浙江省嘉兴市2019-2020学年下学期高二年级期末检测数学试卷

2019-2020学年浙江省嘉兴市高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3A =，集合{}3,4,5B =，则集合()UA B =（ ）A ．{}3B ．{}2,6C ．{}1,3,4,5D ．{}1,2,4,5,6【答案】B【解析】利用并集和补集的概念即可得出答案. 【详解】{}1,3A =，{}3,4,5B =，∴ {}1,3,4,5A B =,又{}1,2,3,4,5,6U =，∴(){}U2,6A B =，故选B.2．已知复数()()1i a i -+为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】利用复数的乘法法则将复数()()1i a i -+化为一般形式，然后利用该复数为纯虚数可得出关于a 的等式与不等式，即可解得实数a 的值. 【详解】()()()()111i a i a a i -+=++-，由于该复数为纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-.故选：A. 【点睛】本题考查利用复数的类型求参数，同时也考查了复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.3．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln 1f x x =+，则()1f -=（ ）A ．ln 2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】由函数的奇偶性可得()()11f f -=-，进而计算即可得解. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln 1f x x =+，∴()()()11ln111f f -=-=-+=-.故选：B . 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 4．已知物体位移S （单位：米）和时间t （单位：秒）满足：321S t t =-+，则该物体在1t =时刻的瞬时速度为（ ） A ．1米/秒 B ．2米/秒C ．3米/秒D ．4米/秒【答案】A【解析】求出S 关于t 的导数，令1t =可得． 【详解】由题意232S t '=-，1t =时，321S '=-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查导数的物理意义，本题属于基础题．5．用数学归纳法证明：1232(21)n n n +++⋅⋅⋅+=+时，从n k =推证1n k =+时，左边增加的代数式是（ ） A ．43k + B ．42k +C ．22k +D ．21k +【答案】A【解析】根据题设中的等式，当n k =时，等式的左边为1232k +++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式的左边为122(21)2(1)k k k ++⋅⋅⋅+++++，即可求解． 【详解】由题意，可得当1n =时，等式的左边为12+， 当n k =时，等式的左边为1232k +++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式的左边为1232(21)2(1)k k k +++⋅⋅⋅+++++，所以从k 到1k +时，左边需增加的代数式是(21)2(1)43k k k +++=+， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用，其中解答中熟记数学归纳法的基本形式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 6．在ABC 中，2CD DB =，AE ED =，则下列向量与BE 相等是（ ）A ．5163AB AC - B ．5163AB AC -+ C ．2136AB AC -D ．2136AB AC -+【答案】D【解析】根据向量的线性运算将BE 用AB ，AC 表示即可. 【详解】因为AE ED =，所以E 为AD 的中点， 所以111()()223BA B BE D BA BC =+=+11[()]23AB AC AB =-+- 14121()23336AB AC AB AC =-+=-+ 故选：D 【点睛】本题主要考查向量的线性运算及平面向量基本定理，属于基础题. 7．已知()0,2a ∈，随机变量ξ的分布列如下：ξa2P23a- 13 3a则()D ξ的最大值为（ ） A ．2 B ．1C ．23D ．13【答案】C【解析】根据分布列求出期望，再得方差，根据二次函数性质可得最大值． 【详解】由已知12()33a E a a ξ=+=， ∴22221()(0)()(2)333a aD a a a a ξ-=⨯-+⨯-+⨯-22222(2)(1)333a a a =--=--+，∴1a =时，max 2()3D ξ=．故选：C ． 【点睛】本题考查简单随机变量的分布列，均值与方差，掌握方差计算方法是解题关键． 8．某高一学生将来准备报考医学专业.该同学已有两所心仪大学A ，B ，其中A 大学报考医学专业时要求同时．．选考物理和．化学，B 大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门.若该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有（ ） A ．21种 B ．23种 C ．25种 D ．27种【答案】C【解析】报考A 大学的选择方案有15C 种，报考B 大学的选择方案有252C 种，最后利用分步计数原理计算即可得解. 【详解】A 大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，故报考A 大学的选择方案有15C 种；B 大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门，故报考B 大学的选择方案有252C 种；该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有1255225C C +=种.故选：C . 【点睛】本题考查排列组合的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.9．已知数列{}n a 中，1a a =，212n n a a +=-，当3n ≥时，n a 为定值，则实数a 的不同的值有（ ） A ．5个 B ．5个 C ．6个 D ．7个【答案】D【解析】由题可得，2332a a -=，求出3a ，再由递推关系212n n a a +=-去求出21,a a 即可. 【详解】由题可知，若要满足3n ≥时，n a 恒为定值，则只需满足2332a a -=，故31a =-或32a =.当31a =-时，解得21a =±，从而解得：11a =±，或1a =； 当32a =时，解得22a =±，从而解得：12a =±，或10a =； 故1a 的不同取值有7个. 故选：D 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的计算，考查了学生的运算求解能力. 10．设a ，b ∈R ，且0b ≠，函数()f x x a bx =--.若函数()()y f f x =有且仅有两个零点，则（ ） A ．0a <，01b << B ．0a <，10b -<< C ．0a >，01b << D ．0a >，10b -<<【答案】B【解析】令()t f x =，则()0f t =.即t a bt -=时，方程x a bx t -=+有且仅有两个根.分别画y t a =-，y bt =的图像和y x a =-，1y bx t =+（2y bx t =+）的图像，观察得到. 【详解】 由题意知：方程()()0ff x =有且仅有两个根.令()t f x =，则()0f t =.即t a bt-=时，方程x a bx t -=+有且仅有两个根. 令()g t t a =- ，()h t bt = ，①当ab>⎧⎨>⎩时，由图可知，方程有1个或4个根；②当ab>⎧⎨<⎩时，由图可知，方程有0个或1个根；③当ab<⎧⎨>⎩时，由图可知，方程有0个或1个根；④当ab<⎧⎨<⎩时，由图可知，要使方程有2个根，必须满足10b-<<.直线y bt =与直线y t a =-+的交点横坐标11at b =+， 直线y bt =和直线y t a =-的交点横坐标21at b -=-，直线y bx t =+经过点(),0a 时，t ab =-，由题可知：11a a ab b b -<-<+-，即1b -<<.综上所述：01a b <⎧⎪⎨-<<⎪⎩时，函数()()y f f x =有两个零点.故选B.【点睛】此题的关键是分别以t 和x 作为自变量，作出y t a =-，y bt =和y x a =-，1y bx t =+（2y bx t =+）的图像，先确定1t ，2t 的值，再确定1y bx t =+（2y bx t =+）的图像，从图像观察得出结论，注意复合函数自变量的转化.二、双空题 11．已知复数21i z =+（其中i 为虚数单位），则z =______；z =______. 【答案】1i +【解析】由复数除法计算出z ，可得其共轭复数，再由模的计算公式计算模． 【详解】 由已知22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-，∴1z i =+，z == 故答案为：1i -． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数和模的概念，属于基础题．12．从1，2，3，4，5这五个数字中任取4个数组成无重复数字的四位数，则这样的四位数共有______个；其中奇数有______个. 【答案】120 72【解析】(1)直接利用排列数公式求解即可；(2)先确定个位数的种数，再确定千位、百位、十位的种数，然后根据分步计数原理直接求解即可. 【详解】(1)从1，2，3，4，5这五个数字中任取4个数组成无重复数字的四位数，共有45120A =种；(2)第一步，先从1， 3， 5三个数中选一个放在个位有13C 种方法； 第二步，再从剩余的4个数中选3个放在千位、百位、十位有34A 种方法；根据分步计数原理，可得133472C A =个.故答案为: 120；72 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，属于基础题.13．设()5234501234521x a a x a x a x a x a x -=+++++，则2a =______；12345a a a a a ++++=______.【答案】40- 2【解析】令()()521f x x =-，利用二项展开式通项可求得2a 的值，利用赋值法可得出()()1234510a a a a a f f ++++=-，即可得解.【详解】二项展开式通项为()()()5551552121rr rrr r r r T C x C x ---+=⋅⋅-=⋅⋅-⋅，令52r，可得3r =，则()332252140a C =⋅⋅-=-.令()()521f x x =-，则()()()()12345012345010112a a a a a a a a a a a a f f ++++=+++++-=-=--=.故答案为：40-；2. 【点睛】本题考查利用二项展开式求指定项的系数，同时也考查了利用赋值法求项的系数和，考查计算能力，属于中等题.14．袋子里有7个大小相同的小球，其中2个红球，5个白球，从中随机取出2个小球，则取出的都是红球的概率为______；若ξ表示取出的红球的个数，则()E ξ=______.【答案】121 47【解析】(1)求出随机取出2个小球的取法种数和2个小球是红球的种数，根据古典概型计算公式求解即可；(2)确定ξ的所有可能取值，再求出相应的概率，根据均值公式求解即可. 【详解】(1) 随机取出2个小球有2721C =种取法，取出的2个小球都是红球有1种取法，故取出的都是红球的概率121P =； (2)ξ的所有可能取值为0，1，2，252710(0)21C P C ξ===；11522710)121(C C P C ξ===；2711(2)21P ξC ===，所以ξ的分布列为所以1010140122121217()E ξ=⨯+⨯+⨯=. 故答案为：121；47【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算，随机变量的均值的求解，属于基础题.三、填空题15．已知ABC 中，π2C =，M 是BC 的中点，且π3AMC ∠=，则sin MAB ∠=______. 【答案】14【解析】作出图形，设CM x =，用x 表示AC 、AM 、MB ，在AMB 中利用正弦定理即可求得sin MAB ∠. 【详解】如图所示，已知π2C =，M 是BC 的中点，且π3AMC ∠=，设CM x =，则3AC x =，2AM x =，MB x =， 在AMB 中，23AMB π∠=，227AB AC AB x +，MB x =， 7sin sin 3x xMAB =∠，解得sin MAB ∠=21. 故答案为：2114【点睛】本题考查正弦定理解三角形、勾股定理，属于基础题.16．已知向量1a =，向量b 满足4a b a b -++=，则b 的最小值为______. 3【解析】根据平行四边形性质可得()22222a b a b a b ++-=+，再结合基本不等式即可求出b 的最小值. 【详解】由平行四边形性质可得：()22222a b a b a b++-=+，由基本不等式可得：()2222a b a b a b a b++-++-≥，当且仅当a b a b +=-时等号成立， 所以()()22222a b a b a b++-+≥，即()224212b+≥， 所以3b ≥，所以b 的最小值为33【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及基本不等式的应用，属于中档题.17．若不等式224ln x x ax b x -≤++≤对任意的[]1,x e ∈恒成立，则实数b 的最大值为______. 【答案】2【解析】由224ln x x ax b x -≤++≤得：2224ln x x ax b x x -+-≤+≤-， 设2()2f x x x =-+-，2()4ln g x x x =-，()h x ax b =+ ， 则()()()f x h x g x ≤≤ 在[]1,x e ∈上恒成立，且b 为()h x 的纵截距，利用()f x ，()g x ，()h x 的图像得到当()h x ax b =+过点A ，且与2()2f x x x =-+-相切时，b 有最大值，进而得到答案. 【详解】由224ln x x ax b x -≤++≤得：2224ln x x ax b x x -+-≤+≤-， 设2()2f x x x =-+-，2()4ln g x x x =-，()h x ax b =+ ， 则()()()f x h x g x ≤≤ 在[]1,x e ∈上恒成立，且b 为()h x 的纵截距，易知，2()2f x x x =-+-在[]1,e 上单调递减，且(1)2f =- ，2()2f e e e =-+-，242(2)()2x g x x x x--'=-=，当()0g x '<时，x <或x >故()g x 在⎡⎣ 上单调递增，在e ⎤⎦上单调递减，且max ()2(ln 21)g x g ==- ，(1)1g =- ，2()4g e e =- ，如图，当()h x ax b =+过点A ，且与2()2f x x x =-+-相切时，b 有最大值， 设切点00(,)B x y ，则有002000(1)1()212h a b k a f x x x x ax b=+=-⎧⎪===-+⎨⎪-+-=+⎩' 解得：0232x a b =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故b 的最大值为2， 故答案为：2. 【点睛】此题因含有2个参数，采用分离参数法的话要很繁杂的参数讨论，会给做题增加很大难度，这个时候我们如果把不等式进行一定的变形，使含参数的部分变成一次函数，因为它的图像是一条直线，会比较容易找到需要的位置，使解题过程变的简单.四、解答题18．已知函数()2πsin 24cos 6f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（x ∈R ）.（1）求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.【答案】（1）72；（2）最小正周期为π；单调增区间为：5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【解析】（1）根据两角差的正弦公式、余弦的二倍角公式和辅助角公式将式子化简为π()223f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后代值计算即可；（2）由2πT ω=计算最小正周期，令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，k Z ∈，解不等式即可得出函数的单调增区间. 【详解】（1）()11cos 23sin 2cos 242cos 2222222x f x x x x x +=-+⋅=++ π223x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴π27π2632f ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）2ππ2T ==， 令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，k Z ∈，∴5ππππ1212k x k -+≤≤+，k Z ∈，∴()f x 的单调增区间为：5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，考查正弦型函数的性质，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.19．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，且1AB =，2PA AD DC ===，E 是PD 的中点.（1）求证：//AE 平面PBC ；（2）求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）217. 【解析】（1）取PC 中点F ，连结EF ，BF ，证明AEFB 是平行四边形，从而有线线平行得线面平行；（2）取CD 中点M ，连AM ，MP ，易知AM CD ⊥，证得CD ⊥平面PAM 后得面PCD ⊥面PAM ，过A 作AH PM ⊥，证明ADH ∠即为直线AD 与平面PCD 所成角，然后解得这个角的正弦即可． 【详解】解：（1）取PC 中点F ，连结EF ，BF .∵E 是PD 的中点，∴//EF CD 且12EF CD =，∵//AB CD 且2CD AB =，∴//AB EF 且AB EF =， ∴四边形ABFE 为平行四边形，∴//AE BF ，∵BF ⊂平面PBC ，AC ⊄平面PBC ，∴//AE 平面PBC .（2）取CD 中点M ，连AM ，MP ，ABCM 是平行四边形也是矩形，∴AM CD ⊥， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥，∴CD ⊥平面PAM ，∵CD ⊂面PCD ，∴面PCD ⊥面PAM ，过A 作AH PM ⊥，连HD ，∴AH ⊥面PCD ，∴ADH ∠即为直线AD 与平面PCD 所成角， ∵2PA AD ==，∴AM =MP =， 在PAM △中，由等面积法知：7AH ==，∴sin 7AH ADH AD ∠==. 【点睛】本题考查证明线面平行，求直线与平面所成的角，证明线面平行的根据是线面平行的判定定理，求直线与平面所成的角关键是作出直线与平面所成的角，为此需要找平面的垂线，这可从线线垂直、线面垂直、面面垂直间的关系去寻找确定． 20．已知等差数列{}n a 中，11a =，且22a +，3a ，54a -成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足31212321n n nb b b b a a a a +++⋅⋅⋅+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)21n a n =-；(2)()2323nn T n =-⋅+.【解析】(1)设等差数列的公差为d ，由22a +，3a ，54a -成等比数列可得关于d 的方程，解出d 后由等差数列的通项公式即可求得n a ； (2)根据条件可得2n ≥时，11222n n n nnb a --=-=，再由(1)可求得n b ，再验证1n =的情形，即可求得()1212n n b n -=-⋅，利用错位相减法即可求出n T .【详解】(1)因为22a +，3a ，54a -成等比数列，所以()()225324a a a +-=，所以()()()21112442a d a d a d +++-=+，因为11a =，所以()()()234321d d d +-=+，解得2d =， 所以21n a n =-.(2)①当2n ≥时，31212321n n nb b b b a a a a +++⋅⋅⋅+=-，所以13112123121n n n b b b b a a a a ---+++⋅⋅⋅+=-， 两式相减得11222n n n nnb a --=-=， ②当1n =时，111211b a =-=满足上式，所以()121n n nb n a -=≥， 由(1)可知，21n a n =-，所以()1212n n b n -=-⋅，所以()0121123252212n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，①()1232123252212n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，②由①-②得，()()12112222212n nn T n --=+⨯++⋅⋅⋅+--⋅()()12121221212n n n --=+⨯--⋅-()3223n n =-⋅-，所以()2323nn T n =-⋅+.【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列，数列通项的求法及错位相减法求和，属于中档题. 21．如图，已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，设点()()22,1A t t t >为抛物线上一点，过点A 作抛物线C 的切线交其准线于点E .（1）求点E 的坐标（用t 表示）；（2）直线AF 交抛物线C 于点B （异于点A ），直线EF 交抛物线C 于M ，N 两点（点N 在E ，F 之间），连结AM ，BN ，记FAM △，FBN 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值.【答案】（1）1,1 E tt⎛⎫--⎪⎝⎭；（2）17122+.【解析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，得切线方程后可得E点坐标；（2）写出直线AF方程与抛物线方程联立求得B点坐标，同样写出EF方程与抛物线方程联立解得,M N坐标，计算12SS为t的函数，可令1m t=-换元后应用基本不等式得最小值．【详解】解：（1）由214y x=求导，12y x'=，∴2x ty t='=.∴点()22,A t t处的切线方程为：2y tx t=-，准线方程：1y=-，代入切线方程得1x tt=-，∴点1,1E tt⎛⎫--⎪⎝⎭.（2）∵()0,1F，()22,A t t，∴AFl：2112ty xt-=+，联立221124ty xtx y⎧-=+⎪⎨⎪=⎩，得()222140tx xt---=，∴221,Bt t⎛⎫-⎪⎝⎭，易知EFl：2211ty xt=-+-，联立222114ty xtx y⎧=-+⎪-⎨⎪=⎩，得228401tx xt+-=-，即()()212111t tx xt t+-⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭，∴()211Mtxt+=--，()211Ntxt-=+，由上知1AF EFk k⋅=-，即AF EF⊥，∴2212112112A MB NAF MF x xS ttS x x tBF NF⋅+⎛⎫==⋅=⋅ ⎪-⎝⎭⋅，设()10t m m-=>，则()2222121233171S t t m S t m +⎛⎫⎛⎫=⋅=++≥=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭当且仅当m =，即1t =时，12S S取到最小值17+【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，考查导数的几何意义，本题中采取解析几何的最基本方程，求出直线方程，与抛物线方程联立方程组解得交点坐标．最后再计算面积比，求最值．22．已知函数()1x e f x x=-，()()()221g x ax a e x a =-++--∈R .（2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数.） （1）求()f x 的值域；（2）设()()()h x xf x g x =+，若()h x 在区间()0,1有零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()[),11,e -∞--+∞；（2）21e a -<<. 【解析】（1）求出导函数()'f x ，确定函数的单调性，同时注意0x <时函数值的变化趋势，从而可得函数值域；（2）求导函数()h x '，为了确定其正负，设()()k x h x '=，再求导()k x '，观察()k x '得需对a 分类：21a ≤，2a e ≥，12a e <<，通过得出()h x 的单调性，结合函数图象得出()h x 在(0,1)存在零点的条件． 【详解】 解：（1）()()21x x e f x x-'=，当()0f x '>时，1x >；当()0f x '<时，1x <且0x ≠，∴()f x 在区间(),0-∞，()0,1单调递减，()1,+∞单调递增.0x <时，0xe x<，()11x e f x x =-<-，又∵()11f e =-，由图可知()f x 的值域为()[),11,e -∞--+∞.（2）()()211xh x e ax a e x =-++--，()()21xh x e ax a e '=-++-，令()()2(1)x k x h x e ax a e '==-++-，则()2xk x e a '=-， ∵()0,1x ∈，∴()1,xe e ∈.①当21a ≤，即12a ≤时，()0k x '>，∴()k x 即()h x '在()0,1单调递增， 又∵()020h a e '=+-<，()110h a '=->，∴存在()10,1x ∈，使得()10h x '=， ∴()h x 在区间()10,x 单调递减，()1,1x 单调递增.又∵()00h =，()10h =，∴当()0,1x ∈时，()0h x <.故()h x 在区间()0,1内无零点. ②当2a e ≥，即2ea ≥时，()0k x '<，∴()k x 即()h x '在()0,1单调递减， 又∵()020h a e '=+->，()110h a '=-<，∴存在()20,1x ∈，使得()20h x '=， ∴()h x 在区间()20,x 单调递增，()2,1x 单调递减.又∵()00h =，()10h =，∴当()0,1x ∈时，()0h x >.故()h x 在区间()0,1内无零点.③当12a e <<，即122e a <<时，令()0k x '>，解得ln 2x a >，令()0k x '<，解得ln 2x a <，∴()k x 即()h x '在区间()0,ln 2a 单调递减，()ln 2,1a 单调递增，∴()()min ln 232ln 21h x h a a a a e ''==-+-，令()32ln 21t a a a a e =-+-，1,22e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()12ln 2t a a '=-， 当()0t a '>时，解得e a <；当()0t a '<时，解得e a >； ∴()t x 在区间1,22e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，,22e e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减.∴()max 102e t x t e e ⎛⎫==+-< ⎪ ⎪⎝⎭，∴()()min ln 20h x h a ''=<.由图可知，只有满足()()020110h a e h a ⎧=+->⎪⎨=->''⎪⎩，即21e a -<<时，()h x 在()0,1有零点. 综上所述，21e a -<<.【点睛】本题考查用导数求函数值域，用导数研究函数零点问题，解题关键是分类讨论确定函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力，转化与化归思想，分类讨论思想，难度大，要求高，本题属于困难题．解题中要注意我们用导函数的正负确定函数的单调性，而有时导函数的正负（导函数的零点）不明显，又需要对导函数或其中一部分（此时可引入新函数）求导，确定这部分函数的单调性，零点存在性，零点存在时的范围等性质．。

