2012压轴题最后冲刺分类强化训练4
——图形变换之旋转、折叠
1．直角三角板ABC 中，∠A =30°，BC ＝1.将其绕直角顶点C 逆时针旋转一个角α（0120α<<
且90α≠
），得到Rt △A B C ''.
（1）如图，当边A B ''经过点B 时，求旋转角α的度数；
（2）在三角板旋转的过程中，边A C '与AB 所在直线交于点D ，过点 D 作DE ∥A B ''
交CB '边于点E ，联结BE .
① 当090α<<
时，设AD =x ，BE =y ，求y 与x 之间的函数解析式及自变量x 的取值范围； ② 当1
3
BDE ABC S S ??=
时，求AD 的长.
解（1）在Rt △ABC 中，∵∠A =30°，∴60ABC ∠=
．
由旋转可知：'
B C BC =，'
60B ABC ∠=∠=
，'
B CB α∠=∠ ∴△'
B B
C 为等边三角形． ∴'
B CB α∠=∠＝60
．
（2）① 当090α?<
∵ DE ∥''A B ， ∴ CD CE
CA CB =
''
. 由旋转性质可知，CA ='CA ，CB ='CB ， ∠ACD=∠BCE .
∴
CD CE CA CB = ∴ CD CA
CE CB
=
. ∴ △CAD ∽△CBE . ∴
BE BC AD AC =
.∵∠A =30° ∴y x =33BC
AC
=. ∴3
3
y x =
（0﹤x ﹤2） ②当090α?<
C B A 备用图
C B
A
备用图
E
D
B'
A'
C
B
A
AD =x ，2BD AB AD x =-=-，∠DBE=90°. 此时，2113323(2)2236
BDE
x x x
S S BD BE x -+==?=-?= . 当S =13ABC S ?时，2323366
x x -+=.整理，得 2
210x x -+=.
解得 121x x ==，即AD =1.
当90120α?<
211
3323(2)223
6
B D E
x
x x S S B D B E x -
==?=-?
=
.
当S =13ABC S ?时，23233
66
x x -=.
整理，得
2210x x --=.
解得 112x =+，212x =-（负值，舍去）. 即1+2AD =.
综上所述：AD =1或1+2AD =.
2.(1)动手操作：如图①，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点ｃ
'处，折痕为EF ，若∠ABE =20°，那么C EF '∠的度数为 。
（2）观察发现：小明将三角形纸片ABC （AB ＞AC ）沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到△AEF （如图③）．小明认为△AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（3）实践与运用：
将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF ，折痕与AD 边交于点E ，与BC 边交于点F ；将矩形ABFE 与矩形EFCD 分别沿折痕MN 和PQ 折叠，使点A 、点D 都与点F 重合，展开纸片，此时恰好有MP =MN =PQ （如图④）,求∠MNF 的大小。
E
D
B'
A'
C
B
A
Ｂ
Ｆ
ＣＥ
Ｄ
Ａ
图①
图②图③F
E
D B C A
C D B A
Ｄ
Ｎ
Ｃ
Ｑ
Ｆ
ＥＰ
ＭＢ
Ａ
图④
1解(1) 125°
(2) 同意
∵点A 与点D 是沿EF 折叠的且重合，折痕为EF ，
∴A 、D 关于EF 对称， ∴ EF ⊥AD 、AE =ED 、AF =DF 又 ∵沿过点A 的直线折叠时，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ∴ ∠DAE =∠DAF 可得AE =AF
∴△AEF 是等腰三角形 (3) 由题意易得∠NMF =∠AMN =∠MNF ， ∴ MF =NF ，由对称可知，MF =PF ，
∴ NF =PF ，而由题意得，MP =MN ，又MF =MF ，
∴ 三角形MNF 和三角形MPF 全等， ∴ ∠PMF =∠NMF ，而∠PMF + ∠NMF +∠MNF =180度， 即3∠MNF =180度，
∴ ∠MNF =60度
3.如图，在平面直角坐标系中，点A （0，6），点B 是x 轴上的一个动点，连结AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90o ，得到线段BC .过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D .设点B 坐标是（t ，0）. （1）当t =4时，求直线AB 的解析式；
（2）当t >0时，用含t 的代数式表示点C 的坐标及△ABC 的面积；
（3）是否存在点B ,使△ABD 为等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的点B 的坐标；
若不存在，请说明理由.
