第四节 参数方程
知识梳理
一、参数方程的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数?
????
x ＝f (t )，y ＝g (t )， (*) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．
相对于参数方程而言，直接给出点的横、纵坐标间关系的方程叫做普通方程． 二、圆的参数方程
圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2的参数方程为????
?
x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0
＋r sin θ. (θ为参数)
特别地，圆心在原点，半径为r 的圆x 2
＋y 2
＝r 2
的参数方程是?
????
x ＝r cos θ，
y ＝r sin θ. (θ为参数)
其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．
三、椭圆的参数方程
中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的参数方程是?
????
x ＝a cos φ，y ＝b sin φ. (φ
为参数)
其中参数φ的范围为φ∈[0,2π)． 四、双曲线的参数方程
中心在原点O ，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的参数方程是?
????
x ＝a sec φ，y ＝b tan φ. (φ为参
数)
其中参数φ的范围为φ∈[0,2π)，且φ≠π2，φ≠3π2注意：sec φ＝1
cos φ
.
基础自测
1．若直线?
???
?
x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.
解析：参数方程?
????
x ＝1－2t ，
y ＝2＋3t 所表示的直线方程为3x ＋2y －7＝0，由此直线与直线4x
＋ky ＝1垂直可得????－32×???
?－4
k ＝－1，解得k ＝－6. 答案：－6
2．参数方程?
????
x ＝2cos α，
y ＝2－cos 2α (α是参数)表示的曲线的普通方程是________________．
答案：y ＝－x 2
2
＋3(|x |≤2)
3．(2013·广东卷)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为____________________．
解析：本题考了备考弱点．讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚．先化成直角坐
标方程(x －1)2＋y 2
＝1，易得曲线C 的参数方程为?
????
x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ， (θ为参数)
答案：?
????
x ＝1＋cos θ，
y ＝sin θ (θ为参数)
4. (2013·陕西宝鸡三模)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为原点，极轴为x
轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为?
??
x ＝12
t ，y ＝32
t ＋1
(t 为参数)，则直线
l 被曲线C 截得的线段长度为________．
解析：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6y ＝0，该曲线是圆，圆心为(0,3)，半径为3；
直线l 的普通方程为3x －y ＋1＝0，圆心到直线的距离为d ＝|－3＋1|
2＝1，所以，直线l 被
曲线C 截得的线段长度为232－12＝4 2.
答案：4 2
五、抛物线的参数方程
开口向右，焦点在x 轴上的抛物线y 2
＝2px (p >0)的参数方程是?
????
x ＝2pt 2
，y ＝2pt . (t 为参数) 其中参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数，其范围为
t ∈(－∞，＋∞)．
六、直线的参数方程 1．标准式．
经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为θ的直线的参数方程为?
????
x ＝x 0＋t cos θ，
y ＝y 0＋t sin θ. (t 为参数)
其中，t 是直线上的定点M 0(x 0，y 0)到动点M (x ，y )的有向线段M 0M →
的数量，即|M 0M |＝|t |，当点(x ，y )在点(x 0，y 0)的上方时，t ＞0；当点(x ，y )在点(x 0，y 0)的下方时，t <0，当点(x ，y )与点(x 0，y 0)重合时，t ＝0.以上反之亦然．
于是参数t 的绝对值等于直线上的动点M 到定点M 0的距离．
由于直线的标准参数方程中t 具有这样的几何意义，所以在解决直线与二次曲线相交的弦长和弦的中点问题时，用参数方程来解决，方便了很多．
2．点斜式． ?
????
x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt . (t 为参数) 其中，(x 0，y 0)表示该直线上的一点，b
a
表示直线的斜率．
当a ，b 分别表示点M (x ，y )在x 方向与y 方向的分速度时，t 就具有物理意义——时间，相应的at ，bt 则表示点M (x ，y )在x 方向，y 方向上相对(x 0，y 0)的位移．
七、渐开线与摆线的参数方程(了解) 1．渐开线的参数方程． ?
????
x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ). (φ为参数) 其中r 为基圆的半径，φ为过切点的半径与x 轴正方向所成的角．
2．摆线的参数方程． ?
