当前位置：文档之家› 求一组数中的最大值和最小值

求一组数中的最大值和最小值

求一组数中的最大值和最小值。

例如，程序运行输出格式如下：

table: 84 40 16 3 10 49 28 76 94 70

Max=94

Min=3

import java.util.Scanner;

public class Table

{

public static int[] random(int n) //产生数组

{

int table[] = new int[n];

for(int i = 0; i < table.length ; i++)

{

table[i] = (int)(Math.random()*100);

}

return table;

}

public static void print(int table[]) //输出数组

{

for(int i = 0;i < table.length ; i++)

{

System.out.print(" "+table[i]);

}

System.out.println();

}

public static int max(int table[]) // 求最大值

{

int temp = table[0];

for(int i = 0; i < table.length; i++)

{

if(temp < table[i])

{

temp = table[i];

}

return temp;

}

public static int min(int table[]) //求最小值

{

int temp = table[0];

for(int i = 0; i < table.length; i++)

{

if(temp > table[i])

{

temp = table[i];

}

return temp;

}

public static void main(String args[])

{

Scanner sc = new Scanner(System.in);

int i = sc.nextInt();

int b[] = random(i);

System.out.print("table=");

print(b);

System.out.println("max = "+max(b));

System.out.println("min = "+min(b));

}

小学奥数最大值最小值问题汇总

小学奥数最大值最小值问题汇总 1．三个自然数的和为15，这三个自然数的乘积最大可能是_______。3．一个长方形周长为24厘米，当它的长和宽分别是_______厘米、_______厘米时面积最大，面积最大是_______平方厘米。 4．现在有20米的篱笆，利用一堵墙围一个长方形鸡舍，要使这个鸡舍面积最大，长应是_______米，宽应是_______米。 5．将16拆成若干个自然数的和，要使和最大，应将16拆成_______。6．从1，2，3，…，2003这些自然数中最多可以取_______个数，才能使其中任意两个数之差都不等于5。 7．一个两位小数保留整数是6，这个两位小数最大是_______，最小是_______。 8．用1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个和一架天平，最多可以称出_______种不同的整数的重量。 9．有一架天平，左右都可以放砝码，要称出1～80克之间所有整克数的重量，如果使砝码个数尽可能少，应该用_______的砝码。 10．如下图，将1～9这9个数填入圆圈中，使每条线上的和相等，使和为A，A最大是_____。二、解答题（30分） 1．把19分成若干个自然数的和，如何分才能使它们的积最大？2．把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个圆圈内，使每条边上三个圆圈内的数的和相等，求这个和的最大值与最小值。3．自行车的前轮轮胎行驶9000千米后要报废，后轮轮胎行驶7000千米后要报废。前后轮可在适当时候交换位置。问一辆自行车同时换

上一对新轮胎，最多可行驶多少千米？ 4．如下图，有一只轮船停在M点，现需从OA岸运货物到OB岸，最后停在N点，这只船应如何行走才能使路线最短？ 5．甲、乙两厂生产同一型号的服装，甲厂每月生产900套，其中上衣用18天，裤子用12天；乙厂每月也生产900套，但上衣用15天，裤子也要用15天。两厂合并后，每月最多可以生产多少套衣服？ 6．现在有若干千克苹果，把苹果装入筐中，要求能取出1~63千克所有整千克数的苹果，并且每次都是整筐整筐地取出。问：至少需要多少个空筐？如何装？ B卷（50分）一、填空题（每题2分，共20分） 1．在六位数865473的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的七位数中最小的是_____。 2．用1～8这八个数码组成两个四位数，要使这两个数的差尽量小，这个差是______。 3．三个质数的和是100，这三个质数的积最大是______。 4．有一类自然数，自左往右它的各个数位上的数字之和为8888，这类自然数中最小的 (1)求最大量的最大值：让其他值尽量小。例：21棵树载到5块大小不同的土地上，要求每块地栽种的棵数不同，问栽树最多的土地最多可以栽树多少棵? 解析：要求最大量取最大值，且量各不相同，则使其他量尽可能的小且接近，即为从“1”开始的公差为“1”的等差数列，依次为1、