3.解：（1）当t =4时，B (4,0) 设直线AB 的解析式为y = kx +b . 把 A (0,6)，B (4,0) 代入得：
?
??b =6
4k +b =0 , 解得：???k =－3
2b =6
, ∴直线AB 的解析式为：y =－3
2x +6.
(2) 过点C 作CE ⊥x 轴于点E
M y O
C
A
B
x
D
由∠AOB =∠CEB =90°，∠ABO =∠BCE ，得△AOB ∽△BEC . ∴12BE CE BC AO BO AB ===， ∴BE = 12AO =3，CE = 12OB = t
2，
∴点C 的坐标为(t +3，t 2).
方法一：
S 梯形AOEC = 12OE·(AO +EC )= 12(t +3)(6+t 2)=14t 2+15
4t +9，
S △ AOB = 12AO ·OB = 1
2×6·t =3t ，
S △ BEC = 12BE ·CE = 12×3×t 2= 3
4t ，
∴S △ ABC = S 梯形AOEC － S △ AOB －S △ BEC
=
14t 2+154t +9－3t －34t = 1
4
t 2+9. 方法二：
∵AB ⊥BC ，AB =2BC ，∴S △ ABC = 1
2AB ·BC = BC 2.
在Rt △ABC 中，BC 2= CE 2+ BE 2 = 1
4t 2+9，
即S △ ABC = 1
4
t 2+9.
(3)存在，理由如下： ①当t ≥0时. Ⅰ.若AD ＝BD . 又∵BD ∥y 轴
∴∠OAB =∠ABD ，∠BAD =∠ABD ， ∴∠OAB =∠BAD . 又∵∠AOB =∠ABC ， ∴△ABO ∽△ACB ， ∴12OB BC AO AB ==， ∴t 6 = 12， ∴t =3，即B (3，0).
Ⅱ.若AB ＝AD .
延长AB 与CE 交于点G ， 又∵BD ∥CG ∴AG ＝AC
过点A 画AH ⊥CG 于H ．
y O
C
A
B
x
D
E
y O
C
A
B
x
D
E
y
O
C
A B
D E H G x
∴CH ＝HG ＝1
2 CG
由△AOB ∽△GEB ， 得GE BE ＝AO OB ， ∴GE = 18
t
.
又∵HE ＝AO ＝６，CE ＝t
2
∴18t ＋６＝12 ×（t 2＋18t ） ∴t 2-24t -36=0 解得：t =12±6 5. 因为 t ≥0，
所以t =12＋65，即B (12＋65，0).