????
x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ). (φ为参数) 其中r 为圆的半径，φ为定点作圆周运动时所转过的角．
八、参数方程和普通方程的互化 1．由参数方程化为普通方程(重点)——消去参数．消参数常用的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等．消参时应特别注意参数的取值范围对x ，y 的限制．
由参数方程化为普通方程一般是唯一的．
2．由普通方程化为参数方程(难点)——选参数，参数选法多种多样，所以由普通方程化为参数方程是不唯一的．
1．(2013·湖南卷)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：?????
x ＝2s ＋1，
y ＝s (s 为参数)和直线
l 2：?
????
x ＝at ，
y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为______________．
解析： 将两直线方程化为普通方程分别为l 1：x ＝2y ＋1，l 2：ay ＝2x －a ，当l 1∥l 2时，它们的斜率相等，可得a ＝4.
答案： 4
2．(2013·江西卷)设曲线C 的参数方程为?
????
x ＝t ，
y ＝t 2
(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．
高中数学回归课本校本教材24 （一）基础知识 参数极坐标 1.极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。 2.常见的曲线的极坐标方程 （1）直线过点M 00(,)ρθ,倾斜角为α常见的等量关系： 正弦定理 sin sin OP OM OMP OPM =∠∠，0OMP παθ∠=-+OPM αθ∠=-； （2）圆心P 00(,)ρθ半径为R 的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理； （3）圆锥曲线极坐标：1cos ep e ρθ = -，当1e >时，方程表示双曲线；当1e =时，方程表示抛物线；当01 e <<时，方程表示椭圆.提醒：极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。极坐标方程3 24cos ρθ =-表示的曲线 是 双曲线 3.参数方程：（1）圆222()()x a x b r -+-=的参数方程：cos ,sin x a r x b r θθ-=-= （2）椭圆22 221x y a b +=的参数方程：cos ,sin x a x b θθ== （3）直线过点M 00(,)x y ,倾斜角为α的参数方程：00tan y y x x α-=-即00 cos sin x x y y t θθ --==， 即00cos sin x x t y y t α α =+?? =+?注：0cos x x t θ-= ，0 sin y y t θ-=据锐角三角函数定义，T 几何意义是有向线段MP u u u r 的数量00000()00. t l M M x y M M M M M M t M M t >? =?=抛物线的参数方程为：为参数．由于，因此参数的几何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数．
高考数学基础知识、常见结论详解 一、集合与简易逻辑 一、理解集合中的有关概念 （1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。 集合元素的互异性：如：)}lg(,,{xy xy x A =，}|,|,0{y x B ，求A ； （2）集合与元素的关系用符号∈，?表示。 （3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有 理数集 、实数集 。 （4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。 注意：区分集合中元素的形式：如： } 12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C ； }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； }12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2x y z x x y z G =++== （5）空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意：条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 如：}012|{2 =--=x ax x A ，如果φ=+ R A I ，求a 的取值。 二、集合间的关系及其运算 （1）符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“??,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 （2）_}__________{_________ =B A I ；____}__________{_________=B A Y ； _}__________{_________=A C U （3）对于任意集合B A ,，则： ①A B B A Y Y ___；A B B A I I ___；B A B A Y I ___；
第7讲 极坐标与参数方程(教师版 ) 【基础知识】 一．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换?：//,(0) ,(0) x x y y λλμμ?=>??=>??的作用下对应到点 ///(,)P x y ，则称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 二.极坐标知识点 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴. ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐 标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 三.参数方程知识点 1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点满足，该方程叫曲 线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2．曲线的参数方程 （1）圆的参数方程可表示为. （2）椭圆的参数方程可表示为. （3）抛物线的参数方程可表示为. （4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）. 注意：t 的几何意义 3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致. 规律方法指导： 1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有： (,)P x y () () x f t y f t =?? =?2 2 2 )()(r b y a x =-+-)(.sin , cos 为参数θθθ? ??+=+=r b y r a x 122 22=+b y a x )0(>>b a )(. sin ,cos 为参数??????==b y a x px y 22 =)(.2, 22为参数t pt y pt x ? ? ?==),(o o O y x M αl ? ? ?+=+=.sin , cos o o ααt y y t x x t y x , ) 0(n t , sin , cos , 222≠===+=x x y a y x y x θθρθρρ
