百度文库- 让每个人平等地提升自我
数学思想方法问题
【专题点拨】
整体思想：整体思想，就是研究和解决问题时，从问题的整体性质出发，突出对问题的
整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或
图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，从而达到迅速
解题的目的 .
分类讨论思想：当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同
时，需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论.
转化思想：转化思想亦可在狭义上称为划归思想. 就是将待解决的或者难以解决的问题 A 经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B，通过解决问题 B 来解决问题 A 的方法 .
数学建模思想：为了描述一个实际现象更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们
采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学. 使用数学语言描述的
事物就称为数学模型. 数学建模，其实就是把数学问题转化为用方程、不等式、函数等来解决
的数学方法 .
数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转
化来解决数学问题的思想，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简.
类比思想：类比思想是数学创造型思维中很重要的一种思想方法，它可以帮助学习者建
立新旧知识联系的桥梁，实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移到陌
生的问题中，进而使问题得到解决.
【解题策略】
整体思想：分析问题整体结果→发现问题特征→找到相互关联→运用整体思想→化难为
易解决问题
分类讨论思想：分析问题有变化→探索不同分析思路→找到需分解的部分→运用分类讨
论的思想→多种情况分析解决问题
转化思想：分析问题有难度→转化手段和方法→从难到易转化→运用转化化归的思想→
通过另一途径解决问题
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方程或函数等解决问题
数形结合思想：分析问题较抽象→转化为直观易分析→找到相对应图形→运用数形结合
的思想→化难为易解决问题
类比思想：分析问题有深度→借助新旧知识的关联→合理进行知识迁移→运用类比的思
想→轻松解决疑难问题
【典例解析】
类型一：整体思想应用问题
例题 1：（ 2016·青海西宁·2分）已知 x2+x﹣ 5=0，则代数式（ x﹣1）2﹣ x（ x﹣3）+（ x+2）（x﹣ 2）的值为 2 ．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到原式=x 2+x﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：原式=x 2﹣ 2x+1﹣ x2+3x+x2﹣ 4
2
=x +x﹣3，
因为 x2+x﹣ 5=0，
所以 x2+x=5，
所以原式 =5﹣ 3=2．
故答案为2．
变式训练1：
（ 2015·菏泽）已知m 是方程 x2-x-1=0 的一个根，求
2 2
m（ m 1）—m（m 3）4的
值.
类型二：分类讨论思想问题
例题 2：（2016·贵州安顺·3分）已知实数x，y 满足，则以x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）
A． 20 或 16B． 20
2
【分析】根据非负数的意义列出关于 x、 y 的方程并求出 x、 y 的值，再根据 x 是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得
，
解得，
（ 1）若 4 是腰长，则三角形的三边长为：4、 4、 8，
不能组成三角形；
（ 2）若 4 是底边长，则三角形的三边长为：4、 8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8=20．
故选 B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利
用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形
做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．
变式训练2：
（ 2016·江西·3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知 AB=8， AD=7，E 为 AB 上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点 P 落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．
类型三：转化思想问题
例题 3：（2016·浙江省绍兴市· 4 分））解分式方程：+=4．
【分析】观察可得方程最简公分母为（x﹣ 1），将方程去分母转化为整式方程即可求解．【解答】解：方程两边同乘（x﹣ 1），
得： x﹣ 2=4（ x﹣ 1），
整理得：﹣ 3x=﹣ 2，
解得： x=，
经检验 x=是原方程的解，
故原方程的解为x=．
变式训练3：（ 2016·吉林·5分）解方程：=．
类型四：数学建模问题
例题 4：（2016·四川宜宾）今年“五一”节，A、B两人到商场购物，A购 3