Ⅲ.由已知条件可知，当0≤t <12时，∠ADB 为钝角，故BD ≠ AB . 当t ≥12时，BD ≤CE ②当－3≤t <0时，如图，∠DAB 是钝角.设AD =AB ， 过点C 分别作CE ⊥x 轴，CF ⊥y 轴于点E ，点F . 可求得点C 的坐标为(t +3，t 2)， ∴CF =OE =t +3，AF =6－t 2 ， 由BD ∥y 轴，AB =AD 得， ∠BAO =∠ABD ，∠FAC =∠BDA ，∠ABD =∠ADB ∴∠BAO =∠FAC ， 又∵∠AOB =∠AFC =90°， ∴△AOB ∽△AFC ， ∴ BO AO CF AF = ， ∴6362t t t -=+-， ∴t 2-24t -36=0 解得：t =12±6 5.因为－3≤t <0， 所以t =12－65，即B (12－65，0). ③当t <－3时，如图，∠ABD 是钝角.设AB =BD ， 过点C 分别作CE ⊥x 轴，CF ⊥y 轴于点E ，点F ， 可求得点C 的坐标为(t +3，t 2)， ∴CF = －(t +3)，AF =6－t 2， ∵AB =BD ， y O C A B x D E F A O x y C B D E F ∴∠D =∠BAD . 又∵BD ∥y 轴， ∴∠D =∠CAF ， ∴∠BAC =∠CAF . 又∵∠ABC =∠AFC =90°，AC =AC ， ∴△ABC ≌△AFC ， ∴AF ＝AB ，CF =BC ， ∴AF =2CF ，即6－t 2 =－2(t +3)， 解得：t =－8，即B (－8，0). 综上所述，存在点B 使△ABD 为等腰三角形，此时点B 坐标为： B 1 (3，0)，B 2 (12＋65，0)，B 3 (12－65，0)，B 4(－8，0). 4．如图11-1，已知矩形ABCD 中，BC AB 3 4 =， O 是矩形ABCD 的中心，过点O 作OE ⊥AB 于E ，作OF ⊥BC 于F ，得矩形BEOF ． （1）线段AE 与CF 的数量关系是_____，直线AE 与CF 的位置关系是_____；（2分） （2）固定矩形ABCD ，将矩形BEOF 绕点B 顺时针旋转到如图11-2的位置，连接AE 、CF ．那 么（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；（3分） （3）若AB =8，当矩形BEOF 旋转至点O 在CF 上时（如图11-3），设OE 与BC 交于点P ， 求PC 的长．（3分） 解：（1）3 4 34== CF AE CF AE 或；或互相垂直CF AE ⊥ （2）（1）中的结论仍然成立 延长AE 交BC 于H ，交CF 于G ，由已知得 AB BE 21= ，BC BF 21 = ∴21==BC BF AB BE ∵∠ABC =∠EBF =90，∴∠ABE =∠CBF ∴△ABE ∽△CBF ∴∠BAE =∠BCF ， 3 4 ==BC AB CF AE ∵∠BAE +∠AHB =90o，∠AHB =∠CHG ∴∠BCF +∠CHG =90o A B C D O E F 图1 图2 A B C D O E F A 图3 B D C E O F P 图2 A B C D O E F G H ∴∠CGH = 180–（∠BCF +∠CHG ）=90o ∴AE ⊥CF ，且AE = CF 3 4 （3）解：∵AB =BC 3 4 ，AB =8， ∴BC =6 ∴BE =OF =4，BF =OE =3 ∵点O 在CF 上，∴∠CFB =90o ∴CF =3336222 2 =-=-BF BC ∴OC =CF –OF =433- ∵∠CPO =∠BPE ，∠PEB =∠POC =90o ∴△BPE ∽△CPO ，∴ BE OC BP CP = 设CP = x ，则BP = 6–x ∴ 44336-= -x x ，解得：3 3 818-=x ∴3 3 818-=PC 5．已知：如图（1），△OAB 是边长为2的等边三角形，0A 在x 轴上，点B 在第一象限内； △OCA 是一个等腰三角形，OC ＝AC ，顶点C 在第四象限，∠C ＝120°．现有两动点P 、Q 分别从A 、O 两点同时出发，点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动，点P 以每秒3个单位的速度沿A →O →B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止. （1）求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系，并写出自 变量t 的取值范围； （2）在OA 上（点O 、A 除外）存在点D ，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出所有 符合条件的点D 的坐标； （3）如图（2），现有∠MCN ＝60°，其两边分别与OB 、AB 交于点M 、N ，连接MN ．