2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=??=? 为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=??=? 为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ， 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即
高中数学基础知识与基本技能 数学（3） 第二章 统计（续） 五、基础知识和基本技能评估试题 第二章 统计 测试卷 （本卷用时100分钟） （一）、选择题（共50分，每小题5分，其中只有一个是正确的）： 1、下列几项调查，适合作普查的是（ ） （A ）调查全省食品市场上某种食品的色素是否超标 （B ）调查中央电视台“焦点访谈”节目的收视率 （C ）调查你所住单元各家庭订阅报刊杂志情况 （D ）调查本市小学生每人每天的零花钱 2、刘翔在出征雅典奥运会前刻苦进行110米栏训练，教练对他某段时间的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，教练需要知道这些成绩的（ ） （A ）平均数 （B ）方差 （C ）中位数 （D ）众数 3、为了了解某地5000名学生的语文测试水平，从中抽取了200学生的成绩进行统计分析。在这个问题中，下列说法不正确的是（ ） （A ）5000名学生成绩的全体是总体 （B ）每个学生的成绩是个体 （C ）抽取200学生成绩的集体是总体的一个样本 （D ）样本的容量是5000 4、一个容量为n 的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是80和0.125，则n 的值为（ ） （A ）800 （B ）1250 （C ）1000 （D ）640 5、如果一组数据的方差是2 s ，将每个数据都乘以2，所得新数据的方差是 ( ) （A ）2 5.0s （B ）2 4s （C ）2 2s （D ）2 s 6、为了保证分层抽样时每个个体被抽到的概率都相等，则要求（ ） （A ）每层等可能抽样 （B ）每层抽取同样的样本容量 （C ）每层用同一抽样方法等可能抽样 （D ）不同的层用不同的方法抽样 7、若b a ,是常数，下列有关连加符号 ∑ =n k 1 的运算 ① ∑==n k na a 1 ，②∑∑===n k n k k f b k bf 1 1 )()(，③[]∑∑∑===+=+n k n k n k k g k f k g k f 1 1 1 )()()()( 其中错误的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 8、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）
参数方程 1．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为????? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为????? x ＝x 0＋r cos θ， y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为? ???? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)． (4)双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程为????? x ＝a 1cos θ，y ＝b tan θ (θ为参数)． (5)抛物线px y 22 =的参数方程可表示为)(. 2, 22为参数t pt y pt x ?? ?==. 基础练习 1．在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为?? ? x ＝2＋22t ， y ＝1＋2 2 t (t 为参数)，则其普通方程为 ____________． 2．椭圆C 的参数方程为? ???? x ＝5cos φ， y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点， 则|AB |min ＝________. 3．曲线C 的参数方程为? ???? x ＝sin θ， y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为??? x ＝1＋1 2t ， y ＝3 2t (t 为参数)，椭圆C 的方程 为x 2 ＋y 2 4 ＝1，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为_______________
高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.
根据高分考生笔记整理，助你30分钟熟记高考数学必考知识点 快速提高高考成绩 高分考生的经验： 对于以下知识点不必死记硬背，打印出来夹在笔记本中就可以。在练习中遇上不懂，先不要看答案，看看以下知识点，尝试解题，这样留下的印象最深刻，思考过程最重要。往往是每道题到牵涉其中几个考点，一道题就巩固几个考点，一直坚持练习做题，可以快速提高成绩。一般在几天左右就可以见效果，明显感觉到思路通畅，速度明显提高。另外，题海战术不可取，泛泛做100道题，不如认认真真理解好1道典型例题。 一、集合 （1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n -2； （2）;B B A A B A B A =?=??Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 （3）);()()();()()(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I Y I I Y == 二、函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 22 2b a b a ab +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出； ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数
坐标系与参数方程 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?的 作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示, 在平面取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; (ii)平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ; 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下: 极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y : cos sin x y ρθ ρθ=??=? 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ: 222 tan (0) x y y x x ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
