一．方法综述
数列的求和问题是数列高考中的热点问题，数列的求和问题会渗透多种数学思想，会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.
二．解题策略
类型一数列求和中的新定义问题
【例1】【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（四)】对于数列，定义
为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（）
A．2022 B．1011 C．2020 D．1010
【答案】B
【解析】
由，
得，①
，②
①-②得，即，，
所以.故选B.
【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
2.解决此类问题的一些技巧：
（1）抓住“新信息”的特点，找到突破口；
（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方
法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.
（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.
【举一反三】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，定义1
1n
i i S n =∑为数列{}n a 前n 项的叠加和，若2016项数列
1232016,,,a a a a 的叠加和为2017，则2017项数列1
220161,,,a a a 的叠加和为( )
A. 2017
B. 2018
C. 22017
D. 22018 【答案】A
故选A ．
类型二 子数列中的求和问题
【例2】已知有穷数列{}n a 中， 1,2,3,
,729n =，且()()
1
211n n a n +=--，从数列{}n a 中依次取出
2514,,,
a a a 构成新数列{}n
b ，容易发现数列{}n b 是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列{}n a 的所
有项的和为S ，数列{}n b 的所有项的和为T ，则（ ）
A. S T >
B. S T =
C. S T <
D. S 与T 的大小关系不确定 【答案】A
【解析】因为()728
135727*********
s =-+-+
+?-=+?
=， ()()
()1
33372921n n
n b -=--=-≤?-，所以6n ≤，当6n =时， 6729b =是n a 中第365项，符合题意，
所以()()()()
6
31354613T ---=
=--,所以S T >，选A. 学科*网
【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题，关键在于弄清楚新的数列的形式，了解其求和方法.
【举一反三】已知*n N ∈，集合135
21,
,,,
248
2n n
n M -??
=????
，集合n M 的所有非空子集的最小元素之和为n T ，则使得80n T >的最小正整数n 的值为（ ）
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15 【答案】B
∴n T =S 1+S 2+S 3+…+S n =212
n -+223
7531......222442n n --++++=则21802n -> 的最小正整数n 为13 故选B.
类型三 奇偶性在数列求和中的应用 【例3】【福建省2019届高三模拟】已知数列
满足
，
，且
，
，设数列的前项和为，则
__________（用表示）.
【答案】
【解析】 当是奇数时，，
，所以，
，，…，
，…是首项为1，公差为6的等差数列，因此
；当是偶数时，
，
，所以，，，…，
，…
是首项为4，公比为3的等比数列，因此.综上，，所以
，即
.
【指点迷津】数列求和中遇到n
)1(-，πn sin ，πn cos 都会用到奇偶性，进行分类讨论.再采用分组转化法求和或者并项求和的方法，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如,{
2,n n n n a n =为奇数为偶数
）及符号型（如()21n
n a n =- ）
【举一反三】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知22a =,()1
211n n n a a -++-=,则40S =______
【答案】240
类型四 周期性在数列求和中的应用 【例4】数列{}n a 满足12sin
122n n n a a n π
+??=-+ ???
，则数列{}n a 的前100项和为__________． 【答案】5100
【指点迷津】本题主要考查数列的周期性，数列是定义域为正整数集或它的子集的函数，因此数列具有函数的部分性质，本题观察到条件中有sin
2n π ，于是考虑到三角函数的周期性，构造()sin 2
f n n π
=?，周
期为4，于是研究数列中依次4项和的之间的关系，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题.
【举一反三】已知数列2008，2009，1，，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和______．
【答案】4018
【解析】
数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，
可得2008，2009，1，，，，2008，2009，1，，
即有数列的最小正周期为6，
可得一个周期的和为0，
由，可得．
故答案为：4018．
类型五数列求和的综合问题
【例5】【上海市青浦区2019届高三二模】等差数列,满足
，则（）
A．的最大值为50 B．的最小值为50
C．的最大值为51 D．的最小值为51
【答案】A
【解析】
时，满足条件，所以满足条件，即最小值为2，舍去B,D.
要使得取最大值，则项数为偶数，
设，等差数列的公差为，首项为，不妨设，
则，且，由可得，
所以
,
因为，所以，所以，而，