积分表
一、含有ax b +的积分 1.
1
ln dx ax b C ax b a =+++?
2.11
()()(1)
ax b dx ax b C a μ
μμ++=
+++?
(1)μ≠-
3.
21(ln )x dx ax b b ax b C ax b a =+-+++?
4.222311()2()ln 2x dx ax b b ax b b ax b C ax b a ??
=+-++++??+??
?
5.
1ln ()dx ax b
C x ax b b x +=-++? 6.
22
1ln ()dx a ax b C x ax b bx b x +=-+++? 7.
22
1(ln )()x b
dx ax b C ax b a ax b
=+++++? 8.22
2
31(2ln )()x b dx ax b b ax b C ax b a ax b
=+-+-+++? 9.
22
11ln ()()dx ax b
C x ax b b ax b b x
+=-+++?
10.
C =
11.2
2(3215ax b C a =-?
12.2223
2(15128105x a x abx b C a
=-+?
13.
22
(23ax b C a =-
14.
2222
3
2(34815a x abx b C a =-+
15.(0)
(0)
C b C b ?+>=<
16.
2
a
b
=-
17.b
=
18.
2
a
=+
三、含有22
x a
±的积分
19.
22
1
arctan
dx x
C
x a a a
=+
+
?
20.
2222212221
23
()2(1)()2(1)() n n n dx x n dx x a n a x a n a x a
--
-
=+
+-+-+
??
21.
22
1
ln
2
dx x a
C
x a a x a
-
=+
-+
?
四、含有2(0)
ax b a
+>的积分
22.
2
(0)
(0)
C b
dx
ax b
C b
?
+>
=
+
+<
?
23.2
2
1
ln
2
x
dx ax b C
ax b a
=++
+
?
24.
2
22
x x b dx
dx
ax b a a ax b
=-
++
??
25.
2
22
1
ln
()2
dx x
C
x ax b b ax b
=+
++
?
26.
222
1
()
dx a dx
x ax b bx b ax b
=--
++
??
27.
2
32222
1
ln
()22
ax b
dx a
C
x ax b b x bx
+
=-+
+
?
28.
2222
1
()2()2
dx x dx
ax b b ax b b ax b
=+
+++
??
五、含有2(0)
ax bx c a
++>的积分
29.
2
2
2
(4)
(4)
C b ac
dx
ax bx c
C b ac
+<
=
++
+>
?
30.2
22
1
ln
22
x b dx
dx ax bx c
ax bx c a a ax bx c
=++-
++++
??
0)
a>的积分
31.
1
arsh ln(
x
C x C
a
=+=+
32.C
=+
33.C
=
34.
C
=
35.(
22
ln
2
a
x C
=++
36.
(
2
ln x C
=++
37.
1
ln
a
C
a x
=+
38.C
=+
39.(2ln2a x C
=++
40.
(
(
224
3
25ln
88
x
x a a x C
=++
41.C
=
?
42.(
(4
22
2ln
88
x a
x x a x C
=++
?
43.a C
=+
44.(ln x C
=++
0)
a>的积分
45.
1
arch ln
x
x
C x C
x a
=+=+
46.
C
=+
47.C
=
48.
C
=
49.
22
ln
2
a
x C
=++
50.
2
ln x C
=++
51.
a
C
x
+
52.C
=+
53.
2
ln
2
a
x C
=+
54.
(
224
3
25ln
88
x
x a a x C
=-+
55.C
=
?
56.(
4
22
2ln
88
x a
x x a x C
=-+
?
57.arccos
a
a C
x
=+
58.ln x C
=+
0)
a>的积分
59.
?
+=-C a x
x a dx
arcsin 2
2
60.
?
+-=
-C x
a a
x x a dx 2
22
3
22
)
(
61.
?
+--=-C x a dx x a x 222
2
62.
?+-=
-C x
a dx x a x 2
2
3
22
1)(
63.
?
++--=-C a x a x a x dx x a x arcsin 2222
22
22
64.
?
+--=
-C a
x
x a x dx x a x arcsin
)(2
23
222 65.C x x a a In a x
a x dx
+--=-?22221 66.