六年级奥数第13讲：最大值与最小值

六年级奥数第13讲：最大值与最小值【知识要点】解决最大最小问题，常用的方法和思路有以下几种： 1.枚举比较。在有限的情况下，通过计算，将所有情况的结果列举出来，然后比较出最大值或最小值。 2.运用规律。 ①和一定的两个数，差越小，积越大。 ②积一定的两个数，差越小，和越小。 ③两点之间直线段最短。 3.解答最大最小问题，还要考虑极端的情形。即可以从最特殊的情况入手，即可能出现的最大值或最小值考虑。 [例1] 两个数的和为198，这两个数的积最大是多少？点拨：和为198的两个数（整数或分数）有无穷多组，将每组的积计算出来再比较是不可能的。我们先通过特例来寻求积的变化规律。如果两数都是自然数，积的情况如下： 197×1=197，196×2=392，195×3=585，194×4=776，…… 可以猜想，和为198的两个数，一定可以写成： 99 + a与99 - a（0 ≤a ≤ 99），而（99 + a）×（99 - a）=992 - a2 可见，由此可以得出，两个数的和一定，则当它们的差越来越小时，乘积越来越大；当它们相等时（差为0时），乘积最大。解答：当a = 0时，积最大，最大值即为99×99=9801 [试一试1] 两个数的和为15，积的最大值是多少？（答案：56.25）

[例2] 将1、2、3、4、5、6这六个数字分成两组，分别排成两个三位数，并且使这两个数的乘积最大。这个乘积是多少？点拨：要使两个数的乘积最大，应把6和5两个数放在千位，4和3两个数放在百位。但4和3分别放在哪一个数字后面呢？由例1我们可以知道，当两个数的和一定时，两个数的差越小，积就越大。64和53相差11，63和54相差9，所以3应放在6的后面，4应放在5的后面。同样道理，1应放在3的后面，2应放在4的后面。解答：631×542=342002，乘积最大。 [试一试2] 用2～9这八个数字分别组成两个四位数，使这两个四位数的乘积最大。（答案：9642×8753=84396426） [例3] 把17拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？点拨：我们先分析一些隐含的限制条件： ①要使17拆成的自然数的乘积最大，所拆成的数的个数要尽可能多，多一个可以多乘一次，但1不应出现，因为1与任何数的积仍为原数。 ②由于4=2+2，又4=2×2，因此拆出的加数中要以不出现4。 ③拆出的加数不要超过4，例如5，它还可以拆成2和3，而2×3?5，所以加数大于4的数还要继续拆小。 ④拆出的加数中2的个数不能多于两个。例如拆成三个2，不如拆成两个3。因为三个2的积为8，两个3的积为9，这就是说，应尽可能多拆出3。解答：因为17=3×5+2，所以把17拆成3、3、3、3、3、2时，积为3×3×3×3×3×2=486最大。

最大值与最小值教案

班级：高二（）班姓名：____________ 教学目标： 1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f (x )在闭区间上所有点（包括端点a ，b ）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； 2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教学过程：一、问题情境 1．问题情境．函数极值的定义是什么？ 2．探究活动．求函数f (x )的极值的步骤．二、建构数学 1．函数的最大值和最小值．观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f ,35(),()f x f x 是极小值，24(),()f x f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的； (3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个． 2．利用导数求函数的最值步骤：由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：

例说求函数的最大值和最小值的方法

例说求函数的最大值和最小值的方法例1.设x 是正实数，求函数x x x y 32+ +=的最小值。解：先估计y 的下界。 55)1(3)1(5)21(3)12(222≥+- +-=+-+ ++-=x x x x x x x y 又当x =1时，y =5，所以y 的最小值为5。说明本题是利用“配方法”先求出y 的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计： 77)1(3)1(7)21(3)12(222-≥-+ +-=-++ ++-=x x x x x x x y 但y 是取不到-7的。即-7不能作为y 的最小值。例2. 求函数1 223222++--=x x x x y 的最大值和最小值。解去分母、整理得：(2y -1)x 2+2(y +1)x +(y +3)=0. 当2 1≠y 时，这是一个关于x 的二次方程，因为x 、y 均为实数，所以 ?=[2(y +1)]2-4(2y -1)(y +3)≥0, y 2+3y --4≤0, 所以 -4≤y ≤1 又当3 1-=x 时，y =-4;x =-2时，y =1.所以y min =-4，y max =1.

