第八章二元一次方程组
8.1二元一次方程组
教学目标：
1.认识二元一次方程和二元一次方程组.
2.了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数
解.
教学重点：
理解二元一次方程组的解的意义.
教学难点：
求二元一次方程的正整数解.
教学过程：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2 分.负一场得1 分，某队为了争取较好的名次，想在全部22 场比赛中得到40 分，那么这个队胜负场数分别是多少？
思考：
这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：
胜的场数＋负的场数＝总场数，
胜场积分＋负场积分＝总积分.
这两个条件可以用方程
x＋y＝22
2x＋y＝40
表示.
上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x 和y），并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
把两个方程合在一起，写成
x＋y＝22
2x＋y＝40
像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 探究：
满足方程①，且符合问题的实际意义的 x 、y 的值有哪些？把它们填入表中. 上表中哪对 x 、y 的值还满足方程②
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次 方程的解.
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
例 1 （1）方程（a ＋2）x +(b -1)y = 3 是二元一次方程，试求 a 、b 的取值 范围.
（2）方程 x ∣a ∣ – 1+(a -2)y = 2 是二元一次方程，试求 a 的值. 例 2 若方程 x 2 m –1 + 5y 3n – 2 = 7 是二元一次方程.求 m 、n 的值 例 3
已知下列三对值：
x ＝－6 x ＝10 x ＝10 y ＝－9
y ＝－6
y ＝－1
（1） 哪几对数值使方程 1
x －y ＝6 的左、右两边的值相等？
2 （2） 哪几对数值是方程组 1 x －y ＝6 2 2x ＋31y ＝－11
的解？
例 4 求二元一次方程 3x ＋2y ＝19 的正整数解.
课堂练习： 教科书第 102 页练习习题 8.1
1、2 题
作业：
教科书第 102 页 3、4、5 题
教学反思：
8.2消元 --- 二元一次方程组的解法（一）
一、学习目标：1．会用代入法解二元一次方程组.
2.初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”.
3.通过研究解决问题的方法，培养合作交流意识与探究精神
二、教学重点：代入消元法解二元一次方程组。
三、教学难点：理解“消元”的基本思想。
四：教学过程
1、复习提问：
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分.负一场得 1 分，某队为了争取较好的名次，想在全部 22 场比赛中得到 40 分，那么这个队胜负场数分别是多少？
如果只设一个末知数：胜 x 场，负 (22－ x)场，列方程为：，解得x= .
在上节课中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，设胜的场数是x，负的场数是y，
x＋y＝22
2x＋y＝40
那么怎样求解二元一次方程组呢？
2、思考：上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？
可以发现，二元一次方程组中第1 个方程x＋y＝22 写成y＝22－x，将第2 个
方程2x＋y＝40 的y 换为22－x，这个方程就化为一元一次方程
2x + (22 -x) = 40 .
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想.
3、归纳：
上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
?
例 1 用代入法解方程组
x －y ＝3 ① 3x －8y ＝14
②
解后反思：(1)选择哪个方程代人另一方程？其目的是什么？
(2) 为什么能代？ (3）
只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？
(4)把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便？ (5)怎样知道你运算的结果是否正确呢？
（与解一元一次方程一样，需检验．其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否相等．检验可以口算， 也可以在草稿纸上验算） 四、自我检测
教材 P98 练习 1、2 五、学习小结
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
（1） 从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用
含另一个未知数的式子表示出来.
（2） 把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数. （3） 解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
（4） 把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未
知数的值，从而确定方程组的解. 六、反馈检测
1. 已知 x ＝2，y ＝2 是方程 ax －2y ＝4 的解，则 a ＝
.
2. 已知方程 x －2y ＝8，用含 x 的式子表示 y ，则 y =
，用含 y
的式子表示 x ，则 x =
? y = 2x -1, 3. 解方程组 ?3x - 2 y = 8
把①代入②可得
4. 若 x 、y 互为相反数，且 x ＋3y ＝4，,3x －2y ＝
.
5．解方程组
y =3x －1 6 .