?+--=-C x a x a x a x
dx
222222
67.
C a x a x a x dx x a ++-=-?
arcsin 2222
22
2
68.C a x a x a x a x dx x a ++--=
-?arcsin 83)25(8)42
222322（ 69.C x a dx x a x +--=-?3222
2)(3
1 70.C a
x a x a a x x dx x a x
++--=-?
arcsin 8)2(842
2222
2
2
71.
a C = 72.
?
+---=-C a
x
x x a dx x x a arcsin 222
22
0)a >的积分
73.
2ax b C =
+++
74.
2
2ax b C =+++
75.
2ax b C =
+++ 76.
?
++--
=-+C ac
b b ax a ax bx
c dx 42arcsin 12
2
77.
C ac
b b ax a a
c b ax bx c a b ax dx ax bx c ++-++-+-=-+?
42arcsin 84422322
2
78.
?
++-+-+-
=-+C ac
b b
ax a b ax bx c a dx ax bx c x 42arcsin 212322
79.
((x b b a C =--+
80.
C a
b a
x a b x b a x b x dx x b a x +---+---=--?
arcsin )()( 81.
?
<+--=--)(arcsin 2)
)((b a C a b a
x x b a x dx
82.)(arcsin 4)())((42))(2b a C a
b a
x a b x b a x b a x dx x b a x <+---+----=--?（
十一、含有三角函数的积分 83.sin cos xdx x C =-+?
84.cos sin xdx x C =+?
85.tan ln cos xdx x C =-+? 86.cot ln sin xdx x C =+?
87.sec ln tan ln sec tan 42x xdx C x x C π??
=++=++
???
?
88.csc ln tan
ln csc cot 2
x
xdx C x x C =+=-+? 89.2
sec tan xdx x C =+?
90.2
csc cot xdx x C =-+?
91.sec tan sec x xdx x C =+? 92.csc cot csc x xdx x C =-+?
93.2
1
sin sin 224x xdx x C =
-+? 94.2
1cos sin 224x xdx x C =++?
95.1211sin sin cos sin n
n n n xdx x x xdx n n
---=-+?? 96.12
11cos cos sin cos n n n n xdx x x xdx n n
---=+?? 97.121cos 2sin 1sin 1sin n n n dx x n dx
x n x n x ---=-+--?? 98.121sin 2cos 1cos 1cos n n n dx x n dx
x n x n x
---=+--??
99.11211cos sin cos sin cos sin m n
m n m n m x xdx x x x xdx m n m n -+--=+++?? 112
11cos sin cos sin m n m n n x x x xdx m n m n
+---=-+++? 100.()()()()11sin cos cos cos 22ax bxdx a b x a b x C a b a b =-
+--++-?
101.()()()
()11
sin sin sin sin 22ax bxdx a b x a b x C a b a b =-
++-++-?
102.()()()
()11
cos cos sin sin 22ax bxdx a b x a b x C a b a b =
++-++-?
103.
()22tan
sin x
a b dx C a b a b x +=+>+?
104.()22sin dx C a b a b x =+<+?
105.
()22
cos 2dx x C a b a b x ?=+>??+??
106.()22cos dx C a b a b x =+<+?
107.
22221arctan tan cos sin dx b x C a x b x ab
a ??
=+ ?+??? 108.
22221tan ln cos sin 2tan dx b x a
C a x b x ab b x a +=+--?
109.211sin sin cos x axdx ax x ax C a a =
-+? 110.2
223122sin cos sin cos x axdx x ax x ax ax C a a a =-+++?
111.211
cos cos sin x axdx ax x ax C a a =++?
112.2
223122cos sin cos sin x axdx x ax x ax ax C a a a
=+-+?
十二、含有反三角函数的积分（其中(0)a >）
113.arcsin arcsin
x x
dx x C a a
=+?
114.22arcsin arcsin 24x x a x x dx C a a ??=- ???
?
115.(32
221
arcsin arcsin 239
x x x x dx x a C a a =
++?
116.arccos arccos
x x
dx x C a a
=?
