2016年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（1．若复数z满足）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
2z+=3﹣2iz满足，解：复数设z=a+bi，
可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．
解得a=1，b=﹣2．
z=1﹣2i．
故选：B．
x2﹣1＜0}，则A∪B=（）2．设集合A={y|y=2B={x|x，x∈R}，A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）
x，x∈R}=（0，+∞）解：∵A={y|y=2，
2﹣1＜0}=（﹣1，1）B={x|x，
∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．
故选：C．
3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）
A．56 B．60 C．120 D．140
解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，
故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，
故选：D
22满足，y 4．若变量x，则x+y 的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．12
解：由约束条件作出可行域如图，
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），（0，2（∵A0，﹣3），C |OC|，∴|OA|＞
）．3，﹣1联立，解得B
（
，∵22x∴．的最大值是10+y ．故选：C ）．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（5
1+D．πCπ．+πA．π+ B．+ 解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，
．2R=，可得由棱锥的底底面棱长为1
πR=，故半球的体积为：，故= ，1棱锥的底面面积为：，高为1
，V=故棱锥的体积
，故组合体的体积为：+π122第页（共页）
故选：C
6．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平
面β相交”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，
当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，
故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，
故选：A
（cosx﹣sinx）的最小正周期是（（sinx+cosx））x7．函数f（）=
．D．2πB．π
CA ．
（）（sinx+cosx数f（x（）x+）=2sin（=2x+），cosx﹣sinx）=2sin（解：x+）?2cos ，∴T=πB 故选：
+），则实数⊥（，cost＜t，＞8的值为．已知非零向量，满足=4|．若|=3||（）
．﹣．﹣4 CD．A．4
B
+），⊥＜（，＞=t解：∵，4||=3||，cos
222++）∴?（=tt?=0，）? +|||==t||?|||（解得：t=﹣4，
故选：B．
3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x．当）的定义域为Rx＜0时，f（x）=x）=9．已知函数f（x
﹣）．则f（6）=（时，f（x+）=f（x）﹣f（x）；当x＞A．﹣2 B．﹣1 C．0
D．2
﹣），=f）（当xx＞时，f（x+解：∵
＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．∴当x∴f（6）=f（1），
∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（1）=﹣f（﹣1），
3=xx）时，f（x∵当＜0﹣1，
∴f（﹣1）=﹣2，
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，
∴f（6）=2．
故选：D．
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）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则xy=f（10．若函数）称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（3x y=x．y=lnx C．y=e D．A．y=sinx B x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，解：函数y=f（1，则函数y=f （x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣=cosx，满足条件；当y=sinx时，y′
′y=lnx时，y恒成立，不满足条件；=＞0当xx时，y′=e恒成立，不满足条件；＞当y=e023 y′=3x恒成立，不满足条件；＞当y=x0时，A
故选：小题，每小题5分，共25分.二、填空题：本大题共5，则输出的i的值为011．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为和9
解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．
第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＜b，故i=2；
第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＜b，故i=3；
第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＜b，
故输出的i值为：3，
故答案为：3
255的系数是﹣80，则实数a= ）的展开式中x ．12．若（ax+
2525r5r﹣﹣，==）的展开式的通项公式解：（ax+T（ax）a r+1
=5﹣10．，解得r=2令
552ax∵（80
）+的展开式中x的系数是﹣
3a∴=﹣80，
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﹣2．得a=
CDAB，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E13．已知双曲线E上，：=1﹣（a＞0，，则E 的离心率是的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|
±，y=±b=解：令x=c，代入双曲线的方程可得
），（c，（c，﹣），D，c由题意可设A（﹣，），B（﹣c，﹣）C ，可得由2|AB|=3|BC|
2 2b，=3ac?2=3?2c，即为
2222，3e﹣e=，可得2e由b2=0=ca﹣﹣，．解得e=2（负的舍去）．故答案为：2
22=9相交”5）发生的概+y上随机地取一个数]k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣14．在[﹣1，1率为
22=9的圆心为（5，0）5）+y，半径为3．解：圆（x﹣
圆心到直线y=kx的距离为，
22=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．）要使直线y=kx与圆（x﹣5 +y22）5y=kx与圆（x﹣，使直线[∴在区间﹣1，1]上随机取一个数k=9+y相交相交的概率为
=．
故答案
为：．
15．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是
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=的图象如下：f（x）0解：当m＞时，函数2222=x）（x∵x＞m时，f，m ＞4m﹣m）﹣+4m﹣m ﹣2mx+4m=（x∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，
2＜m（m＞04m﹣m），必须2＞3m（m＞即m0），
解得m＞3，
∴m的取值范围是（3，+∞），
故答案为：（3，+
∞）．
三、解答题,：本大题共6小题，共75分.
