 例题：
3.求平行线2x －7y ＋8=0和2x －7y －6=0的距离．
教师提问：如何求两平行线间的距离？距离如何转化？ 学生回答：选其中一条直线上的点到另一条直线的距离． 师生共同分析：点所在直线的任意性、点的任意性．
学生自己练习，教师巡视．教师提问几个学生回答自己选取的点和直线以及结果．然后选择一种取任意点的方法进行板书．
解：在直线2x －7y －6=0上任取点P(x 0，y 0)，则2 x 0－7 y 0－6=0，点P(x 0，y 0)到直线2x －7y ＋8=0的距离是=
d
教师评述：本例题选取课本例题，但解法较多．除了选择直线上的点，还可以选取原点，求它到两条直线的距离，然后作和．或者选取直线外的点P ，求它到两条直线的距离，然后作差．
引申思考：01=++C By Ax 与02=++C By Ax 两平行线间距离公式．
四、课堂小结：（由学生总结）
① 知识：点到直线的距离的公式推导以及应用．
② 数学思想方法：类比、转化、数形结合思想，特殊到一般的方法． ③ 多角度考虑问题，一题多解． 五、布置作业
① 课本习题7.3的第13题----16题；
② 总结写出点到直线距离公式的多种方法．
教学设计说明： 一、教材分析
我主要从三方面：教材的地位和作用、教学目标分析、教学重点和难点来说明的。教学目标包括：知识、能力、德育等方面的内容。我确定教学目标的依据有教学大纲、考试大纲的要求、新教材的特点、所教学生的实际情况。 二、教学方法和手段
1、教学方法的选择
（1）指导思想：教师为主导，学生为主体，引导学生参与对事物的认识过程。
（2）教学方法：启发式讲解法、讨论法。 2．教学手段的选用
采用了电脑多媒体教具，不仅将数学问题形象、直观显示，便于学生思考，而且迅速展示部分纯计算的解题过程，提高课堂效率。 三、教学过程
这节课我分：“提出问题——解决问题——公式应用——课堂小结——布置作业”五个环节来完成。
首先多媒体显示实例，引发学生的学习的兴趣和求知欲望，从而引出数学问题。通过一系列问题引导学生通过图形观察，进而分析、归纳总结选择较好的方法具体实施。关于思路五，在课本中没有出现这样的证法，我在课堂上选取这样的证法。主要是考虑到：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几
何结合应用是现在新教材知识的交汇点。而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法，这样思路五的给出不仅符合新教材的要求，也为今后的学习方法奠定了基础。
我选择练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式，主要通过学生口答完成。我强调注意在公式中直线方程的一般式。例题的选取来自课本，但是课本只有一种特殊点的解法。我把本例题进行挖掘，引导学生多角度考虑问题。在整个过程中让学生注意体会解题方法中的灵活性。本节课小结主要由学生总结，教师补充，尤其数学思想方法教师加以解释。在整节课的处理中，采取了知识、方法来源于课本，挖掘其深度、广度，符合现代教学要求。
点到直线的距离公式教案 江苏省无锡市惠山区长安中学徐忠 一、教案背景 1.教材。 本课时选自江苏教育出版社的中等职业学校国家审定教材《数学》第7章解析几何第2节两直线的位置关系中的一节，是直线形解析几何内容的最后一个知识点。点到直线的距离公式是解析几何中计算距离的两个重要的基础公式之一。相对于另一个距离公式也就是两点间的距离公式，它需要有更强的综合知识的能力和计算能力，它既是学习曲线形解析几何内容的必备条件，也是直线形解析几何内容的难点。同时，本公式也体现了解析几何中的数学美，以及解析几何在解决数学问题中所展现的逻辑美。 2.学生。 本课时的教学对象是职业高中学生。作为中考成绩最差的一部分，这些学生学习能力弱，对基础知识的掌握和数学能力的运用方面都有很大的缺陷。他们的学习意志也不坚定，遇到困难很容易放弃。但他们对于能够理解和掌握的知识会表现出很大的兴趣。 二、课时分析 针对以上分析，对本课时作如下定位。 1.教学目标： （1）掌握点到直线的距离公式，初步使用公式解相关习题。 （2）锻炼学生的计算能力，培养良好的学习习惯。 （3）体会公式中的数学美；培养学生“数形结合”的数学思想。 2.重点：点到直线的距离公式。 3.难点：点到直线的距离公式的初步应用。 三、教学方法 1.教法。本课教法以讲授为主。采用“提出问题——解决问题”的过程来设计教学。通过 从简单到复杂，从特殊到一般，循序渐进，逐步深入地使学生理解本课主题。对基础比较薄弱的学生来说，这也是最容易接受的教学方式。 2.学法。本课学法以练习为主。在学生取得初步印象后，随时通过学生练习来加深理解， 巩固知识。学生练习是职高学生理解、掌握知识的重要途径，也是锻炼能力、培养良好学习习惯的有效方法。 四、教学过程 （一）知识准备 1.两点间的距离公式。 2.直线方程的一般形式。 3.两直线平行，则____；两直线垂直，则____。 4.点与直线的位置关系；两相交直线的交点坐标。 设计目标：复习已有知识，为新课作准备。 （二）问题提出 什么是点到直线的距离？ 设计目标：理解点到直线的距离的几何意义，使学生重温“垂线段”这个名词。 （三）问题解决 1.当直线平行于坐标轴时的情况。例：求点A(2,-3)到下列直线的距离d： (1) y=7；(2) x +1=0． =7
空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向 量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线 的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法， 请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知 数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。 第 1 页共 1 页