117.22arccos arccos 24x x a x x dx C a a ??=- ???
?
118.(32
221
arccos arccos 239
x x x x dx x a C a a =
-+? 119.()22
arc tan arc tan
ln 2
x x a dx x a x C a
a =-++? 120.()22
1arc tan arc tan 22
x x a x dx a x x C a a =+-+?
121.()33
2
222arc tan arc tan ln 366
x x x a a x dx x a x C a a =
-+++? 十三、含有指数函数的积分
122.1ln x
x
a dx a C a =
+? 123.1ax
ax e dx e C a =+?
124.()211ax ax
xe dx ax e C a
=-+?
125.11n ax
n ax n ax
n x e dx x e x e dx a a
-=-?
? 126.()
21ln ln x x x x xa dx a a C a a =
-+?
127.11ln ln n
x
n x n x
n x a dx x a x a dx a a -=
-?? 128.()22
1sin sin cos ax ax
e bxdx e a bx b bx C a b =-++? 129.()2
2
1cos sin cos ax
ax e bxdx e b bx a bx C a b
=+++? 130.()
()2
1
2
222222
11sin sin sin cos sin ax
n
ax n ax n n n b e bxdx e bx a bx nb bx e bxdx a b n a b n ---=-+++??
131.()()2
12222
22211cos cos cos sin cos ax n
ax n ax n n n b e bxdx e bx a bx nb bx e bxdx a b n a b n
---=++++?? 十四、含有对数函数的积分 132.ln ln xdx x x x C =-+?
133.
ln ln ln dx
x C x x +?
134.111ln ln 11n
n x xdx x x C n n +??=
-+ ?++??
?
135.
()()()1
ln ln ln n n
n
x dx x x n x dx -=-??
136.()
()()111ln ln ln 11
n
n n m
m m
n x
x dx x x x x dx m m -+=
-++?
? 十五、含有双曲函数的积分 137.sh ch xdx x C =+? 138.ch sh xdx x C =+?
139.th ln ch xdx x C =+?
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2d () x x ax b +? ＝ 21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +? ＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10． x C + 11．x ?＝2 2 (3215ax b C a - 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13． x ? ＝22 (23ax b C a -
14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? 2a b - 17． d x x ? ＝b ?18 ． x ? ＝2a x -+ （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20． 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21． 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2 (0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23． 2d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++
高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '=⑵1x x μμμ-=⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=-⑸()2tan sec x x '=⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=?⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '=⑽()ln x x a a a '=⑾()1ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '=⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= +⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '=二、导数的四则运算法则 三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±????（2）()() () ()n n cu x cu x =???? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() ()()()() n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n n x n =（2）()()n ax b n ax b e a e ++=?(3)()() ln n x x n a a a = (4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ?????(5)()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ? +?? +(7)()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-????+ 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c =⑵()1d x x dx μμμ-=⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =-⑸()2tan sec d x xdx =⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =?⑻()csc csc cot d x x xdx =-?
