习 题
2-1 如果某一问题中，0z zx xy σττ===，只存在平面应力分量x σ，y σ，xy τ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应力 问题(是)
2-2 如果某一问题中，0z zx zy εγγ===，只存在平面应变分量x ε ，y ε，xy γ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应变问题(是)
2-3 试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，图2-11，其应力状态接近于平面应力的情况。(自由表面薄层中：000z yz xz
x y xy σττσστ=≠近于平面应力问
题)
2-4 试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄板中，图2-12，当板边上只受x ，y 向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态近于平面应变的情况。(000z yz yz xz yz εττγγ===∴==只有0x y xy εεγ≠接近平面应变问题)
2-5 在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件0C M =∑，改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程(xy yx ττ=)
3-1 试考察应力函数3ay Φ=在图3-8所求的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）。
3-2 取满足相容方程的应力函数为：（1）2ax y Φ=，（2）2bxy Φ=，（3）2
cxy Φ=，试求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。 >
3-3 试考察应力函数223(34)2F
xy h y h
Φ=
-能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。
3-4 试证2323
334312410qx y y qy y y h h h h ????
Φ=-+-+- ? ?????
能满足相容方程，并考察它在图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为l ，深度为h ，体力不计）。
3-5 设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q ，图3-10，试求应力分量。
4-1 试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的并说明产生这些项的原因。
.
4-2 试导出极坐标和直角坐标中位移分量的坐标变换式。
4-3 在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基本方程。并证明,0B
u A u ρ?ρρ
=+=可以满
足此基本方程。
4-4 试导出轴对称位移问题中，按应力求解时的相容方程。
4-5 试由一阶导数的坐标变换式，导出二阶导数的坐标变换式［§4-3中的式(a)，(b)，(c)］。 5-1 长l 悬臂梁，B 端作用集中力P 分别用
1)最小势能原理 2) (拉格郎日)位移变分方程
…
求B 端挠度(设2312v b x b x =+)
6-6 试求图6-25所示结构的结点位移和应力，取1,0t m μ==。
7-1 试证明：在与三个主应力成相同角度的面上，正应力等于三个应力的平均值。 7-2 设某一物体发生如下的位移：
012301230123u a a x a y a z v b b x b y b z w c c x c y c z
=+++=+++=+++ 试证明：各个形变分量在物体内为常量（即所谓均匀形变）；在变形以后，物体内的平面保持为平面，直线保持为直线，平行面保持平行，平行线保持平行，正平行六面体变成斜平行六面体，圆球面变成椭球面。
l
A
B
P
8-5 半空间体在边界平面的一个圆面积上受有均布压力q 。设圆面积的半径为a ，试求圆心下方距边界为h 处的位移。
3-1 考察应力函数3ay Φ=在图示矩形板和坐标系能解决什么问题。
解①4444224
000x x y y ?Φ?Φ?Φ===????满足双调和方程（相容方程）可作应力函数
#
②应力分量(2-24)：22222600x y xy ay
y
x x y
σστ?Φ
?Φ?Φ=====-=????
③力边界条件(2-25)：x yx x y
xy y l m f m l f στστ?+=?
?
+=?? 上下边界01:00x y l m f f ==±==
左边界1060x x y l m f ay f σ=-==-=-= 右边界1060x x y l m f ay f σ=-====
④0a >解决偏心拉伸问题
0a <解决偏心压缩问题
解：①2222022x y xy ay ax y x
σστ?Φ?Φ
=====-??
力边界：x yx x
y
xy y l m f m l f στστ?+=??
+=??
上边界 0122x y y l m f ax f ay σ==-==-=- 下边界 0122x y y l m f ax
f ay σ===-==
左边界 1002x x y xy l m f f ax στ=-==-==-= 右边界 10
2x y xy l m f x f ax στ======-
②222220
2x y xy bx by y x
σστ?Φ?Φ
=====??
力边界：x yx x
y
xy y l m f m l f στστ?+=??
+=??