说明本题求是最值的方法叫做判别式法。例3.求函数152++-=x x y ，x ∈[0,1]的最大值解：设]2,1[1∈=+t t x ，则x =t 2-1 y = -2(t 2-1)+5t = -2t 2+5t +1 原函数当t =169,45=x 即时取最大值8 33 例4求函数22 3,5212≤≤+--=x x x x y 的最小值和最大值解：令x -1=t ( 121≤≤t ) 则t t t t y 4142+=+= y min =5 1,172max =y 例5.已知实数x ,y 满足1≤x 2+y 2≤4,求f (x )=x 2+xy +y 2的最小值和最大值解：∵)(2 122y x xy +≤ ∴6)(23 ),(2222≤+≤++=y x xy y x y x f 又当2==y x 时f (x ,y )=6，故f (x ,y )max =6 又因为)(2122y x xy +- ≥

方法技巧练——最大值与最小值问题

方法技巧练——最大值与最小值问题 1.数字排列中的最大值与最小值。解决数字排列中的最大值与最小值问题,要清楚:一个自然数,数位越多,这个数越大;数位越少,这个数越小。 (1)一个六位的自然数,各个数位上的数字之和是13,这个自然数最大是( 940000),最小是( 100039)。 (2)一个八位的自然数,各个数位上的数字之和是21,这个自然数最大是( 99300000),最小是( 10000299)。 2.根据近似数推断精确数的最大值与最小值。根据近似数推断精确数的最大值与最小值,要把两种情况考虑完整:这个精确数可能比近似数大,是经过“四舍”得到的;这个精确数也可能比近似数小,是经过“五入”得到的。再结合数值最大与最小的原则确定每一位上的数字。 (1)一个自然数,省略万位后面的尾数得到的近似数是93万,最大是多少?最小是多少? 最大:934999 最小:925000 【提示】“四舍五入”后是93万,“四舍”→万位上的数是3→千位上最大是4,其余各位最大是9→最大数。“五入”→万位上的数是2→千位上最小是5,其余各位最小是0→最小数。 (2)一个整数的近似数是200万,这个数最大是多少?最小是多少? 最大:2004999 最小:1995000 3.两个数的和一定,积的最大值与最小值。 (1)两个数的和是26,这两个数分别是多少时,积最大? 13+13=26 13×13=169 答:积最大是169。

(2)两个数的和是43,这两个数相乘,积最大是多少? 21+22=43 并且两个加数最接近 21×22=462 答:积最大是462。 (3)两个数的和是52,这两个数相乘,积最大是多少? 26+26=52 26×26=676 答:积最大是676。 (4)用1,4,5,8这四个数字组成两个无重复数字的两位数,再把这两个数相乘,积最大是多少?最小是多少? 积最大:先确定两个因数的十位8,5,再根据两个因数的相近原理确定个位81×54=4374 积最小:先确定两个因数的十位1,4,再根据两个因数的相近原理确定个位15×48=720 答:积最大是4374,最小是720。

函数的最大值和最小值教案.doc

函数的最大值和最小值教案 1.本节教材的地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已经掌握了性质:“如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值” ,以及会求可导函数的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的最值,运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识结构,培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义. 2.教学重点会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值. 3.教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不熟练,特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法. 4.教学关键本节课突破难点的关键是:理解方程f′(x)=0的解,包含有指定区间内全部可能的极值点. 【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的教学目标: 1.知识和技能目标 (1)理解函数的最值与极值的区别和联系. (2)进一步明确闭区间[a,b]上的连续函数

f(x),在[a,b]上必有最大、最小值. (3)掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标(1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值. (2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置:极值点处或区间端点处. (3)会求闭区间上连续,开区间内可导的函数的最大、最小值. 3.情感和价值目标 (1) 认识事物之间的的区别和联系. (2)培养学生观察事物的能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. (3)提高学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论,知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果,而认识则是起源于主客体之间的相互作用. 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后,引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象,自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置,进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤,并优化解题过程,让学生主动地获得知识,老师只是进行适当的引导,而不进行全部的灌输.为突出重点,突破难点, 这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 【学法指导】对于求函数的最值,高三学生已经具备了良好的知识基础,剩下的问题就是有没有一种更一般的方法,能运用于更多更复杂函数的求最值问题?教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望,使得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形成认识,参与到课堂