点到直线的距离公式 一、教学目标 (一)知识教学点 点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用． (二)能力训练点 培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法． (三)知识渗透点 由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律． 二、教材分析 1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程． 2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题． 3．疑点：点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的． 三、活动设计 启发、思考，逐步推进，讲练结合． 四、教学过程 (一)提出问题 已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？ (二)构造特殊的点到直线的距离学生解决 思考题1 求点P(2，0)到直线L：x-y=0的距离(图1-33)．
学生可能寻求到下面三种解法： 方法2 设M(x，y)是l：x-y=0上任意一点，则 当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离． 方法3 直线x-y=0的倾角为45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP| 进一步放开思路，开阔眼界，还可有下面的解法： 方法4 过P作y轴的平行线交l于S，在Rt△PAS中，|PO|=|PS| 方法5 过P作x轴的垂线交L于S ∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|，
2.1.6点到直线的距离 一、基础过关 1．已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为________． 2．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是________． 3．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程为______________． 4．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任一点，则PQ的最小值为________．5．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．6．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________． 7．△ABC的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2，3)． (1)求BC边的高所在直线的方程； (2)求△ABC的面积S. 8．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程． 二、能力提升 9．两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是________． 10．直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为________． 11．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号) ①15°②30°③45°④60°⑤75° 12．已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0.直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且d1∶d2＝1∶2，求直线l的方程． 三、探究与拓展 13．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x＋3y－6＝0上，顶点A的坐标是(1，－2)．求边AB、AC所在的直线方程．
§7向量应用举例 7．1点到直线的距离公式 7．2向量的应用举例 [学习目标] 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学 问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具． [知识链接] 1．向量可以解决哪些常见的几何问题 答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题． 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的 答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [预习导引] 1．直线的法向量 (1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)． (2)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)． 2．点到直线的距离公式 设点M(x0，y0)为平面上任一定点，则点M到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝ |Ax0＋By0＋C| A2＋B2 . 3．向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝ a·b |a||b| ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 .