高考数学参数方程所有经典类型（必刷题） 1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为1222 x t y ?=+????=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=. （Ⅰ）求C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝6 π，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：cos sin θθ=??=? x y （θ为参数），将1C 上的所有 和2倍后得到曲线2C ．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：sin )4ρθθ+=． （1）试写出曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的参数方程； （2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值． 4．在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为
x 3cos y sin ααα ?=??=??（为参数）． (1)已知在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π ，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 5．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ? ?- ??? ，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （2）求直线OM 的极坐标方程． 6．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 （为参数），（为参数）． （1）化 的方程为普通方程； （2）若上的点P 对应的参数为为上的动点，求中点到直线 （为参数）距离的最小值．
历年高考数学基础知识及常见考点详解汇总 一、集合与简易逻辑： 一、理解集合中的有关概念 （1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。 集合元素的互异性：如：)}lg(,,{xy xy x A =，}|,|,0{y x B ，求A ； （2）集合与元素的关系用符号∈，?表示。 （3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ； 整数集 ；有理数集 、实数集 。 （4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。 注意：区分集合中元素的形式：如： }12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C ； }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； }12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2x y z x x y z G =++== （5）空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意：条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。 二、集合间的关系及其运算 （1）符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点
与直线（面）的关系 ； 符号“??,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 （2）_}__________{_________=B A ；____}__________{_________=B A ； _}__________{_________=A C U （3）对于任意集合B A ,，则： ①A B B A ___；A B B A ___；B A B A ___； ②?=A B A ；?=A B A ； ?=U B A C U ；?=φB A C U ； ③=B C A C U U ； )(B A C U =； （4）①若n 为偶数，则=n ；若n 为奇数，则=n ； ②若n 被3除余0，则=n ；若n 被3除余1，则 =n ；若n 被3除余2，则=n ； 三、集合中元素的个数的计算： （1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为 _________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。 （2）B A 中元素的个数的计算公式为：
高考数学参数方程大题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高三最后一题 1、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点A 的极坐标为)6 ,2(π ，直线l 过点A 且与极轴成角 为 3π，圆C 的极坐标方程为)4 cos(2πθρ-=． （1）写出直线l 参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线圆C 交于B 、C 两点，求AC AB .的值． 【答案】（1）直线l C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；（2 2、已知曲线C 的参数方程为31x y α α ?=+??=+??（α为参数），以直角坐标系原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹． （2）若直线的极坐标方程为1 sin cos θθρ -= ，求直线被曲线C 截得的弦长． 【答案】（1）6cos 2sin ρθθ=+（2 3、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (22522 5??? ??? ?+=+ -=为参数），若以 O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 θρcos 4=。 （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的 2 1 ，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值 【答案】（1）() 422 2 =+-y x ，052=+-y x （2 ）
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