4x －y =5
2x＋4y=24 3(x－1)=2y－3
7.已知x = 2
是方程组
y =-1
ax +y =b
的解.求a 、b 的值.
4x -by =a + 5
教学反思：
? 8.2 消元 --- 二元一次方程组的解法（二）
学习目标：1、熟练地掌握用代人法解二元一次方程组；
2、进一步理解代人消元法所体现出的化归意识；
3、体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．
教学重点：代入消元法解二元一次方程组。
教学难点：理解“消元”的基本思想。
教学过程
1、复习旧知：解方程组
?2x +y = 5，
?
4x + 3y = 7，
2、结合你的解答，回顾用代人消元法解方程组的一般步骤
3、探究思考
例：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2：5.某厂每天生产这种消毒液 22.5 吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？
解：设这些消毒液应分装 x 大瓶和 y 小瓶，则（列出方程组为）：
思考讨论：
问题 1：此方程与我们前面遇到的二元一次方程组有什么区别？
问题2：能用代入法来解吗？
问题3：选择哪个方程进行变形？消去哪个未知数？
写出解方程组过程：
?
?
质疑：解这个方程组时，可以先消去 X 吗？试一试。
反思： （1） 如何用代入法处理两个未知数系数的绝对值均不为 1 的二元一次方程组？ （2） 列二元一次方程组解应用题的关键是：找出两个等量关系。
(3) 列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：审、设、列、解、检、答． 四、自我检测：
1、用代入法解下列方程组．
?2s = 3t （1） ? ?3s - 2t = 5 ?5x + 6 y = 13 （2） ?
?7x + 18 y = -1
(有简单方 法！)
学习小结：
1、这节课你学到了哪些知识和方法？
比如：①对于用代入法解未知数系数的绝对值不是 1 的二元一次方程组， 解题时，应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样可使运算简便．②列方程解应用题的方法与步骤．③整体代入法等．
2、你还有什么问题或想法需要和大家交流？ 六、反馈检测：
1、将二元一次方程 5x ＋ 2y=3 化成用含有 x 的式子表示 y 的形式是y= ；化成用含有 y 的式子表示 x 的形式是 x= 。
?4 y = x + 4
2、已知方程组： ?5 y = 4x + 3
,指出下列方法中比较简捷的解法是（ ） A.利用①，用含 x 的式子表示 y ，再代入②； B 利用①，用含 y 的式子表示 x ，再代入②； C.利用②，用含 x 的式子表示 y,再代入①； D.利用②，用含 x 的式子表示 x ，再代人①; 3、用代入法解方程组：
?3x - 5 y = -1
（1） ?
2x = 3y 2a + 3b = 2 （2）4a - 9b = -1
? 4、若|2x-y+1|+|x+2y-5|=0，则 x=
，y=
教学反思：
8．2 消元（二）（第一课时）
知识与技能目标
1. 用代入法、加减法解二元一次方程组.
2. 了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想.
3. 会用二元一次方程组解决实际问题. 教学重点：代入加减法解二元一次方程组。
教学难点：理解“消元”和“化未知为已知”的基本思想。新课教学：
创设情境，导入新课
甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。甲借给乙 10 元钱，?乙借 给丙 8 元钱，丙又给甲 12 元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱，欠多少？
师生互动，课堂探究
（一）提高问题，引发讨论
?x + y = 22
①
我们知道，对于方程组?
2x + y = 40
②
, 可以用代入消元法求解。 这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？?利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
（二）导入知识，解释疑难
6 8 ?
?
1. 问题的解决
上面的两个方程中未知数 y 的系数相同，②－①可消去未知数 y ，得(2x+y)- (x+y)=40-22 即x=18,把x=18 代入①得y=4。另外，由①－②也能消去未知数y ，? 得(x+y)-(2x+y)=22-40 即-x=-18,x=18,把 x=18 代入①得 y=4.
2. 想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组?4x +10 y =
3. ①
?15x -10
y = ② 分析：这两个方程中未知数 y 的系数互为相反数，?因此由①＋②可消去未
知数 y ，从而求出未知数 x 的值。
解：由①＋②得 19x=11.6 x= 58
95
?x = 58 把 x= 58 代入①得 y=- 9 ∴这个方程组的解为? 95
95
95
3. 加减消元法的概念
?