2020年嘉兴市数学高二第二学期期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-2．已知点O 是ABC ∆的外接圆圆心, 3,4AB AC ==.若存在非零实数,x y 使得AO x AB y AC =+u u u v u u u v u u u v且21x y +=,则cos BAC ∠的值为 （ ）A ．13B ．23C ．33D ．23 3．正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF =u u u v（ ）A ．1123AB AD -u u uv u u u vB ．1142AB AD +u u uv u u u vC ．1132AB DA +u u uv u u u vD ．1223AB AD -u u uv u u u v .4．已知集合{}|1A x x =>，{}|2B x x =<，则集合A B =U （ ） A ．∅B ．RC ．{|12}x x <<D ．{|12}x x ≤≤5．在平面四边形ABCD ，(1,3)AC =u u u r ，(9,3)BD =-u u u v，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．710B ．272C ．15D ．9106．设正项等差数列的前n 项和为，若，则的最小值为A ．1B ．C ．D ．7．已知各棱长均相等的正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角的大小分别为αβγ，，，则（ ）A ．αβγ==B ．αβγ<<C ．αβγ>>D ．前三个答案都不对8．()()511x x -+展开式中2x 项的系数是 A ．4 B ．5 C ．8D ．129．若函数()()212log 35f x x ax =-+ 在区间()1,-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()8,-+∞ B ．[)6-+∞, C ．(],6-∞-D ．[]8,6--10．给出下列四个说法： ①命题“0x ∀>，都有12x x +≥”的否定是“00x ∃≤，使得12x x+<”；②已知a 、0b >>a b >”的逆否命题是真命题；③1x >是21x >的必要不充分条件；④若0x x =为函数()22ln xf x x x x e -=++-的零点，则002ln 0x x +=.其中正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．311．已知函数()f x 的定义域为R ，'()f x 为()f x 的导函数，且'()()2x f x f x xe -+=，若(0)1f =，则函数'()()f x f x 的取值范围为（ ） A ．[1,0]-B ．[2,0]-C ．[0,1]D ．[0,2]12．己知函数()2sin 20191xf x x =++，其中()'f x 为函数()f x 的导数，求()()()()20182018'2019'2019f f f f +-+--=（）A ．2B ．2019C ．2018D ．0二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知全集{1,2,3,4}U =，集合{}1,2A＝ ，{}2,3B ＝，则()U A B =U ð_______． 14．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为112V =⨯（底面圆的周长的平方⨯高），则由此可推得圆周率π的取值为________.15．直三棱柱ABC -A B C '''中，90ABC ︒∠=，4AB =，2BC =，BB '=，则异面直线AC '与B C'所成角的余弦值为________.16．设非空集合A 为实数集的子集，若A 满足下列两个条件： （1）0A ∈，1A ∈；（2）对任意,x y A ∈，都有x y A +∈，x y A -∈，xy A ∈，()0xA y y∈≠ 则称A 为一个数域，那么命题：①有理数集Q 是一个数域；②若A 为一个数域，则Q A ⊆；③若A ，B 都是数域，那么A B I 也是一个数域；④若A ，B 都是数域，那么A B U 也是一个数域. 其中真命题的序号为__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，90CAD ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，2AB =，F 是BC 的中点.（1）求证：AD ⊥平面PAC ；（2）求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(),a b 在直线()sin sin sin sin x A B y B c C -+=上．（1）求角C 的值；（2）若()22618a b a b +=+-，求ABC ∆的面积．19．（6分）已知圆C ：22230x y mx +--=(R)m ∈． （Ⅰ）若1m =，求圆C 的圆心坐标及半径；（Ⅱ）若直线:0l x y -=与圆C 交于A ，B 两点，且AB 4=，求实数m 的值． 20．（6分）已知函数()3f x m x =--，不等式()2f x >的解集为{|24}x x <<. （I ）求实数m 的值；（II ）若关于x 的不等式()x a f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.21．（6分）已知函数221()ln ()2f x ax x x a a x =+-+． （1）若1a =-，证明：()0f x >；（2）若()f x 只有一个极值点，求a 的取值范围．22．（8分）如图, 平面PAC ⊥平面,,ABC AC BC PAC ⊥∆为等边三角形,PE BC P , 过BC 作平面交,AP AE 分别于点,N M ,设AM ANAE APλ==.（1）求证：MN P 平面ABC ；（2）求λ的值, 使得平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角的大小为45o .参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f(x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 2．D 【解析】 【分析】根据AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r且21x y +=判断出,O B 与线段AC 中点三点共线，由此判断出三角形ABC 的形状，进而求得cos BAC ∠的值. 【详解】由于22AC AO xAB y AC xAB y =+=+u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，由于21x y +=，所以,O B 与线段AC 中点三点共线，根据圆的几何性质可知直线OB 垂直平分AC ，于是ABC ∆是以AC 为底边的等腰三角形，于是22cos 3ACBAC AB ∠==，故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量中三点共线的向量表示，考查圆的几何性质、等腰三角形的几何性质，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】用向量的加法和数乘法则运算。

2．已知复数 1 ia i 为纯虚数（ i 为虚数单位），则实数 a 的值为（ ）
A． 1
B．0
C．1
D．2
3．已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x ln x 1，则 f 1 （ ）
A． ln 2
B． 1
C．0
D．1
4．已知物体位移 S （单位：米）和时间 t （单位：秒）满足： S t3 2t 1，则该物体在 t 1时刻的瞬时
2
3
16．已知同 a 1 ，向量 b 满足 a b a b 4 ，则 x b 4 ln x 对任意的 x 1, e 恒成立，则实数 b 的最大值为______．
三、解答题
18．已知函数
f
x
sin
2x
π 6
求同．时．选考物理和．化学， B 大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门．若该同学将来想报考这两所
大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有（ ）
A．21 种
B．23 种
C．25 种
D．27 种
9．已知数列 an 中， a1 a ， an1 an2 2 ，当 n 3 时， an 为定值，则实数 a 的不同的值有（ ）
Pn k Ckn pk 1 p nk k 0,1, 2,, n ．
台体的体积公式V
1 3
S1
S1S2 S2 h ，其中 S1 ， S2 分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高．
体的体积公式V Sh ，其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高．
锥体的体积公式V 1 Sh ，其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高． 3
球的表面积公式 S 4πR2 ．

嘉兴市名校2019-2020学年数学高二下期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．对任意非零实数,a b ，若a ※b 的运算原理如图所示，则 2(log22)※2318-⎛⎫ ⎪⎝⎭=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知,a b ∈R ，则“a b >”是“()20a a b ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知100CD =米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于()A ．100米B ．3C ．)5031米D ．5024．已知椭圆22124x y +=，则以点()1,1M 为中点的弦所在直线方程为（ ）A ．230x y +-=B ．4590x y -+=C ．5490x y -+=D ．230x y --=5．双曲线221259x y -=和221(925)259x y k k k -=-<<-+有（）A ．相同焦点B ．相同渐近线C ．相同顶点D ．相等的离心率6．在长为cm 12的线段AB 上任取一点C 现作一矩形,领边长分别等于线段CB AC ,的长,则该矩形面积小于232cm 的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．7．同时具有性质“①最小正周期是π”②图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数的一个函数可以是（ ） A ．4sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8．设a ，b ，c 都为正数，那么，用反证法证明“三个数1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2”时，做出与命题结论相矛盾的假设是（ ） A ．这三个数都不大于2 B ．这三个数都不小于2 C ．这三个数至少有一个不大于2D ．这三个数都小于29．函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只要将()cos2g x x =的图象（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度10．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''，D ．()0()0f x g x ''<<，11．函数2xy -=的定义域为（ ） A ．(],2-∞B ．11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,,222⎛⎫⎛⎤-∞-- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦D ．(],1-∞12．已知函数2(),(0,)x e f x ax x x=-∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．2 ,12e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知线段AB 长为3，A 、B 两点到平面α的距离分别为1与2，则AB 所在直线与平面α所成角的大小为________.14．已知i 是虚数单位,若(1)=2z i i -,则||=z ________15．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点B 与椭圆的两个焦点1F 、2F 组成的三角形的周长为4+1223F BF π∠=，则椭圆的方程为________. 16．设ABC ∆的三边长分别为a b c 、、，ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则2=++Sr a b c；类比这个结论可知：四面体S ABC -的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，内切球的半径为r ，四面体S ABC -的体积为V ，则r =__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2sin b a C c A ==．求证：ABC ∆为等腰直角三角形18．已知函数()1f x x a x =++-. （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）若()20f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.19．（6分）已知m R ∈，p ：m 128<<；q ：不等式240x mx -+≥对任意实数x 恒成立. （1）若q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）如果“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围.20．（6分）为了研究广大市民对共享单车的使用情况,某公司在我市随机抽取了111名用户进行调查，得到如下数据：合计 11 8 7 11 14 51认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑共享单车”. (1)分别估算男、女“喜欢骑共享单车”的概率；(2)请完成下面的2×2列联表,并判断能否有95%把握,认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关. 不喜欢骑共享单车 喜欢骑共享单车 合计 男 女 合计附表及公式：，其中.1.15 1．11 1.15 1.125 1.111 1.115 1.1112.172 2.7163.841 5.124 6.635 7.879 11.82821．（6分）已知2()(3)2ln f x a x x =-+，α∈R ，曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线平分圆C ：22(3)(2)2x y -+-=的周长.（1）求a 的值；（2）讨论函数()y f x =的图象与直线()y m m R =∈的交点个数.22．（8分）某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[]50,100，按照区间[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀.完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；(2)从乙班[)70,80，[)80,90，[]90,100分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[)80,90发言的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】 【详解】分析：由程序框图可知，该程序的作用是计算分段函数11b a b ay a a b b-⎧≤⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩，，函数值，由分段函数的解析式计算即可得结论. 详解：由程序框图可知，该程序的作用是计算a ※b 11b a b aa ab b-⎧≤⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩，，函数值，(2log22※23138-⎛⎫= ⎪⎝⎭※4因为4134,13a b y -=<=∴==，故选A. 点睛：算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可. 2．B 【解析】【分析】首先判断充分性可代特殊值，然后再判断必要性. 【详解】当a b >时，令0,0a b =<，此时()20a a b -=，所以不是充分条件；反过来，当()20aa b ->时，可得20a >，且0a b ->，即a b >，所以是必要条件，a b ∴>是()20a a b ->的必要不充分条件，故选B. 【点睛】本题考查必要不充分条件，根据必要不充分条件的判断方法判断即可. 3．C 【解析】 【分析】设AB h =，ABC ∆，ABD ∆中，分别表示,BC BD ，最后表示tan ADB ∠求解长度. 【详解】设AB h =，ABC ∆中，45ACB ∠=，BC h =，ADB ∆中，tan 1003h ADB h ∠==+，解得：)501h =米.故选C. 【点睛】本题考查了解三角形中有关长度的计算，属于基础题型. 4．A 【解析】 【分析】利用点差法求出直线AB 的斜率，再利用点斜式即可求出直线方程． 【详解】解：设以点()1,1M 为中点的弦与椭圆22124x y += 交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则122x x +=，122y y +=，分别把点A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22112222124124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：12121212()()()()024x x x x y y y y +-+-+=，∴1212()02y y x x --+=， ∴直线AB 的斜率12122y yk x x -==--，∴以点(1,1)M 为中点的弦所在直线方程为：12(1)y x -=--，即230x y +-=，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了点差法解决中点弦问题，属于中档题． 5．A 【解析】 【分析】对于已知的两条双曲线，有()()259259k k +=-++，则半焦距c 相等，且焦点都在x 轴上，由此可得出结论. 【详解】解：对于已知的两条双曲线，有()()259259k k +=-++，∴半焦距c 相等，且焦点都在x 轴上， ∴它们具有相同焦点.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的定义与性质，属于基础题. 6．C 【解析】试题分析：设AC=x ，则0＜x ＜12，若矩形面积为小于32，则x ＞8或x ＜4，从而利用几何概型概率计算考点：几何概型点评：本题主要考查了几何概型概率的意义及其计算方法，将此概率转化为长度之比是解决本题的关键，属基础题7．B 【解析】 【分析】利用所给条件逐条验证，最小正周期是π得出2ω=，把②③分别代入选项验证可得. 【详解】 把6x π=代入A 选项可得sin()0y π=-=，符合；把6x π=代入B 选项可得sin 00y ==，符合；把6x π=代入C 选项可得cos 1y π==-，不符合，排除C ；把6x π=代入D 选项可得sin12y π==，不符合，排除D ； 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4452[,]336x πππ-∈--，此时为减函数；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,]336x -∈-，此时为增函数；故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养. 8．D 【解析】分析：利用反证法和命题的否定分析解答. 详解：“三个数1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2”的否定是“这三个数都小于2”， 所以做出与命题结论相矛盾的假设是这三个数都小于2.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数a,b,c 至少有一个不小于m 的否定是三个数都小于m. 9．D 【解析】 【分析】先根据图象确定A 的值，进而根据三角函数结果的点求出求ϕ与ω的值，确定函数()f x 的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可得到结果． 【详解】由题意，函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象， 可得11,43124A T πππ==-=，即T π=，所以2ω=，再根据五点法作图，可得2122ππϕ⨯+=，求得3πϕ=，故()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，可得sin[2()]sin(2)1232y x x πππ=++=+ cos2x =的图象，则只要将()cos2g x x =的图象向右平移12π个单位长度可得()f x 的图象，故选：D ． 【点睛】本题主要考查了三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 10．B 【解析】由条件知：()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数；()g x 是偶函数，且在(0,)+∞内是增函数；所以()f x 在(,0)-∞内是增函数；()g x 在(,0)-∞内是减函数；所以0x <时，()0,()0.f x g x ''><故选B 11．B 【解析】 【分析】利用二次根式的性质和分式的分母不为零求出函数的定义域即可. 【详解】 由题意知，2202320x x x -≥⎧⎨--≠⎩，解得2x <且12x ≠-， 所以原函数的定义域为11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查函数定义域的求解；考查二次根式的性质和分式的分母不为零；考查运算求解能力；属于基础题. 12．A 【解析】 【分析】令()()g x xf x =，由()()12210f x f x x x -<可知()g x 在()0,∞+上单调递增，从而可得()230x g x e ax '=-≥在()0,∞+上恒成立；通过分离变量可得23x e a x ≤，令()()20x eh x x x=>，利用导数可求得()()2min 24e h x h ==，从而可得234e a ≤，解不等式求得结果.【详解】 由()()12210f x f x x x -<且210x x >>得：()()1122x f x x f x <令()()3xg x xf x e ax ==-，可知()g x 在()0,∞+上单调递增()230x g x e ax '∴=-≥在()0,∞+上恒成立，即：23xea x≤令()()20xe h x x x =>，则()()32x e x h x x-'= ()0,2x ∴∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；()2,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增()()2min24e h x h ∴== 234e a ∴≤，解得：2,12e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．13arcsin 或2π【解析】 【分析】根据A 、B 两点与平面α的位置分类讨论，再解三角形求线面角. 【详解】A,B 两点在平面α同侧时，如图：1,2,3,AC BD AB BOD ===∠为AB 所在直线与平面α所成角,因为11//3,sin arcsin 33AC AC BD AB AO BOD BOD AO ∴==∴∠==∴∠=A,B 两点在平面α异侧时，AB α⊥，所以AB 所在直线与平面α所成角为2π 故答案为：13arcsin 或2π 【点睛】本题考查线面角以及直线与平面位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题. 142 【解析】由()()()()2121212111i i i z i i z i z i i i +-=⇒===-+∴=--+ 215．2214x y +=或2214y x +=【解析】 【分析】先假设椭圆的焦点在x 轴上，通过直角三角形△2F OB 推出a ，c 的关系，利用周长得到第二个关系，求出a ，c 然后求出b ，求出椭圆的方程，最后考虑焦点在y 轴上的椭圆也成立，从而得到问题的答案. 【详解】设椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为2a ，焦距为2c ，如图所示， 则在△2F OB 中，由23F BO π∠=得：32c a =， 所以△21F BF 的周长为2223423a c a a +=+=+ 2a ∴=，3c =21b ∴=；故所求椭圆的标准方程为2214x y +=．当椭圆的焦点落在y 轴上，同理可得方程为：2214yx +=.故答案为：2214x y +=或2214y x +=【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，要求先定位、再定量，考查运算求解能力，求解的关键是求出a ，b 的值，易错点是没有判断焦点位置． 16．12343+++VS S S S .【解析】 【分析】根据平面和空间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合三角形面积的求法求出三棱锥的体积，进而求出内切球的半径为r . 【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都为R ，所以四棱锥的体积等于以O 为顶点，四个面为底面的四个小三棱锥的体积之和， 则四面体S ABC -的体积为()12341234133VV S S S S r r S S S S =+++⇒=+++. 【点睛】本题考查了类比推理.类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知一类的数学对象的性质迁移到另一个数学对象上去.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．见解析 【解析】 【分析】根据正弦定理，可得4C π，然后利用余弦定理可得A C =，最后可得结果.【详解】证法一：由正弦定理及2cos 2sin a C c A =， 得sin cos sin sin A C C A =sin 0A ≠，cos sin C C ∴=，cos 0C ≠，tan 1C ∴=(0,)C π∈，4C π∴=又2cos b a C =， b ∴=由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得222)2cos 4c a a π=+-，即22,c a a c ==4A C π∴==，ABC ∆∴为等腰直角三角形．证法二：由正弦定理及2cos 2sin a C c A =， 得sin cos sin sin A C C A =sin 0A ≠，cos sin C C ∴=，cos 0C ≠， tan 1C ∴=(0,)C π∈，4C π∴=，由正弦定理及2cos b a C =， 得sin 2sin cos B A C =，()B A C ，sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+， sin()2sin cos A C A C ∴+=，sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C ∴+=， cos sin sin cos A C A C ∴=，sin()0A C ∴-=， (,)A C ππ-∈-，4A C π∴==，ABC ∆∴为等腰直角三角形．【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理的判断三角形的形状，关键在于边角之间的转化，属基础题.18．（1）{}|22x x -<<（2）13a ora ≥≤- 【解析】分析：（1）当1a =时()11f x x x =++-，分类讨论可求解不等式()4f x <；（2）若()20f x -≥恒成立，即()2f x ≥恒成立，利用绝对值三角不等式可求()f x 的最小值为1a +，即12a +≥，由此可求实数a 的取值范围 详解：（1）()11f x x x =++-当1x ≤-时，由()24f x x =-<得2x >-，则21x -<≤-； 当11x -<≤时，()24f x =<恒成立；当1x >时，由()24f x x =<得2x <，则12x <<. 综上，不等式()4f x <的解集为{|22}x x -<<（2）由绝对值不等式得()11f x x a x a =++-≥+，当且仅当()()10x a x +-≤时取等号，故()f x 的最小值为1a +.由题意得12a +≥，解得13a ora ≥≤-点睛：本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，熟练掌握绝对值的几何意义及性质定理是解答本题的关键．19．（1）[4,4]-（2）[4,0][3,4]-⋃ 【解析】 【分析】（1）解不等式2160m ∆=-即得解；（2）由“p q ∨”为真，且“p q ∧”为假知p ，q 一真假，再分两种情况分析讨论得解. 【详解】（1）由“不等式240x mx -+≥对任意实数x 恒成立”为真得2160m ∆=-，解得44m -≤≤，故实数m 的取值范围为[4,4]-.（2）由“m 128<<”为真得m 的取值范围为03m <<， 由“p q ∨”为真，且“p q ∧”为假知p ，q 一真假，当p 真q 假时，有0344m m m <<⎧⎨-⎩或，此时m 无解；当p假q真时，有0344m mm≤≥⎧⎨-≤≤⎩或，解得40m-≤≤或34m≤≤；综上所述，m的取值范围为[4,0][3,4]-⋃.【点睛】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查复合命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．（1）男用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为，女用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为（2）填表见解析，没有95%的把握认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关【解析】【分析】(1)利用古典概型的概率估算男、女“喜欢骑共享单车”的概率；（2）先完成列联表，再利用独立性检验判断能否有95%把握,认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关.【详解】解:(1)由调查数据可知,男用户中“喜欢骑共享单车”的比率为，因此男用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为.女用户中“喜欢骑共享单车”的比率为，因此女用户中“喜欢骑共享单车”的概率的估计值为.（2）由图中表格可得列联表如下：不喜欢骑共享单车喜欢骑共享单车合计男11 45 55 女15 31 45 合计25 75 111 将列联表代入公式计算得：所以没有95%的把握认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关. 【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 21．（1）12a =；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）求得曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线，根据题意可知圆C 的圆心在此切线上，可得a 的值. （2）根据()0f x '=得出()f x 极值，结合单调区间和函数图像，分类讨论m 的值和交点个数。