高考数学常考的100个基础知识点 广州市育才中学 邓军民 整理 1．德摩根公式C U （A ∩B ）= C u A ∪C u B ；B C A C )B A (C U U U =。 2．A ∩B =A ?A ∪B =B ?A ?B ?C U B ?C U A ?A ∩C U B =φ?C U A ∪B =R 3．card （A ∪B ）=cardA +cardB －card （A ∩B ） 4．二次函数的解析式的三种形式 ①一般式f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0）； ②顶点式f （x ）=a （x －h ）2+k （a ≠0）； ③零点式f （x ）=a （x －x 1）（x －x 2）（a ≠0）。 5．设x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2 那么 ?>--? >--0) ()(0)]()()[(21212121x x x f x f x f x f x x f （x ）在[a ，b ]上是增函数； ?<--? <--0) ()(0)]()()[(2 1212121x x x f x f x f x f x x f （x ）在[a ，b ]上是减函数。 设函数y = f （x ）在某个区间内可导，如果f ′（x ） > 0 ，则f （x ） 为增函数；如果f ′（x ） <0 ，则f （x ） 为减函数。 6．函数y = f （x ） 的图象的对称性: ① 函数y = f （x ） 的图象关于直线x = a 对称? f （a +x ）= f （a －x ）?f （2a －x ）= f （x ）。 7．两个函数图象的对称性： （1）函数y = f （x ）与函数y = f （－x ）的图象关于直线x = 0（即y 轴）对称。 （2）函数y = f （x ） 和y = f －1 （x ） 的图象关于直线y =x 对称。 8．分数指数幂n m n m a a 1 = -（a >0，m ，n ∈N*，且n >1）。 分数指数幂n m n m a 1 a = - （a >0，m ，n ∈N*，且n >1）。 9．log a N=b ?a b =N （a >0，a ≠1，N>0）
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． 考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值． 解答： 解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ， 故曲线C的参数方程为，（θ为参数）． 对于直线l：， 由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）． P到直线l的距离为． 则，其中α为锐角． 当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为． 当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为． 点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可； （2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解． 解答： 解：（1）∵直线l的极坐标方程为：， ∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，
【参数方程和普通方程的互化】 例1求曲线（为参数）与曲线（为参数）的交点． 解：把代入 得：两式平方相加可得 ∴（舍去） 于是即所求二曲线的交点是（，－）． 说明：在求由参数方程所确定的两曲线的交点时，最好由参数方程组求解，如果化为普通方程求交点时要注意等价性．如该例若化为普通方程求解时要注意点（－，）是增解． 例2化直线的普通方程为参数方程（其中倾斜角满足且） 解法一：因，，故 ∴ 设。取为参数，则得所求参数方程 解法二：如图，（）为直线上的定点，为直线上的动点．因动点M 与的数量一一对应（当M在的向上方向或正右方时，；当M在的下方或正左方时，；当M与重合时，），故取为参数．
过点M作y轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点Q（如图）．则有 ∴ 即为所求的参数方程。 说明：①在解法二中，不必限定，，即不必限定，．由 此可知，无论中任意值时，所得方程都是经过（），倾斜角为的直线的参数方程．可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”． ②要充分理解解法二所示的参数的几何意义，这对解决某些问题较为方便． ③如果取为参数，则得直线参数方程 一般地，直线的参数方程的一般形式是 （，为参数） 但只有当且仅当，且时，这个一般式才是标准式，参数才具有上述的几何意义． 例3求椭圆的参数方程． 分析一：把与对比，不难发现，可设，也可设
解法一：设（为参数），则 ∴ 故 因此，所得参数方程是 （Ⅰ）或（Ⅱ） 由于曲线（Ⅱ）上的点（，），就是曲线（Ⅰ）上的点（，），所以曲线（Ⅱ）上的点都是曲线（Ⅰ）上的点． 显然．椭圆的参数方程是 分析二：借助于椭圆的辅助圆，可明确椭圆参数方程中的几何意义． 解法二：以原点O为圆心，为半径作圆，如图．设以轴正半轴为始边，以动半径OA为终边的变角为，过点A作轴于N，交椭圆于M，取为参数，则点M（）的横坐标（以下同解法一）． 由解法二知，参数是点M所对应的圆半径OA的转角，而不是OM的转角，因而称为椭圆的离角．（如果以O为圆心，为半径作圆，过M作，交圆于B，由 可知也是半径OB的转角）． 例4用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角为参数，把圆化为参数方程。 分析：由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为的参数形式。 解：如图所示，圆方程化为，设圆与x轴正半轴交于A，为圆上任一点，过P作轴于B，OP与x轴正半轴所成角为，，则：
直线的参数方程 教学目标： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系． 教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程： 一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．
5.如何建立直线的参数方程？ 这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考． 【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备． 二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题． 教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA u u u r 为数轴的单位方向向量，OA u u u r 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =u u u u r u u u r ；②当OM u u u u r 与OA u u u r 方向一致时（即OM u u u u r 的方向与数轴正方向一致时），0t >； 当OM u u u u r 与OA u u u r 方向相反时（即OM u u u u r 的方向与数轴正方向相反时），0t <； 当M 与O 重合时，0t =； ③||OM t =u u u u r ．教师用几何画板软件演示上述过程． 【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备． 2.类比分析，异曲同工 问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？ （2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？