预习导航 请沿着以下脉络预习： 1．距离公式 (1)两点间距离公式：P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2| (2)点到直线的距离公式：P (x 0，y 0)，直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0，则P 到l 的距离 (3)两平行线间距离公式：l 1，l 2的方程分别为Ax ＋By ＋C 1＝0，Ax ＋By ＋C 2＝0，其中C 1≠C 2，则l 1与l 2之间的距离 d = 2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P (x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|； (2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|； (3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝a 的距离d ＝|y 0－a |，当a ＝0时，即x 轴，d ＝|y 0|； (4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝b 的距离d ＝|x 0－b |，当b ＝0时，即y 轴，d ＝|x 0|. 1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )． A ．12 B ．32 C ．322 D ．22 答案：C 2．直线x －y －2＝0与直线x －y ＋1＝0的距离是( )． A ．12 B ．32 C ．22 D ．322 答案：D 3．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为坐标原点，则|OP |的最小值为( )． A ．10 B ．2 2 C ． 6 D ．2 答案：B 4．直线2x －y －1＝0与直线6x －3y ＋10＝0的距离是__________． 答案：13515
解析：两直线方程必须化为同系数后，才能利用公式． 5．与两平行直线l 1：3x －y ＋9＝0，l 2：3x －y －3＝0等距离的直线方程为__________． 答案：3x －y ＋3＝0 解析：设直线方程为3x －y ＋C ＝0. 由两平行线间距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2 ， 可得|9－C |＝|C ＋3|，解得C ＝3． ∴所求直线方程为3x －y ＋3＝0. 6．求点P (3，－2)到下列直线的距离． (1)3x －4y ＋1＝0；(2)y ＝6；(3)y 轴． 解：(1)根据点到直线的距离公式得 d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2 ＝185. (2)因为直线y ＝6平行于x 轴，∴d ＝|6－(－2)|＝8. (3)d ＝|3|＝3．
点与直线问题 (1)点P （x 0，y 0）到直线Ax ＋By ＋C=0 的距离 (运用本公式要把直线方程变为一般 式) （2）两条平行线 之 间的距离 (运用此公式时要注意把两平行线方程 x 、y 前面的系数变为相同的) (3)点 P （x ，y ）关于Q （a ，b ）的对称点为P'（2a －x ，2b －y ） (4)直线关于点对称:在已知直线上任取两点A 、B,再分别求出A 、B 关于P 点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. (5)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分” 设 P （x 0，y 0），l ：Ax ＋By ＋C=0（A 2＋B 2≠0），若P 关于l 的对称点的坐标Q 为（x ，y ），则l 是PQ 的垂直平分线，即①PQ ⊥l ；②PQ 的中点在l 上， 解方程组可得 Q 点的坐标 例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离 解：22 |3(1)2|5330d ?--= =+ 例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C (–1， 0)，求三角形ABC 的面积. 解：设AB 边上的高为h ，则 221 ||2||(31)(13)22 ABC S AB h AB =?=-+-=V AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在直线方程为31 1331 y x --= -- 即x + y – 4 = 0. 点C 到x + y – 4 = 0的距离为h 2|104|5112 h -+-==+， 因此，15225 22S ABC =??= 例3 求两平行线 l 1：2x + 3y – 8 = 0 l 2：2x + 3y – 10 =0的距离. 解法一：在直线l 1上取一点P (4,0)，因为l 1∥l 2，所以P 到l 2的距离等于l 1与l 2的距离，于是 22|243010|21313 23 d ?+?-==+ 解法二： 直接由公式22 |8(10)|21313 23d ---= =+ 例 4、求直线3x －y －4=0关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程