小学奥数第1讲最值问题(含解题思路)

1、最值问题【最小值问题】例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。例2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图 5.92所示，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。

所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。故，O点即为三只蚂蚁会面之处。【最大值问题】例1 有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？（全国第二届“华杯赛”初赛试题）讲析：三个图的面积分别是：三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c这组数的值最接近。故图（3）的面积最大。例2 某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后，能卖出500个。已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个______元。（台北市数学竞赛试题）讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少10个，所以，这种商品按单价90元进货，共进了600个。现把600个商品按每份10个，可分成60份。因每个涨价1元，销量就减少1份（即10个）；相反，每个减价1元，销量就增加1份。

最大值和最小值问题

最大值和最小值问题 3.2.2 最大值、最小值问题教学过程：一、复习引入： 1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点 2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点：（?。┘?值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（??）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（?＃┘?大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而 > （?ぃ┖?数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点二、讲解新课： 1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．说明：⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⒉利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值三、讲解范例：例1求函数在区间上的最大值与最小值例2已知x,y为正实数，且满足，求的取值范围例

六年级奥数最大最小问题答案

第二十五周最大最小问题例1： a 和 b 是小于100的两个不同的非零自然数，求a －b a+b 的最大值。根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99 a － b a+b 的最大值是99－199+1 =4950 答：a －b a+b 的最大值是4950 。练习1： 1、设x 和y 是选自前100个非零自然数的两个不同的数，求x －y x+y 的最大值。 2、 a 和b 是小于50的两个不同的非零自然数，且a ＞b ，求a －b a+b 的最小值。 3、设x 和y 是选自前200个非零自然数的两个不同的数，且x ＞y ，①求x+y x －y 的最大值；②求x+y x －y 的最小值。例2：有甲、乙两个两位数，甲数27 等于乙数的23 。这两个两位数的差最多是多少？甲数：乙数=23 ：27 =7：3，甲数的7份，乙数的3份。由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56 答：这两个两位数的差最多是56。练习2： 1、有甲、乙两个两位数，甲数的310 等于乙数的45 。这两个两位数的差最多是多少？

2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56 恰好等于乙数的14 。这两个三位数的和最小是多少？ 3、加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48 个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？例3：如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和减数同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数，最多可以减去78，因此，这样的数对共有78+1＝79个。答：这样的数对共有79个。练习3 1、两个四位数的差是8921。这两个四位数的和的最大值是多少？ 2、如果两个三位数的和是525，就说这两个三位数组成一个数对。那么这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的差最小是多少？最大是多少？ 3、如果两个四位数的差是3456，就说这两个数组成一个数对。那么，这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的和最大是多少？最小是多少？

线段差的最大值与线段和的最小值问题

For personal use only in study and research; not for commercial use 线段差的最大值与线段和的最小值问题有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。一两条线段差的最大值：（1）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。作法：连结AB并延长AB交直线L于点P。点P即为所求。︱PA－PB︱=AB 证明：在直线L上任意取一点P。，连结PA、PB，︱PA－PB︱＜AB （2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。作法：1、作B关于直线L的对称点B。 B

2、连结AB并延长AB交直线L于点P。点P即为所求。︱PA－PB︱=AB 证明：在直线L上任意取一点P。，连结PA、PB、PB。︱PA－PB︱=︱PA－PB︱＜AB （三角形任意两边之差小于第三边）二、两条线段和的最小值问题：（1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。（三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），P A＋PB=AB （2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。（两点之间线段最短）三、中考考点： 08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。提示：EF长不变。即求F N＋NM＋MF的最小值。利用E关于X轴的对称点E，F的对称点F，把这三条线段搬到同一条直线上。