将 ∠MCN 绕着C 点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M 、N 始终在边OB 和边AB 上．试判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． A 图3 B D C E O F P 解：（1）过点C 作CD OA ⊥于点D ．（如图①） ∵OC AC =，120ACO ∠=?，∴30AOC OAC ∠=∠=?． ∵OC AC =，CD OA ⊥， ∴1OD DA ==． 在Rt ODC ?中，123 cos cos303 OD OC AOC = == ∠? （1）当2 03 t << 时，OQ t =,3AP t =,23OP OA AP t =-=-； 过点Q 作QE OA ⊥于点E ．（如图①） 在Rt OEQ ?中，∵30AOC ∠=?，∴122 t QE OQ == ， ∴21131(23)22242 OPQ t S OP EQ t t t ?=?=-? =-+． 即23 142 S t t =-+ ． （图①） （2）当 223 33 t <≤ 时，（如图②） OQ t =，32OP t =-． ∵60BOA ∠=?，30AOC ∠=?，∴90POQ ∠=?． ∴21 13(32)222 OPQ S OQ OP t t t t ?=?=?-=-． 即232 S t t =-． 故当203t << 时，23142S t t =-+，当22333t <≤时，232 S t t =- （2）23(,0)3或2(,0)3 （3）BMN ?的周长不发生变化． 延长BA 至点F ，使AF OM =，连结CF ．（如图③） ∵90,MOC FAC OC AC ∠=∠=?=，∴MOC ?≌FAC ?． ∴MC CF =，MCO FCA ∠=∠ ∴FCN FCA NCA MCO NCA ∠=∠+∠=∠+∠60OCA MCN =∠-∠= ． ∴FCN MCN ∠=∠． 又∵,MC CF CN CN ==． F N M A B C O x y 24题答图③ 题答图② P Q y x O C B A ∴MCN ?≌FCN ?．∴MN NF = ∴BM MN BN BM NF BN ++=++AF BA OM BO ++-=BA BO =+4=． ∴BMN ?的周长不变，其周长为4 6．如图，已知正方形ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点M 在线段BF 上（不 与点B 重合），连接EM ，将线段EM 绕点M 顺时针旋转90°得MN ，连接FN ． （1）特别地，当点M 为线段BF 的中点时，通过观察、测量、推理等， 猜想：∠NFC = °， =BM NF ； （2）一般地，当M 为线段BF 上任一点（不与点B 重合）时，（1） 中的猜想是否仍然成立？请说明理由； （3）进一步探究：延长FN 交CD 于点G ，求FM NG 的值． 解：（1）45°，2；（每空2分）…………4分 （2）答：仍然成立…………5分 理由一：过点N 作NP ⊥BC 于P ，∴∠B =∠MPN ＝90° ∵∠BME +∠BEM =90°，∠BME +∠NMP =90° ∴∠BEM =∠NMP 又∵EM =MN ，∴△EBM ≌△MPN …………7分 ∴BM ＝PN ，EB ＝MP 又∵BF ＝EB ，∴BF ＝MP ∴BM ＝FP ∴PN ＝FP …………8分 ∴∠NFP =45°…………9分 NF ＝2FP ＝2BM ，即2=BM NF …………10分 理由二：在EB 上取一点P ，使得BP ＝BM ，连接PM ， ∵∠BME +∠BEM ＝90°，∠BME +∠NMF ＝90°， ∴∠BEM ＝∠NMF 又∵EM =MN ，EP =MF ， ∴△EPM ≌△MFN …………7分 ∴∠MFN =∠EPM ∵BP ＝BM ，∴∠BPM =45°…………8分 ∴∠NFC =∠BPM =45°…………9分 NF ＝PM =2BM ，即2=BM NF …………10分 （3）由（2）得∠NFC =45°，∴△FCG 是等腰直角三角形 ∴FC ＝GC ，FG =2FC =2BF …………12分 （第6题图） A B C D E M F N G （理由一） A B C D E M F N G P A B C D E M F N G P （理由二） 又由（2）得NF ＝2BM ， ∴NG = FG －NF ＝2BF －2BM ＝2MF 即2=FM NG …………14分 7.如图10， E 是正方形ABCD 中CD 边上的一点，AB =3，把△ADE 绕点A 旋转后得△ABF ，∠EAF 的平分线交BC 于点G ，连接GE ． (1)求证：EG =FG ； (2) 若∠DAE =15°，求GE 的长； (3) 当点E 位于何处时，△ADE 与△CGE 相似？