上边界 0120x yx y y l m f by f τσ==-=-=-=-=
;
下边界 0120x yx y l m f by
f τ=====
左边界 10
22x x y xy l m f bx
f by στ=-==-=-=-=-
】
右边界 1022x y xy l m f x bx f by στ======
③22222260
3x y xy cxy
cy y
x x y
σστ?Φ
?Φ?Φ
=====-=????
力边界：x yx x
y
xy y l m f m l f στστ?+=??
+=??
上边界 20130x yx y y l m f cy f τσ==-=-=-=-=
下边界 201
30x yx y l m f cy f τ=====
—
左边界 21063x x y xy l m f cxy f cy στ=-==-=-=-=-
右边界 210
63x y xy l m f x cxy
f cy στ======
3-3、3-4
解：1、将两种函数分别代入式中，得知能满足双调和方程，因此，可作为应力函数。
2、由应力函数，可求得应力分量，考虑各边界条件后，可求得面力（或合力），从而得知各自能解决的问题，见表3-12所列。
应力函数
33232Fxy Fxy
U h h
=-
(1) 2323334321410qx y y qy y y U h h h
h ????
=-+-+- ? ????? (2) ）
应力分
量
3
2312,0632x y xy
Fxy
h Fy F h h
σστ===-+
23333
323643543121232x y xy
qx y qy qy
h h h
q y y h h qx y h h σσσ=-+-
??=-+- ???
??=- ???
边
界条件
上边 /2/2()0,()0y y h xy y h στ=-=-==
/2/2(),()0y y h xy y h q στ=-=-=-=
下边 /2/2()0,()0y y h xy y h στ====
;
/2/2()0,()0y y h xy y h στ====
边界条件
左端
/2
/2
/2/2/2/2()0,()()h h x x l xy x l h h h x x l h dy dy F ydy Fl στσ=-=---=--===-??? /2
/2
/2/2/22/2()0,()()/2
h h x x l xy x l h h h x x l h dy dy ql ydy ql στσ=-=---=--===-??? 右端 /2
/2
/2/2/2
/2()0,()()h h x x l xy x l h h h x x l
h dy dy F ydy Fl
στσ==--=-===???
/2
/2
/2/2/2
2
/2()0,
()()/2
h h x x l xy x l h h h x x l h dy dy ql ydy ql
στσ==--=-==-=-???
面力 ￥ （合力）
解决问题 悬臂梁一端受集中力和力矩作
用；或简支梁两端受力矩作用
悬臂梁上边受均布载荷，一端受集中力和力矩作用；或简支梁两端受力矩作用，上边受均布载荷作用
3-5 解1、半逆解法确定Φ主要边界0,()0x x b σ==故可设0x σ= 即221220
()()()x x f x f x yf x f x y y y σ?Φ?Φ
?Φ
=-===Φ=+??? 444441444
22
4
()
()0
0d f x d f x y x dx dx x y y ?Φ?Φ
?Φ
=+==???? )
4
0?Φ=即44144()
()0d f x d f x y dx dx +=对y 的任意值均成立则有：
44
()
0d f x dx = 32()f x Ax Bx Cx =++(略去了与应力无关的常数项) 414
()0d f x dx
= 321()f x Ex Fx =+(略去了与应力无关的常数项及次项) 故3232()y Ax Bx Cx Ex Fx Φ=++++ 2、应力22220
(62)62x x y y f x f y y Ax B Ex F gy y
x
σσρ?Φ
?Φ
=-==-=+++-??
22(32)xy Ax Bx C x y
τ?Φ
=-=-++??
3、边界条件定常数：0()0
0xy x C τ==∴=
2
23200()(32)()000xy x b b xy y q A q Ab Bb q b q dx Ab Bb Ab B B b
ττ===-?=∴-+=?
?=∴+=+=?
=
??上端面即
0000()03200()0
20b
y y b
y y dy Eb F E F xdx Eb F σσ==?=+=?
==?=+=?
?
??