?x = - 9 ? 95
从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行
相加减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
4. 例题讲解
?3x + 4 y = 16 ① 用加减法解方程组 ?5x - 6 y = 33
②
分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
解：①×3,得 9x+12y=48 ③ ②×2,得 10x-12y=66 ④ ③＋④,得 19x=114
x=6
把 x=6 代入①，得 3×6+4y=16
4y=-2, y=- 1
2
?
? 1
? ?x = 6 所以，这个方程组的解是?
y = - ?? 2
议一议：本题如果用加减法消去 x 应如何解？解得结果与上面一样吗？
解：①×5，得 15x+20y=80 ③ ②×3,得 15x-18=99 ④ ③-④, 得 38y=-19
y=- 1
2
把 y=- 1 代入①，得 2
1 3x+4×(- )=16
2
?x = 6
所以，这个方程组的解为? 3x=18 x=6 ? y = - 1
?? 2
如果求出 y=- 1 后，把 y= 1
代入②也可以求出未知数 x 的值。
2 2
5. 做一做
? 2x + 3y + 2x - 3y = 7 解方程组? 4 3 ①
?
2x + 3y 2x - 3y ? + = 8 ②
?? 3 2
分析：本题不能直接运用加减法求解，要进行化简整理后再求解。 ?14x - 3y = 84 ①
解：化简方程组，得 ?10x - 3y = 48 ②
③－④，得 4x=36
x=9
把 x=9 代入④（也可代入③，但不佳），得 10×9-3y=48 -3y=-42 y=14
?
?x = 9
∴这个方程组的解为? y = 14
点评:当方程组比较复杂时,应先化简,并整理成标准形式.本题还可以把
2x+?3y 和 2x-3y 当成两个整体,用换元法,设 2x+3y=A,2x-3y=B,转化为以 A 、B ?为未知数的二元一次方程组.
(三)归纳总结,知识回顾
本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法──加减法.通过把方 程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.
教学反思：
知识与技能目标
8.2 消元（二）（第二课时）
1. 用代入法、加减法解二元一次方程组.
2. 了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想.
3. 会用二元一次方程组解决实际问题. 教学重点：代入加减法解二元一次方程组。
教学难点：理解“消元”和“化未知为已知”的基本思想。创设情境,导入新课
七年级(3)班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在 规定时间内投进 n 个球的人数分布情况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上(如下表).
同时, 4 个和 4 个以下的人平均每人投进2.5 个球,你能把表格中投进3 个球和投进4 个球对应的人数补上吗?
师生互动,课堂探究
(一)指出问题,引发讨论
?
?
?
y=0.2
x=0.4
你能不能用二元一次方程组,帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢? (经过学生思考、讨论、交流) (二)导入知识,解释疑难1.例题讲解(见 P 109) 分析:如果1 台大收割机和1 台小收割机每小时各收割小麦x 公顷和y 公顷, 那么2 台大收割机和5 台小收割机1 小时收割小麦 公顷,3 台大收割机和2 台小收割机 1 小时收割小麦 公顷.
解:设 1 台大收割机和 1 台小收割机 1 小时各收割小麦x 公顷和y 公顷. 根 ?2(2x + 5 y ) = 3.6
据两种工作方式中的相等关系,得方程组 ?5(3x + 2 y ) = 8
?4x +10 y = 3.6
去括号,得 ?15x +10 y = 8 ②
②-①,得 11x=4.4 解这个方程,得 x=0.4 把 x=0.4 代入①,得 y=0.2 ?x = 0.4
这个方程组的解是? y = 0.2
答:1 台大收割机和 1 台小收割机 1 小时各收割小麦 0.4 公顷和 0.2 公顷.