2019-2020学年浙江省嘉兴市数学高二第二学期期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则PM PF+的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．4D ．232．若()()221f x xf x '=+，则()0f '等于（ ） A ．2B ．0C ．-2D ．-43．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前55个圈中的●个数是（ ） A ．10B ．9C ．8D ．114．将函数()3sin 2cos2f x x x =-的图象向左平移6π个单位，所得图象其中一条对称轴方程为（ ） A ．0x =B ．6x π=C ．4x π=D ．2x π=5．已知函数()2ln xz e f x k x kx x=+-，若2x =是函数f x （）的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞ 6．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且满足()()0f x xf x '+>（()f x '是()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x --<+的解集为（ ）A ．(),2-∞B ．()1,+∞C ．()1,2-D ．()1,27．在一组样本数据为11(,)x y ，22(,)x y ，L ，(,)n n x y （2n ≥，1x ，2x ，3x ，L ，n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点()(,1,2,,)i i x y i n =L 都在直线123y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为（ ） A ．13-B ．13C ．1D ．-18．已知是虚数单位，若，则的共轭复数等于（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E ，F 分别是AB ，CD 的中点,将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折，给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC ； ④平面DCF⊥平面BFC.则在翻折过程中，可能成立的结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．奇函数()f x 的定义域为R .若(3)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(6)(11)f f +=( ) A ．2-B ．1-C ．0D ．111．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>上的四点A ，B ，C ，D 满足AC AB AD u u u r u u u r u u u r =+，若直线AD 的斜率与直线AB 的斜率之积为2，则双曲线C 的离心率为( ) A ．3B ．2C ．5D ．2212．曲线3 2y x x =-+在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ） A ．21y x =+B ．21y x =-C ．2y x =-+D ．2y x =--二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知,x y R ∈，且2x y +>，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_______． 14．在空间直角坐标系中，已知点M （1，0，1），N （-1，1，2），则线段MN 的长度为____________ 15．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .16．若5(2)a x x+的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含3x 的项为__________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()|21||1|f x x x =-++． (1)解不等式()3f x …；(2)记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t++…．18．我们称点P 到图形C 上任意一点距离的最小值为点P 到图形C 的距离，记作()d P C ，（1）求点()30P ，到抛物线2:4C y x =的距离()d P C ，； （2）设l 是长为2的线段，求点集(){}1D P d P l =≤，所表示图形的面积；（3）试探究：平面内，动点P 到定圆22:1C x y +=的距离与到定点()()00A a a ≥，的距离相等的点的轨迹．19．（6分）已知函数()ln f x x x =（I ）求()f x 在x e =（e 为自然对数的底数）处的切线方程. （II ）求()f x 的最小值.20．（6分）某中学将444名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班54人．陈老师采用A ，B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如下图）．记成绩不低于94分者为“成绩优秀”．根据频率分布直方图填写下面4×4列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过4．45的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关． 甲班（A 方式） 乙班（B 方式） 总计 成绩优秀成绩不优秀 总计附：K 4＝．P （K 4≥k ） 4．45 4．45 4．44 4．45 4．445 k4．4444．4744．7464．8445．44421．（6分）ABC ∆三个内角A,B,C 对应的三条边长分别是,,a b c ，且满足sin cos c A C =．（1）求角C 的大小；（2）若2b =，c =a ．22．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23,34x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=-.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||AB .参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】作PN 垂直准线于点N ，根据抛物线的定义，得到+=+PM PF PM PN ，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小，进而可得出结果.【详解】如图，作PN 垂直准线于点N ，由题意可得+=+≥PM PF PM PN MN ， 显然，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小； 因为(1,2)M ，(0,1)F ，准线1y =-，所以当,,P M N 三点共线时，(1,1)-N ，所以3MN =. 故选A【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型. 2．D 【解析】 【分析】先求导，算出()1f '，然后即可求出()0f ' 【详解】因为()()221f x xf x '=+，所以()()212f x f x ''=+所以()()1212f f ''=+，得()12f '=- 所以()42f x x '=-+，所以()04f '=- 故选：D 【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单. 3．B 【解析】将圆分组：第一组：○●，有2 个圆；第二组：○○●，有3 个圆；第三组：○○○●，有4 个，…，每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n 组圆的总个数为()21234 (12)n n S n n ++=+++++=⨯，令55n S =，解得9.6n ≈，即包含9整组，故含有●的个数是9个, 故选B.【方法点睛】本题考查等差数列的求和公式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.试题分析：()12cos 22sin 2cos 22sin 226f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 向左平移6π个单位后所得函数解析式为()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()g x 对称轴方程为()262x k k Z πππ+=+∈，所以()62k x k Z ππ=+∈，当0k =时，6x π=． 考点：三角函数图象及性质． 5．A 【解析】 【分析】由f x （）的导函数形式可以看出，需要对k 进行分类讨论来确定导函数为0时的根．【详解】解：∵函数f x （）的定义域是0（，）+∞ ∴()()()233222'x x e kx x e x k f x k x x x---=+-=（）， ∵2x =是函数f x （）的唯一一个极值点 ∴2x =是导函数'0f x =（）的唯一根， ∴20x e kx -=在0（，）+∞无变号零点， 即2x e k x =在0x ＞上无变号零点，令()2xe g x x=，因为()32'x e x g x x（）-=，所以g x （）在02（，）上单调递减，在2x ＞上单调递增 所以g x （）的最小值为224e g =（），所以必须24e k ≤，故选：A ． 【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．【分析】构造函数()()g x xf x =，利用导数分析函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，在不等式()()()2111x f x f x --<+两边同时乘以1x +化为()()()()221111x f x x f x --<++，即()()211g x g x -<+，然后利用函数()y g x =在()0,∞+上的单调性进行求解即可.【详解】构造函数()()g x xf x =，其中0x >，则()()()0g x f x xf x ''=+>， 所以，函数()y g x =在定义域()0,∞+上为增函数，在不等式()()()2111x f x f x --<+两边同时乘以1x +得()()()()221111x f x x f x --<++，即()()211g x g x -<+，所以22111010x x x x ⎧-<+⎪->⎨⎪+>⎩，解得12x <<，因此，不等式()()()2111x f x f x --<+的解集为()1,2，故选：D.【点睛】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下： （1）根据导数不等式的结构构造新函数()y g x =；（2）利用导数分析函数()y g x =的单调性，必要时分析该函数的奇偶性； （3）将不等式变形为()()12g x g x <，利用函数()y g x =的单调性与奇偶性求解. 7．D 【解析】 【分析】根据回归直线方程可得相关系数． 【详解】根据回归直线方程是y 13=-x+2， 可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值， 且所有样本点（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）都在直线上，则有|r|＝1， ∴相关系数r ＝﹣1． 故选D ．【点睛】本题考查了由回归直线方程求相关系数，熟练掌握回归直线方程的回归系数的含义是解题的关键． 8．C 【解析】 【分析】通过分子分母乘以分母共轭复数即可化简，从而得到答案. 【详解】 根据题意，所以，故选C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，难度较小. 9．B 【解析】分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 详解：对于①：因为BC∥AD，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直,则①错误；对于②：设点D 在平面BCF 上的射影为点P,当BP⊥CF 时就有BD⊥FC, 而AD:BC:AB ＝2:3:4可使条件满足,所以②正确；对于③：当点P 落在BF 上时, DP ⊂平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,所以③正确； 对于④：因为点D 的投影不可能在FC 上，所以平面DCF⊥平面BFC 不成立，即④错误． 故选B.点睛：本题考查命题真假的判断，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养. 10．B 【解析】(3)f x +Q 是偶函数，()f x ∴ 关于3x =对称，()f x Q 是奇函数(6)(0)0,(11)(5)(5)(1)1(6)(11)1f f f f f f f f ∴===-=-=-=-∴+=- 。