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
常 用 高 数 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? C 11．x ?＝2 2 (3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+
14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ? +< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1ln 2ax b C a ++
１ (一)含有ax+b 的积分 1.C b ax a b ax d b ax a dx ++=++=+??ln 1)(11b ax 2.()()C u a b ax b ax d a dx u u u +++= ++=+??)1()()(b ax 1b ax 3. C b ax b b ax a b ax b ax d a b dax b ax b ax a dx b ax b b ax a dx b ax ax a dx b ax x ++-+=++-++=+-+=+=+?????)ln (1 )(111222 4.?? ????++-+-++=+--+=+=+??????b ax b ax d b b ax d b b ax d b ax a dx b ax b abx b ax a dx b ax x a a dx b ax x )()(2)()(12)(11232222222 C b ax b b ax b b ax a +?? ????+-+-+= ln )(2)(2112 23 5. ()C x b ax b x C a b b ax b C ax b ax b dx ax b ax b a b ax x dx ++-=++++-=+-+-=??? ??-+-=+??ln 1ln ln 1ln 1ln ln 111)(11 6.()()C x b a b ax b a bx x dx b a b ax dx b a dx x b dx bx a b ax b a x b b ax x dx +-++-=-++=??????-++=+?????ln ln 11111222222222 C x b ax b a bx +++= ln 12 7.()()()()C b ax a b b ax a b ax dx a b b ax dx a dx b ax a b b ax a b ax xdx ++?++=+-+=?? ????+-+=+????1ln 11122222 C b ax b b ax a +?? ? ??+++= ln 12 8.()()()()()???? +??? ? ??+-+-=+-+-=+--+=+C b ax b b ax b ax a b ax dx a b b ax xdx a b a x dx b ax a b a bx b ax a dx b ax x 23222222 2 22 22ln 21221 9. ()()()()C x b ax b b ax b C b x b ax b b ax b x dx b b ax dx b a b ax b adx b ax x dx ++-+=+++-+=++-+-=+????ln 11ln ln 111222 2222 （二）含有b ax +的积分 10. ()()C b ax a b ax d b ax a dx b ax ++=++= +??3 321 11.()()()()()???+-= ++-+= +-++=+3 2 32 5 22315232521b ax b ax a C b ax a b b ax a dx b ax a b dx b ax b ax a dx b ax x C + 12. () ()()?--+=+-+-++=+????b ax a a b b ax a dx b ax a b dx b ax x a b dx b ax b ax a dx b ax x 23152 [ 272 21 2 73 222 2 2 ()()()() C b ax b abx x a a C b ax a b b ax +++-= ++-+3 2223 33 2 3 812151052 32]
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++
9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ． x ? C + 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a - 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 ． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? ＝2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a +
导数公式： 基本积分表： 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 10 ．x C 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? a x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='
31． ＝1arsh x C a +＝ln(x C ++ 32． C + 33． x C + 34． x ＝C + 35．2 x 2ln(2a x C -++ 39．x 2 ln(2a x C +++ 43．d x x ?＝ln a a C x ++ 44．2d x x ?＝ln(x C +++ 47． x C 53．x 2 ln 2 a x C + 57．d x x ?arccos a a C x + 59． ＝arcsin x C a + 61． x ＝C
(1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- +
三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2． ()d ax b x μ +?＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
常用微积分公式大全 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.
