2019-2020学年湖北省武汉市蔡甸区八年级（下）期中数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.函数y=√x?4在实数范围内有意义，则x的取值范围是()
A. x>4
B. x≥4
C. x<4
D. x≤4
2.计算√8×√1
+(√2)0的结果为()
2
A. 2+√2
B. √2+1
C. 3
D. 5
3.如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(?2,3)，以点
O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于
点A，则点A的横坐标介于()
A. ?4和?3之间
B. 3和4之间
C. ?5和?4之间
D. 4和5之间
4.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是()
A. √3，√4，√5
B. 5，11，12
C. 6，8，9
D. 1，4√3，7
5.如图，已知四边形ABCD的面积为8cm2，AB//CD，
AB=CD，E是AB的中点，那么△AEC的面积是()
A. 4cm2
B. 3cm2
C. 2cm2
D. 1cm2
6.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于
E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为()
A. 2
B. 2.2
C. 2.4
D. 2.5
7.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简√a2?√b2?√(a?b)2的结果是()
8.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代
数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正
方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，
小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直
角边长为b，那么(a+b)2的值为()
A. 13
B. 19
C. 25
D. 169
9.如图，将一个边长分别为4、8的矩形纸片ABCD折叠，
使点C与点A重合(AB=4,BC=8)，则折痕EF的长
度为()
A. √3
B. 2√3
C. √5
D. 2√5
10.如图，在?ABCD中，AB=2，BC=4，∠D=60°，点P、Q分别是AC和BC上的
动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为()
A. 4
B. 3
C. 2√3
D. 4√3
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.化简：(2+√3)(2?√3)=______．
12.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，
则a：b：c=______．
13.已知在△ABC中，AB=6，AC=2√13，∠B=60°，则△ABC的面积=______．
14.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠
AD，过O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为10，
则平行四边形ABCD的周长为______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，
AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为______．
16.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的
中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17.(1)已知x=2?√3，y=2+√3，求x2?y2的值；
(2)已知x=√23?1，求代数式x2+2x+2的值．
18.计算：(2√48?3√27)÷√6．
19.如图，?ABCD的对角线相交于点O，过O的直线分
别交AD、BC于点M、N，求证：OM=ON．
20.如图，已知等腰△ABC的底边BC=13cm，D是腰AB上一
点，且CD=12cm，BD=5cm．
(1)求证：△BDC是直角三角形；
(2)求△ABC的周长
21.如图所示，延长矩形ABCD的边CB至点E，使CE=
CA，点F为AE的中点，求证：BF⊥FD．
22.如图，已知E，F是四边形ABCD的对角线BD的三等分点，CE，CF的延长线分
别平分AB，AD.求证：四边形ABCD是平行四边形．
23.已知Rt△ABC中，斜边AB上的高线CH与∠BAC的平分线AM交于点P，如图1．
(1)求证：PC=CM；
(2)如图2，若高线CH与∠ABC的平分线BN交于点Q，PM、QN的中点分别是E、
F，求证：EF//AB．
24.如图1，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一点，F、G分别是AE，BC的中点，
(1)求证：HE=HG；
(2)如图2，当BE=AB时，过点A作AP⊥DE于点P，求证：PE?PA=√2PB；
(3)在(2)条件下，若AD=2，∠ADE=30°，直接写出BP的长是______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得，x?4≥0，
解得x≥4．
故选B．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】C
【解析】解：原式=2+1=3．
故选：C．
原式第一项利用二次根式的乘法法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，即可得到结果．