教学内容 【知识结构】 知识点一：极坐标 1．极坐标系 平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。 2．极坐标系内一点的极坐标 平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对 就叫做点的极坐标。 3. 极坐标与直角坐标的互化 当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系： 直角坐标化极坐标：； 极坐标化直角坐标：. 此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 知识点三：参数方程 1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数： ，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。 知识点四：常见曲线的参数方程 1．直线的参数方程 （1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为： （为参数）； 其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，，在下方时，)。 （2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为： （为参数，为为常数，）； 其中的几何意义为：若是直线上一点，则。 2．圆的参数方程 （1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为： （是参数，）； 特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。 （2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。 （3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。 3. 椭圆的参数方程
高中数学基础知识大全（新课标版） 第一部分 集合 1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… 2 .数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决 3.(1) 元素与集合的关系：U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. （2）德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I . （3）A B A A B B =?=I U U U A B C B C A ????U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况. （4）集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 非空真子集有2n –2个. 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 第二部分 函数 1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一. 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ； ⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a a b +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、 绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域. （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y = ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．．．． ⑵)(x f 是奇函数)()(x f x f -=-?；)(x f 是偶函数)()(x f x f =-?. ⑶奇函数)(x f 在0处有定义，则0)0(=f
曲线的参数方程(孙雷） 教材人民教育出版社高中数学选修4-4第二讲第一节 授课教师孙雷 教学目标 １、理解曲线参数方程的概念,能选取适当的参数建立参数方程； 2、通过对圆和直线的参数方程的研究,了解某些参数的几何意义和物理意义； 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题,在问题解决的过程中,形 成数学抽象思维能力,初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 （一)曲线的参数方程概念的引入 引例： 当两个齿轮接触时,蓝色齿轮会带动红色齿轮转动，当两个齿轮没有接触时,蓝齿轮要带动红色齿轮转动，有一种方法是加入一个新的齿轮，使之与红蓝两个齿轮同时接触。 (上述过程让学生感受中间变量的作用，为参数方程中的参变量的引出作铺垫。) 思考1： 若齿轮A、Ｂ、C的半径相等，他们转动时的角速度分别是x、y、ｔ,方向忽略不计 (1)第一组图中，A与B角速度之间的关系是__＿＿_________＿_； (２）第二组图中，A与C角速度之间的关系是_________＿_____; B与C角速度之间的关系是_＿________＿___＿＿; 思考2： 思考: 若齿轮A、Ｂ、Ｃ的半径分别为4、1、2,他们转动时的角速度分别是x、y、t,方向忽略不计 (1) 第一组图中，它们角速度之间的关系是__＿_＿＿__＿_____＿__；
(2） 第二组图中,它们角速度之间的关系是_＿_＿_____＿＿_____＿; 引导学生建立平面直角坐标系,把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 (1、通过生活中的实例,引发学生研究的兴趣；２、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；４、通过具体的问题,让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） (二)曲线的参数方程 例１、圆的参数方程的推导 （1）一般的，设⊙O 的圆心为原点,半径为r ,0OP 所在直 线为x 轴,如图，以0OP 为始边绕着点O 按逆时针方向绕原点以 匀角速度ω作圆周运动，则质点P 的坐标与时刻t 的关系该如 何建立呢？（其中r 与ω为常数,t 为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知: ),0[sin cos +∞∈???==t t r y t r x ωω t 为参数 ① （2）点P 的角速度为ω,运动所用的时间为t ,则角位移t ωθ=,那么方程组①可以改写为何种形式？ 结合匀速圆周运动的物理意义可得:),0[sin cos +∞∈???==θθ θr y r x θ为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化,为圆的参数方程概念的形成作准备,同时也培养了学生数学抽象思维能力） （３)方程①、②是否是圆心在原点,半径为r 的圆方程？为什么？ 由上述推导过程可知:对于⊙O 上的每一个点),(y x P 都存在变数t (或θ）的值,使t r x ωcos =，t r y ωsin =（或θsin r y =,θcos r x =)都成立。 对于变数t （或θ)的每一个允许值，由方程组所确定的点),(y x P 都在圆上; (1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习;２、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发,可以说明以上由变数t (或θ)建立起来的方程是圆的方程；） （４）若要表示一个完整的圆,则t 与θ的最小的取值范围是什么呢? ? )2,0[sin cos ωπωω∈???==t t r y t r x , )2,0[sin cos πθθ θ∈???==r y r x (5）圆的参数方程及参数的定义 我们把方程①(或②）叫做⊙O 的参数方程，变数t （或θ）叫做参数。 (６)圆的参数方程的理解与认识 （ⅰ)参数方程)2,0[sin 3cos 3πθθ θ∈???==y x 与]2,0[sin 3cos 3πθθθ∈???==y x 是否表示同一曲线?为什么？