高中数学专题训练
——立体几何中求角与距离1. 四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.
（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个
四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD
所成的二面角恒大于90°
)
^
A
C D
A1
E B1
C1
2 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE=
2
3
，D 为AB 的中点. （1）求证：AB 1⊥平面CED ；
、
（2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离； （3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.
<
*
）
\
3.已知a—l—β是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在α内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在β内，?ABC是等腰直角三角形∠ACB=.
900
（I）求三棱锥D—ABC的体积；
（2）求二面角D—AC—B的大小；
（3）求异面直线AB、CD所成的角.
|
#
4.已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，~
D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（1）求证：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；
（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比．
（
@
！
@
5.如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.
（1）求证：FD∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥BD；
》
(3) 求二面角B—FC—G的正切值.
@
)
<
{
7.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.
(1) 求证PQ∥平面CDD
1C
1；
(2) 求证PQ⊥AD； (3) 求线段PQ的长. ^
，
B C D E A 1
B 1
C 1 $
x
y
z 图4
'
8. 如图4，在长方体ABCD -
1111A B C D 中，AD=1AA =1，AB=2，点E 在棱AB
上移动。 ^
（Ⅰ）证明：11D E A D ⊥；
（Ⅱ）当E 为AB 的中点时，求点E 到面
1ACD 的距离；
（Ⅲ）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4
π。
。
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%
，
9. 如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长都相等，D 、E 分别为AC 1，BB 1的中点。（1）求证：DE ∥平面A 1B 1C 1；（2）求二面角A 1—DE —B 1的大小。
?
10．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝
A
B
C
1
A 1
B 1
C E
D
2∶1，BF＝BC＝2a。
（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1；
（II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论
@
￥
~
11.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD
-中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且
∠ADC=arcsin
5
5
，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。
（I）求二面角P—CD—A的正切值；（II）求点A到平面PBC的距离。
P
B
C
A
D
：
）
12.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA=CB=CC 1=2，∠ACB=90°，E 、F 分别是BA 、BC 的中点，G 是AA 1上一点，且AC 1⊥EG. （Ⅰ）确定点G 的位置；
（Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小. …
[
—
?
？
13.已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，⊥
DAB,
60平面ABCD，
∠PD
=
?
PD=AD，
)
点E为AB中点，点F为PD中点.
（1）证明平面PED⊥平面PAB；
（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值
【
】
'
<
；
14.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
;
(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；
(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离. ~
%
(
·
B1
P A
C ~
A1
C1 D1
B
O
H
·
\
《
15.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，
，E是PC的中点，作交PB于点F。
(I)证明平面；
(II)证明平面EFD；
(III)求二面角的大小。
/
）
】
）
16.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F
是棱
CD上的动点.
（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；
（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1—EF—A的大小（结果用反三角函数值表示）.
…
&
#
。
【
17.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是
梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=AB=1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点。点P到直线
AD1的距离为
22
3
！
⑴求证：AC∥平面BPQ
⑵求二面角B-PQ-D的大小
【
A B
C D
A B
C D
P
Q
11
1 1
)
&
，
18.已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分别为AD和CC1的中点，O1为下底面正方形的中心。
）
（Ⅰ）证明：AF⊥平面FD1B1；
（Ⅱ）求异面直线EB与O1F所成角的余弦值；}
A1
1
1
【
$
{
]
19. 图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：（1）求MN和PQ所成角的大小；
（2）求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比；
（3）求二面角M—NQ—P的大小。
。
~
（
—
20. 如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，
底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。
（1）求点P到平面ABCD的距离；
.
（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。
、
~
!
)