点到直线的距离 教学目标：1、掌握点到直线的距离的有关概念。2、会作出直线外一点到一条直线的距离。3、理解垂线段最短的性质。 教学重点：点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质。 教学难点：垂线段最短的性质及从直线外一点作直线的垂线的画法 教学过程： 一、准备知识 1、垂直的概念 2、经过直线外一点作这条直线的平行线，可以作几条？ 3、如何从直线外一点作已知直线的垂线？ 二、探究新知 1、经过一点作一条已知直线的垂线。 （1）点P在直线AB上（2）点P在直线AB 外 2、讨论思考题：过一点P作已知直线的 垂线，可以作几条？是不是一定可以作一条？ 如果有两条直线PC、PD与直线AB垂直，那么PC、PD的关系怎样呢？（重合） 3、归纳：在平面内，通过一点有一条并且只有一条直线与已知直线垂直。 4、垂线段的概念：
如图，设PO垂直于AB于O，线段 PO叫作点P到直线AB的距垂线段。 PA、PB、PC、PD叫作斜线段。 5、垂线段PO的长度叫作点P到直 线AB的距离。 6、做一做 （1）请同学们测量一下，PO与PA、PB、PD、PC的长度，然后猜测一下它们之间的关系如何。 （2）按教材P73的做一做操作。 7、归纳结论：直线外一点与直线上各点连续的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 8、垂线段的应用 P74的动脑筋 三、练习与小结 1、练习P74的练习题 2、课堂小结 四、布置作业 1、已知：经过直线m外一点P 。求作：PO，使PO垂直于直线m，O点是垂足。 2、画一个5厘米的正方形ABCD，在正方形内部任取一点P，作经过点作正方形各边的垂线，垂足分别M、N、R、Q，测量PM、PN、PR、PQ的长度。
点到直线的距离公式的七种推导方法(转载) 很有用哦 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A 解得交点22 00002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 22222 000000 2222 222200002222 2222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+= ++ +|PQ ∴= 二、 函数法 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 22220022222222000022 0000220000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++= 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不 等式：222222 000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ B 0,Ax y C ++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M 11(,) x y 显然 10 x x =所以 01Ax C y b +=- x
课 题：7.3两条直线的位置关系（四） ―点到直线的距离公式 教学目的： 1. 2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 3. 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题王新敞 教学重点：点到直线的距离公式王新敞 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 授课类型：新授课王新敞 课时安排：1课时王新敞 教 具：多媒体、实物投影仪王新敞 内容分析： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离. 在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力. 在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解王新敞 教学过程： 一、复习引入： 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 2．斜率存在时两直线的平行与垂直： 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之， 如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ 已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ， 2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A
执教时间：年月日课题点到直线的距离执教者李子涵共 1 课时 学情分析本课是在学生学习了射线、线段和直线、垂线、平行线之后，进一步学习空间与图形知识的基础。小学四年级学生认知水平以及生活阅历相对较少，但孩子们都喜欢亲自动手试一试。所以学生的这种认知特征要善于引导，寻求科学的学习方法和适合学生年龄特点的教学方法。 教学目标1、学生经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知直线所画的线段中垂直线段最短，知道点到直线的距离。 2、认识平行线之间的距离相等。 3、在学习过程中进一步发展观察能力、实践能力，体会数与形的联系，发展空间观念。 4、进一步体会数学和现实生活的联系，进一步培养数学应用意识和学习数学的积极情感。 教学重点认识点到直线的距离，认识平行线之间的距离。 教学难点能解决一些实际的问题 教学准备多媒体课件、三角尺 教学过程 一、复习引入 1、下面各组直线，哪一组互相平？哪一组互相垂直？（课件出示） （学生判断，并说明理由） 2、复习过直线外一点（点A）画已知直线的垂线的方法。 （学生口述画垂线的方法，教师补充并在黑板上作图示范） 3、谈话导入：掌握了经过直线外一点向已知直线作垂线的方法，这 节课我们在此基础上，继续学习有关垂直的重要知识——点到直线的 距离（板书课题）。 【设计意图：通过复习平行与垂直的知识，直接引出课题，可以让学 生尽快进入数学知识的学习状态中，而平行与垂直、画垂线知识的复 习为今天的学习起到铺垫作用】 二、新知探究。 修改意见