2019-2020学年嘉兴市名校数学高二下期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某批零件的尺寸X 服从正态分布()210,N σ，且满足()198P x <=，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n 的最小值为（ ） A ．7 B ．6C ．5D ．4【答案】D 【解析】 【分析】计算()39114P X <<=，根据题意得到101131C C 0.1444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()()1314nf n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断数列单调递减，又()40.1f <，()30.1f >，得到答案. 【详解】 因为()210,XN σ，且()198P X <=，所以()39114P X <<=，即每个零件合格的概率为34. 合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个.合格零件个数为零个或一个的概率为101131C C 444n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由101131C C 0.1444nn nn -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得()1310.14nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭①，令()()()1314nf n n n *⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N .因为()()1341124f n n f n n ++=<+， 所以()f n 单调递减，又因为()40.1f <，()30.1f >， 所以不等式①的解集为4n ≥. 【点睛】本题考查了正态分布，概率的计算，数列的单调性，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若132cos 3b c A ===，，，则a =（ ）A ．5 BC ．4D ．3【答案】D 【解析】【分析】已知两边及夹角，可利用余弦定理求出． 【详解】由余弦定理可得：22212cos 9423293a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=， 解得3a =.故选D. 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根据条件选用合适的定理解决．3．已知函数1()e ln(1)1x x f x ae x -=-+-存在零点0x ，且01x >，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1eln2-∞+ B ．()-eln 2,+∞ C ．(),eln2-∞- D ．()1eln2,++∞【答案】D 【解析】 【分析】令()0f x =，可得1ln(1)xa e e x -=++，设()1ln(1),1xg x ee x x -=++>，求得导数，构造1xy e x =--，求得导数，判断单调性，即可得到()g x 的单调性，可得()g x 的范围，即可得到所求a 的范围． 【详解】由题意，函数1()e ln(1)1x x f x aex -=-+-，令()0f x =，可得1ln(1)xa e e x -=++，设()1ln(1),1xg x ee x x -=++>，则()111(1)x xx e e x g x ee x e x ---'=-+=⋅++， 由1xy e x =--的导数为1xy e =-， 当1x >时，110x e e ->->，则函数1xy e x =--递增，且10xy e x =-->，则()g x 在(1,)+∞递增，可得()()11ln 2g x g e >=+，则1ln 2a e >+， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数的零点问题解法，注意运用转化思想和参数分离，考查构造函数法，以及运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．4．某次文艺汇演为，要将A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：如果A ，B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有( ) A ．192种 B ．144种 C ．96种 D ．72种【答案】B 【解析】 【分析】由题意知,A B 两个截面要相邻，可以把这两个与少奶奶看成一个，且不能排在第3号的位置，可把,A B 两个节目排在1,2号的位置上，也可以排在4,5号的位置或5,6号的位置上，其余的两个位置用剩下的四个元素全排列. 【详解】由题意知,A B 两个节目要相邻，且都不排在第3号的位置，可以把这两个元素看成一个，再让它们两个元素之间还有一个排列，,A B 两个节目可以排在1,2两个位置，可以排在4,5两个位置，也可以排在5,6两个位置，所以这两个元素共有12326C A =种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，所以所有节目共有124324624144C A A =⨯=种不同的排法，故选B.【点睛】本题考查了排列组合的综合应用问题，其中解答时要先排有限制条件的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后再用分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5．已知函数()123,0,21,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩若关于x 的方程()()()210f x a f x a ⎡⎤+--=⎣⎦有7个不等实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．()2,1- B ．[]2,4C ．()2,1--D ．(],4-∞【答案】C 【解析】分析：画出函数的图象，利用函数的图象，判断f （x ）的范围，然后利用二次函数的性质求解a 的范围．详解：函数()123,0,21,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象如图：关于f2（x）+（a﹣1）f（x）﹣a=0有7个不等的实数根，即[f（x）+a][f（x）﹣1]=0有7个不等的实数根，f（x）=1有3个不等的实数根，∴f（x）=﹣a必须有4个不相等的实数根，由函数f（x）图象可知﹣a∈（1，2），∴a∈（﹣2，﹣1）．故选：C．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．6．在一项调查中有两个变量x（单位：千元）和y（单位：t），如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝x C．y＝m+nx2D．y＝p+qe x（q＞0）【答案】B【解析】散点图呈曲线，排除A选项，且增长速度变慢，排除,C D选项，故选B.7．如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为（）A ．55B ．89C ．120D ．144【答案】A 【解析】 【分析】根据杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，找出规律，即可求出数列的第10项，得到答案. 【详解】由题意，可知1234561,1,112,123,235,358a a a a a a ===+==+==+==+=，789105813,81321,132134,213455a a a a =+==+==+==+=，故选A. 【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中读懂题意，理清前后项的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin cos sin C C B A +=，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，6a =1cos 3B =，则b =（）A ．2B ．53C ．125D ．4【答案】C 【解析】 【分析】先利用正弦定理解出c ，再利用cos B 的余弦定理解出b 【详解】sin 2sin cos sin +2cos =C C B A c c B a +=⇔365c ⇒=22254311442cos 6266255325b ac ac B =+-=+-=所以125b =【点睛】本题考查正余弦定理的简单应用，属于基础题． 9．在5(21)x -的展开式中，2x 的系数为（ ） A ．-10 B ．20 C ．-40 D ．50【答案】C 【解析】分析：根据二项式展开式的通项求2x 的系数.详解：由题得()521x -的展开式的通项为555155(2)(1)(1)2.r r r r r r rr T C x C x ---+=-=-令5-r=2,则r=3,所以2x 的系数为33535(1)240.C --=-故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 二项式a+b n （）通项公式：1C r n r r r n T a b -+= （0,1,2,,r n =⋅⋅⋅）. 10．如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是区间上的“双中值函数”.已知函数是区间上的“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）A ．（，）B ．（，3）C ．（，1）D ．（，1） 【答案】C 【解析】 试题分析：，，所以函数是区间上的“双中值函数”等价于在区间有两个不同的实数解，即方程在区间有两个不同的实数解，令，则问题可转化为在区间上函数有两个不同的零点，所以，解之得，故选C.考点：1.新定义问题；2.函数与方程；3.导数的运算法则.【名师点睛】本题考查新定义问题、函数与方程、导数的运算法则以及学生接受鷴知识的能力与运用新知识的能力，难题.新定义问题是命题的新视角，在解题时首先是把新定义问题中的新的、不了解的知识通过转翻译成了解的、熟悉的知识，然后再去求解、运算.11．已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】当a=0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y=22(0)x a x +<的值域为（2a,+∞）, y=()cos 20a x x +≥的值域为[a+2,-a+2],因为a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a, 所以此时函数g(x)的值域为（2a,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0. 当a ＞0时，y=22(0)x a x +<的值域为（2a,+∞）,y=()cos 20a x x +≥的值域为[-a+2,a+2], 当a≥23时，-a+2≤2a,由题得21,1222a a a a -+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩. 当0＜a ＜23时，-a+2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜12. 综合得a 的范围为a ＜12或1≤a≤2，故选C . 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．已知函数()()f x A x b ωϕ=++（0A >，0>ω）的图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin()263f x x ππ=++ B ．1()3sin()236f x x π=-+C ．()2sin()366f x x ππ=++ D ．()2sin()363f x x ππ=++【答案】D 【解析】结合函数图像可得：5122A -==，523b =-=， 结合周期公式有：()244112,6ππωω=⨯-=∴=，且当1x =时，()12,2623x k k k Z πππωϕϕπϕπ+=⨯+=+∴=+∈，令0k =可得：3πϕ=，据此可得函数的解析式为：()2sin 363f x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.本题选择D 选项.点睛：已知f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由2Tπω=即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 二、填空题：本题共4小题13．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______. 【答案】【解析】 【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可． 【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个， 从中选2个不同的数有45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P ，故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 14．已知1sin cos 2αβ=，则cos sin αβ的取值范围是________. 【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】可设所求cosαsinβ=x，与已知的等式sinαcosβ=12相乘，利用二倍角的正弦函数公式的逆运算化简为sin2α•sin2β=2x 后，根据三角函数的值域的范围得到关于x 的不等式，求出解集即可得到cosαsinβ的范围 【详解】设x=cosα•sinβ，si nα•cosβ•cosα•sinβ=12x ， 即sin2α•sin2β=2x． 由|sin2α•sin2β|≤1，得|2x|≤1，∴﹣12≤x≤12． 故答案为：[﹣12，12]．【点睛】考查学生灵活运用二倍角的三角函数公式化简求值，会根据三角函数的值域范围列出不等式．本题的突破点就是根据值域列不等式． 15．71()7x x-的展开式的第3项为______. 【答案】337x 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式7717rrr C x x -⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭，令2r可得出答案．【详解】717x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第3项为225371377C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故答案为337x ． 【点睛】本题考查二项式指定项，解题时充分利用二项式定理展开式，考查计算能力，属于基础题．16．函数y =____________.【答案】(0,1)(1,3]⋃ 【解析】分析：令3101log 0x x -≠-≥，即可求出定义域 详解：令101x x -≠≠，，31log 0x -≥，3log 1x ≤，解得03x <≤综上所述，函数y =()(]0113⋃，， 点睛：在求定义域时找出题目中的限制条件，有分母的令分母不等于零，有根号的令根号里面大于或者等于零，对数有自身的限制条件，然后列出不等式求出定义域。

嘉兴市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末复习检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在 乙、丙、丁三人之中”；乙说:“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话， 且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【答案】B【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．2．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应 A ．从东边上山 B ．从西边上山C ．从南边上山D ．从北边上山【答案】D 【解析】从东边上山共21020⨯=种;从西边上山共3927⨯=种;从南边上山共3927⨯=种;从北边上山共4832⨯=种;所以应从北边上山.故选D.3．定义在上的函数满足,,且时,,则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：由于，因此函数为奇函数，，故函数的周期为4，，即，，，故答案为C考点：1、函数的奇偶性和周期性；2、对数的运算 4．复数4212ii+-+的虚部为（）A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -【答案】B【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数42212ii i+=--+，即可得到复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()42124210=21212125i i i ii i i i +--+-==--+-+--， 所以复数4212ii+-+的虚部为2-，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．某市交通部门为了提高某个十字路口通行效率，在此路口增加禁止调头标识（即车辆只能左转、右转、直行），则该十字路口的行车路线共有（ ） A ．24种 B ．16种 C ．12种 D ．10种【答案】C 【解析】 【分析】根据每个路口有3种行车路线，一个十字路口有4个路口， 利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】每个路口有3种行车路线，一个十字路口有4个路口， 故该十字路口行车路线共有3412⨯=（种） 故选：C 【点睛】本题考查了分布乘法计数原理，属于基础题.6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意的实数x 都有()()()23xf x e x f x -'=+-（e 是自然对数的底数），且()01f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有两个整数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．)2,0e ⎡-⎣ B ．(],0e - C ．[),0e - D ．(2,0e ⎤-⎦【答案】B 【解析】 【分析】先利用导数等式结合条件()01f =求出函数()y f x =的解析式，由()0f x m -<，得()m f x >，转化为函数()y f x =在直线y m =下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，然后利用导数分析函数()y f x =的单调性与极值，作出该函数的图象，利用数形结合思想求出实数m 的取值范围. 【详解】 由等式()()()23xf x ex f x -'=+-，可得()()()23x f x f x e x -'+=+，即()()23x e f x f x x ⎡⎤+=+⎣⎦'，即()()2233x e f x x x x C ''⎡⎤=+=++⎣⎦（C 为常数）， ()23xe f x x x C ∴=++，则()23xx x C f x e++=，()01f C ∴==， 因此，()231x x x f x e ++=，()()()2223312x xx x x x x f x e e +-+++-=-'=， 令()0f x '=，得2x =-或1x =，列表如下：x(),2-∞-2-()2,1-1()1,+∞()f x '-+-()f x极小值极大值函数()y f x =的极小值为()22f e -=-，极大值为()1f e=，且()1f e -=-， 作出图象如下图所示，由图象可知，当0x >时，()0f x >.另一方面()01f =，()33f e -=，则()()03f f <-，由于函数()y f x =在直线y m =下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，由图象可知，这两个点的横坐标分别为2-、1-，则有()10m f m ⎧>-⎨≤⎩，解得0e m -<≤，因此，实数m 的取值范围是(],0e -，故选B. 【点睛】本题考查函数的单调性、函数不等式的整数解问题，本题的难点在于利用导数方程求解函数解析式，另外在处理函数不等式的整数解的问题，应充分利用数形结合的思想，找到一些关键点来列不等式求解，属于难题．7．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价x(单位：元)和销售量y(单位：件)之间的四组数据如表：为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y 与售价x 之间的线性回归方程y 1.4x a =-+，那么方程中的a 值为( ) A ．17 B ．17.5C ．18D ．18.5【答案】B 【解析】 【分析】求出样本中心点，代入线性回归方程，即可求出a 的值． 【详解】 由题意，()1x 4 4.5 5.5654=+++=，()1y 121110910.54=+++=， 线性回归方程y 1.4x a =-+，()10.5 1.45a ∴=-⨯+，a 17.5∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．8．椭圆2214x y +=的长轴长为（ ）A ．1B ．2C ．D ．4【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆方程得出2a =即可 【详解】由2214x y +=可得24a =，即2a =所以长轴长为24a = 故选：D 【点睛】本题考查的是由椭圆的方程得长轴长，较简单9．某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1,2,...,800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间[]1,200的人做试卷A ，编号落在[]201,560的人做试卷B ，其余的人做试卷C ，则做试卷C 的人数为( ) A ．10 B ．12C ．18D ．28【答案】B 【解析】8004020÷=，∴由题意可得抽到的号码构成以18为首项，以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为()18201202n a n n =+-=-，落入区间[]561,800的人做问卷C ，由561202800n ≤-≤，即56320802n ≤≤，解得3128402010n ≤≤，再由n 为正整数可得2940n ≤≤，∴做问卷C 的人数为4029112-+=，故选B.10．若点()000,P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>内，则被0P 所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+，通过类比的方法，可求得：被()1,1P 所平分的双曲线2214x y -=的弦所在的直线方程是（ ） A ．430x y -+= B ．450x y +-= C ．450x y --= D ．430x y ++=【答案】A【解析】 【分析】通过类比的方法得到直线方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-，代入数据得到答案.【详解】0P 所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+，通过类比的方法，可求得双曲线的0P 所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-代入数据()1,1P ，得到：1143044x y x y -=-⇒-+= 故答案选A 【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力.11．在“石头、剪刀、布”游戏中，规定“石头赢剪刀、剪刀赢布、布赢石头”，现有小明、小泽两位同学玩这个游戏，共玩n 局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势.设小明赢小泽的局数为ξ，且10()9D ξ=，则()E ξ=（ ） A ．1 B ．43C ．53D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，每一局中，小明赢小泽的概率为13，且1,3B n ξ⎛⎫⎪⎝⎭，先由1210()339D n ξ=⨯⨯=求出n ，然后即可算出()E ξ 【详解】由题意可得，每一局中，小明赢小泽的概率为13，且1,3B n ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为1210()339D n ξ=⨯⨯=，所以5n = 所以15()533E ξ=⨯=故选：C 【点睛】本题考查的是二项分布的知识，若(),B n p ξ，则()E np ξ=，()()1D np p ξ=-.12．已知函数（），若有且仅有两个整数，使得，则的取值范围为A ．[）B ．[）C ．[）D ．[）【答案】D 【解析】 【分析】设g （x ）=e x （3x ﹣1），h （x ）=ax ﹣a ，对g （x ）求导，将问题转化为存在2个整数x i 使得g （x i ）在直线h （x ）=ax ﹣a 的下方，求导数可得函数的极值，解g （﹣1）﹣h （﹣1）＜0，g （﹣2）﹣h （﹣2）≥0，求得a 的取值范围． 【详解】设g （x ）=e x （3x ﹣1），h （x ）=ax ﹣a ， 则g′（x ）=e x （3x+2），∴x ∈（﹣∞，﹣），g′（x ）＜0，g （x ）单调递减，x ∈（﹣，+∞），g′（x ）＞0，g （x ）单调递增，∴x=﹣，取最小值，∴g （0）=﹣1＜﹣a=h （0）， g （1）﹣h （1）=2e ＞0，直线h （x ）=ax ﹣a 恒过定点（1，0）且斜率为a ， ∴g （﹣1）﹣h （﹣1）=﹣4e ﹣1+2a ＜0， ∴a ＜，g （﹣2）=﹣，h （﹣2）=﹣3a ，由g （﹣2）﹣h （﹣2）≥0，解得：a≥，故答案为[）.故选D. 【点睛】本题考查求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值问题，涉及转化的思想，属于中档题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数． 二、填空题：本题共4小题 13．命题“0x ∀>，210x ”的否定为______.【答案】0x ∃>，210x +≤ 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【详解】 解：因为全称命题的否定为特称命题，故命题“0x ∀>，210x ”的否定为：“0x ∃>，210x +≤”故答案为：0x ∃>，210x +≤ 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，属于基础题． 14．若()f x 是定义在()(),00,D =-∞+∞上的可导函数，且()()'xf x f x >，对x D ∈恒成立．当0b a <<时，有如下结论：①()()bf a af b >，②()()bf a af b <，③()()af a bf b >，④()()af a bf b <， 其中一定成立的是____． 【答案】① 【解析】 【分析】构造函数，并且由其导函数的正负判断函数的单调性即可得解. 【详解】由()()'xf x f x >得()()'0,xf x f x ->即()()2'0,xf x f x x ->所以()'0,f x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭所以()f x x在(),0-∞和()0,∞+单调递增，因为0b a <<，所以()(),f a f b a b>因为0,ab >所以在不等式两边同时乘以ab ， 得①正确，②、③、④错误. 【点睛】本题考查构造函数、由导函数的正负判断函数的单调性，属于难度题.15．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A C 、不重合），则下列结论正确的是____.①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得DM //平面11B CD ； ③1A DM ∆的面积不可能等于36； ④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S .【答案】①②④ 【解析】 【分析】 逐项分析. 【详解】 ①如图当M 是1AC 中点时，可知M 也是1A C 中点且11B C BC ⊥，111A B BC ⊥，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，所以11BC A M ⊥，同理可知1BD A M ⊥，且1BC BD B =，所以1A M ⊥平面1BC D ，又1A M ⊂平面1A DM ，所以平面1A DM ⊥平面1BC D ，故正确；②如图取1AC 靠近A 的一个三等分点记为M ，记1111AC B D O =，1OC AC N =，因为11AC AC ，所以1112OC C N AC AN ==，所以N 为1AC 靠近1C 的一个三等分点，则N 为1MC 中点，又O 为11A C 中点，所以1A MNO ，且11A DB C ，111A MA D A =，1NOBC C =，所以平面1A DM 平面11B CD ，且DM ⊂平面1A DM ，所以DM 平面11B CD ，故正确； ③如图作11A M AC ⊥，在11AA C 中根据等面积得：1263A M ==，根据对称性可知：16A M DM ==，又2AD =1A DM 是等腰三角形，则122162322326A DMS⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故错误； ④如图设1AM aAC =，1A DM ∆在平面1111D C B A 内的正投影为111A D M ∆，1A DM ∆在平面11BB C C 内的正投影为12B CM ∆，所以1111122222A D M a S S a ∆==⨯=，122121222222B CM a S S a ∆-===，当12S S 时，解得：13a =，故正确. 故填：①②④. 【点睛】本题考查立体几何的综合问题，难度较难.对于判断是否存在满足垂直或者平行的位置关系，可通过对特殊位置进行分析得到结论，一般优先考虑中点、三等分点；同时计算线段上动点是否满足一些情况时，可以设动点和线段某一端点组成的线段与整个线段长度的比值为λ，然后统一未知数λ去分析问题.16．已知函数2ln(),0(),0x xx x f x e e a x --<⎧=⎨+-≥⎩，若()f x 的所有零点之和为1，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】221],(e e + 【解析】 【分析】先根据分段函数的形式确定出0x <时()f x 的零点为01x =-，再根据0x >时函数解析式的特点和导数的符号确定出()f x 图象的“局部对称性”以及单调性，结合()f x 所有零点的和为1可得()()00,10f f ≥<，从而得到参数a 的取值范围.【详解】当0x <时，易得()f x 的零点为01x =-， 当0x ≥时，()2xxf x e ea -=+-，∵当[]0,2x ∈时，()()2f x f x =-，∴()f x 的图象在[]0,2上关于直线1x =对称. 又22()x xe ef x e-'=，当1x >时，()0f x '>，故()f x 单调递增，当01x <<时，()0f x '<，故()f x 单调递减，且()201f e a =+-，()12f e a =-.因为()f x 的所有零点之和为1，故()f x 在[)0,+∞内有两个不同的零点，且()()0010f f ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，解得221e a e <≤+.故实数a 的取值范围为221],(e e +． 故答案为：221],(e e +． 【点睛】本题考查分段函数的零点，已知函数零点的个数求参数的取值范围时，应根据解析式的特点和导数寻找函数图象的对称性和函数的单调性，最后根据零点的个数得到特殊点处函数的符号，本题属于较难题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