公式： 1、轴向拉压杆件截面正应力N F A σ=，强度校核max []σσ≤ 2、轴向拉压杆件变形Ni i i F l l EA ?=∑ 3、伸长率：1100%l l l δ-= ?断面收缩率：1 100%A A A ψ-=? 4、胡克定律：E σε=，泊松比：'ευε=-，剪切胡克定律：G τγ= 5、扭转切应力表达式：T I ρ ρ τρ=，最大切应力：max P P T T R I W τ= =， 4 4 (1)32 P d I πα= -，3 4(1)16 P d W πα= -，强度校核：max max []P T W ττ= ≤ 6、单位扭转角：P d T dx GI ?θ= =，刚度校核：max max []P T GI θθ= ≤，长度为l 的 一段轴两截面之间的相对扭转角P Tl GI ?= ，扭转外力偶的计算公式： ()(/min) 9549 KW r p Me n = 7、薄壁圆管的扭转切应力：202T R τπδ = 8、平面应力状态下斜截面应力的一般公式： cos 2sin 22 2 x y x y x ασσσσσατα+-= + -，sin 2cos 22 x y x ασστατα-= + 9、平面应力状态三个主应力： '2 x y σσσ+= ，''2 x y σσσ+= '''0σ= 最大切应 力max ''' 2 σστ-=± =，最大正应力方位 02tan 2x x y τασσ=- -
10、 第三和第四强度理论：3r σ= 4r σ=11、平面弯曲杆件正应力：Z My I σ =，截面上下对称时，Z M W σ = 矩形的惯性矩表达式：3 12Z bh I = 圆形的惯性矩表达式： 4 4(1)64Z d I πα= - 矩形的抗扭截面系数：2 6 Z bh W = ，圆形的抗扭截面系数：3 4(1)32 Z d W πα= - 13、平面弯曲杆件横截面上的最大切应力：max max *S z S Z F S F K bI A τ= = 14、平面弯曲杆件的强度校核：（1）弯曲正应力max []t t σσ≤，max []c c σσ≤ （2）弯曲切应力max []ττ≤（3）第三类危险点：第三和第四强度理论 15、平面弯曲杆件刚度校核：叠加法 max []w w l l ≤，max []θθ≤ 16、（1）轴向载荷与横向载荷联合作用强度： max max min ()N Z F M A W σσ=± （2）偏心拉伸(偏心压缩)：max min ()N Z F F A W δ σσ=± （3）弯扭变形杆件的强度计算： 有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦） 一、0 101101 lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =?? ? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >= （4）1n = （5）limarctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0lim 1x x x + →=
12. （一）含有ax b 的积分（a 1 . dx 1 ax b a =-In ax b 2. 3. 4. 5. 6. 7. 9. 10. 11. 13. 常用积分公式 0) 1 (ax b) dx = a( 1) x 1 dx = -^(ax b ax b a 丄dx =丄 ax b a 3 (ax bln b)2 b) ax b) C 2b(ax b) b 2ln ax b dx x( ax b) dx x 2(ax b) x 2dx (ax b) 2 (^dx 1ln b 1 bx ax ax b 1 = -r(ln a ax b ax b ) 2bln ax b b 2 ax b ) C dx 2 x(ax b) b(ax b) 含有.ax b 的积分 1 2 In b 2 ax b Tax~ dx = — T(ax~b)3 3a x 、、ax bdx = -^(3ax 2b 15a x 2 . ax bdx = ^^(15a 2x 2 12abx 8b 2) ., (ax b)3 C 105a ).(ax b)3 C x 2 - d x = -- 2 (ax 2b)、ax b C ，ax b 3a 2
2 15a 3 dx x ￥ ax b dx x 21 ax b ax b. dx = (3a 2x 2 4abx 8b 2)、、ax b ■, ax b 、. ； b .ax b .b A C (b (b 0) 0) bx 2b x 丫 ax b 2 ax b dx x, ax b ax b , 2 dx = x a dx 2 x 、ax b 14. 15. 16. 17. 18. (三) 19. 20. 21 . (四) 22. 23.
高等数学导数及积分公式汇总表 一、导数公式 1．幂函数 0='c 1)(-='n n nu u 2．指数函数 a a a u u ln )(=' e e e u u ln )(=' 3．对数函数 a u a u ln 1 )(log =' u u 1)(ln = ' 4．三角函数 u u cos )(sin =' u u sin )(cos -=' u u 2sec )(tan =' u u 2csc )(cot -=' u u u tan sec )(sec =' u u u cot csc )(csc -=' 5．反三角函数 2 11)(arcsin u u -= ' 2 11)(arccos u u -- =' 11)(arctan u u +=' 11)cot (u u arc +-=' 6．其他 1='u 2 11)(u u -=' u u 21)(= ' 2 3 21 1 )( u u - =' 2 2 )(22a u u a u ±= '± 二、积分公式 1．幂函数 C du =?0 C u du u n n n += ++?11 1 2．指数函数 C e du e u u +=? C du a a a u u += ?ln 3．有关对数 C u du +=? ln 4．三角函数 C u udu +-=?cos sin C u udu +=?sin cos C u udu +=?tan sec 2 C u udu +-=?cot csc 2 C u udu u +=?sec tan sec C u udu u +-=?csc cot csc C u udu +-=?cos ln tan C u udu +=?sin ln cot C u u udu ++=?tan sec ln sec C u u udu +-=?cot csc ln csc 5．反三角函数 C a u u a u du +±+=? ±22ln 2 2 C a u u a du +=?-arcsin 2 2 C u a u a a u a du += -+-?ln 212 2 C a u a u a du +=? +arctan 12 2 6．其他 C u u du +-=? 12 C u du u +=? 23 3 2 C u du u +=? 2 1 21 C u u udu +-=? -222 2 C u u udu ++=? +2 2111ln 2
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为， 故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分
下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.