+．tanA+tanB）=，的对边分别为a，bc，已知2（，16．在△ABC中，角AB，C Ⅰ）证明：a+b=2c；（）求cosC的最小值．（Ⅱ
）证明：由得：解：（Ⅰ
；=sinA+sinB；（sinAcosB+cosAsinB）得，∴两边同乘以cosAcosB2 ；A+B）=sinA+sinB∴2sin
（1）；即sinA+sinB=2sinC
（
根据正弦定理，；
；，带入（∴1）得：∴a+b=2c；
（Ⅱ）a+b=2c；
2222）a+b∴（；=a+2ab=4c+b2222a∴≥4ab，当且仅当a=b时取等号；+b=4c2ab﹣，且4c
又a，b＞0；
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；∴
由余弦定理，=；∴
．的最小值为∴cosC是圆台FB′的直径，O的直径，EF是上底面圆O17．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆的一条母线．；平面ABCFB的中点，求证：GH∥G（I）已知，H分别为EC，
的余弦值．﹣A，求二面角F（Ⅱ）已知﹣EF=FB=BCAC=2AB=BC
QH，Q，连结GQ、证明：（Ⅰ）取FC中点FB的中点，H为EC、∵G、
∥GQ，QH∴，
GQBOBO，∴，又∵EF
ABC，GQH∥平面∴平面．ABCGH∥平面GH?面GQH，∴∵，BO⊥ACⅡ）∵AB=BC，∴解：（，⊥面ABC又∵OO′轴，建立空间直角坐标系，为z为y轴，OO′轴，∴以O为原点，OA 为xOB
，，，33，），F（0）（），B0，，2，0）O′（0，00，A则0（，，0）C（﹣2，0，
0），﹣，﹣3），=（，2，2=（﹣，2
）3，0，0，由题意可知面ABC的法向量为=
（
的法向量，FCB，z）为面，设=（xy000
则，，即
），﹣1，，﹣=1取x（，则=10
==．﹣cos∴＜，＞=127第页（共页）
∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，
的余弦值为．﹣A ∴二面角F﹣BC
2+8n，{b}是等差数列，且a=b+b．n18．已知数列{a}的前项和S=3n n+1nnnnn（Ⅰ）求数列{b}的通项公式；n
=，求数列{c}的前n项和T．（Ⅱ）令c nnn2+8n，=3n （Ⅰ）S解：n∴n≥2时，a=S﹣S=6n+5，1nnn ﹣n=1时，a=S=11，∴a=6n+5；n11∵a=b+b，n+1nn∴a=b+b，nn1n1﹣﹣∴a﹣a=b﹣b．1n+1nn1n﹣﹣∴2d=6，∴d=3，
∵a=b+b，211∴11=2b+3，1∴b=4，1∴b=4+3（n﹣1）=3n+1；n
n，?2=6（n+1（Ⅱ）c）==n2n T∴]①，2）?2+32?+…+（n+1=6[2?n23nn+12T∴]②，22+（n+1）=6[2?2?+32?+…+n?n
n+1n+13n22）?﹣6（]=12+6n+1×=?）2+2T①﹣②可得﹣=6[2?2+2+…+2﹣（n+1nn+1n+2，?2）?23n=﹣（﹣6n n+2T∴．2 =3n?n19．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜
一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人第8页（共12页）
，乙每轮猜对的概率是；每轮活分．已知甲每轮猜对的概率是“星队”得0都没猜对，则动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，
故概率
+++=P=+
，= ，，63）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，，4（II
，则P（X=0）==
]+X=1）=2×，[=（P）（X=2P
++=
+，=
）（X=3=2=×，P
=P（X=4）=2×[]+
= =P（X=6）X的分布列如下图所示：故2 3
4
X 0 1 6
P
==+6×+3∴数学期望EX=0×+1×××+4×+2
+，a∈）R．x．已知f（）=a（x﹣lnx20 ）的单调性；（I）讨论f（x
+对于任意的x∈[1，2]x）＞时，证明II）当a=1f（xf′（）成立．（
+，lnx﹣）x=axfⅠ（）解：由（）（第9页（共12页）
+）1 ﹣f′（x）=a（得
=（x＞0）=．
2﹣2＜0恒成立，若a≤0，则ax∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
）和（，+∞）时，f′（x）＞0，10，f（x）为增函数，∈当a＞0，若0＜a＜2，当x （
）时，f′（当x∈（1x，）＜0，f（x）为减函数；
若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；
，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（若a＞2，当x∈（0x）为增函数，
，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（（Ⅱ）解：∵a=1，
lnx+﹣．﹣lnx 1=x）﹣（x）=f（xf′（x）=x﹣令F x e∵1+x，＞，∴x＞ln（1+x）1x e∴﹣＞，1＞lnxx，则x﹣
=．）＞∴F（x
=（x∈[1，2]=，则φ′（x））．（令φx）
上为减函数，则2]x）在[1，，∴φ
（
）＞恒成立．F（x∴
+对于任意的x∈[1），2]成立．f即f（x）＞′（x
）的离心率是，抛物线E：＞b＞．平面直角坐标系xOy中，椭圆C0：+=1（a212=2y的焦点F 是C的一个顶点．x（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，