件甲商品和 2件乙商品共支付 16 元，B购 5件甲商品和 3件乙商品共支付 25 元，求一件甲商
品和一件乙商品各售多少元．设甲商品售价 x 元 / 件，乙商品
售价 y 元 / 件，则可列出方程组．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】分别利用“A购 3件甲商品和 2件乙商品共支付 16 元，B购 5件甲商品和 3件乙商品
共支付 25 元”得出等式求出答案．
【解答】解：设甲商品售价 x 元 / 件，乙商品售价 y 元 / 件，则可列出方程组：
．
故答案为：．
变式训练4：
（ 2016 ·四川眉山·3分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情
大幅提高．据调查，2016 年 1 月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100 套， 3 月份的住房
销售量为169 套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为．
类型五：数形结合问题
例题 5：（2016·黑龙江齐齐哈尔· 12分）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，
在试验场地有A、B、C 三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、 B 两点同时同向出发，历时7 分钟同时到达 C 点，乙机器人始终以60 米/ 分的速度行走，如图是甲、乙
两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回
答下列问题：
（ 1） A、 B 两点之间的距离是70米，甲机器人前 2 分钟的速度为95米/分；
（ 2）若前 3 分钟甲机器人的速度不变，求线段EF 所在直线的函数解析式；
（ 3）若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为60米/分；
（ 4）求 A、 C 两点之间的距离；
（ 5）直接写出两机器人出发多长时间相距28 米．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（ 1）结合图象得到A、 B 两点之间的距离，甲机器人前 2 分钟的速度；
（2）根据题意求出点 F 的坐标，利用待定系数法求出EF 所在直线的函数解析式；
（3）根据一次函数的图象和性质解答；
（4）根据速度和时间的关系计算即可；
（5）分前 2 分钟、 2 分钟﹣ 3 分钟、 4 分钟﹣ 7 分钟三个时间段解
答．【解答】解：（ 1）由图象可知， A、B 两点之间的距离是 70 米，
甲机器人前 2 分钟的速度为：（70+60×2）÷ 2=95 米 / 分；
（2）设线段 EF所在直线的函数解析式为： y=kx+b ，
∵1×（ 95﹣ 60） =35，
则，
解得，，
∴线段 EF 所在直线的函数解析式为y=35x ﹣ 70；
（ 3）∵线段FG∥x轴，
∴甲、乙两机器人的速度都是60 米/ 分；
（4） A、 C 两点之间的距离为 70+60×7=490 米；
（ 5）设前 2 分钟，两机器人出发xs 相距 28 米，
由题意得， 60x+70﹣ 95x=28，
解得， x=，
前 2 分钟﹣ 3 分钟，两机器人相距28 米时，
35x ﹣ 70=28，
解得， x=，
4 分钟﹣ 7 分钟，两机器人相距28 米时，
（95﹣60） x=28，
解得， x=，
+4=，
答：两机器人出发或或相距28 米．
变式训练5：
（ 2016·湖北荆州·8分）为更新果树品种，某果园计划新购进A、B 两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45 棵，其中 A 种苗的单价为7 元 / 棵，购买 B 种苗所需费用 y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．
（ 1）求 y 与 x 的函数关系式；
（ 2）若在购买计划中， B 种苗的数量不超过35 棵，但不少于 A 种苗的数量，请设计购
买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
类型六：数学类比问题
例题 6：（ 2016·浙江省湖州市）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠ BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边
形 ABCD所在平面内旋转，且 60°角的顶点始终与点 C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线
分别交线段 AB， AD于点 E， F（不包括线段的端点）．
（1）初步尝试
如图 1，若 AD=AB，求证：①△ BCE≌△ ACF，② AE+AF=AC；
（ 2）类比发现
如图 2，若 AD=2AB，过点 C 作 CH⊥AD 于点 H，求证： AE=2FH；
（ 3）深入探究
如图 3，若 AD=3AB，探究得：的值为常数t ，则 t=．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（ 1）①先证明△ ABC，△ ACD 都是等边三角形，再证明∠ BCE=∠ACF即可解决问题．②根据①的结论得到BE=AF，由此即可证明．
（ 2）设 DH=x，由由题意， CD=2x，CH= x，由△ ACE∽△ HCF，得=由此即可证明．（ 3）如图 3 中，作 CN⊥AD 于 N，CM⊥BA 于 M，CM与 AD交于点 H．先证明△ CFN∽△ CEM，