并说明理由． 解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠DAB =∠ABC =∠D =∠C =90°AB = BC = AD = CD =3 ∵△ADE 绕点A 旋转后得△ABF ∴△ADE ≌△ABF ∠EAF =∠DAB =90° ∴AE = AF ∠ABF =∠D =90°∠BAF =∠DAE ∴∠FBG =∠ABF+∠ABC =180°，即点F 、B 、G 在同一直线上 ∵AE = AF ∠F AG =∠EAG AG=AG ∴△AEG ≌△AFG ∴EG =FG （2）∵∠F AG =∠EAG =∠EAF /2=45°∠BAF =∠DAE =15° ∴∠BAG =∠F AG- ∠BAF =30° ∴13 3 3tan =? =∠?=BAG AB BG ∴13-= -=BG BC CG ∵△AEG ≌△AFG ∴∠AGE=∠AGB =90°- ∠BAG =60° ∴∠EGC =180°-∠AGE-∠AGB =60° ∴2322 11 3cos -=-=∠= EGC GC GE （3）∵∠D =∠C =90° ∴当∠AED=∠GEC 或∠AED=∠EGC 时，△ADE 与△CGE 相似… ∵△ADE ≌△ABF △AEG ≌△AFG ∴∠AED=∠AFG=∠AEG … 当∠AED=∠EGC 时，∠EGC=∠AEG ，则AE ∥GC ， 此时D 与E 重合，△ADE 不存在 当∠AED=∠GEC 时，∠AED=∠GEC=∠AEG =60° 2 1 60cos cos =?=∠==AED AD DE CD DE ∴当点E 为CD 边中点时，△ADE 与△CGE 相似 8．已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ． （1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系 是 ； （2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立， 并说明理由． 解：（1）BM =DM 且BM ⊥DM ． （2）成立． 理由如下：延长DM 至点F ，使MF =MD ，联结CF 、BF 、BD ． 易证△EMD ≌△CMF ． ∴ED =CF ，∠DEM =∠1． ∵AB =BC ，AD =DE ，且∠ADE =∠ABC =90°， ∴∠2=∠3=45°, ∠4=∠5=45°． ∴∠BAD =∠2+∠4+∠6=90°+∠6． ∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9， ∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9） =360°-45°-180°+∠6+∠9- 45°-∠9 =90°+∠6 ． ∴∠8=∠BAD ． 又AD =CF ． ∴△ABD ≌△CBF ． ∴BD =BF ，∠ABD =∠CBF ． ∴∠DBF =∠ABC =90°． ∵MF =MD ， ∴BM =DM 且BM ⊥DM ． 9．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（－8，0），直线BC 经过点B （－8，6），C （0，6），将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA ′B ′C ′，此时直线OA ′、直线B ′C ′分别与直线BC 相交于P 、Q ． （1）四边形OABC 的形状是_______________，当α ＝90°时， BQ BP 的值是____________； （2）①如图1，当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在y 轴正半轴上时，求PQ 的长； ②如图2，当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在直线BC 上时，求PQ 的长． D C B A E M M E A B C D （3）小明在旋转中发现，当点P 位于点B 的右侧时，总有PQ 与线段______相等；同时存 在着特殊情况BP ＝2 1 BQ ，此时点P 的坐标是__________． 解： （1）矩形（长方形）； 7 4 ． （2）①POC B OA ''∠=∠，PCO OA B ''∠=∠90=°， COP A OB ''∴△∽△． CP OC A B OA ∴='''，即6 68 CP =， 9 2 CP ∴=． 同理B CQ B C O '''△∽△， ， C B C B C O CQ '''='即106 68 CQ -= ， 3CQ ∴=． PQ =CP +CQ = 2 15 ②在OCP △和B A P ''△中， 90OPC B PA OCP A OC B A ''∠=∠?? '∠=∠=??''