2. 上面解方程组的过程可以用下面的框图表示:
解得x
②-①
两方程相减、消去未知数y
3. 做一做
为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集 1 号电池 4 节,5 号电池 5 节,总重量为 460 克,第二天收集 1 号电池 2 节,5 号电池 3 节,总重量为 240 克,试问 1 号电池和 5 号电池每节分别重多少克?
分析:如果 1 号电池和 5 号电池每节分别重x 克,y 克,则 4 克 1 号电池和 5 节 5 号电池总重量为 4x+5y 克,2 节 1 号电池和 3 节 5 号电池总重量为 2x+3y 克.
解:设 1 号电池每节重 x 克,5 号电池每节重 y 克,根据题意可得
15x+10y=7 ②
4x+10y=3.6 ①
二元一次方程组
一元一次方程
11x=4.4
①
?
?
?4x + 5 y = 460 ① ?2x + 3y = 240 ②
②×2-①,得 y=20
把 y=20 代入②,得 2x+3×20=240,x=90 ?x = 90
所以这个方程组的解为? y = 20
答:1 号电池每节重 90 克,5 号电池每节重 20 克.
4. 练一练:P 111 练习第 2、３题. (三)归纳总结,知识回顾
这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程, 体会到方程组是刻画现实世界的有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.
作业：
1. 王大伯承包了 25 亩土地, 今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,用 去了44000 元,其中种茄子每亩用了1700 元,获纯利2400 元,种西红柿每亩用了1800 元, 获纯利 2600 元,问王大伯一共获纯利多少元?
2. 一旅游者从下午 2 时步行到晚上 7 时,他先走平路,然后登山, 到山顶后
又沿原路下山回到出发点,已知他走平路时每小时走 4 千米,爬山时每小时走 3 千米, 下坡时每小时走 6 千米,问旅游者一共走了多少路?
教学反思：
教学目标：
8.3再探实际问题与二元一次方组（一）
1使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用
2通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性
3体会列方程组比列一元一次方程容易
4进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力重点与难点：
重点：能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系；难点：正确发找出问题中的两个等量关系
教学过程：
一复习
列方程解应用题的步骤是什么？
审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答
新课：
看一看
课本113 页探究 1
问题：
1题中有哪些已知量？哪些未知量？
2题中等量关系有哪些？
3如何解这个应用题？
本题的等量关系是（1）30 只母牛和15 只小牛一天需用饲料为675kg
（2）（30+12 只母牛和（15+5）只小牛一天需用饲料为940 解：设平均每只母牛和每只小牛 1 天各需用饲料为xkg 和ykg 根据题意列方程，得
?30x +15 y = 675?
42x + 20 y= 940 (1)
(2)
?
?
?
?
?
?
?x = 20
解这个方程组得? y = 5
答：每只母牛和每只小牛 1 天各需用饲料为 20kg 和 5kg ，饲料员李大叔估计每
天母牛需用饲料 18—20 千克，每只小牛一天需用 7 到 8 千克与计算有一定的出入。 练一练：
1、某所中学现在有学生 4200 人，计划一年后初中在样生增加 8%，高中在校生增加 11%，这样全校学生将增加 10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少人？
解：设现在初中在校学生有 x 人，高中在校生有 y 人根据题意，列方程得 ?x + y = 4200 ?
x (1 + 8%) + y (1 + 11%) = 4200(1 + 10%)
?x = 1400 解这个方程组得? y = 2800
2、有大小两辆货车，两辆大车与 3 辆小车一次可以支货 15。50 吨，5 辆大车
与6 辆小车一次可以支货35 吨，求3 辆大车与5 辆小车一次可以运货多少吨？ 解：设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为 x,y 吨 ?2x + 3y = 15.5 ?5x + 6
y = 35 ?x = 4
? y = 2.5 ， 3x + 5 y = 24.5 答：3 辆大车与 5 辆小车一次可以运货 24.5 吨
3、某工厂第一车间比第二车间人数的 4
少 30 人，如果从第二车间调出 10 人到
5
3
第一车间，则第一车间的人数是第二车间的 ，问这两车间原有多少人？
4
解：设第一、第二车间原来分别有 x,y 人
?x = 4
y - 30 ? 5 ?x = 170 ? 3 ?