此题考查了二次根式的乘除法，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3.【答案】A
【解析】解：∵点P坐标为(?2,3)，
∴OP=√(?2)2+32=√13，
∵点A、P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，
∴OA=OP=√13，
∵9<13<16，
∴3<√13<4．
∵点A在x轴的负半轴上，
∴点A的横坐标介于?4和?3之间．
故选：A．
先根据勾股定理求出OP的长，由于OP=OA，故估算出OP的长，再根据点A在x轴的负半轴上即可得出结论．
本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OP的长是解答此题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、(√3)2+(√4)2≠(√5)2，故不是直角三角形；
B、52+112≠122，故不是直角三角形；
C、62+82≠92，故不是直角三角形；
D、12+(4√3)2=72，故是直角三角形；
故选：D．
欲判断是否是直角三角形，则需满足较小两边平方的和等于最大边的平方．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2= c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5.【答案】C
【解析】解：∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ADC=S△ABC=1
2
×8=4，
∵E是AB的中点，
∴S△AEC=1
2S△ABC=1
2
×4=2cm2，
故选：C．
由已知条件可证明四边形ABCD是平行四边形，则△ADC和△ABC的面积是平行四边形面积的一半，又因为E是AB的中点，所以△AEC的面积是△ABC的一半，问题得解．本题考查了平行四边形的判定以及性质和三角形的面积公式的运用，解题的关键是首先证明四边形ABCD是平行四边形．
6.【答案】C
【解析】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4，
根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
7.【答案】A
【解析】解：由数轴可知a
∴a?b<0，
∴√a2?√b2?√(a?b)2=?a?b+(a?b)=?a?b+a?b=?2b．
故选：A．
由数轴可知a
此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
8.【答案】C
ab=13?1=12，即2ab=12，【解析】解：根据题意得：c2=a2+b2=13，4×1
2
则(a+b)2=a2+2ab+b2=13+12=25，
故选：C．
根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．
此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：过点F作FM⊥BC于GM，
∵EF是直角梯形AECD的折痕
∴AE=CE，∠AEF=∠CEF．
又∵AD//BC，
∴∠AFE=∠FEM，
根据反折不变性，∠AEF=∠FEM，
∴AE=AF．
在Rt△ABE中，设BE=x，AB=4，AE=CE=8?x.x2+42=(8?x)2解得x=3．在Rt△FEM中，EM=BM?BE=AF?BE=AE?BE=5?3=2，FM=4，
∴EF=√22+42=2√5．
故选：D．
先过点F作FM⊥BC于M.利用勾股定理可求出AE，再利用翻折变换的知识，可得到AE= CE，∠AEF=∠CEF，再利用平行线可得∠AEF=∠AFE，故有AE=AF．
求出EM，再次使用勾股定理可求出EF的长．
本题考查了折叠的知识，矩形的性质，勾股定理等知识点的理解和运用，关键是根据题意得出方程x2+42=(8?x)2．
10.【答案】C
【解析】解：取BC的中点G，连接AG．
∵AB=BG=2，∠ABG=∠D=60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AG=GC=2，∠AGB=∠BAG=60°，
∴∠GAC=∠GCA=30°，
∴∠BAC=90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作BE⊥CF于E，则BE的长即为PB+PQ的最小值(垂线段最短)，
×4=2√3，
易知△BCF是等边三角形，BE=√3
2
∴BP+PQ的最小值为2√3．
故选：C．
取BC的中点G，连接AG.首先证明∠BAC=90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作BE⊥CF于E，则BE的长即为PB+PQ的最小值，
本题考查轴对称?最短问题、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关
中考常考题型．
11.【答案】1
【解析】解：原式=22?(√3)2
=4?3
=1．
先利用平方差公式展开得到原式=22?(√3)2，再利用二次根式的性质化简，然后进行减法运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
12.【答案】1：√3：2
【解析】解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∵在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，
∴c=2a，b=√c2?a2=√(2a)2?a2=√3a，
∴a：b：c=a：√3a：2a=1：√3：2，
故答案为：1：√3：2．
根据三角形内角和和∠A：∠B：∠C=1：2：3，可以得到∠A、∠B、∠C的度数，然后即可得到a和c的关系，再根据勾股定理即可得到a和b的关系，从而可以求得a：b：c 的值．