浙江省嘉兴市2019-2020学年数学高二下期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知双曲线2212x y m -=的离心率为2，则m=A ．4B ．2C ．2D ．12．三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，243AC BC ==，O 为AC 的中点,CD BO ⊥分别交BO ，AB 于点R 、D ，且DPR CPR ∠=∠，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（ ）A ．62B ．33C ．56D ．2153．设，随机变量X ，Y 的分布列分别为（ ）当X 的数学期望取得最大值时，Y 的数学期望为（ ） A ．2B ．C ．D ．4．三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为( )A ．8B ．6C ．14D ．485．若函数()ln f x ax x =-在区间(]0,e 上的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A ．2eB ．2eC ．2e D ．1e6．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．设随机变量X~N （0，1），已知( 1.96)0.025P X <-=，则( 1.96)P X <=（ ） A ．0.025 B ．0.050 C ．0.950 D ．0.9758．设曲线ln 1xy x =+在点(1,0)处的切线与直线10x ay -+=垂直，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．-2D ．29．正方体1111ABCD A B C D -中，若1D AC 外接圆半径为263，则该正方体外接球的表面积为( ) A ．2πB ．8πC ．12πD ．16π10．如图，在矩形ABCD 中，M 在线段AB 上，且AM=AD=1, AB=3，将ADM ∆沿DM 翻折．在翻折过程中，记二面角A BC D --的平面角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A 3B 6C 2D 311．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A ．3B ．4C ．92D ．11212．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．,,a b c 中至少有两个偶数 B ．,,a b c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．,,a b c 都是奇数D ．,,a b c 都是偶数二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．用“五点法”画函数()2sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在一个周期内的简图时，五个关键点是,06π⎛⎫-⎪⎝⎭，,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω=_______.15．已知函数()y f x =的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是2y x =+，则()()11f f +'=_________. 16．由曲线2y x=与直线1y =x -及1x=所围成的封闭图形的面积为__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知集合{}61,01A y y x x ==-≤≤，{}220B x x x m =--<． (Ⅰ)当3m =时，求A∩(∁R B)；(Ⅱ)当{}25A B x x ⋃=-<≤时，求实数m 的值． 18．设函数()sin cos ,[0,]2=--∈f x x a x x x π．(1)当1a =时，求函数()f x 的值域； (2)若()0f x ≤，求实数a 的取值范围．19．（6分）已知函数()xf x xe =，e 为自然对数的底数.（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）求函数()y f x =的单调区间与极值. 20．（6分）已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线垂直于直线12y x =． （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值．21．（6分）如图所示，四边形ABCD 为菱形，且120ABC ∠=︒，2AB =，//BE DF ，且3BE DF ==，DF ⊥平面ABCD .（1）求证：平面ABE ⊥平面ABCD ；（2）求平面AEF 与平面ABE 所成锐二面角的正弦值.22．（8分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯（1）当1r =，32CD =时，求梯形ABCD 的周长(精确到0.001)； （2）记2CD x =，求面积S 以x 为自变量的函数解析式()S f x =，并写出其定义域.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】根据离心率公式计算． 【详解】 由题意2c m =+，∴22c m e a m+===2m =． 故选B ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线的标准方程，由方程确定,a b ． 2．B 【解析】 【分析】由已知可知43AC =BOC ∆是正三角形，从而30BCR ∠=，3,4CR CD ==，进而1DR =，PR 是DPC ∠的平分线，13DP DR PC RC ==，由此能求出三棱锥P ABC -体积的最大值. 【详解】由题意得43AC =23OC OB BC ===，30BCR ∴∠=，332CR BC ==，243CD BC ==, 1DR ∴=，DPR CPR ∠=∠，∴PR 是DPC ∠的平分线，∴13DP DR PC RC ==， 以D 为原点，建立平面直角坐标系，如图：设(),P x y ，则()2222134x y x y+=-+， 整理得225924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，max 32y ∴=，因此三棱锥P ABC -体积的最大值为max max 1131623333322ABC V y S ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. 故选：B 【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】先利用数学期望公式结合二次函数的性质得出的最小值，并求出相应的，最后利用数学期望公式得出的值。

2019-2020学年嘉兴市名校数学高二(下)期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】由题意逐一考查所给的函数图像是否符合题意即可.【详解】逐一考查所给的函数图像：对于选项A ，y ax =过坐标原点，则0a <，直线y x a =+在y 轴的截距应该小于零，题中图像符合题意； 对于选项C ，y ax =过坐标原点，则0a >，直线y x a =+在y 轴的截距应该大于零，题中图像不合题意； y ax =过坐标原点，直线y x a =+的倾斜角为锐角，题中BD 选项中图像不合题意；本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查分类讨论的数学思想，一次函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．i 是虚数单位，则12i i -的虚部是（ ） A ．-2B ．-1C ．i -D ．2i -【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．【详解】 由题意得221222i i i i i i--==--，所以复数12i i-的虚部是1-． 故选B ．【点睛】本题考查复数的运算和复数的基本概念，解答本题时容易出现的错误是认为复数z a bi =+的虚部为bi ，对此要强化对基本概念的理解和掌握，属于基础题．3．已知函数2()cos (1)f x x x a x =+-是奇函数，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是（ ） A ．20x y -=B ．0x y -=C ．20x y +=D ．20x y -=【答案】B【解析】【分析】根据奇函数的定义或性质求出a ，然后可求出导函数，得切线斜率，从而得切线方程【详解】∵()f x 是奇函数，∴22()cos()(1)()cos (1)f x x x a x x x a x -=--+--=-+-2cos (1)x x a x =---，∴2(1)0a x -=，1a =， ()cos f x x x =是奇函数，'()cos sin f x x x x =-，'(0)1f =，(0)0f =，切线方程为y x =，即0x y -=．故选B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的奇偶性，本题难度一般．4．设复数1=-i z i ，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A ．12B ．2C ．1D ．2【答案】A【解析】【分析】 先对1=-i z i 进行化简，然后得出z ，即可算出z z ⋅ 【详解】()()()1111122i i i i z i i i +===-+--+所以122i z =--，所以111112222442i i z z ⎛⎫⎛⎫-+--=+= ⎪⎭⎭=⎝⎝⋅⎪ 故选：A【点睛】 本题考查的是复数的运算，较简单.5．设P 是曲线21ln 2y x x x =--上的一个动点，记此曲线在点P 点处的切线的倾斜角为θ，则θ可能是（ ）A ．6πB ．34πC ．56πD ．4π 【答案】B【解析】分析：求出原函数的导函数，利用基本不等式求出导函数的值域，结合直线的斜率是直线倾斜角的正切值求解． 详解：由21ln 2y x x x =--，得110y x x x'=--（＞），111111x x x x --=-+≤--Q （）， 当且仅当1x = 时上式“=”成立．1y ∴'≤- ，即曲线在点P 点处的切线的斜率小于等于-1．则1tan θ≤- ，又[0θπ∈，） ，3]24ππθ∴∈（，． 故选：B ．点睛：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．6．抛物线24y x =的焦点为F ，点(5,3)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长的最小值为A ．6B ．8C ．11D ．13 【答案】C【解析】【分析】【详解】求△MAF 周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值.根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，因此最小值为x A﹣（﹣1）=5+1=6，∵|AF|=22 (51)(30)-+-=5，∴△MAF周长的最小值为11，故答案为：C．7．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )．A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点【答案】C【解析】试题分析：所给图象是导函数图象，只需要找出与x轴交点，才能找出原函数的单调区间，从而找出极值点；由本题图中可见与x有四个交点，其中两个极大值，两极小值.考点：函数的极值.8．从混有4张假钞的10张一百元纸币中任意抽取3张，若其中一张是假币的条件下，另外两张都是真币的概率为（）A．512B．58C．35D．12【答案】A【解析】分析:直接利用条件概率公式求解.详解：由条件概率公式得26291553612CPC===.故答案为A点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对条件概率的掌握水平.(2)条件概率一般有“在A已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生，发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.9．在黄陵中学举行的数学知识竞赛中，将高二两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是1．这两个班参赛的学生人数是（ ）A ．80B ．90C ．100D ．120【答案】C【解析】【分析】 根据条件可求第二组的频率，根据第二组的频数即可计算两个班的学生人数.【详解】第二小组的频率是：10.300.150.100.050.40----=，则两个班人数为：401000.04=人. 【点睛】本题考查频率分布直方图中，频率、频数与总数的关系，难度较易.10．若函数()f x 对任意x ∈R 都有()()f x f x '>成立，则（ ）A ．3(5)5(3)f ln f ln >B ．3(5)5(3)f ln f ln =C ．3(5)5(3)f ln f ln <D ．3(5)f ln 与5(3)f ln 的大小不确定【答案】A【解析】【分析】构造函数()()x f x g x e =，利用导数可判断g （x ）的单调性，由单调性可得g （ln3）与g （ln5）的大小关系，整理即可得到答案．【详解】解：令()()x f x g x e =，则()()()x f x f x g x e -=''，因为对任意x R ∈都有()()f x f x '>，所以()'0g x >，即()g x 在R 上单调递增，又ln3<ln5，所以()()ln3ln5g g <， 即()()ln3ln535f f <， 即()()5ln33ln5f f <，故选：A ．【点睛】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性，属中档题.11．五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是( ) A ．35CB ．35AC ．35D ．53 【答案】D【解析】由题意，每个人可以报任何一所院校，则结合乘法原理可得：不同的报名方法的种数是53.本题选择D 选项.12．已知()23()f x x x R =+∈，若|()1|f x a -<的必要条件是|1|(,0)x b a b +<>，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．2a b …B ．2a b <C ．2b a „D ．2b a > 【答案】A【解析】试题分析：不等式()1f x a -<的解集为(1,1)22a a ---+，不等式1x b +<的解集为，根据题意可知(1,1)22a a ---+是的子集，所以有2a b ≥，故选A ． 考点：绝对值不等式，充要条件的判断．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设随机变量ξ的概率分布列为，，则 .【答案】【解析】∵所有事件发生的概率之和为1，即P （ξ=0）+P （ξ=1）+P （ξ=2）+P （ξ=3）=1，∴，∴c=，∴ P （ξ=k ）=，∴P （ξ=2）=．故答案为．14．已知复数2(12i)z =-（i 为虚数单位），则z 的实部为____．【答案】3-；【解析】【分析】对复数z 进行四运算，化简成34i z =--，求得z 的实部.【详解】因为2(12i)14i 434i z =-=--=--，所以z 的实部为3-.【点睛】本题考查复数的四则运算及实部概念.15．在等差数列{}n a 中,1516a a +=,则5S =________【答案】40【解析】【分析】根据前n 项和公式，结合已知条件列式求得5S 的值.【详解】 依题意155********a a S +=⨯=⨯=. 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，属于基础题.16．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示）【答案】【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是从6个球中取3个，共有种结果，而满足条件的事件是所选的3个球中至少有1个红球，包括有一个红球2个白球；2个红球一个白球，共有∴所选的3个球中至少有1个红球的概率是. 考点：等可能事件的概率.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．每年暑期都会有大量中学生参加名校游学，夏令营等活动，某中学学生社团将其今年的社会实践主题定为“中学生暑期游学支出分析”，并在该市各个中学随机抽取了共3000名中学生进行问卷调查，根据问卷调查发现共1000名中学生参与了各类游学、夏令营等活动，从中统计得到中学生暑期游学支出（单位：百元）频率分布方图如图.（I ）求实数a 的值；（Ⅱ）在[)45,50，[)50,55，[)55,60三组中利用分层抽样抽取10人，并从抽取的10人中随机选出3人，对其消费情况进行进一步分析.（i ）求每组恰好各被选出1人的概率；（ii ）设ξ为选出的3人中[)45,50这一组的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）0.036a =（Ⅱ）（ⅰ）310（ⅱ）见解析 【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中，各个小矩形面积和等于1，求出0.036a =；（2）由频率分布直方图得三组中人数的比例为4:3:3，所以抽取的10人，在每组中各占4人、3人、3人；随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3.【详解】解（Ⅰ）由题意，得()0.0240.0420.03251a ++⨯+⨯⨯=，解得0.036a =.（Ⅱ）按照分层抽样，[)45,50，[)50,55，[)55,60三组抽取人数分别为4，3，3.（ⅰ）每组恰好各被选出1人的概率为111433310310C C C C =. （ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3.()0346310106C C P C ξ===，()1246310112C C P C ξ===， ()21463103210C C P C ξ===，()30463101330C C P C ξ===，则ξ的分布列为 ξ 0 12 3 P 1612 310 130 ()123210305E ξ=⨯+⨯+⨯= 【点睛】统计与概率试题，往往是先考统计，后考概率，要求从图表中提取有用信息，并对数据进行处理，为解决概率问题铺垫.18．在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==,四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒,E 是AD 的中点.(1)求证: BE ⊥平面PAD ；(2)求平面PAB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（210 【解析】【分析】(1) 连接BD ，根据几何关系得到PE AD ⊥, 由平面PAD ⊥平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，进而得到PE BE ⊥,再由三角形ABE 的角度及边长关系得到BE AD ⊥，进而得到结果;(2)建立空间坐标系得到面PAB 的法向量为n v ，面PBC 的一个法向量为m v ，根据向量夹角运算可得结果【详解】（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面PAD ⊥平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形，60A o ∠=，所以BE AD ⊥，从而BE ⊥平面PAD .（2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，(3P ，()()()1,0,0,3,0,3,0A B C -，有((1,0,3,3,3PA PB =-=-u u u v u u u v ，(3,3PC =--u u u v ，令平面PAB 的法向量为n v ，由00PA n PB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，可得一个)3,1,1n =v ，同理可得平面PBC 的一个法向量为()0,1,1m =v ，所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为105m n m n ⋅=v v v v . 【点睛】本题考查了面面垂直的证法，以及二面角的求法，证明面面垂直经常先证线面垂直，再得面面垂直，或者建立坐标系，求得两个面的法向量，证明法向量公线即可.19．已知椭圆222:1(0)3x y M a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为,A B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于,C D 两点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=;（Ⅱ）3. 【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）因为(1,0)F -为椭圆的焦点，所以1c =，又23b =，所以24a =，所以椭圆方程为22143x y +=. （Ⅱ）当直线无斜率时,此时31,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭,31,2C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,. 当直线斜率存在时，设直线方程为，设，直线与椭圆方程联立得，消掉得，显然，方程有根，且此时()212122234kk x x k k =-+=+.上式，（时等号成立），所以12||S S -的最大值为.20．已知平行四边形ABCD 中，45A ∠=︒，2AD =，2AB =，F 是BC 边上的点，且2BF FC =u u u v u u u v，若AF 与BD 交于E 点，建立如图所示的直角坐标系.（1）求F 点的坐标；（2）求AF EC ⋅u u u v u u u v .【答案】（1）82(,)33F ；（2）6215. 【解析】【分析】 （1）根据题意写出各点坐标，利用2BF FC =u u u r u u u r求得点F 的坐标。

提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于A ．0.2B ．0.8C ．0.196D ．0.8042．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ） A ．13B ．25C ．23D ．453．把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（ ） A ．18B ．916C ．4π D ．15164．若函数f(x)＝(a ＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g(x)＝的图象是 ( )A ．B ．C ．D ．5．下列命题中，真命题是（ ） A ．00,0x x R e∃∈≤ B ．2,2x x R x ∀∈>C ．0a b +=的充要条件是1ab=- D ．1,1a b >>是1ab >的充分条件6．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 A ．72B ．120C ．144D ．1687．把编号分别为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的电影票超过一张，则必须是连号，那么不同分法的种数为（ ）A ．36B ．40C ．42D ．488．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件为4名同学所报项目各不相同”,事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ） A ．12B ．22C ．1D 210．已知直三棱柱111ABC A B C -中，底面为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，2AB =，13AA =，点F 在1CC 上，且1113C F CC =，则异面直线11B C 与AF 所成角为（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．120︒11．函数3()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,e C ．(),3eD ．()3,+∞12．若正数,a b 满足111a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本题共4小题 13．将圆心角为23π，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的体积等于_________. 14．若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．15．在[]1,1-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆()2259x y -+=相交”发生的概率为__________．16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>具有相同的焦点1F ，2F ，且在第一象限交于点P ，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若123F PF π∠=，则2212e e +的最小值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为 A ．132B ．164C ．1-64D ．11282．等差数列中的是函数的两个极值点，则（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．椭圆221mx ny +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，过AB 中点M 与坐标原点连线斜率为22，则mn=（ ） A ．22B ．233C ．1D ．24．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==，12BB =，则异面直线1A B 和1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．10 B ．35C ．2 D ．455．已知函数2()21xf x a =++为奇函数,则()f a =（ ） A ．13B ．23C ．1-D ．12-6．《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（ ）(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲7．某校开设10门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位学生选修三门，则每位学生不同的选修方案种数是( ) A ．70 B ．98C ．108D ．1208．参数方程22x cos sin y cos sin θθθθ=-⎧⎨=+⎩（θ∈R ）表示的曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线9．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率e=2,圆A 的圆心是抛物线218y x =的焦点，且截双曲线C 的渐近线所得的弦长为2，则圆A 的方程为 A ．22165()3264x y +-= B ．22165()3264x y ++= C ．22(2)2x y +-= D ．22(2)4x y +-=10．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1]和[0,1] B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞)11．已知曲线3y x ax =+在1x =处的切线与直线 4 3y x =+平行，则a 的值为（ ） A ．-3B ．-1C ．1D ．312．将A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A ，B ，C 三个字母连在一起，且B 在A 与C 之间的概率为（ ） A ．112B ．15C ．115D ．215二、填空题：本题共4小题13． “2,2340x R x x ∀∈++>”的否定是__________．14．已知向量()2,3a =，()1,4b =-，m a b λ=-，2n a b =-，若//m n ，则λ=_______. 15．在ABC ∆中，若sin 2cos cos C A B =，则22cos cos A B +的最大值为______.16．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得152x +=，类似上述过程，则33++=__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年嘉兴市数学高二第二学期期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知曲线2y x =与直线y kx =围成的图形的面积为43，则k =（ ） A ．1 B ．12C ．±1D ．12±【答案】D 【解析】分析：首先求得交点坐标，然后结合微积分基本定理整理计算即可求得最终结果.详解：联立方程：2y x y kx ⎧=⎨=⎩可得：1100x y =⎧⎨=⎩，22211x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即交点坐标为()0,0，211,k k ⎛⎫⎪⎝⎭， 当0k >时，由定积分的几何意义可知围成的图形的面积为：)210k kx dx ⎰21322021|32k x kx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭0=， 整理可得：318k =，则12k =，同理，当k 0<时计算可得：12k =-. 本题选择D 选项.点睛：(1)一定要注意重视定积分性质在求值中的应用；(2)区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负. 2．已知函数1()(1)ln 1f x ax a x x=--++(R a ∈)在(0,1]上的最大值为3，则a =( ) A ．2 B ．eC ．3D ．2e【答案】B 【解析】 【分析】对函数进行求导，得2(1)(1)()ax x f x x--'=，(0,1)x ∈， 令()(1)(1)g x ax x =--，(0,1)x ∈，对a 进行分类讨论，求出每种情况下的最大值，根据已知条件可以求出a 的值.【详解】解:222211(1)1(1)(1)()a ax a x ax x f x a x x x x+-++--'=+-==Q ，(0,1)x ∈ ， 令()(1)(1)g x ax x =--，(0,1)x ∈，①当1a ≤时，110ax x -≤-<，()0g x ∴>，()0f x '>，∴()f x 在(0,1]上单调递增，max ()(1)f x f a ∴==，即3a =（舍去），②当1a >时，1(0,)x a ∈，()0>g x ，()0f x '>；1(,1)x a∈时，()0<g x ，()0f x '<， 故()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,1)a上单调递减，max 11()()2(1)ln 3f x f a a a a∴==--+=，即(1)ln 10a a a -++=，令()(1)ln 1h x x x x =-++(1x >)，1()ln 0h x x x'=--<， ()h x ∴在(1,)+∞上单调递减，且(e)0h =，e a ∴=，故选B.【点睛】本题考查了已知函数在区间上的最大值求参数问题，求导、进行分类讨论函数的单调性是解题的关键. 3．抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是（ ） A ．“两次得到的点数和是12” B ．“第二次得到6点” C ．“第二次的点数不超过3点” D ．“第二次的点数是奇数” 【答案】A 【解析】 【分析】利用独立事件的概念即可判断． 【详解】“第二次得到6点”，“第二次的点数不超过3点”，“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立，而对于“两次得到的点数和是12”则第一次一定是6点，第二次也是6点，故不是相互独立， 故选D ． 【点睛】本题考查了相互独立事件，关键是掌握其概念，属于基础题．4．已知~(10,4)Z N ，则()6P Z <≈ （ ） 附：若()2,X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈A ．0.3174B ．0.1587C ．0.0456D ．0.0228【答案】D 【解析】 【分析】由随机变量~(10,4)Z N ，所以正态分布曲线关于10μ=对称，再利用2σ原则，结合图象得到()6P Z <≈0.0228.【详解】因为~(10,4)Z N ，所以10,2μσ==，所以(104104)0.9544P Z -<<+≈，即(614)0.9544P Z <<≈， 所以1(6)[1(614)]0.02282P Z P Z <=-<<≈.选D ． 【点睛】本题主要考查正态分布曲线及2σ原则，考查正态分布曲线图象的对称性.5．定义：复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数”．设复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上，则z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（ ）．A ．220y xy x +-=B ．220y xy x -+=C ．220y xy x ++=D ．220y xy x --=【答案】C 【解析】 【分析】设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=.因为复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数,可得()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+,z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y ,由坐标变换,即可得z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程. 【详解】Q 复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=Q 复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数∴ ()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+ ┄①设z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y可得:00x y y x =-⎧⎨=⎩ 即00y xx y =-⎧⎨=⎩ ┄② 将②代入①得:22()0y y x x --+= 即:220y xy x ++= 故选: C. 【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面和考查坐标变换,掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键. 6．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线,交双曲线于,P Q ,1F 是另一焦点,若1=3PFQ π∠,则双曲线的离心率e 等于（ ） A1 BC1D2+【答案】B 【解析】 【分析】根据对称性知12PF F ∆是以点2F 为直角顶点，且126PF F π∠=，可得122PF PF =，利用双曲线的定义得出22PF a =，再利用锐角三角函数的定义可求出双曲线的离心率e 的值. 【详解】由双曲线的对称性可知，12PF F ∆是以点2F 为直角顶点，且126PF F π∠=，则122PF PF =，由双曲线的定义可得1222PF PF PF a -==， 在12Rt PF F ∆中，212122tan 2PF a PF F F F c ∠===，ce a∴==，故选B. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，要充分研究双曲线的几何性质，在遇到焦点时，善于利用双曲线的定义来求解，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中等题．7．已知高为 H 的正三棱锥 P ABC -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角 P AB C --的正切值为 4 ，则RH=（ ） A ．37 B ．35C ．59D ．58【答案】D 【解析】过P 作PM ⊥平面ABC 于M ，D 为AB 中点，连接,PD CD .证明面角 P AB C --的平面角为PDC ∠,计算得到2HCM =,通过勾股定理计算得到答案. 【详解】如图：正三棱锥 P ABC -，过P 作PM ⊥平面ABC 于M ，D 为AB 中点，连接,PD CD .易知：,M CD O PM ∈∈D 为AB 中点,PD AB CD AB ⇒⊥⊥⇒二面角P AB C --的平面角为PDC ∠ 正切值为442H HDM CM ⇒=⇒= 在Rt OMC ∆中，根据勾股定理：2225()()28H R R H R H =-+⇒= 故答案选D 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8．某射手每次射击击中目标的概率为p ，这名射手进行了10次射击，设X 为击中目标的次数， 1.6DX =，(=3)(=7)P X P X <，则p =A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.2【答案】A 【解析】 【分析】利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式以及方差的计算公式，即可得到结果。