y = 250
?x + 10 = ? ( y - 10) ? 4
4、某运输队送一批货物，计划 20 天完成，实际每天多运送 5 吨，结果不但提前 2 天完成任务并多运了 10 吨，求这批货物有多少吨？原计划每天运输多少吨？
教学反思：
8.3 探实际问题与二元一次方程组（二）
教学目标：
通过学生积极思考，互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方
程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程进一步体会方程是刻划现实世界的有效数学模型
重点：让学生实践与探索，运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题难点：寻找等量关系
教学过程：
看一看：课本114 页探究 2
问题：1“甲、乙两种作物的单位面积产量比是1：1.5”是什么意思？
2、“甲、乙两种作物的总产量比为3：4”是什么意思？
3、本题中有哪些等量关系？
提示：若甲种作物单位产量是a，那么乙种作物单位产量是多少？
甲种作物单位产量是 a
?
?
? ?x + y = 200 ?(100xa ) : (100 y ?1.5a ) = 3 : 4
解这个方程组得，
答：这两个长方形，是过长方形 ABCD 土地的长边上离 A 约 106 米处把这块地分为两个长方形，较大一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物。 思考：这块地还可以怎样分？ 练一练
一、某农场 300 名职工耕种 51 公顷土地，计划种植水稻、棉花、和蔬菜，已知
能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？ 问题：
题中有几个已知量？ 题中求什么？
分别安排多少公顷种水稻、棉花、和蔬菜？
解：设安排 x 公顷种水稻、y 公顷种棉花、则(51-x-y)种公顷蔬菜根据题意列方程得： ?4x + 8 y + 5(51 - x - y ) = 300 ?
x + y + 2(51 - x - y ) = 67
?x = 15 解这个方程得： ? y = 20
那么种蔬菜的面积为 51-15-20=16
答：安排 15 公顷种水稻、20 公顷种棉花、16 种公顷蔬菜
二、木工厂有 28 人，2 个工人一天可以加工 3 张桌子，3 个工人一天可加工 10 只椅子，现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与 4 只椅子配套？
三、一外圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果 1 立方米木材可制作 300 条腿或制作凳面 50 个，现有 9 立方米的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多
少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？
教学反思：
8.3实际问题与二元一次方程组（三）
教学目标：
1使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用
2通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性
3进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力重点与难点：
重点：能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系；
难点：正确发找出问题中的两个等量关系
教学过程：
1、情景导入
最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面，为疏导电价矛盾，促进居民节约用电、合理用电，各地出台了峰谷电价试点方案．通常白天的用电称为高峰用电，即 8:00～22:00，深夜的用电是低谷用电即 22:00～次日 8:00.
[投影 1]若某地的高峰电价为每千瓦时 0.56 元，低谷电价为每千瓦时 0.28 元．八月份小彬家的总用电量为 125 千瓦时，总电费为 49 元，你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？
像这样的实际问题还有很多。
2、例题
[投影2]例如图，长青化工厂与A，B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从A 地购买一批每吨 1 000 元的原料运回工厂，制成每吨8 000 元的产品运到B
? 地．公路运价为 1. 5 元（吨·千米），铁路运价为 1.2 元（吨·千米），这两次运输共支出公路运费 15000 元，铁路运费 97200 元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
A
铁路120km
公路10km
B
公路20km
铁路110km
长春化工厂
分析：要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？
销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量。
本题涉及的量较多，我们知道，这种情况下常用列表的方式来处理。本题涉及哪两类量呢？
一类是公路运费，铁路运费，价值；二类是产品数量，原料数量。设产品重 x 吨，原料重 y 吨，列表如下：
?1.5 ? (20x + 10 y ) = 15000 ?
?1.2 ? (110x + 120 y ) = 97200
解这个方程组，得
?x = 300 ?
y = 400
销售款:8000×300=2400000; 原料费:1000×400=400000; 运输费:15000+97200=112200.
所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多 1887800 元.
例 甲运输公司决定分别运给 A 市苹果 10 吨、B 市苹果 8 吨，但现在仅有 12