=? ，°， ， (AAS)OCP B A P ''∴△≌△． OP B P '∴=．即OP =PQ 设:PQ =X 在Rt OCP △中， 2 2 2 (8)6x x -+=， 解得25 4 x = ． x O B y B′ A ′ C ′ A C P Q 图1 x O B y B′(Q ) A ′ C ′ A C P 图2 x O B y A 备用图 C PQ = 4 25 ． （3）OP ,()6,4 7 - 10．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处．已知折痕CE ＝55，且 3tan 4 EDA ∠= ． ⑴ 判断△OCD 与△ADE 是否相似？请说明理由； ⑵ 求直线CE 与x 轴交点P 的坐标； ⑶ 是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接．．写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由． 解：⑴ OCD △与ADE △相似． 理由如下： 由折叠知，90CDE B ∠=∠=°， 1290∠+∠=∴°，13902 3.∠+∠=∴∠=∠ ， 又90COD DAE ∠=∠=∵°， OCD ADE ∴△∽△． ⑵ 3 tan 4 AE EDA AD ∠==∵，∴设3AE t =，则4A D t =．由勾股定理得 5DE t =． 358OC AB AE EB AE DE t t t ==+=+=+=∴ y x D E B A C O O x y C B E D 3 1 2 A 由（1）OCD ADE △∽△，得 OC CD AD DE = ， 845t CD t t = ∴ ， 10CD t =∴ 在DCE △中，222CD DE CE +=∵， 222(10)(5)(55)t t +=∴，解得1t =． 83OC AE ==∴，，点C 的坐标为(08)， ， 点E 的坐标为(103)， 设直线CE 的解析式为y kx b =+， 1038k b b +=??=?，∴，解得128k b ? =-???=?，， 1 82 y x =-+∴，则点P 的坐标为(160)， ⑶ 满足条件的直线l 有2条：212y x =-+，212y x =- 下图中的直线DB 与直线DM 即为所求． 2 1 l l y x M N G F D E B A C P O 注：第⑶题如何严密思考？靠碰运气找到两条直线，显然不具有一般性，也不能从严格意义 上说明是否还存在其他符合要求的直线．下面的思考方法是非常精彩的： 首先说明一个简单事实：三条直线两两相交，不经过同一点，则三条直线能够围成三角形．当平行移动其中一条直线时（移动后的直线不经过另两条直线的交点），不改变围成三角形的形状（即始终相似）． y x Q D E B A C P O 基于上述事实，将y 轴平移至点D ，交直线CE 于点Q ，直线CE 即直线PQ ，则原问题转化为： 如下图，△DQP 中，∠D ＝90°．经过点D 的直线l ，斜边所在的直线，与两直角边分别构成的两个三角形相似，这样的直线l 有几条？ D P Q l 2 1 l M N D P Q 显然，当直线l 经过△DQP 内部时，只有一条；当直线在△DQP 外部时，也只有一条． 11、一位同学拿了两块450三角尺△MNK 、△ACB 做了一个探究活动：将△MNK 的 直角顶点M 放在△ABC 的斜边AB 的中点处，设AC =BC =4． （1）如图11—1，两三角尺的重叠部分为△ACM ，则重叠部分的面积为 ． （2）将图11—1中的△MNK 绕顶点M 逆时针旋转450，得到图11—2，此时重叠部分 的面积为 ． （3）如果将△MNK 绕M 旋转到不同于图11—1和图11—2的图形，如图11—3，请你 猜想此时重叠部分的面积为 ．请证明你的结论. 解（1）4 （2）4 （3）4 证明：过点M 作ME ⊥BC 于点E ，MF ⊥AC 于点F ． 在Rt △DFM 和Rt △GEM 中，可得 ∠DMF =∠GME ，MF =ME ， ∴Rt △DFM ≌ Rt △GEM ． ∴S △DFM = S △GEM ． ∴S 四边形DCGM = S 四边形CEMF =4． 12．如图1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6．沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成△AC 1D 1和△BC 2D 2两个三角形(如图2所示)．将纸片△AC 1D 1沿直线 图2 A C B K N M A C B M N K 图1 图3 A C B M N K D G 图 A C B M N K D E F G D 2B (AB )方向平移(点A ，D 1，D 2，B 始终在同一直线上)，当点D 1与点B 重合时，停止平移．