则2330(1)(2)x y xy q x
qx x
y gy b b
b b
σσρτ==
--=
- 。
4-1
解：①物理方程完全相似，因为极坐标和直角坐标都是正交坐标等。
②平衡方程多了非微分项，这是由于
ⅰ)微分体二径向边不平行，使θσ对ρ方向的平衡产生了影响。 ⅱ)二环向边不等长使ρσ在ρ方向，0ρτ在Q 方向产生附加影响。 ③几何方程多了非微分项这是由于
微分体二径向边平不平行，u ρ引起周向应变u ρ
ρ
u ?引起剪应变
u u ??
ρ
ρ
?-
?
4-2 仿照直角坐标系的旋转变换
。
cos sin sin cos u u u u ρ??υ??υ?=+??=-+? 介上式：cos sin sin cos u u u u u ρ?ρ???
υ??
=+??=+?
4-3 轴对称位移问题，导出按位移求解的基本方程，并证明0B
u A u ρ?ρρ
=+
=满足此方程
解：按位移轴对称条件（应力也轴对称）：0()0()0u u u ρ?ρρρρσσρτ====
代入平衡方程
0d d ρρ?σσσρ
ρ-+
= (a) 几何方程0u du
u d ρρ
ρ
ρ?ρ?εεγρρ
ρ
?===
=? (b)
物理方程22
()()011E E ρρ??
?ρρ?σεμεσεμετμμ=-=-=-- (c)
(c)代入(a)得
1
(1)()0d d d d ρ?ρ?εεμ
μεερ
ρ
ρ
++
--= (d)
(b)代入(d)得位移轴对称问题按位移求解基本方程：
22
210du u d u d d ?ρρρρρρ+-= 或1()0d d
u d d ρρρρρ??=????
4-4 试导出轴对称位移问题中，按应力求解时的相容方程。
/
由几何方程所得应变间的关系即相容方程：
0du u d ρρ
ρ?ρ?ρεεγρ
==
=中第2式微分
21111
d du u d d ?ρρρ?εεερ
ρρρρρ=
-=-即相容方程0d q q d ??ρερρ
+-= 5-1 长l 悬臂梁，B 端作用集中力P 分别用
1)最小势能原理 2) (拉格郎日)位移变分方程求B 端挠度(设2312b x b x υ=+) 解：1) 2312b x b x υ=+满足位移边界条件()00
0x x dv v dx ==??
== ??? 应变能2
221220011(26)22l l d v U EI dx EI b b x dx dx ??==+ ???
??2223
11222(33)EI b l b b l b l =++
外力势能23112()()x V P v P b l b l ==-=-+
11112222x l
x l U
v b P b b b U v b P b b b δδδδ==?????=? ???????
?????= ??
?????
总势能2223
231122122(33)()U V EI b l b b l b l P b l b l ∏=+=++-+
由0δ∏=得：
22121
02(23)0EI b l b l Pl b ?∏
=+-=?解得12Pl
b EI =
^
233122
02(36)0EI b l b l Pl b ?∏
=+-=? 26P b EI
=-
则挠曲线方程为23
23
()263B x l
Pl P Pl v x x
v v EI EI
EI
==-== 2)2312v b x b x =+满足位移边界条件00
()00x x dv v dx ==??
== ???，
应变能2223
11222(33)U EI b l b b l b l =++
位移变分方程U W δδ=
2
2
1122331222(23)22(36)6Pl b EI b l b l Pl EI P EI b l b l Pl b EI ?=
??
+=?
?+=?
?
=-
?
:
6-6 试求图示结构的结点位移和应力，取10t m μ==
解：1、离散化如图，建立坐标系0x y ，划分单元①②，节点编号1，2，3，4 e
i j k
节点号
\ x y
① 1 4 2 1 0 —
1 ②
2 3
1
2 1 0
3 1 1 4
》
2、单元刚度矩阵
单元①
1
11()(01)2
2
2i j j i A b c b c =-=+=
(或111122
A x x ==) 142211412412410
11110
i j m i j m b b y y b y y b y y c c x x c x x c x x ==-==-=-=-===-==-=-=-=
应变矩阵[]0
0000101010000101002101101i j m i j m i
i j j m
m b b b B c c c A c b c b c b ??-???