本题考查勾股定理、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，求出a、b、c之间的关系．
13.【答案】12√3
【解析】解：作AH⊥BC，垂足为点H．
在Rt△ABH中，
∵∠B=60°，AB=6，
∴BH=3，AH=3√3，
在Rt△ACH中，
∵AC=2√13，
∴CH=√AC2?AH2=√(2√13)2?(3√3)2=5，∴BC=8，
∴S△ABC=1
2?BC?AH1
2
×8×3√3=12√3．
作AH⊥BC，垂足为点H，在Rt△ABH中，利用∠B=60°先求出AH及BH的长，然后
在Rt△ACH中利用勾股定理求出CH的长，从而根据三角形的面积=1
2
BC?AH可得出答案．
本题考查了三角形的面积及勾股定理的应用，对于本题应将所求三角形的面积转化到球线段BC的长度及线段AH的长度上来．
14.【答案】20
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥BD，
∴BE=DE，
∵△CDE的周长为10，
即CD+DE+EC=10，
∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2(BC+CD)=2(BE+EC+ CD)=2(DE+EC+CD)=2×10=20．
故答案为：20．
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB=OD，AB=CD，AD=BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE=DE，又由△CDE的周长为10，即可求得平行四边形ABCD的周长．
此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
15.【答案】5
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点
半．已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．
【解答】
解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，
∴CD=1
2
AB，
又∵EF是△ABC的中位线，
∴AB=2CD=2×5=10cm，
∴EF=1
2
×10=5cm．
故答案为：5．
16.【答案】√3
2
【解析】解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，
作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长，
∴ME=EB，又AD=DB，
∴DE=1
2
AM，DE//AM，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°，
∵CM=CA，
∴∠ACN=60°，AN=MN，
∴CN=1
2AC=1
2
，AN=√AC2?CN2=√12?(1
2
)
2
=√3
2
，
∴AM=√3，
∴DE=√3
2
，
故答案为：√3
2
．
延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根
据三角形中位线定理得到DE=1
2
AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据勾股定理求出AN，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握三角形中位线定
17.【答案】解：(1)∵x=2?√3，y=2+√3，
∴x+y=4，x?y=?2√3
∴x2?y2=(x+y)(x?y)
=4×(?2√3)
=?8√3；
(2)∵x=√23?1，
∴x+1=√23，
∴(x+1)2=23，
即x2+2x+1=23，
∴x2+2x=22，
∴x2+2x+2=22+2=24．
【解析】(1)先计算出x+y，x?y，再利用平方差公式得到x2?y2=(x+y)(x?y)，然后利用整体代入的方法计算；
(2)利用x=√23?1得到(x+1)2=23，则x2+2x=22，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
18.【答案】解：原式=(8√3?9√3)÷√6=?√3÷√6=?√2
2
．
【解析】先把括号里化简合并，再做除法运算．
二次根式的混合运算，应遵循实数的运算法则：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的，先算括号．
19.【答案】证明：平行四边形ABCD中，OA=OC，AD//BC，
∴∠MAO=∠NCO，
在△AMO和△CNO中，{∠MAO=∠NCO OA=OC
∠AOM=∠CON
，
∴△AMO≌△CNO(ASA)，∴OM=ON．
【解析】根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，再根据平行四边形的对边平行可得AD//BC，利用两直线平行，内错角相等可得∠MAO=∠NCO，然后利用“角边角”证明△AMO和△CNO全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
本题考查了平行四边形的对角线互相平分，对边平行的性质，全等三角形的判定与性质，比较简单．
20.【答案】(1)证明：∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，
∴BC2=BD2+CD2
∴△BDC为直角三角形；
(2)解：设AB=x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC=x，
∵AC2=AD2+CD2
x2=(x?5)2+122，
解得：x=169
10
，
∴△ABC的周长=2AB+BC=2×169
10+13=234
5
．