（一）点到直线的距离 1、画一画 从直线外一点A到这条直线画几条不同的线段，要求有一条垂线。（以比赛的形式展开：在1分钟的时间内看谁从点A向直线画出的线段多，速度快） 2、量一量 学生动手量一量所画的线段的长度，并观察这些线段的长度，看看有什么发现，同桌互相说一说。 3、通过学生交流，引导学生总结从直线外一点到这条直线所画的垂 直线段最短。 教师小结并板书：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离 【设计意图：进行画图、测量、交流等多种活动，引导学生得出垂线 的性质，对距离的含义，让学生在交流中明确它的定义】 （二）认识平行线间垂直线段的特点 1、课件出示课本例3（2）图，直线a//b，想一想这组平行线之间可以画出多少条垂线段？ a b 引导学生：一条直线上有无数个点，因此可以画出无数条垂直线段。2、学生独立完成（在课本上画）：在直线a上任选5个点，分别向b画垂直线段。 3、小组合作测量所画垂直线段的长度，然后交流测量结果，你有什 么发现？ （生动手操作，指名汇报） 4、师根据学生汇报，总结：端点分别在两条平行线上，且与平行线 垂直的所有线段的长度都相等。 5、拓展延伸：根据平行线间的距离处处都相等的性质可以判断两条 直线是否平行。 三、巩固练习 （一）基础练习 1、填空。
点到直线的距离教学反思 本节课的教学内容是在学生认识了两条直线的垂直关系的基础上教学的。教材在例题中呈现了从一点向已知直线所画的一条垂直线段和几条不垂直的线段，让学生通过度量，发现在这几条线段中垂直的线段最短，这就是垂直线段的性质。为了让学生更能深刻地理解这个性质，我先让学生从直线外点画已知直线的垂线，然后擦去点外的线，让学生感受到这一点到垂足之间是一条垂线段。接着出示学习单，让学生自主探究： 1.测量：测量A点到已知直线各线段长度（量点与点之间的距离），比一比哪条最短。 2.先画后测：你可以仿照图中再画几条A点到已知直线的不垂直的线段，比一比，第1题的结论是否不变？ 3.思考：什么是点到直线的距离？A点到已知直线的距离是图中的哪条线段？其他线段是不是，为什么？ 学生通过亲身实践量得垂线段是最短的这个性质。 教材是这样揭示点到直线的距离的概念：从直线外一点到这条直线所画得垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。到直线的距离既是本节课的重点，也是本节课的难点。但这句话对学生来说难以理解，于是，在教学过程中，我告诉学生：距离是一个长度，是点到直线垂直线段的长度，其他不垂直的线段的长度不是它的距离。 对于练习题的安排，我先巩固学生对距离的理解，通过第1题的练习，学生明白，要求点到直线的距离，必须先画出点到直线的垂线段，再测量它的长度。第2题的练习，让学生在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，并测量出这些线段的长度，发现它们的长度相等，得出这样的结论：平行线间的垂线段都相等。接着，介绍点到直线的距离这个知识在生活中应用。我出示过马路的多条线段图，让学生找出最短的一条。学生比较轻松的解决了。初步感受到数学与生活是密切相联的。然后从生活中再找一些实例，进一步让学生体会数学在生活中的应用价值。这样可以潜移默化地引导学生用数学的眼光观察分析问题，进而解决问题。学生的能力得到提升。 但是，也有一些不足的地方： 1.学习单的内容较多，学生自主学习花费的时间较多。 2.学生对学习单的理解有误，有的没有测量线段的长度而是测量角的大小。说 明他还没有养成仔细阅读学习单要求的习惯。 3.集体交流的时候，学生的语言组织能力还有待提高，不能很好地表达所想的 内容。 在“学程导航”的路上继续前行……
《点到直线的距离公式》教案 一、教学目标 (一)知识教学点 点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用． (二)能力训练点 培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法． (三)知识渗透点 由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律． 二、教材分析 1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程． 2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题． 3．疑点：点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的． 三、活动设计 启发、思考，逐步推进，讲练结合． 四、教学过程 (一)提出问题 已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？ (二)构造特殊的点到直线的距离学生解决 思考题1 求点P(2，0)到直线L：x-y=0的距离(图1-33)． 学生可能寻求到下面三种解法：