分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式. 解： (为任意常数) 例4 求不定积分. 分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解： （为任意常数） 例5 求不定积分. 分析：基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式： 解：
积分表 一、含有ax b +的积分 1. 1 ln dx ax b C ax b a =+++? 2.11 ()()(1) ax b dx ax b C a μ μμ++= +++? (1)μ≠- 3. 21(ln )x dx ax b b ax b C ax b a =+-+++? 4.222311()2()ln 2x dx ax b b ax b b ax b C ax b a ?? =+-++++??+?? ? 5. 1ln ()dx ax b C x ax b b x +=-++? 6. 22 1ln ()dx a ax b C x ax b bx b x +=-+++? 7. 22 1(ln )()x b dx ax b C ax b a ax b =+++++? 8.22 2 31(2ln )()x b dx ax b b ax b C ax b a ax b =+-+-+++? 9. 22 11ln ()()dx ax b C x ax b b ax b b x +=-+++? 10. C = 11.2 2(3215ax b C a =-? 12.2223 2(15128105x a x abx b C a =-+? 13. 22 (23ax b C a =- 14. 2222 3 2(34815a x abx b C a =-+ 15.(0) (0) C b C b ?+>=<
16. 2 a b =- 17.b = 18. 2 a =+ 三、含有22 x a ±的积分 19. 22 1 arctan dx x C x a a a =+ + ? 20. 2222212221 23 ()2(1)()2(1)() n n n dx x n dx x a n a x a n a x a -- - =+ +-+-+ ?? 21. 22 1 ln 2 dx x a C x a a x a - =+ -+ ? 四、含有2(0) ax b a +>的积分 22. 2 (0) (0) C b dx ax b C b ? +> = + +< ? 23.2 2 1 ln 2 x dx ax b C ax b a =++ + ? 24. 2 22 x x b dx dx ax b a a ax b =- ++ ?? 25. 2 22 1 ln ()2 dx x C x ax b b ax b =+ ++ ? 26. 222 1 () dx a dx x ax b bx b ax b =-- ++ ?? 27. 2 32222 1 ln ()22 ax b dx a C x ax b b x bx + =-+ + ? 28. 2222 1 ()2()2 dx x dx ax b b ax b b ax b =+ +++ ?? 五、含有2(0) ax bx c a ++>的积分
微积分公式
tan -1 x = x-33x +55x -7 7 x +…+)12()1(12+-+n x n n + … (1+x)r =1+r x+!2)1(-r r x 2+! 3)2)(1(--r r r x 3 +… -1 导数公式： (tan x) sec 2 x (cot x) csc 2 x (sec x) sec x tan x (csc x) csc x cot x ( a x ) a x ln a ( x x ) x x (ln x 1) 1 (log a x) x ln a (arcsin x ) 1 1 x 2 (arccos x ) 1 1 x 2 (arctan x) 1 2 1 x (arc cot x ) 1 1 x 2 (thx ) 1 ch 2 tanxdx ln cosx C cot xdx ln sin x C secxdx ln secx tan x C cscxdx ln cscx cot x C dx 2 cos 2 x sec xdx tan x C dx csc 2 xdx cot x C sin 2 x secx tan xdx secx C csc x cot xdx csc x C dx 2 2 a x x 2 a 2 dx 2 2 a x a 2 x 2 1 arctan x C a a 1 ln x a C 2a x a 1 a x C 2a ln x a arcsin x C a a x dx a x C ln a shxdx chx C chxdx shx C dx ln( x x 2 a 2 ) C x 2 a 2 2 sin n xdx 2 cos n xdx n 1 I n I n 2 n x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 x 2 a 2 ) C 2 ln( x 2 x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 a 2 x 2 dx x a 2 x 2 a 2 x C 2 arcsin a 2 基本积分表： 三角函数的有理式积分： sin x 2u ， cos x 1 u 2 ， u tg x ， dx 2du 1 u 2 1 u 2 2 1 u 2 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ 有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >= （4）1n = （5）limarctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x arcsin x x arctan x x 2 11cos 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1ln x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μ μμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '= ⒂( )21arctan 1x x '= + ⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅ ' = 六、高阶导数的运算法则微积分公式大全.doc
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