【解析】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是勾股定理的逆定理解答．
(1)由BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，知道BC2=BD2+CD2，所以△BDC为直角三角形，
(2)由(1)可求出AC的长，周长即可求出．
21.【答案】证明：连接CF
∵四边形ADCB是矩形
∴∠DAB=∠ABC=∠ABE=90°，AD=CB
∴△ABE是直角三角形
∵F是AE的中点
∴BF=AF=EF，
∴∠FAD=∠FBC ∴在△FAD和△FBC中，
{AF=BF,
∠FAD=∠FBC AD=BC
∴△FAD≌△FBC(SAS)
∴∠AFD=∠BFC
∵CA=CE，F是AE的中点
∴AF⊥CF，即∠AFC=∠AFD+∠DFC=90°
∴∠BFC+∠DFC=90°
即∠DFB=90°
∴DF⊥FB
【解析】连接CF，由矩形的性质可得∠DAB=∠ABC=∠ABE=90°，AD=CB，由“SAS”可证△FAD≌△FBC，可得∠AFD=∠BFC，即可得结论．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，证明△FAD≌△FBC是本题的关键．
22.【答案】证明：连接AC交BD于O，连结
AE，AF，如图所示：
∵G是AB中点，BE=EF
∴GE是△ABF的一条中位线，
∴EG//BF，即CE//AF，
同理：CF//AE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∴OA=OC，OE=OF，
又∵BE=DF，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】连接AC交BD于O，连结AE，AF，首先证得四边形AFCE是平行四边形得到AO=OC，然后证出OB=OD，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定即可．本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是正确的作出辅助线并牢记平行四边形的判
23.【答案】解：(1)如图1，过点P作PQ⊥AC，垂足为Q，
∵AM平分∠BAC，PQ⊥AC，CH⊥AB，
∴∠APH=∠APQ，
又∵PQ⊥AC，AC⊥BC，
∴∠APQ=∠AMC，
∴∠AMC=∠CPM，
∴PC=CM；
(2)证明：如图2，连接CF、FH，
∵BN是∠ABC的平分线，
∴∠ABN=∠CBN，
又∵CH⊥AB，
∴∠CQN=∠BQH=90°?∠ABN=90°?∠CBN=∠CNB，
∴CQ=NC．
又∵F是QN的中点，
∴CF⊥QN，
∴∠CFB=90°=∠CHB，
∴C、F、H、B四点共圆．
又∵∠FBH=∠FBC，
∴FC=FH，
∴点F在CH的中垂线上，
同理可证，点E在CH的中垂线上，
∴EF⊥CH，
又∵AB⊥CH，
∴EF//AB．
【解析】(1)过点P作PQ⊥AC，垂足为Q，根据角平分线的性质即可得到结论；(2)连接CF、FH，因为BN平分∠ABC，利用互余关系、对顶角相等可证∠CNB=∠BQH=∠CQN，根据CF为△CQN的底边上中线，可证CF⊥BN，可知∠CFB=90°=∠CHB，由此可证C、F、H、B四点共圆，根据BN平分∠ABC，可证FC=FH，即点F在CH 的中垂线上，同理可证，点E在CH的中垂线上，故EF⊥CH，而AB⊥CH，可证EF//AB．本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的判定及四点共圆的判定．关键是根据题
24.【答案】√6+√2
2
【解析】(1)证明：延长BC 至M ，且使CM =BE ，
连接AM 、DM ，如图1所示：
则BM =CE ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB =DC ，AD//BC ，∠BAD =∠ABC =
∠DCB =90°，
在△ABM 和△DCE 中，{AB =DC
∠ABC =∠DCB BM =CE
，
∴△ABM≌△DCE(SAS)，
∴∠DEC =∠AMB ，
∵EB =CM ，BG =CG ，
∴G 为EM 的中点，
∴FG 为△AEM 的中位线，
∴FG//AM ，
∴∠HGE =∠AMB =∠HEG ，
∴HE =HG ，
(2)解：过点B 作BQ ⊥BP 交DE 于Q ，如图2所示：
则∠PBQ =90°，
∵∠ABE =180°?∠ABC =90°，
∴∠EBQ =∠ABP ，
∵AD//BC ，
∴∠ADP =∠BEQ ，
∵AP ⊥DE ，∠BAD =90°，
由角的互余关系得：∠BAP =∠ADP ，
∴∠BEQ =∠BAP ，
在△BEQ 和△BAP 中，{∠EBQ =∠ABP
BE =BA ∠BEQ =∠BAP
，
∴△BEQ≌△BAP(ASA)，
∴PA =QE ，QB =PB ，
∴PQ=√2PB，
∴PE?PA=PE?QE=√2PB；
(3)∵∠ADE=∠CED=30°∴CE=√3CD，
∴BE+BC=CD+2=√3CD，CD=√3+1，
∴DE=2CD=2√3+2，
∵∠ADE=30°，
∴AP=EQ=1，DP=√3，
∴PQ=2√3+2?1?√3=√3+1，
∴BP=√3+1
2=√6+√2
2
；
故答案为：√6+√2
2
．
(1)证明：延长BC至M，且使CM=BE，则BM=CE，由SAS证明△ABM≌△DCE，得出∠DEC=∠AMB，证出FG为△AEM的中位线，得出FG//AM，得出∠HGE=∠AMB=∠HEG，即可得出HE=HG；
(2)过点B作BQ⊥BP交DE于Q，由ASA证明△BEQ≌△BAP，得出PA=QE，QB=PB，证出△PBQ是等腰直角三角形，由勾股定理得出PQ=√2PB，即可得出答案；
(3)由直角三角形的性质得出CE=√3CD，得出BE+BC=CD+2=√3CD，CD=√3+ 1，求出DE=2CD=2√3+2，证出AP=EQ=1，DP=√3，得出PQ=√3+1，即可得出答案．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．