得=，由AB?CM=AD?CN，AD=3AB，推出CM=3CN，所以==，设CN=a，FN=b，则CM=3a， EM=3b，想办法求出AC， AE+3AF即可解决问题．
【解答】解；（ 1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ BAD=120°，
∴∠ D=∠B=60°，
∵AD=AB，
∴△ ABC，△ ACD 都是等边三角形，
∴∠ B=∠CAD=60°，∠ ACB=60°，BC=AC，
∵∠ ECF=60°，
∴∠ BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，
∴∠ BCE=∠ACF，
在△ BCE和△ ACF中，
∴△ BCE≌△ ACF．
②∵△ BCE≌△ ACF，
∴B E=AF，
∴A E+AF=AE+BE=AB=AC．
（2）设 DH=x，由由题意， CD=2x， CH= x，
∴AD=2AB=4x，
∴AH=AD﹣ DH=3x，
∵CH⊥AD，
∴AC= =2 x，
2 2 2
∴∠ BAC=∠ACD=90°，
∴∠ CAD=30°，
∴∠ ACH=60°，
∵∠ ECF=60°，
∴∠ HCF=∠ACE，
∴△ ACE∽△ HCF，
∴= =2，
∴A E=2FH．
（3）如图 3 中，作 CN⊥AD 于 N，CM⊥BA 于 M， CM与 AD交于点
H．∵∠ ECF+∠EAF=180°，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∵∠ AFC+∠CFN=180°，
∴∠ CFN=∠AEC，∵∠
M=∠CNF=90°，∴△ CFN∽△ CEM，
∴= ，
∵AB?CM=AD?CN，AD=3AB，
∴CM=3CN，
∴= = ，设 CN=a， FN=b，则 CM=3a， EM=3b，
∵∠ MAH=60°，∠ M=90°，
∴∠ AHM=∠CHN=30°，
∴H C=2a， HM=a， HN= a，
∴AM=a， AH=a，
∴AC==a，
AE+3AF=（ EM﹣ AM） +3（ AH+HN﹣ FN） =EM﹣AM+3AH+3HN﹣ 3FN=3AH+3HN﹣AM=a，∴==．
故答案为．
变式训练6：
（2016·陕西）问题提出
（1）如图①，已知△ ABC，请画出△ ABC 关于直线 AC对称的三角
形．问题探究
（2）如图②，在矩形 ABCD中， AB=4， AD=6，AE=4，AF=2，是否在边 BC、CD上分别存
在点 G、 H，使得四边形 EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明
理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽
可能大的四边形 EFGH部件，使∠ EFG=90°， EF=FG= 米，∠ EHG=45°，经研究，只有当点
E、 F、 G分别在边 AD、 AB、 BC上，且 AF＜ BF，并满足点H在矩形 ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．
【能力检测】
2.（ 2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）有一面积为 5 的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为．
3.（ 2016·湖北荆门·3分）如图，已知点 A（ 1， 2）是反比例函数 y= 图象上的一点，
连接 AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点 P 是 x 轴上一动点；若△ PAB 是等腰三角形，
则点 P 的坐标是什么？．
4.（ 2016·内蒙古包头）一幅长 20cm、宽 12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3： 2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．（ 1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（ 2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
5.（2016·陕西）昨天早晨 7 点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y（千米）与他离家的时间x（时）之间的函数图象．
（1）求线段 AB所表示的函数关系式；
（2）已知昨天下午 3 点时，小明距西安 112 千米，求他何时到家？
6.（ 2016 河南）（ 1）发现：如图 1，点 A 为线段 BC外一动点，且 BC=a，AB=b．
填空：当点 A 位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）
（ 2）应用：点 A 为线段 BC外一动点，且BC=3， AB=1，如图 2 所示，分别以AB， AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接 CD， BE．
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE长的最大值．
（ 3）拓展：如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ 2， 0），点 B 的坐标为（ 5，0），点 P 为线段 AB外一动点，且 PA=2， PM=PB，∠ BPM=90°，请直接写出线段 AM长的最大值及此时点 P 的坐
标．
【参考答案】
变式训练1：
（2015·菏泽）已知m是方程x2-x-1=0的一个根，求
2 2
m（ m 1）—m（m3） 4的值.