方法2 设M(x，y)是l：x-y=0上任意一点，则 当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离． 方法3 直线x-y=0的倾角为45°，在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP| 进一步放开思路，开阔眼界，还可有下面的解法： 方法4 过P作y轴的平行线交l于S，在Rt△PAS中，|PO|=|PS| 方法5 过P作x轴的垂线交L于S ∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|， 比较前面5种解法，以第3种或4种解法为最佳，那么第3种解法是否可以向一般情况推广呢？ 思考题2 求点P(2．0)到直线2x-y=0的距离(图1-34)． 思考题 3求点P(2，0)到直线2x-y+2=0的距离(图1-35)．
课题点到直线的距离 教学内容：人教版教材第59页例3 课程标准描述 通过观察、操作等活动，经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知直线所画线段中垂直线段最短，理解点到直线的距离。会测量点到直线的距离，会利用垂直线段的性质解释一些生活现象。 教学目标: 1、经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知 直线所画线段中垂直线段最短，理解点到直线的距离。 2、会测量点到直线的距离，会利用垂直线段的性质解释一些生活现象。 3、进一步体会数学和现实生活的联系，培养数学应用意识。 教学重点、难点： 会画已知直线的垂线，认识点到直线的距离。 评价活动方案 1、通过画一画，折一折等操作活动，认识点到直线的距离。以评价教学目标1。
2、能用直尺或三角尺测量点到直线的距离。以评价目标2。 教学准备：课件 教学过程 一、导入 1、提问：在同一个平面内两条直线的位置关系有哪几种特殊情况？特殊在哪儿？ 2、谈话：请大家在白纸上画一条直线，在较远处画一个点A，并利用工具经过A点画出已知直线的垂线。 3、学生画图，指名到黑板上板演。指出垂足。 师谈话： 今天这节课我们要继续学习有关垂直的重要知识——点到直线的距离 （板书课题） 二、新授 （一）认识“点到直线的距离” 1、刚才大家过A点作直线的垂线，那么，从A点到垂足之间的这条线是线段？还是射线？还是直线？ 2、教师指出：从A点到垂足之间这条垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。
指明学生说说什么叫“点到直线的距离” （二）认识垂直线段的性质 1、谈话：刚才我们画了从A点到直线的垂直线段。 你能从A点向直线画几条不垂直的线段吗？任意画几条。 2、把这些线段的长度与刚才那条垂直线段的长度比一比，你发现了什么？ 3、把你的发现与同桌交流一下。 4、指名交流。 5、小结：正因为这条垂直的线段最段，所以“点到直线的距离”其实就是指这个点到这条直线的垂直线段的长度。 三、巩固练习：第59页上“做一做” （一）第1题： 1、出示题目， 谈话：题目要求我们量出点到直线的距离，那么什么是点到直线的距离？ 2、学生动手作图，测量。 3、汇报测量结果。 （二）第2题：
§7 向量应用举例 7．1 点到直线的距离公式 7．2 向量的应用举例 [学习目标] 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具． [知识链接] 1．向量可以解决哪些常见的几何问题？ 答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题． 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [预习导引] 1．直线的法向量 (1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)． (2)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)． 2．点到直线的距离公式 设点M(x0，y0)为平面上任一定点，则点M到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝ |Ax0＋By0＋C| A2＋B2 . 3．向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝ a·b |a||b| ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 .
2.1 点到直线的距离 【课前复习】 【变式1】一类函数的最值研究 求845222+++++= x x x x y 的最小值. 【变式2】光线的反射问题 已知直线02:=-+y x l ，一束光线从点)31,0(+P 以 120的倾斜角投射到直线l 上，经l 反射，求反射光线所在直线的方程. （1）平面上一点坐标),(00y x P 到直线0=++C By Ax 的距离为__________________ （2）两条平行直线0:11=++C By Ax l ；0:22=++C By Ax l 间的距离为_____________ 注意点：利用公式求点到直线距离和两平行线间距时，一定要将直线方程化成一般式. 【例1】（1）求点)2,3(-P 到直线4 2543:+-=x y l 的距离； （2）求0546=+-y x 与x y 2 3= 之间的距离. 【例2】直线l 经过原点，且点)0,5(M 到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程. 【变式】两平行直线21,l l 分别过点)0,1(1P 和)5,0(2P （1）若21,l l 距离等于5，求两直线的方程；（2）若21,l l 距离等于d ，求d 的取值范围.