?
??=
=-????--??????
弹性矩阵[]21
02001002012100100
2E E D μμ
μμ???????
???==?
??
?--???????
?
应力矩阵[][][]0020200202002121101E S D B -??
?
?==-?
?--??
单元刚度矩阵
[][][][][]
[]101101020200103121121
3014002020101101T T
K B D B tA
E B S tA =--??
??
-????---==??---????
-??--?
? 单元②单刚与①相同
-
[]B 符号相反，[]S 符号也相反[]101101020200103121121
3014002020101101E K --????-????
---=??---????
-??--??
—
3、整体分析
整体刚度矩阵
[][][]
11121314212223243132334142
4430012011031011020130112010030211021103100440
011213001021003112010013K K K K K K K K E E K K K K K K K K K ---????---??
??---??????---?
???=+=
=??
??---????---??????---??---????
"
整体刚度方程
4、位移边界条件处理
^ K 14 K 12 K 41
K 44 K 42 K 21 K 24 K 22 K 22
K 23 K 21 K 32
K 33 K 31 K 11 K 13 K 12
，
1112
223344300120110310110200130112001
00302112110
310004011213000102100310120100130u F v u v F E u v u v ---????????????---??????
??????---??????
----??????=??????---??????????
---????????---????
??
????---????????
5、方程求解，去除123344000000u u u υυυ======六个方程 得：12211222121
(3)312131(3)
2u F F u F E v F v F F E
=
+????
??=??????-????
??=+ 6、单元应力，设12F F F ==则，1222F F
u v E
E
=
=-
222200000
00
0T
T
F
F F
F E
E E
E
δδ-??
??=-
=??????
?
?
{}
[]{}0020200220202000000021011010T x y xy E F
F s E E σσσδτ??-??
??????
????===--=?????
?????????--??
????
{}
[]{}0020202220202000
00
022*******T x y xy F E F
F s F E
E
σσσδτ??--??
??
--??????
??===-=+??????????????--??
????
平均应力{}{}120x y xy F F σσσστ??-??
????
??=+=+??????
????????
7-1 试证明：在与三个主应力成相同角度的面上，正应力等于三个主应力的平均值。
证：取坐标面与三个主平面重合，由题意l m n == 由式(7-3)，2221231231
()3
n l m n σσσσσσσ=++=++ 7-2 解：1)123x y z u v w
a b c x
y
z
εεε???=
==
==
=??? 122331xy yz yx v u w v
u w b a c b a c x y
y z
z x
γγγ??????=
+=+=
+=+=
+=+?????? 2)平面方程0Ax By Cz D +++=，按题意平面上任一点(,,x y z )位移到(,,)x u y v z w +++代入方程后仍是平面方程111222333000()()()()0A a b c x B a b c y C a b c z D a b c +++++++++++++++=
3)设直线方程：11112122
0A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=?即二平面的交线
变形后，按2)得二个新的平面的交线，仍为直线
【
4)二个平行平面：120
Ax By Cz D Ax By Cz D +++=+++=法线的方向数ABC 。点(,,)x y z 用(,,)
x u y z w υ+++代替整理后，二平面的法线的方向数仍相同，即平行。由此推论：正平行六面体变形后成为斜平行六面体(由于xy yz zx γγγ的存在单元体变斜)
5)把二平行线定义为二平行平面的法线，变形后按4)二新的平行平面的法线仍平行 6)园球面方程2222x y z a ++=，点(,,)x y z 用(,,)x u y z w υ+++代入可得形如
2222111Ax By Cz a ++=的方程，即椭球面。
8-5 解：按(8-6)微元集中力q d d ρθρ?产生z u 对d θ积分后
得2
222(1)z h du h z μ?
=-+?+?
11
2222222
22
2200
2(1)(1)2(1)()()a a z h q qh u h h h z E E μμμρρ-?-+=-+=+-+?+?
22
(1)(12)q h E μμ??+=-??