【解析】把m代入方程求得m2-m=1，再把有关m的代数式化简，最后整体代入求出代数式的值 .
【解答】∵ m是方程 x2-x-1=0的一个根，
∴m2-m-1=0.
2
即 m-m=1.
m(m+1)2-m2(m+3)+4
323 2
=m+2m+m-m-3m +4
=-m2+m+4
=-(m 2-m)+4
=-1+4=3.
【点评】本题考查代数式的求值，解答这类问题要善于观察代数式的整体特征，先将条件进行转化，再把代数式化简，然后将化简结果转成与条件有关的式子进行计算.
变式训练2：
（ 2016·江西· 3 分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知 AB=8， AD=7，E 为 AB 上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点 P 落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．
【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
【分析】分情况讨论：①当AP=AE=5时，则△ AEP 是等腰直角三角形，得出底边
PE= AE=5即可；
②当 PE=AE=5时，求出 BE，由勾股定理求出 PB，再由勾股定理求出等边 AP即可；③当
PA=PE时，底边 AE=5；即可得出结论．【解答】解：如图所示：
①当 AP=AE=5时，
∵∠ BAD=90°，
∴△ AEP 是等腰直角三角形，
∴底边 PE= AE=5；
②当 PE=AE=5时，
∵B E=AB﹣ AE=8﹣ 5=3，∠ B=90°，
∴PB==4，
∴底边 AP= = =4 ；
③当 PA=PE时，底边AE=5；
综上所述：等腰三角形AEP的对边长为 5 或 4 或 5；
故答案为： 5 或 4 或 5．
变式训练3：（ 2016·吉林·5分）解方程：=．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可
得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣ 2=x+3，
解得： x=5，
经检验 x=5 是分式方程的解．
变式训练4：
（ 2016 ·四川眉山·3分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情
大幅提高．据调查，2016 年 1 月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100 套， 3 月份的住房销售量为169 套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为100 （ 1+x）2=169．
【分析】根据年 1 月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100 套， 3 月份的住房销售量
为 169 套．设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，可以列出相应的方程．【解答】解：由题意可得，
100（ 1+x）2=169，
故答案为： 100（ 1+x）2=169．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出形应
的方程．
变式训练5：
（ 2016·湖北荆州·8分）为更新果树品种，某果园计划新购进A、B 两个品种的果树苗
栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45 棵，其中 A 种苗的单价为7 元 / 棵，购买 B 种苗所需费用 y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．
（ 1）求 y 与 x 的函数关系式；
（ 2）若在购买计划中， B 种苗的数量不超过35 棵，但不少于 A 种苗的数量，请设计购
买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
【分析】（ 1）利用得到系数法求解析式，列出方程组解答即可；
（2）根据所需费用为 W=A种树苗的费用 +B 种树苗的费用，即可解
答．【解答】解：（ 1）设 y 与 x 的函数关系式为： y=kx+b ，
把（ 20， 160），（ 40， 288）代入 y=kx+b 得：
解得：
∴y=+32．
（2）∵B种苗的数量不超过 35 棵，但不少于 A 种苗的数量，
∴
∴≤ x≤35，
设总费用为W元，则 W=+32+7（ 45﹣ x） =﹣+347，
∵k=﹣，
∴y随 x 的增大而减小，
∴当 x=35 时， W总费用最低， W最低 =﹣× 35+347=137（元）．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题的关键．
变式训练6：
（2016·陕西）问题提出
（1）如图①，已知△ ABC，请画出△ ABC 关于直线 AC对称的三角
形．问题探究
（2）如图②，在矩形 ABCD中， AB=4， AD=6，AE=4，AF=2，是否在边 BC、CD上分别存