【例3】已知)0,1(),1,3(),3,1(-C B A ，则ABC ?的面积为_________________ 结论：ABC ?中， _____________________________________________________________ 【例4】用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 【专题研究】 利用点到直线的距离公式解决对称问题 （1）与两平行直线距离相等的直线 【例1】求与两条平行线0623:1=-+y x l ，0346:2=-+y x l 等距离的平行线的方程. 重要结论：与两平行直线0:11=++C By Ax l 与0:22=++C By Ax l 等距离的平行直线的方程为_________________________ 应用：设直线l 过点)4,2(A ，它被两平行线01=+-y x ，01=--y x 所截得的线段的中点在直线032=-+y x 上，试求直线l 的方程. （2）角平分线问题 【例2】求两直线04:1=--y x l ，02:2=-+y x l 所成的角平分线所在直线l 的方程.
2.14-2.16两条直线的距离、两点直线的距离、点到直线的 距离 (交点、距离) 一、选择题 1、直线3x-2y+m=0与直线(m 2-1)x+3y+2-3m=0的位置关系是 A 平行 B 垂直 C 相交 D 与m 的取值有关 2、已知点P(－1,0)，Q(1,0)，直线y=-2x+b 与线段PQ 相交，则b 的取值范围是 A [-2,2] B [-1,1] C [-21,21] D [0,2] 3、已知方程a|x|-y=0和x-y+a=0(a>0)所确定的曲线有两个交点，则a 的取值范围是 A a>1 B 0 A 55 2 B 55 3 C 55 4 D 5 二、填空题 1、过直线x-2y+4=0与直线2x-y-1=0的交点M，且与两点A(0,4)，B(4,0)距离相等的直线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿； 2、三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形，则m＝_____ 3、过点(1,3)且与原点距离为1的直线方程为＿＿＿＿＿； 4、垂直于直线x-3y+1=0且到原点的距离等于5的直线方程是＿＿＿＿ 三、解答题 1、直线l经过2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程 2、直线l经过点P(2，－5)，且与点A(3，－2)和B(－1,6)的距离之比为1:2，则直线l的方程 教学设计：点到直线的距离公式 一、教材分析 点到直线的距离公式是高中解析几何课程中最重要的也是最精彩的公式之一，它是解决点与直线、直线与直线位置关系的基础，也是研究直线与圆、圆与圆的位置关系的重要工具，同时为后面学习圆锥曲线做准备。教材试图让学生通过学习、探究点到直线的距离公式的思维过程，深刻领会蕴涵于其中的数学思想和方法；逐步学会利用数形结合、算法、转化、函数等数学思想方法来解决数学问题；充分体验作为学习主体进行探究、发现和创造的乐趣。 二、学情分析 我上课的班级是淮北一中的实验班，从总体上看，本班学生的数学基础比较好，平时肯思考问题，钻研精神强，有较好的自主学习和探究学习能力，同时，学生已掌握直线的方程和平面上两点间的距离公式，具备了探讨新问题的一定的基础知识。但学生大容量的自主探究，对课堂教学过程的控制带来一定的难度。 三、教学目标 (1)经历点到直线的距离公式探索过程，抽象出求点到直线距离的步骤；理解用数形结合、算法、转化、函数等数学思想来研究数学问题的方法； (2)会利用点到直线的距离公式求点到直线的距离。 (3)通过自主探究、合作交流等方式，培养学生勇于探索、自主探究和发散思维能力和合作互助的团队精神。 （4）通过解题方法的多样性，展现数学思维的灵活性和开阔性，使学生体会解析几何的魅力。 四、教学重点 点到直线的距离公式的探究过程及公式的简单应用。 五、教学难点 点到直线的距离公式的探究。 六、教学方法 以“学生为主体，教师为主导，问题解决为主线，能力发展为目标”的教学思想为指导，采用“问题探究”的教学方法。通过创设问题情景，引导学生在自主探究与合作交流中构建新知识。 课堂实录： 师：同学们！我们知道，数学像文学作品一样，来源于生活，高于生活，并指导生活。那么，在你的生活中，听说过以下问题吗？它们又是怎样的数学问题？ （多媒体演示） 如图，在铁路的附近，有一座仓库，现要修建一条公路使之 连接起来，那么怎样设计能使公路最短? 最短路程又是多少? 生1：我们可以从仓库向铁路做垂线，沿垂线段铺设公路可使 其最短。 师：很好！将来你肯定是一个合格的工程师。再来看下一个： （多媒体演示） 报道：9月15号13号台风“珊珊”从太平洋出发以近 直线型路线运动，如图，台风波及区域约直径100海里，请 预测台北人民是否需要做台风来临前的相关工作？ 3．3．3两条直线的位置关系 ―点到直线的距离公式 三维目标： 知识与技能：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 能力和方法：会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 情感和价值：1。