浙江省嘉兴市2019-2020学年数学高二第二学期期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足44S =， 612S =，则2S =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．3【答案】B【解析】 根据等差数列的性质624,,246S S S 仍成等差数列，则6422426S S S ⨯=+，则6423S S S =+ ，62412444033S S S =-=-=-=，选B. 2．如图是函数()y f x =的导函数'()f x 的图象，则下面判断正确的是（ ）A ．在(3,1)-上()f x 是增函数B ．在(1,3)上()f x 是减函数C ．在(1,2)上()f x 是增函数D ．在4x =时，()f x 取极大值【答案】C【解析】分析：根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果.详解：根据导函数图象可知，在()3,1-上()f x 先减后增，A 错；在()1,3上()f x 先增后减，B 错；在()1,2上()()‘0,f x f x >是增函数，C 对；在4x =时，()f x 取极小值，D 错，故选C.点睛：本题考查函数的单调性与导函数的关系，意在考查对基本性质掌握的熟练程度以及数形结合思想的应用，属于中档题.3．已知函数2()cos (1)f x x x a x =+-是奇函数，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是（ ）A ．20x y -=B ．0x y -=C ．20x y +=D ．20x y -=【答案】B【解析】【分析】 根据奇函数的定义或性质求出a ，然后可求出导函数，得切线斜率，从而得切线方程【详解】∵()f x 是奇函数，∴22()cos()(1)()cos (1)f x x x a x x x a x -=--+--=-+-2cos (1)x x a x =---，∴2(1)0a x -=，1a =， ()cos f x x x =是奇函数，'()cos sin f x x x x =-，'(0)1f =，(0)0f =，切线方程为y x =，即0x y -=．故选B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的奇偶性，本题难度一般．4．的展开式中的第7项是常数,则正整数n 的值为( )A ．16B ．18C ．20D ．22【答案】B【解析】【分析】 利用通项公式即可得出．【详解】的展开式的第7项﹣9， 令 ＝0，解得n ＝1．故选：B ．【点睛】本题考查了二项式定理的应用、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知抛物线2:4C y x =，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若3AF FB =uu u r uu r，则AOF V 的面积（O 为坐标原点）为（ ）A ．3B ．3C ．433D ．23【答案】B【解析】【分析】首先过A 作111AA A B ⊥，过B 作111BB A B ⊥（11A B 为准线），1BM AA ⊥，易得30ABM ∠=o ，60AFH ∠=o .根据直线AF ：3(1)y x =-与抛物线联立得到12103x x +=，根据焦点弦性质得到163AB =，结合已知即可得到sin 6023AH AF ==o ，再计算AOF S V 即可. 【详解】 如图所示：过A 作111AA A B ⊥，过B 作111BB A B ⊥（11A B 为准线），1BM AA ⊥.因为3AF BF =uuu r uu u r ，设BF k =，则3AF k =，11BB A M k ==. 所以2AM k =.在RT ABM V 中，12AM AB =，所以30ABM ∠=o . 则60AFH ∠=o . (1,0)F ，直线AF 为3(1)y x =-.223(1)310304y x x x y x⎧=-⎪⇒-+=⎨=⎪⎩，12103x x +=. 所以121016233AB x x p =++=+=，344AF AB ==. 在RT AFH V 中，sin 6023AH AF ==o所以112332AOF S =⨯⨯=V . 故选：B【点睛】 本题主要考查抛物线的几何性质，同时考查焦点弦的性质，属于中档题.6．将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移6π个单位长度，则所得图象对应的函数的解析式为（ ） A ．cos4y x =-B ．sin 4y x =-C ．cos y x =D ．cos y x =-【答案】D【解析】 分析：依据题的条件，根据函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，得到相应的函数解析式，利用诱导公式化简，可得结果.详解：根据题意，将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的函数图像对应的解析式为sin()3y x π=-， 再将所得图象向右平移6π个单位长度， 得到的函数图像对应的解析式为sin()cos 63y x x ππ=--=-，故选D. 点睛：该题考查的是有关函数图像的变换问题，在求解的过程中，需要明确伸缩变换和左右平移对应的规律，影响函数解析式中哪一个参数，最后结合诱导公式化简即可得结果.7．若函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x 的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．详解：由()'y f x =的图象易得当0x ＜时'0f x ，（）＞， 故函数()y f x =在区间0-∞（，）上单调递增； 当01x <＜ 时，f'（x ）＜0，故函数()y f x =在区间01（，）上单调递减； 故选：C ．点睛：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．8．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X ，则X 的可能取值为( )A ．1,2，…，6B ．1,2，…，7C ．1,2，…，11D ．1,2,3… 【答案】B【解析】从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X ，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球.9．函数()sin()f x A x ωϕ=+ (0,0,2A πωϕ＞＞＜)的部分图象如图所示，若12,,63x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则12()f x x +=（ ）A ．1B ．12C ．22D ．32【答案】D【解析】【分析】由三角函数的图象求得()sin(2)3f x x π=+，再根据三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】 由图象可知， 1,()2362T A πππ==--=，即T π=，所以2ω=，即()sin(2)f x x ϕ=+， 又因为()03f π=，则sin(2)03πϕ⨯+=，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈， 又由2πϕ＜，所以3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+， 又因为()36212πππ+-=，所以图中的最高点坐标为,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 结合图象和已知条件可知122126x x ππ+=⨯=，所以122()()sin(2)sin 6633f x x f ππππ+==⨯+==， 故选D.【点睛】本题主要考查了由三角函数的部分图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．从1，3，5中任取2个不同的数字，从0，2，4中任取2个不同的数字，可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）A ．96B ．54C ．108D ．78【答案】A【解析】【分析】根据选取的两个偶数是否包含0分为两种情况，种数相加得到答案.【详解】选取的两个偶数不包含0时：2213322336C C C A ⨯⨯⨯= 选取的两个偶数包含0时：21323232(2)60C C A A ⨯⨯+⨯=故共有96个偶数答案选A【点睛】本题考查了排列组合，将情况分类可以简化计算.11．牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访6名外国游客，其中有2名游客来过洛阳，从这6人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1人来过洛阳的概率是（ ）A．115B．23C．35D．45【答案】C【解析】分析：从6名外国游客中选取2人进行采访，共有2615C=种不同的选法，其中这2人中至少有1人来过洛阳的共有112242819C C C+=+=种不同选法，由古典概型的概率计算公式即可求解．详解：由题意，从6名外国游客中选取2人进行采访，共有2615C=种不同的选法，其中这2人中至少有1人来过洛阳的共有112242819C C C+=+=种不同选法，由古典概型的概率计算公式可得93155p==，故选C．点睛：本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答中根据排列、组合的相关知识得到基本事件的个数和所求事件包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．12．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，灯亮的概率为（）A．316B．34C．1316D．14【答案】C【解析】【分析】灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果．【详解】由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，∴灯泡不亮的概率是111111111322222222216 111222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯，Q灯亮和灯不亮是两个对立事件，∴灯亮的概率是31311616-=， 故选：C ．【点睛】 本题结合物理的电路考查了有关概率的知识，考查对立事件的概率和项和对立事件的概率，本题解题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，需要从反面来考虑，属于中档题．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知X 的分布列如图所示，则（1）()0.3E X =，（2）()0.583D X =，（3）(1)0.4P X ==，其中正确的个数为________.【答案】1【解析】【分析】由分布列先求出a ，再利用公式计算()E X 和()D X 即可.【详解】解：由题意知：10.20.30.5a =--=，即()10.5P X ==；()10.200.310.50.3E X ∴=-⨯+⨯+⨯=()()()()2220.210.30.300.30.510.3D X =⨯--+⨯-+⨯- 0.380.0270.2450.652=++=综上，故（1）正确，（2）（3）错误，正确的个数是1.故答案为：1.【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属于基础题.14．从0、1、2、3、4中取3个不同的数组成一个三位数，且这个数大于200，共有_____不同的可能．【答案】36【解析】【分析】由题意得知，三位数首位为2、3、4中的某个数，十位和个位数没有限制，然后利用分步计数原理可得出结果.【详解】由于三位数比200大，则三位数首位为2、3、4中的某个数，十位数和个位数没有限制，因此，符合条件的三位数的个数为123431236C A =⨯=，故答案为36.【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分步计数原理的应用，本题考查数字的排列问题，解题时要弄清楚首位和零的排列，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．命题“x R ∃∈，330x x +-=”的否定是______.【答案】3,30x R x x ∀∈+-≠【解析】【分析】特称命题的否定为全称命题，即可求解.【详解】解：由题意知，原命题的否定是：3,30x R x x ∀∈+-≠.故答案为: 3,30x R x x ∀∈+-≠.【点睛】本题考查了命题的否定.易错点是混淆了命题的否定和否命题的概念.这类问题的常见错误是没有改变量词，或者对于大于的否定变成了小于.16．设函数()()()2,(0)x x f x x g x a e e a -==+->，若对任意的1[2,3]x ∈，存在2[ln 2,ln 2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________. 【答案】215[,]102 【解析】【分析】由任意的1[2,3]x ∈，存在2[ln 2,ln 2]x ∈-，使得12()()f x g x =，可得()f x 在1[2,3]x ∈的值域为()g x 在2[ln 2,ln 2]x ∈-的值域的子集，构造关于实数a 的不等式，可得结论。

嘉兴市名校2019-2020学年数学高二下期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．奇函数()f x 的定义域为R .若(3)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(6)(11)f f +=( ) A ．2- B ．1-C ．0D ．1【答案】B 【解析】(3)f x +Q 是偶函数，()f x ∴ 关于3x =对称，()f x Q 是奇函数(6)(0)0,(11)(5)(5)(1)1(6)(11)1f f f f f f f f ∴===-=-=-=-∴+=- 。