在点 G、 H，使得四边形 EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明
理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽
可能大的四边形 EFGH部件，使∠ EFG=90°， EF=FG= 米，∠ EHG=45°，经研究，只有当点
E、 F、 G分别在边 AD、 AB、 BC上，且 AF＜ BF，并满足点H在矩形 ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【分析】（ 1）作 B 关于 AC 的对称点D，连接 AD， CD，△ ACD即为所求；
（ 2）作 E 关于 CD的对称点E′，作 F 关于 BC的对称点F′，连接E′F′，得到此时四
边形 EFGH的周长最小，根据轴对称的性质得到BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠ A=90°，于是
得到 AF′=6，AE′=8，求出E′F′=10， EF=2即可得到结论；
（ 3）根据余角的性质得到1=∠2，推出△ AEF≌△ BGF，根据全等三角形的性质得到AF=BG，AE=BF，设 AF=x，则 AE=BF=3﹣x 根据勾股定理列方程得到AF=BG=1，BF=AE=2，作△ EFG关于EG的对称△ EOG，则四边形 EFGO是正方形，∠ EOG=90°，以O为圆心，以EG为半径作⊙ O，则∠ EHG=45°的点在⊙O上，连接FO，并延长交⊙O 于 H′，则 H′在 EG的垂直平分线上，
连接 EH′GH′，则∠ EH′G=45°，于是得到四边形EFGH′是符合条件的最大部件，根据矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（ 1）如图 1，△ ADC即为所求；
（2）存在，理由：作 E 关于 CD的对称点 E′，作
F 关于 BC的对称点 F′，
由题意得： BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠ A=90°，
∴A F′=6，AE′=8，
∴E′F′=10， EF=2 ，
∴四边形 EFGH的周长的最小值 =EF+FG+GH+HE=EF+E′′=2 +10，∴在边 BC、 CD上分别存在
点G、 H，
使得四边形 EFGH的周长最小，
最小值为 2 +10；
（ 3）能裁得，
理由：∵ EF= FG=，∠ A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，
∴∠ 1=∠2，
在△ AEF 与△ BGF中，，
∴△ AEF≌△ BGF，
∴A F=BG， AE=BF，设 AF=x，则 AE=BF=3﹣ x，
2 2
=（2
，解得： x=1， x=2（不合题意，舍去），
∴x+（3﹣ x））
∴A F=BG=1， BF=AE=2，
∴D E=4， CG=5，
连接 EG，
作△ EFG关于 EG的对称△ EOG，
则四边形EFGO是正方形，∠ EOG=90°，
以 O为圆心，以 EG为半径作⊙ O，
则∠ EHG=45°的点在⊙O上，
连接 FO，并延长交⊙O 于 H′，则 H′在 EG的垂直平分线上，连接 EH′GH′，则∠ EH′G=45°，
此时，四边形 EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的，
∴C在线段 EG的垂直平分线设，
∴点 F， O，H′， C 在一条直线
上，∵EG= ，
∵CF=2，
∴OC=，
∵OH′=OE=FG=，
∴OH′＜ OC，
∴点 H′在矩形 ABCD的内部，
∴可以在矩形ABCD中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH′部件，
这个部件的面积= EG?FH′=××（+）=5+，
∴当所裁得的四边形部件为四边形EFGH′时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的
面积为（ 5+
2 ） m．
【能力检测】
1.（2016·四川泸州）分式方程﹣=0 的根是x= ﹣ 1．
【考点】分式方程的解．
【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入 x（ x ﹣3）进行检验即可．
【解答】解：方程两边都乘以最简公分母 x（ x ﹣ 3 ）得： 4x ﹣（ x ﹣ 3 ）=0 ，解得： x= ﹣ 1，
经检验： x= ﹣ 1 是原分式方程的解，
故答案为： x= ﹣ 1 ．
2.（ 2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）有一面积为 5 的等腰三角形，它的一个内角是
30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为20 和20 ．
【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．
【分析】分两种情形讨论①当30 度角是等腰三角形的顶角，②当30 度角是底角，分别