认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题王新敞 教学重点：点到直线的距离公式王新敞 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 教学方法：学导式 教具：多媒体、实物投影仪王新敞 教学过程 一、情境设置，导入新课： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研 究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离。 用POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算？能否用两点间距离公式进行推导？ 两条直线方程如下： ?? ?=++=++0 0222111C y B x A C y B x A . 二、讲解新课： 1．点到直线距离公式： 点),(0 y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为： 2 200B A C By Ax d +++= 王新敞 （1）提出问题 在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(0 y x ，直线＝0或B ＝0时，以上公式0:=++C By Ax l ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢? 学生可自由讨论。 （2）数行结合，分析问题，提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长. 这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。 画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。 方案一： 设点P到直线l的垂Array线段为PQ，垂足为Q，由 PQ⊥l可知，直线PQ的斜 率为 B（A≠0），根据点斜 A 式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线l的距离为d王新敞此方法虽思路自然，但运算较繁.下面 我们探讨别一种方法王新敞 点与直线 直线方程 一. 教学容： 点到直线的距离； 点关于点、关于直线的对称点； 直线关于点、关于直线的对称直线； 直线方程复习； 二. 知识点： 1. 点到直线距离公式及证明 d Ax By C A B = +++|| 0022 关于证明： 根据点斜式，直线PQ 的方程为（不妨设A ≠0） y y B A x x -= -00(), 即，Bx Ay Bx Ay -=-00 解方程组 Ax By C Bx Ay Bx Ay ++=-=-?? ? 00， 得，x B x ABy AC A B =--+20022 这就是点Q 的横坐标，又可得 x x B x ABy AC A x B x A B -= ----+02002020 22 =- +++A Ax By C A B () 0022 ， y y B A x x B Ax By C A B -=-=-+++000022 ()()， 所以， d x x y y Ax By C A B =-+-= +++()()()0202 00222 = +++|| Ax By C A B 0022 。 这就推导得到点P （x 0，y 0）到直线l ：Ax+By+C=0的距离公式。 如果A=0或B=0，上式的距离公式仍然成立。 下面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法。 设点Q 的坐标为（x 1，y 1），则 Ax By C y y x x B A A 11101000++=--=??? ??, ()≠， 把方程组作变形， A x x B y y Ax By C B x x A y y ()()()()()10100010100-+-=-++---=?? ? ，①② 把①，②两边分别平方后相加，得 ()()()()A B x x B A y y 2210222102+-++- =++()Ax By C 002 ， 所以， ()()()x x y y Ax By C A B 102 102 00222 -+-=+++， 所以， d x x y y =-+-()()102102 = +++|| Ax By C A B 0022 此公式还可以用向量的有关知识推导，介绍如下： 设，、，是直线上的任意两点，则P x y P x y l 111222()() Ax By C Ax By C 112 200++=++=?? ?③④ 把③、④两式左右两边分别相减，得 A x x B y y ()()12120-+-=， 由向量的数量积的知识，知点到直线的距离公式
人教新课标版(A)高一必修 点到直线的距离公式教案
点到直线的距离公式
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