故选B 。

2．某地区一次联考的数学成绩X 近似地服从正态分布()285,N σ，已知()1220.96P X ≤=，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为（） A ．6 B ．4C ．94D ．96【答案】B 【解析】 【分析】由已知根据正态分布的特点，可得()1220.04P X >=，根据对称性，则()480.04P X <=，乘以样本个数得答案． 【详解】由题意，知()1220.96P X ≤=，可得()1220.04P X >=， 又由对称轴为85x =，所以()480.04P X <=， 所以成绩小于48分的样本个数为1000.044⨯=个． 故选：B ． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及考查正态分布中两个量μ和σ的应用，其中熟记正态分布的对称性是解答的关键，属于基础题．3．执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内应填入的条件是( )A ．4k >B ．5k >C ．6k >D ．7k >【答案】B 【解析】 【分析】分析程序中两个变量和流程图可知，该算法为先计算后判断的直到型循环，模拟执行程序，即可得到答案. 【详解】 程序执行如下k2S S k =+终止条件判断 0否 1 011+=否 2 2224⨯+=否 324311⨯+=否 4 211426⨯+= 否 5 226557⨯+=否62576120⨯+= 是故当6k =时120S =，程序终止，所以判断框内应填入的条件应为5k >. 故选：B. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键 4．已知0.13a =，3log 2b =，cos4c =，则（） A ．c a b << B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】【分析】通过0,1分段法，根据指数函数、对数函数和三角函数的性质，判断出10a b c >>>>，由此选出正确结论. 【详解】解：∵0.10331>=，3330log 1log 2log 31=<<=，342ππ<<，cos40<； ∴c b a <<.故选C. 【点睛】本小题主要考查利用对数函数、指数函数和三角函数的性质比较大小，考查0,1分段法比较大小，属于基础题.5． “4x ≥”是“2230x x -->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断充分条件、必要条件； 【详解】解：因为2230x x -->，所以3x >或1x <-，即()(),13,x ∈-∞-+∞U 因为[)4,+∞ ()(),13,-∞-+∞U ，所以“4x ≥”是“2230x x -->”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，充分条件、必要条件的判定，属于基础题.6．圆221:2880C x y x y +++-=与222:4420C x y x y +-+-=的位置关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题是给两圆标准方程为：()()()()222212:1425,:2216C x y C x y +++=-++=，因为12|54|C C =<+，所以两圆相离，故选D. 考点：圆与圆的位置关系．7．已知向量(2,1)a =--r ，(3,2)b =r ，则2a b =-r r （ ）A ．(6,4)--B ．(5,6)--C ．(8,5)--D ．(7,6)--【答案】C 【解析】 【分析】由已知向量的坐标运算直接求得2a b -r r 的坐标．【详解】∵向量a =r（-2，﹣1），b =r（3，2），∴2(2,1)2(3,2)(8,5)a b -=---=--r r.故选C. 【点睛】本题考查了向量坐标的运算及数乘运算，属于基础题.8．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ） A ．{}22x x -≤< B ．{}2x x ≥- C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤<【答案】B 【解析】 【分析】求解出集合M ，根据并集的定义求得结果. 【详解】(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<<Q {}2M N x x ∴⋃=≥-本题正确选项：B 【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.9．已知集合{1,1}A =-，{1,0,1}B =-，则集合{|,}C a b a A b B =+∈∈中元素的个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】由题意得，根据{|,}C a b a A b B =+∈∈，可得+a b 的值可以是：2,1,0,1,2--，共有5个值，所以集合{|,}C a b a A b B =+∈∈中共有5个元素，故选D. 考点：集合的概念及集合的表示.10．现有男、女学生共人，从男生中选人，从女生中选人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A ．男生人，女生人 B ．男生人，女生人 C ．男生人，女生人 D ．男生人，女生人 【答案】B【解析】试题分析：设男学生有人，则女学生有人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案,，，∴,故选B ．考点：排列、组合的实际应用．11．已知x ，y 的线性回归直线方程为$0.82 1.27y x =+，且x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的为A ．变量x ，y 之间呈现正相关关系B ．可以预测，当5x =时，$5.37y =C ． 2.09m =D ．由表格数据可知，该回归直线必过点()1.5,2.5【答案】C 【解析】 【分析】A 中，根据线性回归直线方程中回归系数b =$0.82＞0，判断x ，y 之间呈正相关关系；B 中，利用回归方程计算x ＝5时y $的值即可预测结果；C 中，计算x 、y ，代入回归直线方程求得m 的值；D 中，由题意知m ＝1.8时求出x 、y ，可得回归直线方程过点（x ，y ）． 【详解】已知线性回归直线方程为y $=0.82x+1.27，b =$0.82＞0，所以变量x ，y 之间呈正相关关系，A 正确；计算x ＝5时，y $=0.82×5+1.27＝5.37，即预测当x ＝5时y ＝5.37，B 正确；14x =⨯（0+1+2+3）＝1.5，14y =⨯（0.8+m+3.1+4.3）8.24m +=， 代入回归直线方程得8.24m+=0.82×1.5+1.27，解得m ＝1.8，∴C 错误； 由题意知m ＝1.8时，x =1.5，y =2.5，所以回归直线方程过点（1.5，2.5），D 正确． 故选C ． 【点睛】本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题．12．设()f x 是一个三次函数，()f x '为其导函数.图中所示的是()y xf x ='的图像的一部分.则()f x 的极大值与极小值分别是（ ）.A ．()1f 与()1f -B ．()1f -与()1fC ．()2f -与()2fD ．()2f 与()2f -【答案】C 【解析】 【详解】易知，()'y xf x =有三个零点0,2x =±因为()'f x 为二次函数，所以，它有两个零点2x =± 由图像易知，当02x <<时，()'0f x <； 当2x >时，()'0f x >，故()2f 是极小值 类似地可知，()2f -是极大值. 故答案为：C二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．在极坐标系中，点4,4A π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线sin 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的距离为________. 【答案】3 【解析】将A 和直线化成直角坐标系下点和方程，再利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由已知，在直角坐标系下，(22,22)A ，直线方程为20x y +-=，所以A 到直线20x y +-=的距离为22|22222|311+-=+.故答案为：3 【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. 14．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x （元） 4 5 6 7 8 9 销量y （件） 908483807568由表中数据，求得线性回归方程为$4y x a =-+，则实数a =______. 【答案】106 【解析】 【分析】求出样本中心坐标，代入回归方程即可求出a 值. 【详解】 解：()11345678962x =+++++=，()1908483+80+75+68=806y =++， 将13802⎛⎫⎪⎝⎭，代入回归方程得1380=42a -⨯+，解得106a =. 故答案为：106. 【点睛】本题考查回归方程问题，属于基础题. 15．直线与圆交于两点，过分别作轴的垂线与轴交于两点，若，则整数__________．【答案】1 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离可求出d ，再利用勾股定理求得答案.解：可得直线直线ax ﹣ay ﹣1＝0的斜率为1． 圆心（2，0）到直线距离，∵|CD|＝1，∴|AB||CD|，∴，整数a ＝1，故答案为：1． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力，分析能力，计算能力，难度不大. 16．某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，则成绩在80分以上的人数为__________．【答案】25 【解析】分析：先求成绩在80分以上的概率，再根据频数等于总数与对应概率乘积求结果.详解：因为成绩在80分以下的概率为(0.0050.03+0.0410=0.75+⨯），所以成绩在80分以上的概率为10.750.25-=，因此成绩在80分以上的人数为0.25100=25.⨯点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数/(x ()()2ln 1f x a x a R x =+∈+. （1）当1a =时，求()f x 在[)1,x ∈+∞最小值； （2）若()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围； （3）求证：()()*1111ln 135721n n N n +>++++∈+L . 【答案】（1）1；（2）12a <；（3）见解析 【解析】分析：（I ）可先求f′（x ），从而判断f （x ）在x ∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f （x ）在x ∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x ），可得()()()()22221211ax a x a a h x x x x x +-+=+'-=+若f （x ）存在单调递减区间，需h′（x ）＜0有正数解．从而转化为：ax 2+2（a ﹣1）x+a ＜0有x ＞0的解．通过对a 分a=0，a ＜0与当a ＞0三种情况讨论解得a 的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x ＞1时，2ln 11x x +>+，即1ln 1x x x ->+.，再构造函数，令1k x k +=，有11ln 21k k k +>+，从而1111ln 21nn k k k k k ==+>+∑∑，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln （n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒1ln23>，成立；设n k =时，命题成立，即()111ln 13521k k +>++++L ，，再去证明n=k+1时，()()()21ln 1ln 2ln 1ln 13k n k k k ++=+=++>+即可（需用好归纳假设）．详解：（1）()2ln 1f x x x =++，定义域为()0,+∞. ∵()()()222121011x f x x x x x +=-=+'>+ ∴()f x 在()0,+∞上是增函数.()()min 11f x f ==.（2）因为()()()()22221211ax a x a a h x x x x x +-+=+'-=+ 因为若()f x 存在单调递减区间，所以()0h x '<有正数解. 即()2210ax a x a +-+<有0x >有解.①当0a =时，明显成立.②当0a <时，()221y ax a x a =+-+开口向下的抛物线，()2210ax a x a +-+<总有0x >有解；③当0a >时，()221y ax a x a =+-+开口向上的抛物线，即方程()2210ax a x a +-+=有正跟.当1x ≥时，()()11f x f ≥=；1200x x ∆>⎧⎨+>⎩，解得102a <<. 综合①②③知：12a <. 综上所述：a 的取值范围为12a <.（3）（法一）根据（1）的结论，当1x >时，2ln 11x x +>+，即1ln 1x x x ->+. 令1k x k +=，则有11ln 21k k k +>+，∴1111ln 21nn k k k k k ==+>+∑∑. ∵()11ln 1nk k n k =++>∑， ∴()111ln 13521n n +>++++L . （法二）当1n =时，()ln 1ln2n +=.∵3ln2ln81=>，∴1ln23>，即1n =时命题成立. 设当n k =时，命题成立，即()111ln 13521k k +>++++L .∴1n k =+时，()()()21ln 1ln 2ln 1ln13k n k k k ++=+=++>+ 根据（1）的结论，当1x >时，2ln 11x x +>+，即1ln 1x x x ->+. 令21k x k +=+，则有21ln 123k k k +>++，则有()1111ln 2352123k k k +>++++++L ，即1n k =+时命题也成立.因此，由数学归纳法可知不等式成立.点睛：本题考查函数的导数的应用，考查最值的求法，数学归纳法的应用，考查转化思想以及计算能力．函数在一个区间上单调递增，则函数的导函数大于等于0恒成立，函数在一个区间上存在单调增区间，则函数的导函数在这个区间上大于0有解.18．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入27．万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且22110.8,01030()1081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩.（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）【答案】（1）（2）当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大 【解析】试题分析：解：（Ｉ）当010x <≤时，3()(10 2.7)8.11030x W xR x x x =-+=--；当10x >时，1000()(10 2.7)98 2.73W xR x x x x=-+=--． ∴ 年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数关系式为38.110,010,30{100098 2.7,10.3x x x W x x x--<≤=--> （Ⅱ）当010x <≤时，由28.100910x W x =->⇒<<'，即年利润W 在(0,9)上单增，在(9,10)上单减∴ 当9x =时，W 取得最大值，且max 38.6W =（万元）． 当10x >时，100098(2.7)982900383W x x =-+≤-=，仅当1009x =时取“=” 综上可知，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为38.6万元． 考点：本试题考查了函数模型在实际生活中的的运用。

提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．双曲线C ：22219x y b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 在双曲线C 上，且12PF F △是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．89B ．149C ．83D ．1432．若复数z 满足()1i z i +=，则在复平面内，z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为18和p ，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940，则p =（ ）A ．110B ．215 C ．16 D ．154．函数()f x 的定义域为R ，且()()3f x f x =-，当20x -≤<时，()()21f x x =+；当01x ≤<时，()21f x x =-+，则()()()()1232018(2019)f f f f f +++++=A ．672B ．673C ．1345D ．13465．已知函数1()ln xf x x ax-=+，若函数()f x 在[1∞,+）上为增函数，则正实数a 的取值范围为（） A ．()1,+∞B ．[1,)+∞C ．()0,1D ．(01]，6．若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7．已知服从正态分布()2,N μσ的随机变量，在区间(),μσμσ-+、()2,2μσμσ-+和()3,3μσμσ-+内取值的概率分别为68.3%、95.4%、和99.7%.某企业为1000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm ）服从正态分布()173,25N ，则适合身高在163183cm 范围内员工穿的服装大约要定制（ ） A ．683套B ．954套C ．932套D ．997套8．一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸A ．25B ．712C ．1225D ．16259．4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有（ ） A ．34种B ．43种C ．34A 种D ．34C 种10．设随机变量X 的分布列如下：则方差D (X)＝（）． A ．0B ．1C ．2D ．311．在某个物理实验中，测得变量x 和变量y 的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y0.99-0.010.982.00则下列选项中对x ，y 最适合的拟合函数是（ ） A ．2y x =B ．21y x =-C ．22y x =-D ．2log y x =12．甲、乙两支球队进行比赛，预定先胜 3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.结束除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立.则甲队以3：2获得比赛胜利的概率为（ ） A ．281B ．427C ．827D ．1681二、填空题：本题共4小题13．已知F 是双曲线22:14y C x -=的右焦点，C 的右支上一点P 到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点Q 满足FP PQ λ=，则λ=________________．14．某工厂在试验阶段大量．．生产一种零件，这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为12，至少一项技术指标达标的概率为34.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，则E ξ=______.()3422i i+16．已知P 是底面为正三角形的直三棱柱111ABC A B C -的上底面111A B C △的中心，作平面BCD AP ⊥与棱1AA 交于点D ．若122AA AB ==，则三棱锥D ABC -的体积为_____． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年嘉兴市数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．从混有4张假钞的10张一百元纸币中任意抽取3张，若其中一张是假币的条件下，另外两张都是真币的概率为（ ） A ．512B ．58C ．35D ．12【答案】A 【解析】分析:直接利用条件概率公式求解.详解：由条件概率公式得26291553612C P C ===.故答案为A 点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对条件概率的掌握水平.(2) 条件概率一般有“在A 已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生， 发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.2．对相关系数r ，下列说法正确的是（ ） A ．r 越大，线性相关程度越大 B ．r 越小，线性相关程度越大C ．r 越大，线性相关程度越小，r 越接近0，线性相关程度越大D ．1r ≤且r 越接近1，线性相关程度越大，r 越接近0，线性相关程度越小 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个变量之间的相关系数r 的基本特征，直接选出正确答案即可． 【详解】用相关系数r 可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，|r|≤1， r 的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强， r 的绝对值接近于0时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系， 故选D ． 【点睛】本题考查两个变量之间相关系数的基本概念应用问题，是基础题目． 3．设命题:p x ∃∈R ，22012x >，则P ⌝为（ ）． A ．x ∀∈R ，22012x ≤ B ．x ∀∈R ，22012x > C ．x ∃∈R ，22012x ≤D ．x ∃∈R ，22012x <【答案】A 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果. 【详解】解：P ⌝表示对命题P 的否定，“x ∃∈R ，22012x >”的否定是“x ∀∈R ，22012x ≤” ． 故选A ． 【点睛】本题主要考查命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.4．用数学归纳法证明“211*43()n n n N -++∈能被13整除”的第二步中，当1n k =+时为了使用归纳假设，对21243k k +++变形正确的是（ ） A ．211116(43)133k k k -+++-⨯ B ．24493k k ⨯+⨯C ．211211(43)15423k k k k -+-+++⨯+⨯D ．211213(43)134k k k -+-+-⨯【答案】A 【解析】 试题分析：假设当，能被13整除， 当应化成形式，所以答案为A 考点：数学归纳法5．以下说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．“2x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C ．若命题:P 存在0x R ∈，使得20010x x -+<，则p ⌝:对任意x R ∈，都有210x x -+≥D ．若p 且q 为假命题，则,p q 均为假命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据逆否命题定义、命题否定的定义分别判断出,A C 正确；解方程得到解集和2x =的包含关系，结合充要条件的判定可知B 正确；根据复合命题的真假性可知D 错误，由此可得结果. 【详解】A 选项：根据逆否命题的定义可知：原命题的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”，可知A 正确；B 选项：由2320x x -+=，解得1,2x =，因此“2x =”是“2320x x -+=”的充分不必要，可知B正确；C 选项：根据命题的否定可知:p ⌝对任意x ∈R ，都有210x x -+≥，可知C 正确；D 选项：由p 且q 为假命题，则,p q 至少有一个为假命题，因此D 不正确.本题正确选项：D 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.6．设随机变量X 服从二项分布1(5,)2X B :，则函数2()4f x x x X =++存在零点的概率是（ ） A ．56B ．45C ．3132D ．12【答案】C 【解析】 【分析】因为函数2()4f x x x X =++存在零点，所以4X ≤.5131(4)1(5)1()232P X P X ≤=-==-=. 【详解】∵函数2()4f x x x X =++存在零点， ∴1640X ∆=-≥，∴4X ≤. ∵X 服从1(5,)2X B :，∴5131(4)1(5)1()232P X P X ≤=-==-=. 故选C 【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率求法以及二项分布，熟记公式是解题的关键，属于简单题. 7．已知随机变量ξ~B （n ，p ），且E ξ=2.4，D ξ=1.44，则n ，p 值为（ ） A ．8，0.3 B ．6，0.4C ．12，0.2D ．5，0.6【答案】B 【解析】2.40.4(1) 1.446np p np p n ==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，选B. 8．给出下列四个说法：①命题“0,x ">都有12x x+≥”的否定是“00,x ∃≤使得0012x x +<”；②已知0a b 、＞>a b >”的逆命题是真命题；③1x >是21x >的必要不充分条件;④若0x x =为函数2()2ln xf x x x x e -=++-的零点，则002ln 0x x +=，其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】对于①②③④分别依次判断真假可得答案. 【详解】对于①，命题“0,x ">都有12x x+≥”的否定是“00,x ∃>使得0012x x +<”，故①错误；对于②，>a b >”的逆命题为“若a b >>1x >则21x >，若21x >则1x >或1x <-，因此1x >是21x >的充分不必要条件，故③错误；对于④，若0x x =为函数2()2ln x f x x x x e -=++-，则020002ln =0x x x x e -++-，即()020000=2ln 0x x x e x x --+>，可令000()2ln h x x x =+，则002'()10h x x =+>，故0()h x 为增函数，令()02000=()0x g x e x x -->，显然0()g x 为减函数，所以方程00()=()h x g x 至多一解，又因为002ln 0x x +=时022000ln 0x x x e x ---∴==，所以002ln 0x x +=，则④正确，故选C. 【点睛】本题主要考查真假命题的判断，难度中等. 9．过点()3,1P 的直线l 与函数21()26x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=u u u v u u u v u u u v （ ） AB．C ．10D ．20【答案】D 【解析】 【分析】判断函数()f x 的图象关于点P 对称，得出过点()3,1P 的直线l 与函数()f x 的图象交于A ，B 两点时，得出A ，B 两点关于点P 对称，则有 2OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r，再计算()OA OB OP +⋅u u u r u u u r u u u r 的值．【详解】()52121263x f x x x -==+-- ，∴函数21()26x f x x -=-的图象关于点()3,1P 对称，∴过点()3,1P 的直线l 与函数()2126x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于点()3,1P 对称，∴ 2OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r ，则()()222223120OA OB OP OP +⋅==⨯+=u u u r u u u r u u r u u u u r ．故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．10．某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率为（ ）A ．35B ．310C ．12D ．25【答案】C 【解析】 【分析】设事件A 表示“抽到1个同学是男生”，事件B 表示“抽到的第2个同学也是男生”，则()35P A =，()3235410P AB =⨯=，由此利用条件概率计算公式能求出在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率. 【详解】设事件A 表示“抽到1个同学是男生”，事件B 表示“抽到的第2个同学也是男生”，则()35P A =，()3235410P AB =⨯=， 则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率()()()3110325P AB P B A P A ===.故选：C 【点睛】本题考查了条件概率的求法、解题的关键是理解题干，并能分析出问题，属于基础题. 11．下列等式中，错误的是（ ）A ．11(1)m m n n n A A +++=B ．!(2)!(1)n n n n =--C ．!m m nnA C n =D ．11m mn n A A n m+=- 【答案】C 【解析】分析：计算每一选项的左右两边，检查它们是否相等. 详解：通过计算得到选项A,B,D 的左右两边都是相等的.对于选项C, !m m nnA C m =,所以选项C 是错误的.故答案为C. 点睛：本题主要考查排列组合数的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本计算能力. 12．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为10，14，则输出的a =（ ）A ．6B ．4C ．2D ．0【答案】C 【解析】 【分析】由程序框图，先判断，后执行，直到求出符合题意的a . 【详解】由题意，可知10a =，14b =，满足a b ¹，不满足a b >，则14104b =-=， 满足a b ¹，满足a b >，则1046a =-=， 满足a b ¹，满足a b >，则642a =-=， 满足a b ¹，不满足a b >，则422b =-=， 不满足a b ¹，输出2a =. 故选C. 【点睛】本题考查了算法和程序框图，考查了学生对循环结构的理解和运用，属于基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．如图，两条距离为4的直线都与y 轴平行，它们与抛物线()22014y px p =-<<和圆()2249x y -+=分别交于A ，B 和C ，D ，且抛物线的准线与圆相切，则22AB CD ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】 【分析】先设直线AB 的方程为()03x t t =-<<，再利用直线与圆锥曲线的位置关系将AB CD ⋅用t 表示，再利用导数求函数的最值即可得解. 【详解】解：由抛物线的准线与圆相切得12p=或7，又014p <<，∴2p =. 设直线AB 的方程为()03x t t =-<<，则直线CD 的方程为4x t =-， 则())2224298903AB CD t t t t t ⋅=-=-<<.设()()()2903f t t tt =-<<，()2'93f t t=-，令()'0f t >，得03t <<令()'0f t <，33t <<. 即函数()f t 在(3为增函数，在)3,3为减函数，故()max363f t f ==22AB CD ⋅的最大值为28633843⨯=，故答案为：3【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，重点考查了运算能力，属中档题.14．定义函数{}()max ,f x x x λλ=-，x ∈R ，其中0λ>，符号max{,}a b 表示数,a b 中的较大者，给出以下命题： ①()f x 是奇函数；②若不等式(1)(2)1f x f x -+-≥对一切实数x 恒成立，则1λ≥③=1λ时，()()(1)(2)(100)F x f x f x f x f x =+-+-++-L 最小值是2450 ④“0xy >”是“()()()f x f y f x y +≥+”成立的充要条件 以上正确命题是__________．（写出所有正确命题的序号）【答案】② 【解析】 【分析】函数()f x 等价于()f x x λ=.利用奇偶性排除①，利用利用分离常数法，判断②正确.利用倒序相加法判断③错误. 【详解】函数()f x 等价于()f x x λ=，.这是一个偶函数，故命题①错误.对于命题②，不等式等价于()121x x λ-+-≥，即max112x x λ⎛⎫≥ ⎪ ⎪-+-⎝⎭由于12x x -+-()()121x x ≥---=，故max1112x x ⎛⎫= ⎪ ⎪-+-⎝⎭，所以1λ≥，故命题②是真命题.对于③，当1λ=时，()1100F x x x x L =+-++-，()10099F x x x x =-+-++L 两式相加得()()()()2100199100F x x x x x x x =+-+-+-++-+L ，而()100100100x x x x +-≥--=，()19919998x x x x -+-≥---=，以此类推，可得()()()2210098962,100989622550F x F x >++++>++++=L L .故③为假命题.对于④()()()f x f y x y λ+=+，()f x y x y λ+=+，即+≥+x y x y ，这对任意的,x y 都成立，故0xy >不是它的充要条件.命题④错误.故填②.【点睛】本小题主要考查对于新定义概念的理解.将新定义的概念，转化为绝对值不等式来解决，属于化归与转化的数学思想方法.15．已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x 的线性回归方程为ˆy＝1.3x －1，则m ＝________. x 1 2 3 4 y0.11.8m4【答案】3.1. 【解析】分析：利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解. 详解：由题意得＝ (1＋2＋3＋4)＝2.5， 代入线性回归方程得＝1.3×2.5－1＝2.25，∴2.25＝ (0.1＋1.8＋m ＋4)，解得m ＝3.1. 故答案为：3.1.点睛：本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，比较基础.16．用反证法证明命题：“定义在实数集上的单调函数()y f x =的图象与x 轴至多只有1个交点”时，应假设“定义在实数集上的单调函数()y f x =的图象与x 轴__________”． 【答案】至少有2个交点 【解析】分析：反证法证明命题，只否定结论，条件不变。