在平移的过程中，C 1D 1与BC 2交于点 E ，AC 1与C 2D 2、BC 2分别交于点 F 、P ． (1)当△AC 1D 1平移到如图3所示位置时，猜想D 1E 与D 2F 的数量关系，并说明理由. (2)设平移距离D 2D 1为x ，△AC 1D 1和△BC 2D 2重复部分面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围； (3)对于(2)中的结论是否存在这样的x ，使得重复部分面积等于原△ABC 纸片面积的4 1 ？若存在，请求出x 的值； 若不存在，请说明理由． 图1 图2 图3 解：(1)12D E D F =． ∵1122C D C D ∥，∴12C AFD ∠=∠．∠C 2=∠BED 1 又∵∠ACB ＝90°，CD 是斜边上的中线， ∴，DC ＝DA ＝DB ，即112221C D C D BD AD === ∴1C A ∠=∠，∠C 2=∠B ∴2AFD A ∠=∠， ∠BED 1=∠B ∴，22AD D F =． 11BD D E =． 又∵12AD BD =，∴21AD BD =．∴12D E D F = (2)∵在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，所以由勾股定理，得AB ＝10． 即1211225AD BD C D C D ==== 又∵21D D x =，∴11225D E BD D F AD x ====-．∴21C F C E x == 在22BC D ?中，2C 到2BD 的距离就是△ABC 的AB 边上的高，为 245 ． 设1BED ?的1BD 边上的高为h ，由探究，得221BC D BED ??∽，∴52455 h x -= ． ∴24(5)25 x h -= ．121112(5)2 25 BED S BD h x ???= -= 又∵1290C C ∠+∠=?，∴290FPC ∠=?． 又∵2C B ∠=∠，43sin ,cos 5 5 B B == ． ∴234,5 5 PC x PF x = = ，222162 25 FC P S PC PF x ??= = 而2212221126(5)2 25 25BC D BED FC P ABC y S S S S x x ????=--=- -- ∴21824(05)25 5 y x x x =- + ≤≤． (3)存在． 当14 ABC y S ?= 时，即21824625 5 x x - + = 整理，得2320250x x -+=．解得，125,53 x x ==． 即当53 x = 或5x =时，重叠部分的面积等于原△ABC 面积的 14 ． 13．在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠B =30°，线段AD 是BC 边上的中线． (1)如图(Ⅰ)，将△ADC 沿直线BC 平移，使点D 与点C 重合，得到△FCE ，连结AF ． 求证：四边形ADEF 是等腰梯形； (2)如图(Ⅱ)，在（1）的条件下，再将△FCE 绕点C 顺时针旋转，设旋转角为α（0°<α<90°）连结AF 、DE ． ①当AC ⊥CF 时，求旋转角α的度数；②当α=60°时，请判断四边形ADEF 的形状，并给予证明． 8．（1）证明：∵△ADC 沿直线BC 平移得到△FCE ， ∴AD ∥FC ，且AD =FC ，∴四边形ADCF 是平行四边形， ∴AF ∥DC ，即AF ∥DE ， ∵∠BAC =90°，∠B =30°，∴∠ACD =60°， ∵AD 是BC 边上的中线，∴AD=DC ， ∴△ADC 是等边三角形 ∵△ADC ≌△FCE ，∴△FCE 是等边三角形， 图(Ⅱ) A D C E F B A D C E F 图(Ⅰ) B A D C 备用图 B A D C F B 1 2 A D C E F 图(Ⅰ) B ∴AD=FE ， ∵AF ≠DE ，∴四边形ADEF 是等腰梯形． （2）①解：由（1）可知∠1=60°， 当AC ⊥CF 时，∠2=90°-60°=30°， ∴旋转角α的度数为30°， ②四边形ADEF 为矩形， 由（1）可知△ADC 和△FCE 是全等正三角形， ∴CA =CE =CD =CF ， 当α=60°时，如图（Ⅲ），∠ACF =60°+60°=120°， ∴∠ACE =120°+60°=180° ，∴A 、C 、E 三点共线，同理：D 、C 、F 三点共线， ∴AE =DF ， ∴四边形ADEF 为矩形 https://www.doczj.com/doc/ab3164650.html, A D C 图(Ⅲ) E F B
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