2019-2020学年浙江省嘉兴市数学高二(下)期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知5,6()(2),6x xf xf x x-≥⎧=⎨+<⎩，则(3)f为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】根据自变量范围代入对应解析式，解得结果.【详解】(3)(32)(52)752f f f=+=+=-=故选：A【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.2．利用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=，（a ≠1，n N）”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a3【答案】C【解析】考点：数学归纳法．分析：首先分析题目已知用数学归纳法证明：“1+a+a1+…+a n+1=（a≠1）”在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．解：用数学归纳法证明：“1+a+a1+…+a n+1=（a≠1）”在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a1．故选C．3．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．2，4，8，16，32C．1，2，3，4，5 D．7，17，27，37，47此题考查系统抽样 系统抽样的间隔为：，只有D 的抽样间隔为10答案 D点评：掌握系统抽样的过程 4．若，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 不妨令 ，代入各个选项进行验证，找出符合条件的选项．【详解】 由题，不妨令，可得a 2＜b 2，故A 正确；，故B 正确；，故C 正确．故D 不正确．故选D ． 【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题5．已知数据123,,x x x 的中位数为k ，众数为m ，平均数为n ，方差为p ，则下列说法中，错误的是（ ） A ．数据1232,2,2x x x 的中位数为2k B ．数据1232,2,2x x x 的众数为2m C ．数据1232,2,2x x x 的平均数为2n D ．数据1232,2,2x x x 的方差为2p 【答案】D利用中位数、众数、平均数、方差的性质求解． 【详解】若数据123,,x x x 的中位数为k ，众数为m ，平均数为n ,则由性质知数据1232,2,2x x x 的中位数,众数，平均数均变为原来的2倍，故,,A B C 正确；则由方差的性质知数据1232,2,2x x x 的方差为4p,故D 错误； 故选D ． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差的应用，解题时要认真审题，是基础题．6．欧拉公式e ix ＝cos x ＋isin x(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.7．已知各项不为0的等差数列{}n a ，满足273110a a a --=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b = （ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】B去），所以772b a == ，因为数列{}n b 是等比数列，所以2268774b b b a === ，故选B.8．函数()1ln1x f x sin x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由于0x ≠,故排除A 选项.()()1sin ln1x f x f x x --⎛⎫-==- ⎪-+⎝⎭,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除C 选项.()()12sin ln sin ln 303f ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,排除D 选项,故选B.9．用秦九韶算法求n 次多项式1110()+n n n n f x a x a x a x a --=+++L ，当0x x =时，求0()f x 需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（ ） A ．(1),,2n n n n + B ．,2,n n n C ．0,2,n n D ．0,,n n【答案】D 【解析】()()112110110+n n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a -----=+++=++⋯++L()()231210n n n n a x a x a x a x a ---=++⋯+++=⋯()()()1210n n n a x a x a x a x a --=⋯++⋯++求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值， 即11n n v a x a -=+然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+. 323n v v x a -=+.…11n n v v x a -=+.这样,求n 次多项式f(x )的值就转化为求n 个一次多项式的值． ∴对于一个n 次多项式，至多做n 次乘法和n 次加法A ．160B ．-120C ．40D ．-200【答案】D 【解析】 【分析】将已知多项式展开,将求展开式中3x 的项的系数转化为求二项式展开式的项的系数;利用二项展开式的通项公式求出通项,令通项中的r 分别取32，求出二项式的含3x 和含2x 的系数． 【详解】555(12)(2)2(12)(12)x x x x x --=---5(12)x -Q 的展开式的通项为155(2)(2)r r r r r r T C x C x +=-=-，令3r =得5(12)x -展开式中3x 的项的系数是35880C -=-, 令2r =得5(12)x -展开式中2x 的项的系数是25440C =,555(12)(2)2(12)(12)x x x x x ∴--=---的展开式中3x 的项的系数是2(80)40200⨯--=-.故选:D . 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用,其中解答中熟记二项展开式的通项,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,难度较易.11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>过其右焦点F 作斜率为2的直线，交双曲线的两条渐近线于,B C 两点（B 点在x 轴上方），则BF CF=（ ）A ．2B ．3C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的离心率可得a ＝b ，求得双曲线的渐近线方程，设右焦点为（c ，0），过其右焦点F 作斜率为2的直线方程为y ＝2（x ﹣c ），联立渐近线方程，求得B ，C 的坐标，再由向量共线定理，可得所求比值． 【详解】，可得c =，即有a ＝b ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，由y ＝﹣x 和y ＝2（x ﹣c ）可得C （23c ，23c -），设BF =u u u r λFC uuu r ，即有0﹣2c ＝λ（23c--0）， 解得λ＝1，即则BF CF=1．故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 12．设123,,x x x ，均为实数，且121log (1)x e x -=+，232log x e x -=，323log x e x -=，则( )A ．321x x x <<B ．132x x x <<C ．312x x x <<D ．213x x x <<【答案】B 【解析】分析：将题目中方程的根转化为两个函数图像的交点的横坐标的值，作出函数图像，根据图像可得出123,,x x x 的大小关系.详解：在同一平面直角坐标系中，分别作出函数322,log ,log ,log (1)xy e y x y x y x -====+的图像由图可知132x x x <<，故选B.点睛：解决本题，要注意①方程()0f x =有实数根②函数()f x 图像与x 轴有交点③函数()f x 有零点13．已知点Q 及抛物线24x y =上的动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值为______.【答案】2 【解析】试题分析：设抛物线的焦点为F （0,1），由抛物线的知：=1+y PQ PF PQ +-，所以y PQ +的最小值为12FQ -=.考点：抛物线的定义；两点间的距离公式．点评：把“y PQ +的最小值”应用抛物线的定义转化为“1FQ -”，是解题的关键，考查了学生分析问题、解决问题的能力．14．已知复数()34i z +=，那么复数z 的模为______.【解析】 【分析】由模长性质求解即可. 【详解】因为()34i z +=,故z ===【点睛】本题主要考查模长的性质,若12z z z =,则12z z z =.若12z z z =⋅,则12z z z =⋅.属于基础题型. 15．若()21,X N σ~，()120.2P X <<=，()300.25P X -<<=，则()()015P X P X <<->=_____.【答案】0.15 【解析】由题意可得：()()120.2,300.25P X P X <<=-<<=，点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.16．期末考试结束后，某老师随机抽取了本班五位同学的数学成绩进行统计，五位同学平均每天学习数学的时间t （分钟）与数学成绩y 之间的一组数据如下表所示：通过分析，发现数学成绩y 与学习数学的时间t 具有线性相关关系，其回归方程为0.715ˆyt =+，则表格中的m 的值是___． 【答案】63 【解析】30407090120705x ++++==回归方程过样本中心点，则：0.7701564y =⨯+=， 即：35488292645m ++++=，解得：63m =.点睛：(1)正确理解计算$,ba $的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．甲乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关得1-分；若两人都过关或都未过关则两人均得0分.甲、乙过关的概率分别为m 和n ，在一轮闯关中，甲的得分记为X . （1）求X 的分布列；（2）为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束.(0,1,2,3,4,5,6)=i P i 表示“甲的累积得分为i 时，最终认为甲获胜”的概率，则06110,1,0-+==-+=i i k P P xP yP zP ，其中(1)==-x P X ，(0)==y P X ，(1)==z P X ，令0.5,0.6==m n .证明：点()113,,2αβ-+⎛⎫⎪⎝⎭i i M P N P 的中点横坐标为54i P ；（3）在第（2）问的条件下求2P ，并尝试解释游戏规则的公平性.【分析】（1）由题意得：1,0,1X =-，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列.（2）由题意得(10.5)0.60.3x =-⨯=，0.50.6(10.5)(10.6)0.5y =⨯+--=，0.5(10.6)0.2z =⨯-=，推导出113522i i iP P P -++=，根据中点公式能证明点()113,,2αβ-+⎛⎫⎪⎝⎭i i M P N P 的中点横坐标为54i P ； （3）由115322i i i P P P +-=-，求出65443443535533191522222244P P P P P P P P ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭106656333232P P =-，从而132665P =，210531622133P P P =-=，由此推导出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的. 【详解】（1）1,0,1X =-(1)(1)P X m n =-=-，(0)(1)(1)P X mn m n ==+--， (1)(1)P X m n ==-，X 的分布列为：（2）由题意得：(10.5)0.60.3x =-⨯=，0.50.6(10.5)(10.6)0.5y =⨯+--=， 0.5(10.6)0.2z =⨯-=.于是，有110.30.50.20i i i P P P -+-+=，整理可得：113522i i i P P P -++=， 根据中点公式有：1135224i i iP P P -++=，命题得证.（3）由（2）可知115322i ii P P P +-=-， 于是65443443535533191522222244P P P P P P P P ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭21101211195211531951616162216P P P P P ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 106656333232P P =- 又060,1P P ==，所以，132665P =， 210531622133P P P =-=. 2P 表示最终认为甲获胜概率，由计算结果可以看出，在甲过关的概率为0.5，乙过关的概率为0.6时， 认为甲获胜的概率为2160.12133P ==，此时得出甲获胜的概率非常小， 说明这种游戏规则是公平的. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，用概率说明游戏的公平性，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.18．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为325425x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），它与曲线C ：（y －2）2－x 2＝1交于A 、B 两点． （1）求|AB|的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为34π⎛⎫⎪⎝⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离． 【答案】（1（2）307【解析】 试题分析：（1）直线l 的参数方程是标准参数方程，因此可把直线参数方程代入曲线C 的方程，由利用韦达定理可得12AB t t =-；（2）把P 点极坐标化为直角坐标，知P 为直线参数方程的定点，因此利用参数t 的几何意义可得122t t PM +=． 试题解析：（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t 2+60t ﹣125=0∴21212121071()47AB t t t t tt =-=+-=． （2）由P 的极坐标为3(22,)4π，可得322cos 24P x π==-，322sin 24P y π==． ∴点P 在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2）， 根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为123027t t +=-． ∴由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为123027t t PM +==． 点睛：过点00(,)P x y ，倾斜角为α的直线的标准参数方程00cos (sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数），其中直线上任一点M 参数的参数t 具有几何意义：PM t =，且PM u u u u r 方向向上时，t 为正，PM u u u u r方向向下时，t 为负． 19．若二面角AB αβ--的平面角是直角，我们称平面α垂直于平面β，记作αβ⊥.（1）如图，已知αβ⊥，AB αβ=I ，l α⊂，且l AB ⊥，求证：l β⊥；（2）如图，在长方形ABCD 中，3AB =4BC =，将长方形ABCD 沿对角线BD 翻折，使平面BCD ⊥平面ABD ，求此时直线AC 与平面ABD 所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）21CAE ∠=. 【解析】【分析】（1）在β内过点D 作CD AB ⊥，根据题意得到⊥l CD ，进而可得出结论；（2）过点C 作CE BD ⊥于点E ，连接AE ，得到CAE ∠即是直线AC 与平面ABD 所成角，根据题中条件，求出23CE =2BE =，由余弦定理得到27=AE .【详解】（1）在β内过点D 作CD AB ⊥，因为αβ⊥，AB αβ=I ，l α⊂且l AB ⊥，所以⊥l CD ，因为⋂=AB CD C ，所以l β⊥；（2）过点C 作CE BD ⊥于点E ，连接AE ，因为平面BCD ⊥平面ABD ，所以CE ⊥平面ABD ，所以CAE ∠即是直线AC 与平面ABD 所成角；又在长方形ABCD 中，43AB =，4BC =，所以8BD =，30∠=o CDB ；因此23⋅==CD CB CE BD，所以2BE =， 又30∠=∠=o ABD CDB ，由余弦定理可得：22232cos30484243228=+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=o AE BA BE BA BE ， 所以27=AE ，所以2321tan 727∠===CE CAE AE ， 因此直线AC 与平面ABD 所成角的大小为21arctan7CAE ∠=.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及求直线与平面所成的角，熟记线面垂直的判定定理，以及几何法求线面角即可，属于常考题型.20．已知F(x)＝()14x t t dt --⎰，x ∈(－1，＋∞)．(1)求F(x)的单调区间；(2)求函数F(x)在[1，5]上的最值．【答案】（1）单调递增区间为(－1，0)和(4，＋∞)，单调递减区间为(0，4)；（2）最大值为23，最小值为325-. 【解析】【分析】(1)由微积分基本定理可得出F(x)的表达式，进而求出其导数F′(x)，令F′(x)>0，F′(x)<0解次不等式即可得出F(x)的单调增区间和单调减区间．(2)由（1）可得F(x)在[1，5]上的单调性，即可得出其最值．【详解】 解：(1)F′(x)＝′＝x 2－4x ，由F′(x)>0，即x 2－4x>0，得－1<x<0或x>4；由F′(x)<0，即x 2－4x<0，得0<x<4，所以F(x)的单调递增区间为(－1，0)和(4，＋∞)，单调递减区间为(0，4)．(2)由(1)知F(x)在[1，4]上递减，在[4，5]上递增．因为F(1)＝－2＋＝，F(4)＝×43－2×42＋＝－，F(5)＝×53－2×52＋＝－6， 所以F(x)在[1，5]上的最大值为，最小值为－. 【点睛】本题考察微积分定理以及利用导数解决函数单调性和闭区间上的最值的问题．属于中档题．21．已知函数232()(1)f x a x a x x b =-+++在1x =处取得极小值1．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[0,2]上的最值．【答案】（1）32()21f x x x x =-++（2）最小值为1，最大值为2．【解析】【分析】（1）利用导数，结合()f x 在1x =处取得极小值1，求得a 的值，由此求得()f x 解析式.（2）根据()f x 在区间[]0,2上的单调性，结合函数的极值以及区间端点的函数值，求得()f x 在区间[]0,2上的最值.【详解】（1）22()32(1)1f x a x a x '=-++，由2(1)321(1)(31)0f a a a a '=--=-+=，得1a =或13a =-． 当1a =时，2()341(1)(31)f x x x x x '=-+=--，则()f x 在1(,),(1,)3-∞+∞上单调递增，在1(,1)3上单调递减，符合题意，由(1)1211f b =-++=，得1b =； 当13a =-时，214(1)(3)()1333x x f x x x '--=-+=，则()f x 在(,1),(3,)-∞+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减，()f x 在1x =处取得极大值，不符合题意．所以32()21f x x x x =-++． （2）由（1）知()f x 在1[0,),(1,2]3上单调递增，在1(,1)3上单调递减， 因为131(0)(1)1,(),(2)3327f f f f ====，所以()f x 的最小值为1，最大值为2． 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.22．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表： 零件的个数x （个） 23 4 5 加工的时间y （小时） 2.53 4 4.5参考公式：()()()1122211n ni i i ii i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====----==--∑∑∑∑，a y bx =-，残差µµi ii e y y =- （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（3）求第二个点的残差值，并预测加工10个零件需要多少小时？【答案】（1）见解析；（2）0.7 1.05y x =+；（3）0.15-；8.05个小时【解析】【分析】按表中信息描点．利用所给公式分别计算出ˆb和ˆa残差222ˆˆey y =-，计算出10ˆy 即为预测值． 【详解】（1）作出散点图如下：（2）()12345 3.54x =+++=，()1 2.534 4.5 3.54y =+++= 42154i i x==∑，4152.5i i i x y ==∑ 252.54 3.5 3.50.7544 3.5b -⨯⨯∴==-⨯， 3.50.7 3.5 1.05a =-⨯= ∴所求线性回归方程为：0.7 1.05y x =+（3）20.73 1.05 3.15ˆy=⨯+=Q 2223 3.150.1ˆˆ5ey y ∴=-=-=- 当10x =代入回归直线方程，得0.710 1.058.05y =⨯+=（小时） ∴加工10个零件大约需要8.05个小时【点睛】本题考查线性回归直线，考查学生的运算能力，属于基础题．。